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文檔簡介
專題4數(shù)列及其應用
內(nèi)容概覽'
01專題網(wǎng)絡?思維腦圖(含基礎(chǔ)知識梳理、常用結(jié)論與技巧)
02考情分析?解密高考
03高頻考點?以考定法(五大命題方向+五道高考預測試題,高考必考10-15分)
命題點1等差數(shù)列及性質(zhì)
>命題點2等比數(shù)列及性質(zhì)
>命題點3等差等比數(shù)列綜合
>命題點4數(shù)列情景題
>命題點5數(shù)列求和
>高考猜題
04倉!]新好題?分層訓練(★精選8道最新名校模擬試題+8道易錯提升)
6》專題網(wǎng)絡?思維腦圖二
一、一般數(shù)列性質(zhì):
a>a,
nn+l
單調(diào)性:遞增數(shù)列:an+1>an;遞減數(shù)列:an+1<an;常數(shù)列:an+1=an;最大項〃
[an2冊.1
二、等差數(shù)列及性質(zhì)
1.定義式:an+1-an=d(遞推公式)
2.等差中項:若a,b,c成等差數(shù)列,貝!]2b=a+c
V相鄰三項,2(1n=an+1+an_r
3.通項公式:。九=a1+(九一l)d(累加法)
從函數(shù)角度理解:an=An+其中A=d,B=ar—d
推廣:an=am+(n—m)d
4.{即}為等差數(shù)列,為其前幾項和
性質(zhì)1:若m+九=s+3貝+%I=%+%
特殊的,若m十幾=2%則a7n+。九=2%
9
性質(zhì)2:Q,mf^m+k,%n+2k,Qm+3上,…仍成等差數(shù)列.
性質(zhì)3:Sm,S2m—Sm,$3血—S2nl,…仍成等差數(shù)列.
5.前n項和:S“=秋。;/)=呵+(倒序相加法)
2
從函數(shù)角度理解:Sn=An+Bn,其中力=gB=的+g
6.單調(diào)性:d>0,單調(diào)遞增;d<0,單調(diào)遞減;d=0,常函數(shù)
7.S九最值問題:
法一:S九最值問題可由%=An2+8九二次函數(shù)求最值的角度考慮.
法二:若Qi>0,d>0,S打的最小值為Si,S九無最大值;
若%>0,d<0,S九的最大值為項的正負分界處(a九>0成立的最大的九),S九無最小值;
若的V0,d<0,S九的最大值為Si,S九無最小值;
若的V0,d>0,S九的最小值為項的正負分界處(的1Mo成立的最大的幾),S打無最大值.
法三:解不等式組SnSn>Sn+1(n>2,nEN*),即可求得%最大值;
解不等式組%WS九_1,Sn<Sn+1(n>2,nEN*),即可求得%最小值.
8.判斷等差數(shù)列的方法:
*定義法*等差中項法*通項公式法*前幾項和公式法
三、等比數(shù)列及性質(zhì):
1.定義式:an+1an=d(遞推公式)
2.等比中項:若a,b,c成等比數(shù)列,則爐=以;
2
V相鄰三項,an=an+1an.r
71-1nm
3.通項公式:an=a^(累乘法)推廣:an=amq~
4.{須}為等比數(shù)列,S九為其前ri項和
a
性質(zhì)1:若TH+九=S+t,貝=CLst
特殊的,若m+n=2t,則=at2
9
’性質(zhì)2:CLmf%n+/c,^m+2k%n+3k,…仍成等比數(shù)列.
性質(zhì)3:Sm,S2m-SmfS3m-S2mf…仍成等比數(shù)列.
5.前幾項和:S=(qhl)(錯位相減法)
nl-q1-q
S"'71al(q=1)
6.單調(diào)性:
若a】>0,q>1,單調(diào)遞增;
若a1>0,0<q<1,單調(diào)遞減;
若的<0,q>1,單調(diào)遞減;
若a1<0,0<q<1,單調(diào)遞增;
若q=l,常數(shù)列;
若q<0,擺動數(shù)列.
四、數(shù)列綜合問題:
1.求通項公式:
(1)猜想--證明法
根據(jù)條件猜想通項公式,再驗證或證明其符合題意.
(2)即與%關(guān)系法:
由=h$募"=1可根據(jù)%求通項公式.
