高考數(shù)學重難點專練：利用基本不等式求最值【八大題型】

重難點01利用基本不等式求最值【八大題型】

【新高考專用】

?題型梳理

【題型1直接法求最值】.......................................................................2

【題型2配湊法求最值】.......................................................................2

【題型3常數(shù)代換法求最值】...................................................................2

【題型4消元法求最值】.......................................................................3

【題型5構(gòu)造不等式法求最值】................................................................3

【題型6多次使用基本不等式求最值】...........................................................4

【題型7實際應用中的最值問題】..............................................................4

【題型8與其他知識交匯的最值問題】...........................................................6

?命題規(guī)律

基本不等式是高考熱點問題，是?？汲Ｐ碌膬?nèi)容，是高中數(shù)學中一個重要的知識點.題型通常為選擇題

或填空題，但它的應用范圍很廣，涉及到函數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、立體幾何、解析幾何、導數(shù)等內(nèi)容,

它在高考中常用于大小判斷、求最值、求最值范圍等.在高考中經(jīng)?？疾爝\用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的

最值，具有靈活多變、應用廣泛、技巧性強等特點.在復習中切忌生搬硬套，在應用時一定要緊扣“一正二

定三相等”這三個條件靈活運用.

?知識梳理

【知識點1利用基本不等式求最值的方法】

1.利用基本不等式求最值的幾種方法

(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值.

(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.

(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+y=fQ為常數(shù))，求?的最值”的問題，先將?轉(zhuǎn)化為

yxy

再用基本不等式求最值.

(4)消元法：當所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和

為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.

(5)構(gòu)造不等式法：構(gòu)建目標式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對和式或積式利

用基本不等式，構(gòu)造目標式的不等式求解.

【知識點2基本不等式的實際應用】

1.基本不等式的實際應用的解題策略

（1）根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

（2）解應用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.

（3）在應用基本不等式求函數(shù)的最值時，若等號取不到，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

?舉一反三

【題型1直接法求最值】

【例1】（2023上?北京?高一?？茧A段練習）已知a＞。，貝M+/1的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

【變式1-1】（2023?北京東城?統(tǒng)考一模）已知”＞0,則x—4+士的最小值為（）

X

A.12B.0C.1D.2A/2

【變式1-2]（2023上?山東?高一統(tǒng)考期中）函數(shù)y=（%＞0）的最小值為（）

A.1B.3C.5D.9

【變式1-3】（2023下?江西?高三校聯(lián)考階段練習）（3+2）（1+4/）的最小值為（）

A.9V3B.7+4V2C.8V3D.7+4>/3

【題型2配湊法求最值】

【例2】（2023?浙江?校聯(lián)考模擬預測）已知a＞1,貝b+々的最小值為（）

A.8B.9C.10D.11

【變式2-1]（2023上?吉林?高一校考階段練習）已知3,則丫=巖+2%的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

【變式2-2]（2023上?海南省直轄縣級單位?高三校聯(lián)考階段練習）設(shè)久＞2,則函數(shù)y=4x-1+s，的

最小值為（）

A.7B.8C.14D.15

【變式2-3]（2023上?遼寧?高一校聯(lián)考期中）若久＞0,y＞0且滿足x+y=孫，則三+三的最小值為（）

A.6+2V6B.4+6V2C.2+4V6D.6+4V2

【題型3常數(shù)代換法求最值】

【例3】（2。23上.內(nèi)蒙古通遼.高三?？茧A段練習）已知a＞。，b＞。，若焉=1，則2a+《的最小

值是（）

A.8B.9C.10D.11

【變式3-1］（2023?河南?校聯(lián)考模擬預測）已知正實數(shù)a,b,點M（l,4）在直線；+?=1上，則a+b的最小

值為（）

A.4B.6C.9D.12

【變式3-2］（2023上?重慶?高一統(tǒng)考期末）若正實數(shù)無，y滿足2久+8y-Ky=0,則喜的最大值為（）

A.-B.-C.-D.-

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【變式3-3］（2023?重慶?統(tǒng)考一模）已知a,b為非負實數(shù)，且2a+b=l,則至+號的最小值為（）

a+1b

A.1B.2C.3D.4

【題型4消元法求最值】

【例4】（2023上?江蘇?高一校聯(lián)考階段練習）已知正數(shù)尤，y滿足/-4=",貝卜+：的最小值為.

【變式4-1］（2023上?安徽池州?高一統(tǒng)考期中）已知x,y€R+,若2久+y+久y=7,貝卜+2y的最小值為

【變式4-2］（2023上?山東淄博?高一?？茧A段練習）已知正實數(shù)a,6,且2a+b+6=ab,貝Ua+2b的最小

值為.

【變式4-3］（2023?上海崇明?統(tǒng)考一模）已知正實數(shù)a,b,c,d滿足a?—仍+1=0,c2+d2=1,則當

（a—c）2+（b—d）2取得最小值時，ab=.

