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文檔簡介

專題4數(shù)列及其應用

內(nèi)容概覽'

01專題網(wǎng)絡?思維腦圖(含基礎(chǔ)知識梳理、常用結(jié)論與技巧)

02考情分析?解密高考

03高頻考點?以考定法(五大命題方向+五道高考預測試題,高考必考10-15分)

命題點1等差數(shù)列及性質(zhì)

>命題點2等比數(shù)列及性質(zhì)

>命題點3等差等比數(shù)列綜合

>命題點4數(shù)列情景題

>命題點5數(shù)列求和

>高考猜題

04倉!]新好題?分層訓練(★精選8道最新名校模擬試題+8道易錯提升)

6》專題網(wǎng)絡?思維腦圖二

一、一般數(shù)列性質(zhì):

a>a,

nn+l

單調(diào)性:遞增數(shù)列:an+1>an;遞減數(shù)列:an+1<an;常數(shù)列:an+1=an;最大項〃

[an2冊.1

二、等差數(shù)列及性質(zhì)

1.定義式:an+1-an=d(遞推公式)

2.等差中項:若a,b,c成等差數(shù)列,貝!]2b=a+c

V相鄰三項,2(1n=an+1+an_r

3.通項公式:。九=a1+(九一l)d(累加法)

從函數(shù)角度理解:an=An+其中A=d,B=ar—d

推廣:an=am+(n—m)d

4.{即}為等差數(shù)列,為其前幾項和

性質(zhì)1:若m+九=s+3貝+%I=%+%

特殊的,若m十幾=2%則a7n+。九=2%

9

性質(zhì)2:Q,mf^m+k,%n+2k,Qm+3上,…仍成等差數(shù)列.

性質(zhì)3:Sm,S2m—Sm,$3血—S2nl,…仍成等差數(shù)列.

5.前n項和:S“=秋。;/)=呵+(倒序相加法)

2

從函數(shù)角度理解:Sn=An+Bn,其中力=gB=的+g

6.單調(diào)性:d>0,單調(diào)遞增;d<0,單調(diào)遞減;d=0,常函數(shù)

7.S九最值問題:

法一:S九最值問題可由%=An2+8九二次函數(shù)求最值的角度考慮.

法二:若Qi>0,d>0,S打的最小值為Si,S九無最大值;

若%>0,d<0,S九的最大值為項的正負分界處(a九>0成立的最大的九),S九無最小值;

若的V0,d<0,S九的最大值為Si,S九無最小值;

若的V0,d>0,S九的最小值為項的正負分界處(的1Mo成立的最大的幾),S打無最大值.

法三:解不等式組SnSn>Sn+1(n>2,nEN*),即可求得%最大值;

解不等式組%WS九_1,Sn<Sn+1(n>2,nEN*),即可求得%最小值.

8.判斷等差數(shù)列的方法:

*定義法*等差中項法*通項公式法*前幾項和公式法

三、等比數(shù)列及性質(zhì):

1.定義式:an+1an=d(遞推公式)

2.等比中項:若a,b,c成等比數(shù)列,則爐=以;

2

V相鄰三項,an=an+1an.r

71-1nm

3.通項公式:an=a^(累乘法)推廣:an=amq~

4.{須}為等比數(shù)列,S九為其前ri項和

a

性質(zhì)1:若TH+九=S+t,貝=CLst

特殊的,若m+n=2t,則=at2

9

’性質(zhì)2:CLmf%n+/c,^m+2k%n+3k,…仍成等比數(shù)列.

性質(zhì)3:Sm,S2m-SmfS3m-S2mf…仍成等比數(shù)列.

5.前幾項和:S=(qhl)(錯位相減法)

nl-q1-q

S"'71al(q=1)

6.單調(diào)性:

若a】>0,q>1,單調(diào)遞增;

若a1>0,0<q<1,單調(diào)遞減;

若的<0,q>1,單調(diào)遞減;

若a1<0,0<q<1,單調(diào)遞增;

若q=l,常數(shù)列;

若q<0,擺動數(shù)列.

四、數(shù)列綜合問題:

1.求通項公式:

(1)猜想--證明法

根據(jù)條件猜想通項公式,再驗證或證明其符合題意.

(2)即與%關(guān)系法:

由=h$募"=1可根據(jù)%求通項公式.