(3)累加法:an+1-an=f(n)
(4)累乘法:an+1-^an=f(n)
(5)構(gòu)造法:
1※構(gòu)造等比數(shù)列※形如:an+1-2an=3
待定系數(shù)法an+1+t=2(an+t)得t=3即+3=2(an+3)
2※構(gòu)造等比數(shù)列※形如:an+1-2an=n-l
待定系數(shù)法an+1+(幾+1)=2(an+n)
3※構(gòu)造等差數(shù)列※形如:an+i-2an=2"+1
等式兩邊同時除以2H、即得辭-譙=1
n+1
4※構(gòu)造等比數(shù)列※形如:an+1-3an=2
等式兩邊同時除以2“+i,得到貂-|x愛=1,即轉(zhuǎn)化為IX
5※構(gòu)造等差數(shù)列※形如:an-an+1=2anan+1
等式兩邊同時除以a/n+i,得到上-2=2
an+lan
2
6※構(gòu)造等比數(shù)列※形如:an+1=ean
等式兩邊同時取對數(shù),得lncin+i=21nan+1,即轉(zhuǎn)化為IX
2.數(shù)列求和方法:
(1)公式求和法
*等差、等比數(shù)列直接用公式求和
£k1TI=1+2+3+—I-n="C"
V2,2,02,,2n(n+l)(2n+1)
>n=12+9+3ZH----1-nz=---------------
i=l
(2)倒序相加法
距首位兩端等距的兩項和相等
(3)錯位相減法
差比數(shù)列:形如的=%?4,其中{.}為等差數(shù)列,{%}為等比數(shù)列.
(4)裂項相消法
形如斯=二一,其中仍“}為等差數(shù)列,設公差為d
^n^n+l
形如斯=」l可用分母有理化進行裂項
“Vn+1+Vn
(5)分組求和法
通項公式有若干個等差數(shù)列、等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,可分別求和后再相加.如:廝=就亍+
2n+2n
(6)并項求和法
n
形如an=(-i)/(n),可兩兩結(jié)合求和的數(shù)列.
函〉考情分析?解密高考?
數(shù)列是高考中必考點,一般以1+1或者是2+1形式出現(xiàn),主要考查等
差等比數(shù)列及其性質(zhì)應用
真題多維細目表
考點考向考題
2023新全國I卷T7全國乙T10全國甲T5
2022全國乙卷T13
①等差數(shù)列性質(zhì)2021全國甲卷T18全國HT17
等差等比數(shù)列2023新高考II卷85全國乙卷T15全國甲卷T13T5
應用②等比數(shù)列及性質(zhì)2022全國乙卷T10T8
2021Q全國甲卷T7
③等差等比數(shù)列綜合2023全國乙卷T10
2022全國甲卷T18新高考HT17
2021全國乙卷T19
④數(shù)列情景題2022新高考II卷T3全國乙卷T4
2020新高考II卷T4
⑤數(shù)列求和2023新高考IT20新高考HT18乙卷T18甲卷T17
2022新高考IT17
2021全國乙卷T19甲卷T9T18新高考IT17
新高考IIT17
高頻考點?以考定由
??高考解密<<
命題點1等差數(shù)列及其性質(zhì)
典例01(2023?全國乙卷)已知等差數(shù)列{%}的公差為:,集合S=kosqJ”eN*},若5={.回,則而=
()
A.-1B.—C.0D.—
22
【答案】B
【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列,寫出通項公式,再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理
作答.
27r2冗2兀
【詳解】依題意,等差數(shù)列{〃/中,^=^+(H-l).y=yn+(^-y),
27r2兀
顯然函數(shù)>=cos[可〃+(《-?■)]的周期為3,而〃eN*,即cos為最多3個不同取值,又
{cos%N*}={〃,8},
cosa
貝I]在COSQI,COSQ2,COS〃3中,cos%=cosa2wcos%或cosqwcos%-3,
2冗2冗it
于是有cos。=cos(0+7),即有0+(0+—)=2k7i,keZ,解得6=kTi--,k^Z,
LLt、Ifi-r7zJ兀、兀、471,.7T\.91兀1
所以《eZ,ab=cos(E--)cos[(KJI--)+—]=-cos(E--)cosKJI=-COSKJICOS—.
