《動態(tài)規(guī)劃步驟》課件

動態(tài)規(guī)劃步驟動態(tài)規(guī)劃是一種解決優(yōu)化問題的方法，它通過將問題分解成子問題，并存儲子問題的解來避免重復計算。什么是動態(tài)規(guī)劃分解問題將復雜問題分解成多個子問題。存儲結(jié)果存儲子問題的解，避免重復計算。逐步求解通過子問題的解逐步求解原問題。動態(tài)規(guī)劃的基本原理最優(yōu)子結(jié)構(gòu)問題的最優(yōu)解包含其子問題的最優(yōu)解。問題可分解成更小的子問題，子問題的解可用于構(gòu)建整體問題的解。重疊子問題在解決問題的過程中，會遇到相同的子問題多次。動態(tài)規(guī)劃通過存儲子問題的解來避免重復計算，提高效率。動態(tài)規(guī)劃的適用場景最優(yōu)化問題尋找最優(yōu)解，例如最短路徑、最大效益、最小成本等。組合問題從多個選項中選擇最佳組合，例如背包問題、硬幣找零問題等。決策問題在不同階段做出最佳決策，例如游戲策略、資源分配等。動態(tài)規(guī)劃的核心概念1最優(yōu)子結(jié)構(gòu)問題最優(yōu)解包含其子問題的最優(yōu)解。2重疊子問題多個子問題重復計算，導致效率低下。3動態(tài)規(guī)劃方法通過存儲子問題的解，避免重復計算。4遞推關(guān)系子問題的解之間存在遞推關(guān)系。確定問題的狀態(tài)動態(tài)規(guī)劃問題，本質(zhì)上是將問題分解成一系列子問題。子問題的解法可以用于解決更大的問題。1狀態(tài)問題的子問題2狀態(tài)空間所有子問題的集合3狀態(tài)轉(zhuǎn)移子問題之間的關(guān)系要解決一個動態(tài)規(guī)劃問題，首先需要確定問題的狀態(tài)。狀態(tài)表示的是子問題的定義，它是解決問題的基礎(chǔ)。確定問題的基礎(chǔ)情況1最小的子問題動態(tài)規(guī)劃的核心思想是從最小的子問題開始逐步解決整個問題.2子問題的解對于最小的子問題，我們可以直接計算出它們的解.3明確邊界這些基礎(chǔ)情況就像是動態(tài)規(guī)劃問題的起點，為后續(xù)的遞推提供基礎(chǔ).建立遞推公式1狀態(tài)定義明確問題狀態(tài)的定義2邊界條件設(shè)置遞推公式的初始值3遞推關(guān)系描述狀態(tài)之間的關(guān)系遞推公式的關(guān)鍵在于找到當前狀態(tài)和先前狀態(tài)之間的關(guān)系。遞推公式可以幫助我們以遞歸的方式計算每個狀態(tài)的值。計算子問題的最優(yōu)解自底向上從最小的子問題開始計算，逐步向上計算更大的子問題，直到計算出最終的解。存儲結(jié)果將每個子問題的最優(yōu)解存儲在一個表格或數(shù)組中，避免重復計算。遞推關(guān)系利用子問題之間的遞推關(guān)系，通過已知的子問題解來計算新的子問題解。通過子問題解決原問題合并子問題將所有子問題的最優(yōu)解組合起來，得到原問題的最優(yōu)解。動態(tài)規(guī)劃表可以使用動態(tài)規(guī)劃表來存儲所有子問題的解，并根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程逐步計算得出最終結(jié)果。最終結(jié)果通過合并所有子問題的最優(yōu)解，最終獲得原問題的最優(yōu)解。幾種常見的動態(tài)規(guī)劃問題最長公共子序列問題尋找兩個字符串中最長的公共子序列，例如"abcde"和"ace"的最長公共子序列為"ace"。最短路徑問題在一個圖中找到從起點到終點的最短路徑，例如在地圖中尋找兩個地點之間的最短路線。背包問題給定一些物品，每個物品有重量和價值，在背包容量限制下，選擇物品使得總價值最大化。硬幣找零問題給定一些面值的硬幣和一個目標金額，求最少使用多少個硬幣來湊成目標金額。最長公共子序列問題問題描述給定兩個字符串，找出它們的最長公共子序列。子序列的定義子序列是指一個字符串中按照順序排列的字符組成的序列，可以不連續(xù)。