(3)累加法:an+1-an=f(n)

(4)累乘法:an+1-^an=f(n)

(5)構(gòu)造法:

1※構(gòu)造等比數(shù)列※形如:an+1-2an=3

待定系數(shù)法an+1+t=2(an+t)得t=3即+3=2(an+3)

2※構(gòu)造等比數(shù)列※形如:an+1-2an=n-l

待定系數(shù)法an+1+(幾+1)=2(an+n)

3※構(gòu)造等差數(shù)列※形如:an+i-2an=2"+1

等式兩邊同時除以2H、即得辭-譙=1

n+1

4※構(gòu)造等比數(shù)列※形如:an+1-3an=2

等式兩邊同時除以2“+i,得到貂-|x愛=1,即轉(zhuǎn)化為IX

5※構(gòu)造等差數(shù)列※形如:an-an+1=2anan+1

等式兩邊同時除以a/n+i,得到上-2=2

an+lan

2

6※構(gòu)造等比數(shù)列※形如:an+1=ean

等式兩邊同時取對數(shù),得lncin+i=21nan+1,即轉(zhuǎn)化為IX

2.數(shù)列求和方法:

(1)公式求和法

*等差、等比數(shù)列直接用公式求和

£k1TI=1+2+3+—I-n="C"

V2,2,02,,2n(n+l)(2n+1)

>n=12+9+3ZH----1-nz=---------------

i=l

(2)倒序相加法

距首位兩端等距的兩項和相等

(3)錯位相減法

差比數(shù)列:形如的=%?4,其中{.}為等差數(shù)列,{%}為等比數(shù)列.

(4)裂項相消法

形如斯=二一,其中仍“}為等差數(shù)列,設公差為d

^n^n+l

形如斯=」l可用分母有理化進行裂項

“Vn+1+Vn

(5)分組求和法

通項公式有若干個等差數(shù)列、等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,可分別求和后再相加.如:廝=就亍+

2n+2n

(6)并項求和法

n

形如an=(-i)/(n),可兩兩結(jié)合求和的數(shù)列.

函〉考情分析?解密高考?

數(shù)列是高考中必考點,一般以1+1或者是2+1形式出現(xiàn),主要考查等

差等比數(shù)列及其性質(zhì)應用

真題多維細目表

考點考向考題

2023新全國I卷T7全國乙T10全國甲T5

2022全國乙卷T13

①等差數(shù)列性質(zhì)2021全國甲卷T18全國HT17

等差等比數(shù)列2023新高考II卷85全國乙卷T15全國甲卷T13T5

應用②等比數(shù)列及性質(zhì)2022全國乙卷T10T8

2021Q全國甲卷T7

③等差等比數(shù)列綜合2023全國乙卷T10

2022全國甲卷T18新高考HT17

2021全國乙卷T19

④數(shù)列情景題2022新高考II卷T3全國乙卷T4

2020新高考II卷T4

⑤數(shù)列求和2023新高考IT20新高考HT18乙卷T18甲卷T17

2022新高考IT17

2021全國乙卷T19甲卷T9T18新高考IT17

新高考IIT17

高頻考點?以考定由

??高考解密<<

命題點1等差數(shù)列及其性質(zhì)

典例01(2023?全國乙卷)已知等差數(shù)列{%}的公差為:,集合S=kosqJ”eN*},若5={.回,則而=

()

A.-1B.—C.0D.—

22

【答案】B

【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列,寫出通項公式,再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理

作答.

27r2冗2兀

【詳解】依題意,等差數(shù)列{〃/中,^=^+(H-l).y=yn+(^-y),

27r2兀

顯然函數(shù)>=cos[可〃+(《-?■)]的周期為3,而〃eN*,即cos為最多3個不同取值,又

{cos%N*}={〃,8},

cosa

貝I]在COSQI,COSQ2,COS〃3中,cos%=cosa2wcos%或cosqwcos%-3,

2冗2冗it

于是有cos。=cos(0+7),即有0+(0+—)=2k7i,keZ,解得6=kTi--,k^Z,

LLt、Ifi-r7zJ兀、兀、471,.7T\.91兀1

所以《eZ,ab=cos(E--)cos[(KJI--)+—]=-cos(E--)cosKJI=-COSKJICOS—.