故選:B
典瓶I02(2023?全國?統(tǒng)考甲卷)記S“為等差數(shù)列{g}的前〃項和.若出+6=10,%。8=45,貝”5=()
A.25B.22C.20D.15
【答案】C
【分析】方法一:根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列{%}的公差和首項,再根據(jù)前〃項和公式即可解出;
方法二:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列{%}的公差,再根據(jù)前“項和公式的性質(zhì)即可解出.
【詳解】方法一:設等差數(shù)列{g}的公差為d,首項為外,依題意可得,
%+4=〃i+d+〃i+5d=1。,即4+3d=5,
又的g=(4+3d)(4+7d)=45,解得:d=l,q=2,
5x4
所以羽=54+^x1=5x2+10=20.
故選:C.
方法二:%+。6=2。4=10,。4。8=45,所以。4=5,。8=9,
從而d=^S£1=l,于是/=4_d=5_l=4,
8-4
所以S5=5%=20.
故選:C.
>命題點2等比數(shù)列及性質(zhì)
典例01(2023.全國.統(tǒng)考高考II卷)記5“為等比數(shù)列{%}的前n項和,若S4=-5,S6=2電,則'=(
A.120B.85C.-85D.-120
【答案】C
【分析】方法一:根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和公式求出公比,再根據(jù)S4,Sg的關(guān)系即可解出;
方法二:根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和的性質(zhì)求解.
【詳解】方法一:設等比數(shù)列{%}的公比為q,首項為%,
若4=-1,則邑=0*-5,與題意不符,所以q#-l;
若4=1,貝U=6%=3x2q=3S2片。,與題意不符,所以4片1;
由邑=-5,56=215?可得,/1一"4)=一5,"0=21x"」)①,
1-ql-q\-q
由①可得,1+才+/=21,解得:/=4,
所以醺=x(1+/)=一5x(1+16)=一85.
故選:C.
方法二:設等比數(shù)列{%}的公比為4,
因為邑=-5,56=21S2,所以qw-1,否貝|S4=0,
從而,$2,$4-$2,及-$44-$6成等比數(shù)列,
95
所以有,(-5-S2)-=S2(21S2+5),解得:$2=-1或5="
當Sz=T時,S2,S4-S2,S6-S4,Sg-S6,即為-1,-4,-16,$8+2疊
易知,S8+21=-64,即SS=-85;
當邑=一時,S4=O]+4+%+%=(4+的乂i+q~)=(i+c『)S2>0,
與$4=-5矛盾,舍去.
故選:C.
【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前〃項和公式的應用,以及整體思想的應用,解題關(guān)鍵是把握邑,$8的關(guān)
系,從而減少相關(guān)量的求解,簡化運算.
典例02(2023?全國?統(tǒng)考高考乙卷)已知{4}為等比數(shù)列,出%%=/4,a9a10=-8,則%=.
【答案】-2
【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對。2“洶=%/化簡得%4=1,聯(lián)立。刈0=-8求出q5=_2,最后得
%—aiQ,q5=q5=—2.
【詳解】設{4}的公比為4(4n。),則?/,顯然4戶。,
貝1]。4="2,即則44=1,因為。9%0=-8,貝-8,
則4"=(7)3=-8=(-2)3,貝!Jq5=-2,則%=。0",=q,=-2,
故答案為:-2.
命題點3等差等比數(shù)列綜合
典例01(2022.全國?統(tǒng)考高考甲卷)記S"為數(shù)列{%}的前〃項和.已知一+”=2%+1.
n
⑴證明:{%}是等差數(shù)列;
(2)若%,%,%成等比數(shù)列,求S”的最小值.
【答案】(1)證明見解析;
(2)-78.
[S,,n=1
【分析】(1)依題意可得2S〃+/=2〃%+〃,根據(jù)%=1作差即可得到4-。1=1,從而得
[S,-S"Z2
證;
(2)法一:由(1)及等比中項的性質(zhì)求出生,即可得到{見}的通項公式與前幾項和,再根據(jù)二次函數(shù)的性
質(zhì)計算可得.