應用場景例如，DNA序列比對、文本編輯器中的撤銷操作、文件差異比較等。動態(tài)規(guī)劃解法利用動態(tài)規(guī)劃可以有效解決最長公共子序列問題。最短路徑問題1尋找路徑最短路徑問題是找出圖中兩個節(jié)點之間最短路徑的問題。2應用廣泛廣泛應用于導航、交通規(guī)劃、網(wǎng)絡(luò)路由等領(lǐng)域。3解決方法常用的解決方法包括Dijkstra算法和A*搜索算法。4示例例如，在導航地圖中，尋找最佳路線就是最短路徑問題。背包問題背包問題概述背包問題是一種經(jīng)典的優(yōu)化問題，旨在找到將一組物品放入容量有限的背包中的最佳方法，以最大化背包中物品的價值。背包問題分類背包問題主要分為兩種類型:0/1背包問題和分數(shù)背包問題。在0/1背包問題中，每件物品只能選擇放入或不放入背包，而在分數(shù)背包問題中，可以部分放入物品。硬幣找零問題目標找出最少的硬幣數(shù)量來湊成目標金額。約束可以使用不同面值的硬幣，但每個硬幣只能使用一次。策略使用動態(tài)規(guī)劃來找到最優(yōu)解，通過計算子問題的最優(yōu)解來解決原問題。動態(tài)規(guī)劃問題的一般步驟1分析問題理解問題要求，識別問題結(jié)構(gòu)。2定義子問題將問題分解為更小的、相互獨立的子問題。3狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程建立子問題之間關(guān)系的遞推公式。4計算解的過程從基礎(chǔ)情況開始，逐步計算子問題的最優(yōu)解。5優(yōu)化解的效率通過備忘錄技術(shù)或其他方法優(yōu)化計算過程。第一步:分析問題動態(tài)規(guī)劃是一種解決問題的方法，將復雜問題分解成子問題，并利用子問題的解來求解原問題。1理解問題準確理解問題的目標和約束條件。2識別子問題將原問題分解成更小的、相互關(guān)聯(lián)的子問題。3確定狀態(tài)定義子問題的狀態(tài)，并找出狀態(tài)之間的關(guān)系。通過分析問題，我們可以更好地理解問題的本質(zhì)，并為接下來的步驟打下基礎(chǔ)。第二步:定義子問題1將問題分解將原問題分解成多個子問題2子問題互不重疊子問題之間互相獨立3子問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)原問題的最優(yōu)解由子問題的最優(yōu)解構(gòu)成定義子問題是動態(tài)規(guī)劃的核心步驟，它將復雜問題分解成更小的、更容易解決的子問題。第三步:建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的核心描述了當前狀態(tài)的最優(yōu)解是如何基于前一個狀態(tài)的最優(yōu)解得到的。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的作用明確了子問題之間的依賴關(guān)系，為動態(tài)規(guī)劃算法提供了遞推公式。建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的步驟仔細分析問題，找到當前狀態(tài)和前一個狀態(tài)之間的關(guān)系，并根據(jù)這種關(guān)系建立遞推公式。第四步:計算解的過程1初始化初始化狀態(tài)矩陣或數(shù)組。2遞推計算根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，自底向上逐步計算每個子問題的最優(yōu)解。3最終解最終解即為最后一個子問題的最優(yōu)解。此步驟涉及將子問題的結(jié)果存儲到一個狀態(tài)矩陣或數(shù)組中，并根據(jù)遞推關(guān)系，通過一系列的計算，從最小的子問題開始逐步推導出最終問題的最優(yōu)解。第五步:優(yōu)化解的效率1減少重復計算動態(tài)規(guī)劃中，許多子問題會被重復計算，浪費時間和資源。2空間優(yōu)化可以嘗試使用滾動數(shù)組或其他技巧，減少存儲空間。