故選:B

典瓶I02(2023?全國?統(tǒng)考甲卷)記S“為等差數(shù)列{g}的前〃項和.若出+6=10,%。8=45,貝”5=()

A.25B.22C.20D.15

【答案】C

【分析】方法一:根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列{%}的公差和首項,再根據(jù)前〃項和公式即可解出;

方法二:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列{%}的公差,再根據(jù)前“項和公式的性質(zhì)即可解出.

【詳解】方法一:設等差數(shù)列{g}的公差為d,首項為外,依題意可得,

%+4=〃i+d+〃i+5d=1。,即4+3d=5,

又的g=(4+3d)(4+7d)=45,解得:d=l,q=2,

5x4

所以羽=54+^x1=5x2+10=20.

故選:C.

方法二:%+。6=2。4=10,。4。8=45,所以。4=5,。8=9,

從而d=^S£1=l,于是/=4_d=5_l=4,

8-4

所以S5=5%=20.

故選:C.

>命題點2等比數(shù)列及性質(zhì)

典例01(2023.全國.統(tǒng)考高考II卷)記5“為等比數(shù)列{%}的前n項和,若S4=-5,S6=2電,則'=(

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【分析】方法一:根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和公式求出公比,再根據(jù)S4,Sg的關(guān)系即可解出;

方法二:根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和的性質(zhì)求解.

【詳解】方法一:設等比數(shù)列{%}的公比為q,首項為%,

若4=-1,則邑=0*-5,與題意不符,所以q#-l;

若4=1,貝U=6%=3x2q=3S2片。,與題意不符,所以4片1;

由邑=-5,56=215?可得,/1一"4)=一5,"0=21x"」)①,

1-ql-q\-q

由①可得,1+才+/=21,解得:/=4,

所以醺=x(1+/)=一5x(1+16)=一85.

故選:C.

方法二:設等比數(shù)列{%}的公比為4,

因為邑=-5,56=21S2,所以qw-1,否貝|S4=0,

從而,$2,$4-$2,及-$44-$6成等比數(shù)列,

95

所以有,(-5-S2)-=S2(21S2+5),解得:$2=-1或5="

當Sz=T時,S2,S4-S2,S6-S4,Sg-S6,即為-1,-4,-16,$8+2疊

易知,S8+21=-64,即SS=-85;

當邑=一時,S4=O]+4+%+%=(4+的乂i+q~)=(i+c『)S2>0,

與$4=-5矛盾,舍去.

故選:C.

【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前〃項和公式的應用,以及整體思想的應用,解題關(guān)鍵是把握邑,$8的關(guān)

系,從而減少相關(guān)量的求解,簡化運算.

典例02(2023?全國?統(tǒng)考高考乙卷)已知{4}為等比數(shù)列,出%%=/4,a9a10=-8,則%=.

【答案】-2

【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對。2“洶=%/化簡得%4=1,聯(lián)立。刈0=-8求出q5=_2,最后得

%—aiQ,q5=q5=—2.

【詳解】設{4}的公比為4(4n。),則?/,顯然4戶。,

貝1]。4="2,即則44=1,因為。9%0=-8,貝-8,

則4"=(7)3=-8=(-2)3,貝!Jq5=-2,則%=。0",=q,=-2,

故答案為:-2.

命題點3等差等比數(shù)列綜合

典例01(2022.全國?統(tǒng)考高考甲卷)記S"為數(shù)列{%}的前〃項和.已知一+”=2%+1.

n

⑴證明:{%}是等差數(shù)列;

(2)若%,%,%成等比數(shù)列,求S”的最小值.

【答案】(1)證明見解析;

(2)-78.

[S,,n=1

【分析】(1)依題意可得2S〃+/=2〃%+〃,根據(jù)%=1作差即可得到4-。1=1,從而得

[S,-S"Z2

證;

(2)法一:由(1)及等比中項的性質(zhì)求出生,即可得到{見}的通項公式與前幾項和,再根據(jù)二次函數(shù)的性

質(zhì)計算可得.