2s
【詳解】(1)因為一-+n=2a+1,BP2S+n2=2na+nQ,
nnnn
當2時,2sl+(^-l)2+(〃一1)②,
①-②得,2s〃+〃2—2S〃——1)=2nan+n—2(n——(n—1),
即2a〃+2n—1—2nd,—2(〃一1)+1,
即2(〃-1)4一2(〃一1)%T=2(〃-1),所以。〃-4T=1,〃22且〃£N*,
所以{〃〃}是以1為公差的等差數(shù)列.
(2)[方法一]:二次函數(shù)的性質(zhì)
由(1)可得〃4=q+3,%=q+6,%=。1+8,
又〃4,。7,〃9成等比數(shù)列,所以%2=%?。9,
即(%+6)=(q+3)?(4+8),解得。i=—12,
匚匚1“_〔a匚匚[“仁—12251(25丫625
所以〃〃="一13,所以S=-12〃d——---zi2--------n=—\n-----------,
〃222212J8
所以,當撲=12或〃=13時,(5?)^=-78.
[方法二]:【最優(yōu)解】鄰項變號法
由(1)可得〃4=4+3,%=%+6,%=。1+8,
又。4,。7,〃9成等比數(shù)列,所以%2=&Pg,
即(%+6)=(/+3).(/+8),解得。i=—12,
所以?!?"一13,即有力<〃2<<%2<°,。13=0.
則當幾=12或〃=13時,0L=-78.
【整體點評】(2)法一:根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S”的最小值,適用于可以求出S〃的表達式;
法二:根據(jù)鄰項變號法求最值,計算量小,是該題的最優(yōu)解.
典例02(2022.全國新高考H卷)已知{叫為等差數(shù)列,也}是公比為2的等比數(shù)列,且
a2-b2=a3-b3=b4-a4.
(1)證明:4=4;
(2)求集合刊為=+q,l4m4500)中元素個數(shù).
【答案】⑴證明見解析;(2)9.
【分析】(1)設數(shù)列{4}的公差為d,根據(jù)題意列出方程組即可證出;
(2)根據(jù)題意化簡可得加=2卜2,即可解出.
【詳解】(1)設數(shù)列{g}的公差為d,所以,+4_24=肪「(4+3])’即可解得,4=4=5,所以原
命題得證.
2
(2)由(1)知,々=q=[,所以d=狐+qO偽x2"i=4+(7九-1"+121,即=2加,亦即m=2^e[1,500],
解得2W左W10,所以滿足等式的解4=2,3,4,,10,故集合卜|瓦=您+%/(機(500}中的元素個數(shù)為
10-2+1=9.
命題點4數(shù)列情景題
典例01(2022.全國?統(tǒng)考II)圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu),44',8反"',九>'是桁,相鄰桁的
水平距離稱為步,垂直距離稱為舉,圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中OR,CG,8綜AA是舉,
k
OOpDCpCB,,^是相等的步,相鄰桁的舉步之比分別為扁=°5一=k盜=2^=k3.已知k1,k2,k3
UL)}/JC]C131n/lj
成公差為0.1的等差數(shù)列,且直線OA的斜率為0.725,則&=()
A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9
【答案】D
【分析】設oq=OG=cg=%=i,則可得關(guān)于心的方程,求出其解后可得正確的選項.
【詳解】^OD]=DCl=CB]=BAl=l,則CG=K,B4=%,AA=%,
DD]+CC[+BB\+AA1
依題意,有&-°-2=尢,勺-0.1=笈2,且=0.725,
ODX+DCX+CB[+B\
所以TAHAS'故&=0%
故選:D
典伊)02(2022.全國?統(tǒng)考乙卷題)嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后,繼續(xù)進行深空探測,成為我國第
一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星,為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值,用到數(shù)列抄“}:乙=1+1,
h=1H____________"3_'丁]
21,%+——T,…,依此類推,其中%£N*(左=1,2,).則()
CC,-----1
a。2+一
2%
A.bI<b5B.b3<bsC.b6<b2D.a<片
【答案】D
【詳解】[方法一]:常規(guī)解法
因為a?N*(左=1,2,),
1I—I>----I-----
所以%<%+一,%“+J_,得到偽>仇,
%6tl十
a2
11
CCH—>aH---------;-,,
同理X4a,+—>可得%<&,
a3
1111
z>..............->%+—r<%+-----------
又因為%+P%+—%+j~,
CC2H-----0303H-----
%%
故為<“,
以此類推,可得4>匕3>々>&>…,2仄,故A錯誤;
bx>b,>\,故B錯誤;
11
屋〉1
2%+1,得偽<%,故C錯誤;
%+…——
4
11
ax+-----------1---->ax-\---------------------
%+-----[%+…-----「,得"<A,故D正確.