3算法復雜度最終目標是降低算法復雜度，提升運行效率。實現(xiàn)動態(tài)規(guī)劃的常用技巧使用數(shù)組存儲子問題的解用數(shù)組保存已經(jīng)計算過的子問題的解，避免重復計算。例如，在計算斐波那契數(shù)列時，可以將每個斐波那契數(shù)保存到數(shù)組中，以便后續(xù)需要時直接訪問。從小到大地計算子問題從最小的子問題開始計算，并逐步遞推到更大的子問題，可以保證在計算每個子問題時，其所依賴的子問題已經(jīng)計算完成。利用備忘錄技術(shù)備忘錄技術(shù)可以幫助我們有效地減少重復計算。它使用一個字典或哈希表來存儲已經(jīng)計算過的子問題的解，當遇到相同子問題時，可以直接從備忘錄中獲取結(jié)果。剪枝優(yōu)化計算過程通過分析問題特點，可以對搜索空間進行剪枝，減少無效計算。例如，在背包問題中，可以根據(jù)物品的價值和重量，提前剪枝一些不可能出現(xiàn)在最優(yōu)解中的物品組合。使用數(shù)組存儲子問題的解優(yōu)化性能使用數(shù)組存儲子問題的解可以避免重復計算，從而顯著提高動態(tài)規(guī)劃算法的效率。高效訪問數(shù)組的隨機訪問特性允許快速檢索和更新子問題的結(jié)果，簡化了算法的實現(xiàn)。代碼組織使用數(shù)組可以清晰地組織和管理子問題的結(jié)果，使代碼更易于理解和維護。從小到大地計算子問題遞推關(guān)系動態(tài)規(guī)劃算法通常依賴于子問題的遞推關(guān)系，從最小的子問題開始計算，逐步解決更大的子問題。避免重復計算通過從小到大計算子問題，可以確保在計算某個子問題時，其所有依賴的子問題都已經(jīng)被計算過，避免重復計算。高效存儲由于從小到大地計算，可以將子問題的解存儲在一個數(shù)組或表格中，方便后續(xù)使用。利用備忘錄技術(shù)避免重復計算備忘錄技術(shù)使用一個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，例如哈希表或數(shù)組，存儲已計算過的子問題的解。當遇到重復的子問題時，直接從備忘錄中讀取結(jié)果，避免重新計算。提高效率備忘錄技術(shù)可以顯著提高動態(tài)規(guī)劃算法的效率，特別是在存在大量重復子問題的情況下。它可以將算法的時間復雜度從指數(shù)級降低到多項式級。剪枝優(yōu)化計算過程避免重復計算動態(tài)規(guī)劃中，許多子問題可能被重復計算多次，剪枝可以避免這種重復。減少時間復雜度剪枝通過消除重復計算，有效地降低算法的時間復雜度。提高算法效率通過優(yōu)化計算過程，剪枝可以顯著提升動態(tài)規(guī)劃算法的性能。動態(tài)規(guī)劃的典型應用案例斐波那契數(shù)列動態(tài)規(guī)劃可以有效地計算斐波那契數(shù)列的第n項，避免重復計算。最長上升子序列動態(tài)規(guī)劃可以找到給定序列的最長上升子序列，并確定其長度。編輯距離動態(tài)規(guī)劃可以計算兩個字符串之間的編輯距離，用于文本相似度比較。斐波那契數(shù)列公式定義斐波那契數(shù)列的每個數(shù)字都是前兩個數(shù)字的總和，以0和1開始。自然現(xiàn)象斐波那契數(shù)列在自然界中廣泛存在，例如松果的螺旋排列、向日葵的種子排列等。應用場景斐波那契數(shù)列在計算機科學、數(shù)學等領(lǐng)域都有廣泛應用，例如算法設(shè)計、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等。最長上升子序列1定義在一個給定的數(shù)字序列中，找出最長的遞增子序列。2應用在數(shù)據(jù)分析、生物信息學、金融建模等領(lǐng)域都有廣泛的應用。3例子例如，在序列[1,3,2,4,5]中，最長的上升子序列為[1,2,4,5]。4挑戰(zhàn)找出最長的上升子序列需要考慮所有可能的子序列組合，這可能是一個很復雜的計算過程。編輯距離字符串相似性編輯距離是衡量兩個字符串之間差異的度