2s

【詳解】(1)因為一-+n=2a+1,BP2S+n2=2na+nQ,

nnnn

當2時,2sl+(^-l)2+(〃一1)②,

①-②得,2s〃+〃2—2S〃——1)=2nan+n—2(n——(n—1),

即2a〃+2n—1—2nd,—2(〃一1)+1,

即2(〃-1)4一2(〃一1)%T=2(〃-1),所以。〃-4T=1,〃22且〃£N*,

所以{〃〃}是以1為公差的等差數(shù)列.

(2)[方法一]:二次函數(shù)的性質(zhì)

由(1)可得〃4=q+3,%=q+6,%=。1+8,

又〃4,。7,〃9成等比數(shù)列,所以%2=%?。9,

即(%+6)=(q+3)?(4+8),解得。i=—12,

匚匚1“_〔a匚匚[“仁—12251(25丫625

所以〃〃="一13,所以S=-12〃d——---zi2--------n=—\n-----------,

〃222212J8

所以,當撲=12或〃=13時,(5?)^=-78.

[方法二]:【最優(yōu)解】鄰項變號法

由(1)可得〃4=4+3,%=%+6,%=。1+8,

又。4,。7,〃9成等比數(shù)列,所以%2=&Pg,

即(%+6)=(/+3).(/+8),解得。i=—12,

所以?!?"一13,即有力<〃2<<%2<°,。13=0.

則當幾=12或〃=13時,0L=-78.

【整體點評】(2)法一:根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S”的最小值,適用于可以求出S〃的表達式;

法二:根據(jù)鄰項變號法求最值,計算量小,是該題的最優(yōu)解.

典例02(2022.全國新高考H卷)已知{叫為等差數(shù)列,也}是公比為2的等比數(shù)列,且

a2-b2=a3-b3=b4-a4.

(1)證明:4=4;

(2)求集合刊為=+q,l4m4500)中元素個數(shù).

【答案】⑴證明見解析;(2)9.

【分析】(1)設數(shù)列{4}的公差為d,根據(jù)題意列出方程組即可證出;

(2)根據(jù)題意化簡可得加=2卜2,即可解出.

【詳解】(1)設數(shù)列{g}的公差為d,所以,+4_24=肪「(4+3])’即可解得,4=4=5,所以原

命題得證.

2

(2)由(1)知,々=q=[,所以d=狐+qO偽x2"i=4+(7九-1"+121,即=2加,亦即m=2^e[1,500],

解得2W左W10,所以滿足等式的解4=2,3,4,,10,故集合卜|瓦=您+%/(機(500}中的元素個數(shù)為

10-2+1=9.

命題點4數(shù)列情景題

典例01(2022.全國?統(tǒng)考II)圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu),44',8反"',九>'是桁,相鄰桁的

水平距離稱為步,垂直距離稱為舉,圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中OR,CG,8綜AA是舉,

k

OOpDCpCB,,^是相等的步,相鄰桁的舉步之比分別為扁=°5一=k盜=2^=k3.已知k1,k2,k3

UL)}/JC]C131n/lj

成公差為0.1的等差數(shù)列,且直線OA的斜率為0.725,則&=()

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【分析】設oq=OG=cg=%=i,則可得關(guān)于心的方程,求出其解后可得正確的選項.

【詳解】^OD]=DCl=CB]=BAl=l,則CG=K,B4=%,AA=%,

DD]+CC[+BB\+AA1

依題意,有&-°-2=尢,勺-0.1=笈2,且=0.725,

ODX+DCX+CB[+B\

所以TAHAS'故&=0%

故選:D

典伊)02(2022.全國?統(tǒng)考乙卷題)嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后,繼續(xù)進行深空探測,成為我國第

一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星,為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值,用到數(shù)列抄“}:乙=1+1,

h=1H____________"3_'丁]

21,%+——T,…,依此類推,其中%£N*(左=1,2,).則()

CC,-----1

a。2+一

2%

A.bI<b5B.b3<bsC.b6<b2D.a<片

【答案】D

【詳解】[方法一]:常規(guī)解法

因為a?N*(左=1,2,),

1I—I>----I-----

所以%<%+一,%“+J_,得到偽>仇,

%6tl十

a2

11

CCH—>aH---------;-,,

同理X4a,+—>可得%<&,

a3

1111

z>..............->%+—r<%+-----------

又因為%+P%+—%+j~,

CC2H-----0303H-----

%%

故為<“,

以此類推,可得4>匕3>々>&>…,2仄,故A錯誤;

bx>b,>\,故B錯誤;

11

屋〉1

2%+1,得偽<%,故C錯誤;

%+…——

4

11

ax+-----------1---->ax-\---------------------

%+-----[%+…-----「,得"<A,故D正確.