OI3H------I-----
%%
[方法二]:特值法
-z-3、n_[elci3i518i13i213455
不妨設?!?1,貝!Jb]=2心=不,b3=-,b4=-,b5=--,b6=—,b7=--,b8,
Z33o13Z134
“<2故口正確.
命題點5數(shù)列求和
a-6,〃為奇數(shù)
典例01.(2023?全國?統(tǒng)考II卷)己知{4}為等差數(shù)列,2=n,記S”,1分別為數(shù)歹£%},
2%,〃為偶數(shù)
{2}的前〃項和,$4=32,4=16.
(1)求{《,}的通項公式;
⑵證明:當〃>5時,Tn>Sn.
【答案】⑴4=2〃+3;
(2)證明見解析.
【分析】(1)設等差數(shù)列{%}的公差為d,用4,"表示S,及T“,即可求解作答.
(2)方法1,利用(1)的結(jié)論求出S“,bn,再分奇偶結(jié)合分組求和法求出T.,并與S“作差比較作答;方
法2,利用(1)的結(jié)論求出S“,bn,再分奇偶借助等差數(shù)列前"項和公式求出(,并與S“作差比較作答.
,、-6,n=2k—l*
【詳解】(1)設等差數(shù)列{%}的公差為d,而"=2;n=2k#eN,
則b[=a1—6,b2=2a2—2al+2d,b3=a3—6=ax+2d—6,
S=4q+6d=32
于是4解得q=5,d=2,a=(\+(n-1)J=2〃+3,
=4q+4d—12=16n
所以數(shù)列{。“}的通項公式是a“=2〃+3.
⑵方法1:由⑴知,3/(5+7+3)="+4",=鼠CN*,
2[4〃+6,〃=2左
當〃為偶數(shù)時,%+2=2(及-1)-3+4幾+6=6〃+1,
t13+(6n+l)幾327
T=------------------=—n+—n,
n2222
22
當〃〉5時,7^—Sn=(―n+—zi)—(H+4n)=-n(n—1)>0,因此l>,
327325
當〃為奇數(shù)時,Tn=Tn+{-bn+1=-(H+l)+-(n+l)-[4(n+l)+6]=-n+-H-5,
22
當力〉5時,7^—Sn=(—n+—H—5)—(n+4n)=—(n+2)(n—5)>0,因此(〉S〃,
所以當”>5時,Tn>Sn.
、、工-,,,cn(5+2n+3)”,〃〃丘
萬法2:由(z1x)知,S=—―-——-=n22+4/?,b=2-3,=2"1,N*,
nn4〃+6,〃=2左
—1+2(幾一1)—3n14+4/1+6n327
---------------------------1---------------------
當”為偶數(shù)時,m++6,T)+(a+a+…+〃,)==-nH---Tlf
222222
—22
當〃〉5時,7^5n=(—n+—n)—(n+4n)=—n(ji—1)>0,因此l>S〃,
—1+2〃―3n+114+4(H-1)+6n—1
當“為奇數(shù)時,若則<=(4+4+,+2)+(8+“+,+2一1)=
2222
3535
=jn2+|n-5,顯然4=4=-l滿足上式,因此當〃為奇數(shù)時,5,
351
2
當〃〉5口寸,Tn-S=(―九2+—n—5)—(n+4n)=—(H+2)(〃—5)>0,因此北〉,
所以當”>5時,Tn>Sn.
典例02(2023?全國.統(tǒng)考乙卷)記S“為等差數(shù)列{4}的前"項和,已知外=11,九=40.
(1)求{4}的通項公式;
(2)求數(shù)歹的前〃項和1一
14n-n2,n<7
【答案】⑴氏=15-2砥2)7;=
n2-14w+98,n>8
【分析】(1)根據(jù)題意列式求解%”,進而可得結(jié)果;
(2)先求S“,討論?!钡姆柸ソ^對值,結(jié)合S“運算求解.
