湖南省百所重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

湖南省百所重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積與圓錐的體積的比值為()A． B． C． D．2．中國鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示，到2018年底，全國鐵路營業(yè)里程達(dá)到13.1萬公里，其中高鐵營業(yè)里程2.9萬公里，超過世界高鐵總里程的三分之二，下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運(yùn)營里程（單位：萬公里）的折線圖，以下結(jié)論不正確的是（）A．每相鄰兩年相比較，2014年到2015年鐵路運(yùn)營里程增加最顯著B．從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營里程與年價(jià)正相關(guān)C．2018年高鐵運(yùn)營里程比2014年高鐵運(yùn)營里程增長80%以上D．從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營里程數(shù)依次成等差數(shù)列3．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則A．3 B．4 C．5 D．64．定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，已知是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．以上情況均有可能5．記等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為.若，，則（）A． B． C． D．6．水平放置的，用斜二測(cè)畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（）A． B． C． D．7．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，D是AB的中點(diǎn)，若，且，則面積的最大值是()A． B． C． D．8．關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)的值：先請(qǐng)全校名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于的正實(shí)數(shù)對(duì)；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)；最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)估計(jì)的值，那么可以估計(jì)的值約為（）A． B． C． D．9．曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A． B． C．4 D．810．如圖，在平面四邊形ABCD中，若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．11．已知數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．12．點(diǎn)是單位圓上不同的三點(diǎn)，線段與線段交于圓內(nèi)一點(diǎn)M，若，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知△ABC得三邊長成公比為2的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_____.14．若實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則的最小值為______.15．已知，則滿足的的取值范圍為_______．16．已知直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，求證：.18．（12分）已知矩陣的一個(gè)特征值為3，求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.19．（12分）如圖，在直角中，，通過以直線為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（）.點(diǎn)為斜邊上一點(diǎn).點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且.（1）證明：平面；（2）當(dāng)直線與平面所成的角取最大值時(shí)，求二面角的正弦值.20．（12分）已知橢圓與x軸負(fù)半軸交于，離心率.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，連接AM,AN并延長交直線x=4于兩點(diǎn)，若，直線MN是否恒過定點(diǎn)，如果是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不是，請(qǐng)說明理由.21．（12分）已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.（1）判斷點(diǎn)是否在直線上？說明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是△的外接圓的圓心，點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)，求的最大值.22．（10分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線過焦點(diǎn)的弦，已知以為直徑的圓與相切于點(diǎn).（1）求的值及圓的方程；（2）設(shè)為上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

計(jì)算求半徑為，再計(jì)算球體積和圓錐體積，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：設(shè)球半徑為，則，解得.故求體積為：，圓錐的體積：，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐，球體積，圓錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.2、D【解析】

由折線圖逐項(xiàng)分析即可求解【詳解】選項(xiàng)，顯然正確；對(duì)于，，選項(xiàng)正確；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列，故錯(cuò).故選：D【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí),是基礎(chǔ)題3、C【解析】

方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以.故選C．方法二：因?yàn)?，所以，則.故選C．4、B【解析】

由已知可求得函數(shù)的周期，根據(jù)周期及偶函數(shù)的對(duì)稱性可求在上的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可比較．【詳解】由可得，即函數(shù)的周期，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，所以且即，所以即，．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．5、C【解析】

由，和，可求得，從而求得和，再驗(yàn)證選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，所以解得，所以，所以，，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式，還考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.6、B【解析】

根據(jù)斜二測(cè)畫法的基本原理，將平面直觀圖還原為原幾何圖形，可得，,繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個(gè)相同圓錐的組合體,圓錐的側(cè)面展開圖是扇形根據(jù)扇形面積公式即可求得組合體的表面積.【詳解】根據(jù)“斜二測(cè)畫法”可得，，，繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個(gè)相同圓錐的組合體，它的表面積為.故選:【點(diǎn)睛】本題考查斜二測(cè)畫法的應(yīng)用及組合體的表面積求法,難度較易.7、A【解析】

根據(jù)正弦定理可得，求出，根據(jù)平方關(guān)系求出.由兩端平方，求的最大值，根據(jù)三角形面積公式，求出面積的最大值.【詳解】中，，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理，得.D是AB的中點(diǎn)，且，，即，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.的面積，所以面積的最大值為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.8、D【解析】

由試驗(yàn)結(jié)果知對(duì)0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)，滿足，面積為1，再計(jì)算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)，滿足條件的面積，由幾何概型概率計(jì)算公式，得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計(jì)的值．【詳解】解：根據(jù)題意知，名同學(xué)取對(duì)都小于的正實(shí)數(shù)對(duì)，即，對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L為的正方形，其面積為，若兩個(gè)正實(shí)數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有，其面積；則有，解得故選：．【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問題.線性規(guī)劃可行域是一個(gè)封閉的圖形，可以直接解出可行域的面積；求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.9、B【解析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用切線斜率求出，根據(jù)切線過點(diǎn)求出即可.【詳解】因?yàn)椋?，故，解得，又切線過點(diǎn)，所以，解得，所以，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程，屬于中檔題.10、A【解析】