OI3H------I-----

%%

[方法二]:特值法

-z-3、n_[elci3i518i13i213455

不妨設?!?1,貝!Jb]=2心=不,b3=-,b4=-,b5=--,b6=—,b7=--,b8,

Z33o13Z134

“<2故口正確.

命題點5數(shù)列求和

a-6,〃為奇數(shù)

典例01.(2023?全國?統(tǒng)考II卷)己知{4}為等差數(shù)列,2=n,記S”,1分別為數(shù)歹£%},

2%,〃為偶數(shù)

{2}的前〃項和,$4=32,4=16.

(1)求{《,}的通項公式;

⑵證明:當〃>5時,Tn>Sn.

【答案】⑴4=2〃+3;

(2)證明見解析.

【分析】(1)設等差數(shù)列{%}的公差為d,用4,"表示S,及T“,即可求解作答.

(2)方法1,利用(1)的結(jié)論求出S“,bn,再分奇偶結(jié)合分組求和法求出T.,并與S“作差比較作答;方

法2,利用(1)的結(jié)論求出S“,bn,再分奇偶借助等差數(shù)列前"項和公式求出(,并與S“作差比較作答.

,、-6,n=2k—l*

【詳解】(1)設等差數(shù)列{%}的公差為d,而"=2;n=2k#eN,

則b[=a1—6,b2=2a2—2al+2d,b3=a3—6=ax+2d—6,

S=4q+6d=32

于是4解得q=5,d=2,a=(\+(n-1)J=2〃+3,

=4q+4d—12=16n

所以數(shù)列{。“}的通項公式是a“=2〃+3.

⑵方法1:由⑴知,3/(5+7+3)="+4",=鼠CN*,

2[4〃+6,〃=2左

當〃為偶數(shù)時,%+2=2(及-1)-3+4幾+6=6〃+1,

t13+(6n+l)幾327

T=------------------=—n+—n,

n2222

22

當〃〉5時,7^—Sn=(―n+—zi)—(H+4n)=-n(n—1)>0,因此l>,

327325

當〃為奇數(shù)時,Tn=Tn+{-bn+1=-(H+l)+-(n+l)-[4(n+l)+6]=-n+-H-5,

22

當力〉5時,7^—Sn=(—n+—H—5)—(n+4n)=—(n+2)(n—5)>0,因此(〉S〃,

所以當”>5時,Tn>Sn.

、、工-,,,cn(5+2n+3)”,〃〃丘

萬法2:由(z1x)知,S=—―-——-=n22+4/?,b=2-3,=2"1,N*,

nn4〃+6,〃=2左

—1+2(幾一1)—3n14+4/1+6n327

---------------------------1---------------------

當”為偶數(shù)時,m++6,T)+(a+a+…+〃,)==-nH---Tlf

222222

—22

當〃〉5時,7^5n=(—n+—n)—(n+4n)=—n(ji—1)>0,因此l>S〃,

—1+2〃―3n+114+4(H-1)+6n—1

當“為奇數(shù)時,若則<=(4+4+,+2)+(8+“+,+2一1)=

2222

3535

=jn2+|n-5,顯然4=4=-l滿足上式,因此當〃為奇數(shù)時,5,

351

2

當〃〉5口寸,Tn-S=(―九2+—n—5)—(n+4n)=—(H+2)(〃—5)>0,因此北〉,

所以當”>5時,Tn>Sn.

典例02(2023?全國.統(tǒng)考乙卷)記S“為等差數(shù)列{4}的前"項和,已知外=11,九=40.

(1)求{4}的通項公式;

(2)求數(shù)歹的前〃項和1一

14n-n2,n<7

【答案】⑴氏=15-2砥2)7;=

n2-14w+98,n>8

【分析】(1)根據(jù)題意列式求解%”,進而可得結(jié)果;

(2)先求S“,討論?!钡姆柸ソ^對值,結(jié)合S“運算求解.