【詳解】(1)設等差數(shù)列的公差為d,
a2=q+d=11
1++9dd==118,解得%=13
由題意可得Si。=104+^^1=40'即
d=—2’
所以a”=13—2(〃—1)=15—2/z,
"03+15一2嘰]4〃”,
(2)因為S"=
2
令為=15-2〃>0,解得且“cN*,
當〃W7時,則?!?gt;0,可得(=|%|+|?卜--^\a>\=ai+a2------Fa,,=S“=14”—療;
當〃28時,貝!J<0,可得看=同+同卜--卜|聞=(《+々2T-----卜生)一(火---+4)
^S7-(Sn-S1)^2S1-Sn=2(14義7—72)—(14〃一“2)=〃2_]4〃+98;
14n-n2,n<7
綜上所述:Tn=\
n2—14n+98,n>8
典例03(2023?全國.統(tǒng)考甲卷)設S”為數(shù)列{%}的前力項和,已知外=L2S“=y.
⑴求{。“}的通項公式;
(2)求數(shù)列的前”項和5.
2〃
【答案】⑴。“="1⑵7>2-(2+〃)I
\S]9n=l
【分析】⑴根據(jù)%=°c、。即可求出;
(2)根據(jù)錯位相減法即可解出.
【詳解】(1)因為2S“=〃a,,
當〃=1時,2%=q,即q=0;
當”=3時,2(1+4)=3%,即%=2,
當〃22時,2s“_]=(〃-1)%,所以2(5"-5"_1)=叫,-仇-1)%=24,
化簡得:(〃一2)%=5-1)舶,當3時,;=1,^an=n-l,
當〃=1,2時都滿足上式,所以4=〃一l(〃wN*).
⑵因為墨=/,所以;出
7=lx&+2x+3XQ++nx
+(n-1)x
兩式相減得,
2
=1一1+?],即北=2-(2+〃)出,
是公差為的等差數(shù)列.
典例04(2022.全國.統(tǒng)考I卷)記S“為數(shù)列{4}的前〃項和,已知4=1,3
⑴求{凡}的通項公式;
111c
(2)證明:一+―+,,+—<2
n(n+l)
【答案】(1)%=
2
(2)見解析
【詳解】(1):%=1,:.,
是公差為g的等差數(shù)列,
又??,
n+2幾+2)%
—=l+-(n-l)=
3
當〃22時,加
3
n+2)an〃+1)%
a”=S”-S,”\
33
?+1
整理得:(〃一1"〃即j-=
an-ln-1'
生n〃+1
a“="xx&x...x-x2=-..X—x------=
aa
axa2n-2n-l12n-2n—\2
+1)
顯然對于77=1也成立,,{4}的通項公式a,=
2
(2)
111
+2|1-<2
%nn+1n+\
??技巧解密<<①裂項求和常見類型有:
1\(11)
分式型:----77>
n^n+k)k\nn+kj
i=ip___q__iip___M
(2n-l)(2n+l)2\2n-\In+i)'(2H-1)(2H+1)=+2Un-12n+\),
8"1111F11
‘‘-,0--------------=----------------------------=fe
(2n-l)-(2n+l)(2n-l)(2n+l),〃(幾+l)(〃+2)2n(n+l)(〃+l)(〃+2)
?高考猜題預計2024年高考中數(shù)列也會是以等差等比求和的形式出現(xiàn)解答題與小題,小題將是
以等差與等比結(jié)合的性質(zhì),解答題將是數(shù)列求和的形式出現(xiàn)
1.設等比數(shù)列{%}的前"項和為S”,且q+生=5,%+4=4。,貝!()
A.3B.9C.12D.15
【答案】B
【分析】根據(jù)條件列出關(guān)于首項和公比的方程組,求出首項和公比,然后根據(jù)等比數(shù)列前九項和公式計算
即可求解.
%+%=5q+%q2-5
【詳解】由,得解得q=1,q=2,
3
。4+〃6=40a{q+-40
1-26
所以>占君=1+2』.
1-2
故選:B.
2.若1,%,出,4成等差數(shù)列;1,4也也,4成等比數(shù)列,則區(qū)產(chǎn)等于
【答案】A
【分析】利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差,等比數(shù)列的公比,然后計算求解即可.