分析：由題意可得為等腰三角形，為等邊三角形，把數(shù)量積分拆，設(shè)，數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。詳解：連接BD,取AD中點(diǎn)為O,可知為等腰三角形，而，所以為等邊三角形，。設(shè)=所以當(dāng)時(shí)，上式取最小值，選A.點(diǎn)睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時(shí)利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。11、C【解析】

利用的前項(xiàng)和求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可計(jì)算出，然后利用裂項(xiàng)法可求出的值.【詳解】.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減，可得，故，因?yàn)橐策m合上式，所以.依題意，，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用求，同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法，考查計(jì)算能力，屬于中等題.12、D【解析】

由題意得，再利用基本不等式即可求解．【詳解】將平方得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），，的最小值為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-【解析】試題分析：根據(jù)題意設(shè)三角形的三邊長分別設(shè)為為a,2a,2a，∵2a>2a>a,∴2a所對(duì)的角為最大角，設(shè)為θ，則根據(jù)余弦定理得考點(diǎn)：余弦定理及等比數(shù)列的定義.14、5【解析】

根據(jù)題意，畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求動(dòng)直線縱截距的最值，即可求解【詳解】畫出不等式組，表示的平面區(qū)域如圖陰影區(qū)域所示，令，則.分析知，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，且.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】

將f（x）寫成分段函數(shù)形式，分析得f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，利用奇偶性和單調(diào)性解不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，f（x）＝x|x|＝，則f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，則f（2x﹣1）+f（x）≥0?f（2x﹣1）≥﹣f（x）?f（2x﹣1）≥f（﹣x）?2x﹣1≥﹣x，解可得x≥，即x的取值范圍為[，+∞）；故答案為：[，+∞）．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定以及應(yīng)用，注意分析f（x）的奇偶性與單調(diào)性．16、0或6【解析】

計(jì)算得到圓心，半徑，根據(jù)得到，利用圓心到直線的距離公式解得答案.【詳解】，即，圓心，半徑.，故圓心到直線的距離為，即，故或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)的極小值為，無極大值.（2）見解析.【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)，確定函數(shù)單調(diào)性，得到函數(shù)極值.（2）構(gòu)造函數(shù)，證明恒成立，得到，，得證.【詳解】（1）由題意知，，令，得，令，得.則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值.（2）當(dāng)時(shí)，要證，即證.令，則，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即.因?yàn)闀r(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值，不等式的證明，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.18、另一個(gè)特征值為，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量【解析】

根據(jù)特征多項(xiàng)式的一個(gè)零點(diǎn)為3，可得，再回代到方程即可解出另一個(gè)特征值為，最后利用求特征向量的一般步驟，可求出其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.【詳解】矩陣的特征多項(xiàng)式為：，是方程的一個(gè)根，，解得，即方程即，，可得另一個(gè)特征值為：，設(shè)對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為：則由，得得，令，則，所以矩陣另一個(gè)特征值為，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量【點(diǎn)睛】本題考查了矩陣的特征值以及特征向量，需掌握特征多項(xiàng)式的計(jì)算形式，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）先算出的長度，利用勾股定理證明，再由已知可得，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）由（1）可得為直線與平面所成的角，要使其最大，則應(yīng)最小，可得為中點(diǎn)，然后建系分別求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，進(jìn)一步得到正弦值.【詳解】（1）在中，，由余弦定理得，∴，∴，由題意可知：∴，，，∴平面，平面，∴，又，∴平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向?yàn)?，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.∵平面，∴在平面上的射影是，∴與平面所成的角是，∴最大時(shí)，即，點(diǎn)為中點(diǎn).，，，，，，，設(shè)平面的法向量，由，得，令，得，所以平面的法向量，同理，設(shè)平面的法向量，由，得，令，得，所以平面的法向量，∴，，故二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.20、（1）（2）直線恒過定點(diǎn),詳見解析【解析】

（1）依題意由橢圓的簡單性質(zhì)可求出，即得橢圓C的方程；（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)的坐標(biāo)可求出直線的方程，將其化簡成點(diǎn)斜式，即可求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）由題有，.∴，∴.∴橢圓方程為.（2）設(shè)直線的方程為：，則∴或，∴，同理，當(dāng)時(shí)，由有.∴，同理，又∴，當(dāng)時(shí)，∴直線的方程為∴直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)也過定點(diǎn)..綜上:直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系應(yīng)用，定點(diǎn)問題的求法等，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于難題．21、（1）不在，證明見詳解；（2）【解析】

（1）假設(shè)直線方程，并于拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，計(jì)算，可得，然后驗(yàn)證可得結(jié)果.（2）分別計(jì)算線段中垂線的方程，然后聯(lián)立，根據(jù)（1）的條件可得點(diǎn)的軌跡方程，然后可得焦點(diǎn)，結(jié)合拋物線定義可得，計(jì)算可得結(jié)果