【詳解】(1)設等差數(shù)列的公差為d,

a2=q+d=11

1++9dd==118,解得%=13

由題意可得Si。=104+^^1=40'即

d=—2’

所以a”=13—2(〃—1)=15—2/z,

"03+15一2嘰]4〃”,

(2)因為S"=

2

令為=15-2〃>0,解得且“cN*,

當〃W7時,則?!?gt;0,可得(=|%|+|?卜--^\a>\=ai+a2------Fa,,=S“=14”—療;

當〃28時,貝!J<0,可得看=同+同卜--卜|聞=(《+々2T-----卜生)一(火---+4)

^S7-(Sn-S1)^2S1-Sn=2(14義7—72)—(14〃一“2)=〃2_]4〃+98;

14n-n2,n<7

綜上所述:Tn=\

n2—14n+98,n>8

典例03(2023?全國.統(tǒng)考甲卷)設S”為數(shù)列{%}的前力項和,已知外=L2S“=y.

⑴求{。“}的通項公式;

(2)求數(shù)列的前”項和5.

2〃

【答案】⑴。“="1⑵7>2-(2+〃)I

\S]9n=l

【分析】⑴根據(jù)%=°c、。即可求出;

(2)根據(jù)錯位相減法即可解出.

【詳解】(1)因為2S“=〃a,,

當〃=1時,2%=q,即q=0;

當”=3時,2(1+4)=3%,即%=2,

當〃22時,2s“_]=(〃-1)%,所以2(5"-5"_1)=叫,-仇-1)%=24,

化簡得:(〃一2)%=5-1)舶,當3時,;=1,^an=n-l,

當〃=1,2時都滿足上式,所以4=〃一l(〃wN*).

⑵因為墨=/,所以;出

7=lx&+2x+3XQ++nx

+(n-1)x

兩式相減得,

2

=1一1+?],即北=2-(2+〃)出,

是公差為的等差數(shù)列.

典例04(2022.全國.統(tǒng)考I卷)記S“為數(shù)列{4}的前〃項和,已知4=1,3

⑴求{凡}的通項公式;

111c

(2)證明:一+―+,,+—<2

n(n+l)

【答案】(1)%=

2

(2)見解析

【詳解】(1):%=1,:.,

是公差為g的等差數(shù)列,

又??,

n+2幾+2)%

—=l+-(n-l)=

3

當〃22時,加

3

n+2)an〃+1)%

a”=S”-S,”\

33

?+1

整理得:(〃一1"〃即j-=

an-ln-1'

生n〃+1

a“="xx&x...x-x2=-..X—x------=

aa

axa2n-2n-l12n-2n—\2

+1)

顯然對于77=1也成立,,{4}的通項公式a,=

2

(2)

111

+2|1-<2

%nn+1n+\

??技巧解密<<①裂項求和常見類型有:

1\(11)

分式型:----77>

n^n+k)k\nn+kj

i=ip___q__iip___M

(2n-l)(2n+l)2\2n-\In+i)'(2H-1)(2H+1)=+2Un-12n+\),

8"1111F11

‘‘-,0--------------=----------------------------=fe

(2n-l)-(2n+l)(2n-l)(2n+l),〃(幾+l)(〃+2)2n(n+l)(〃+l)(〃+2)

?高考猜題預計2024年高考中數(shù)列也會是以等差等比求和的形式出現(xiàn)解答題與小題,小題將是

以等差與等比結(jié)合的性質(zhì),解答題將是數(shù)列求和的形式出現(xiàn)

1.設等比數(shù)列{%}的前"項和為S”,且q+生=5,%+4=4。,貝!()

A.3B.9C.12D.15

【答案】B

【分析】根據(jù)條件列出關(guān)于首項和公比的方程組,求出首項和公比,然后根據(jù)等比數(shù)列前九項和公式計算

即可求解.

%+%=5q+%q2-5

【詳解】由,得解得q=1,q=2,

3

。4+〃6=40a{q+-40

1-26

所以>占君=1+2』.

1-2

故選:B.

2.若1,%,出,4成等差數(shù)列;1,4也也,4成等比數(shù)列,則區(qū)產(chǎn)等于

【答案】A

【分析】利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差,等比數(shù)列的公比,然后計算求解即可.

【詳解】若1,ai9。2,4成等差數(shù)列,4=l+3d,d=l,

二.az-〃2=-1.