【詳解】若1,ai9。2,4成等差數(shù)列,4=l+3d,d=l,
二.az-〃2=-1.
又1,bl,b2,b3,4成等比數(shù)列,歷2=1X4,解得岳=2,岳=-2舍去(等比數(shù)列奇數(shù)項的符號相同).
.4一%_1
**b2~~2
故答案為A.
3.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{〃“}的前〃項和為S",且出=3,%=底+底(/eN*且”22).
(1)求{4}的通項公式;
⑵若《喙,求數(shù)列也}的前"項和T”.
【答案】(1)%=2〃一乂2)7;=3-誓.
【詳解】(1)當〃=2時,%=病+后,
即3=,3+q+舊,解得4=1.
因為a“=S“-S〃T(〃22),
所以%=(叵一師)(瘋+師)"22),
又+(〃22,〃eN*),%>。,
所以點—67=i(稔2),
又&=7^=&=i,
所以數(shù)歹U{后}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)歹U,
n,所以S'=".
22
當“22時,an=Sn-Sn_1=n-(zi-l)=2n-l,
當〃=i時,%=1,滿足上式,
所以數(shù)列{?}的通項公式為4=2〃-1.
a_2n-l
(2)由(1)知a=n
2"2"
1352n-l
所以乙=4+%+4++4=萬+級+g++-------
2"
11352n-l
所以/二域+礦+m++2"+i
22n-l112/1-11-12n-l3277+3
所以H-------=i+LM+2
2〃+i+1
T2222角22,1+122",
2〃+3
所以北=3-
2"
4.已知正項數(shù)列{?!埃那皐項和為S“,且4=1,"S用=(〃+2)S”.
(1)求數(shù)列{4}的通項公式;
b,
(2)設a=2%,若數(shù)列{%}滿足?!?,求{%}的前"項和.
(dT(%T
1
【答案】(1)%="(2)(=1-
2"+1-1
S向S,,
【詳解】(1)因為嫉用=("+2電,且“eN*,則
S,為常數(shù)列,且合*
可知數(shù)列Q
S"1n(n+l]
則不,即Dn
2〃2
+1)n(n-l)
當〃22時,a.=S“一S-—---L1=n,
22
且。i=l也符合上式,所以
bn2〃11
(2)由(1)可得a=2",貝
Ijg2n-l2n+1-l
設{g}的前幾項和為T.,
則北=。1+。2+—+。"=上111111
-------1-+-…-----------------------=1—
2-122-122-123-12"-12-12n+1-l
1
所以{cj的前〃項和為(=1-
2n+1-1
5.已知數(shù)列{4}的前〃項和為S.,%=1,當〃>2時,2s“=(〃+1)%-2.
⑴求數(shù)列{風}的通項公式;
2
(2)設數(shù)歹屹=,求數(shù)列也}的前〃項和.
4M+1
1,n=131
【答案】⑴凡二2n,n>2(2)4~2(n+l)
【詳解】(1)由題意,當"N2時,2s〃=(幾+1)q—2,且4=1,
若如=2,則2s2=2(4+%)=3%—2,即%=4,
當〃之3時,2sl=nan_x-2,
%二%
兩式相減得,2s〃-2S〃T=2%=(〃+1)%-加,整理得組=4+,即
nn-1nn-1
l,n=1
所以%=2".綜上所述,
2n,n>2
-,n=\
24
因為
(2)2=-------2
4A+i,n>2
2〃(2〃+2)
設數(shù)列也}的前〃項和為北,
〃=1時,T=\=1,
當n
當2時,T=b+b+b+1_1+1_1++1__L
nx23〃222334n〃+1
=llx113131
+,此時〃=1時適合上式,所以[=1一2(〃+1),
222n+142(?+1)
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一、單選題
1.(2023上廣東?高三執(zhí)信中學校聯(lián)考期中汜知等差數(shù)列{g}和也}的前n項和分別為S“,T“,若寸=有盲,
^^3?Cig
).
13262613
A.——B.—C.—D.—
1113711137
【答案】C
%+%”■卷,即可代入已知得出答案.
【分析】根據(jù)等差中項與等差數(shù)列前“項和得出
d+4+瓦3b6
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得:
%+%2a62,63〃_~Tn+2
4+4+々3032'T]疝色一3〃+4'
S,,1la,11+213a.13
貝
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