又1,bl,b2,b3,4成等比數(shù)列,歷2=1X4,解得岳=2,岳=-2舍去(等比數(shù)列奇數(shù)項的符號相同).

.4一%_1

**b2~~2

故答案為A.

3.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{〃“}的前〃項和為S",且出=3,%=底+底(/eN*且”22).

(1)求{4}的通項公式;

⑵若《喙,求數(shù)列也}的前"項和T”.

【答案】(1)%=2〃一乂2)7;=3-誓.

【詳解】(1)當〃=2時,%=病+后,

即3=,3+q+舊,解得4=1.

因為a“=S“-S〃T(〃22),

所以%=(叵一師)(瘋+師)"22),

又+(〃22,〃eN*),%>。,

所以點—67=i(稔2),

又&=7^=&=i,

所以數(shù)歹U{后}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)歹U,

n,所以S'=".

22

當“22時,an=Sn-Sn_1=n-(zi-l)=2n-l,

當〃=i時,%=1,滿足上式,

所以數(shù)列{?}的通項公式為4=2〃-1.

a_2n-l

(2)由(1)知a=n

2"2"

1352n-l

所以乙=4+%+4++4=萬+級+g++-------

2"

11352n-l

所以/二域+礦+m++2"+i

22n-l112/1-11-12n-l3277+3

所以H-------=i+LM+2

2〃+i+1

T2222角22,1+122",

2〃+3

所以北=3-

2"

4.已知正項數(shù)列{?!埃那皐項和為S“,且4=1,"S用=(〃+2)S”.

(1)求數(shù)列{4}的通項公式;

b,

(2)設a=2%,若數(shù)列{%}滿足?!?,求{%}的前"項和.

(dT(%T

1

【答案】(1)%="(2)(=1-

2"+1-1

S向S,,

【詳解】(1)因為嫉用=("+2電,且“eN*,則

S,為常數(shù)列,且合*

可知數(shù)列Q

S"1n(n+l]

則不,即Dn

2〃2

+1)n(n-l)

當〃22時,a.=S“一S-—---L1=n,

22

且。i=l也符合上式,所以

bn2〃11

(2)由(1)可得a=2",貝

Ijg2n-l2n+1-l

設{g}的前幾項和為T.,

則北=。1+。2+—+。"=上111111

-------1-+-…-----------------------=1—

2-122-122-123-12"-12-12n+1-l

1

所以{cj的前〃項和為(=1-

2n+1-1

5.已知數(shù)列{4}的前〃項和為S.,%=1,當〃>2時,2s“=(〃+1)%-2.

⑴求數(shù)列{風}的通項公式;

2

(2)設數(shù)歹屹=,求數(shù)列也}的前〃項和.

4M+1

1,n=131

【答案】⑴凡二2n,n>2(2)4~2(n+l)

【詳解】(1)由題意,當"N2時,2s〃=(幾+1)q—2,且4=1,

若如=2,則2s2=2(4+%)=3%—2,即%=4,

當〃之3時,2sl=nan_x-2,

%二%

兩式相減得,2s〃-2S〃T=2%=(〃+1)%-加,整理得組=4+,即

nn-1nn-1

l,n=1

所以%=2".綜上所述,

2n,n>2

-,n=\

24

因為

(2)2=-------2

4A+i,n>2

2〃(2〃+2)

設數(shù)列也}的前〃項和為北,

〃=1時,T=\=1,

當n

當2時,T=b+b+b+1_1+1_1++1__L

nx23〃222334n〃+1

=llx113131

+,此時〃=1時適合上式,所以[=1一2(〃+1),

222n+142(?+1)

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一、單選題

1.(2023上廣東?高三執(zhí)信中學校聯(lián)考期中汜知等差數(shù)列{g}和也}的前n項和分別為S“,T“,若寸=有盲,

^^3?Cig

).

13262613

A.——B.—C.—D.—

1113711137

【答案】C

%+%”■卷,即可代入已知得出答案.

【分析】根據(jù)等差中項與等差數(shù)列前“項和得出

d+4+瓦3b6

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得:

%+%2a62,63〃_~Tn+2

4+4+々3032'T]疝色一3〃+4'

S,,1la,11+213a.13

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