【題型5構(gòu)造不等式法求最值】

【例5】（2023下?河南?高三校聯(lián)考階段練習）已知2a+b=ab（a>0/>0）,下列說法正確的是（）

A.ab的最大值為8

B.+3的最小值為2

a-1b-2

C.a+b有最小值3+企

D.a2—2a+。2-4匕有最大值4

【變式5-1］（2022上.山東青島.高一青島二中?？计谥校┮阎獰o>0,y>0,且x+y+Ky-3=0；則下

列結(jié)論正確的是（）

A.孫的最小值是1B.x+y的最小值是2

C.x+4y的最小值是8D.久+2y的最大值是4世一3

【變式5-2］（2023上?江蘇?高一專題練習）下列說法正確的是（）

A.若x>2,則函數(shù)y=x+二的最小值為3

B.若x>0,y>0,|+^=5,貝U5x+4y的最小值為5

C.若%>0,y>0,%+y+xy=3,則孫的最小值為1

D.若久>1,y>0,x+y=2,則--+馬的最小值為3+2/

【變式5-3）（2023上?廣東中山?高三?？茧A段練習）設(shè)正實數(shù)居y滿足x+2y=3,則下列說法錯誤的是（）

A.?+：的最小值為4B.xy的最大值為（

C.?+屑的最大值為2D.久2+4必的最小值為

【題型6多次使用基本不等式求最值】

【例6】（2023?河南?校聯(lián)考模擬預測）己知正實數(shù)a,b,滿足a++G則a+6的最小值為（）

2ab

A.5B.-C.5A/2D.—

22

【變式6-1］（2023?山東荷澤?統(tǒng)考一模）設(shè)實數(shù)須y滿足％+y=l,y>0,%w0,則由+等的最小值為

（）

A.2V2-1B.2V2+1C.V2-1D.V2+1

【變式6-2］（2023?河北衡水?衡水市第二中學?？寄M預測）已知實數(shù)x,y,z>0,滿足盯+（=2,則當｝

取得最小值時，y+z的值為（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

【變式6-3］（2023上?遼寧大連?高一期末）若a>0,b>0,a+b=l,則老筆+三—《的最大值為（）

a+2bb+1b

A.V2B.2-V2C.3-V2D.3-2V2

【題型7實際應用中的最值問題】

【例7】（2023上?四川眉山?高一校聯(lián)考期中）如圖，高新區(qū)某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的

主體造型平面圖是由兩個相同的矩形4BCD和EFGH構(gòu)成的面積為400m2的十字形地域.計劃在正方形MNPQ

上建一座花壇，造價為8400元/n?；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為420元/n?；

再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為160元/n?.設(shè)總造價為y（單位：元），AO長為x（單

位：m）.

(1)用尤表示AM的長度，并求尤的取值范圍；

(2)當尤為何值時，y最??？并求出這個最小值.

【變式7-1](2023上?山東?高一校聯(lián)考期中)某校地勢較低，一遇到雨水天氣校園內(nèi)會有大量積水，不但

不方便師生出行，還存在嚴重安全問題.為此學校決定利用原水池改建一個深3米，底面面積16平方米的長

方體蓄水池.不但能解決積水問題，同時還可以利用蓄水灌溉學校植被.改建及蓄水池蓋兒固定費用800元，

由招標公司承擔.現(xiàn)對水池內(nèi)部地面及四周墻面鋪設(shè)公開招標.甲工程隊給出的報價如下：四周墻面每平方米

150元，地面每平方米400元.設(shè)泳池寬為x米.(2WxW6)

(1)當寬為多少時，甲工程隊報價最低，并求出最低報價.

(2)現(xiàn)有乙工程隊也要參與競標，其給出的整體報價為90°，*+2)元0>0)(整體報價中含固定費用).若無論

寬為多少米，乙工程隊都能競標成功，試求a的取值范圍.

【變式7-2](2023上?江蘇蘇州?高一?？茧A段練習)因新冠疫情零星散發(fā)，某實驗中學為了保障師生安全,

同時考慮到節(jié)省費用，擬借助校門口一側(cè)原有墻體建造一間高為4米、底面積為24平方米、背面靠墻體的

長方體形狀的隔離室.隔離室的正面需開一扇安全門，此門高為2米，且此門高為此門底的因此室的后

背面靠墻，故無需建墻費用，但需粉飾.現(xiàn)學校面向社會公開招標，甲工程隊給出的報價：正面為每平方

米360元，左右兩側(cè)面為每平方米300元，已有墻體粉飾為每平方米100元，屋頂和地面以及安全門報價

共計12000元.設(shè)隔離室的左右兩側(cè)面的底邊長度均為久米(1<%<5).

(1)記y為甲工程隊整體報價，求y關(guān)于x的關(guān)系式；

(2)現(xiàn)有乙工程隊也要參與此隔離室建造的競標，其給出的整體報價為48°°廣1)元,問是否存在實數(shù)3使得

無論左右兩側(cè)底邊長為多少，乙工程隊都能競標成功(注：整體報價小者競標成功)，若存在，求出t滿足

的條件；若不存在，請說明理由.

【變式7-3](2023上?重慶?高一?？茧A段練習)為宜傳2023年杭州亞運會，某公益廣告公司擬在一張面積

為36000cm2的矩形海報紙(記為矩形4BCD,如圖)上設(shè)計四個等高的宣傳欄(欄面分別為兩個等腰三角

形和兩個全等的直角三角形)，為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm,設(shè)

DC=xcm.

(1)將四個宣傳欄的總面積y表示為x的表達式，并寫出尤的范圍；

(2)為充分利用海報紙空間，應如何選擇海報紙的尺寸(4。和CD分別為多少時)，可使用宣傳欄總面積最大?

并求出此時宣傳欄的最大面積.

【題型8與其他知識交匯的最值問題】

【例81(2023上?安徽?高三校聯(lián)考階段練習)記44BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足c+6cos24=

2acosAcosB(A<B).

⑴求4

(2)若角4的平分線交BC于。點，且4。=1,求AABC面積的最小值.

【變式8-1](2023上?安徽銅陵?高二校聯(lián)考期中)已知圓C的圓心在坐標原點，面積為9n.

(1)求圓C的方程；

(2)若直線1,1都經(jīng)過點(0,2),且11廠，直線/交圓C于M,N兩點，直線1交圓C于P,Q兩點，求四邊形PMQN

面積的最大值.

【變式8-2](2023上?江蘇鹽城?高一?？茧A段練習)已知在定義域內(nèi)單調(diào)的函數(shù)f(%)滿足/(/(%)++-

In%)=|恒成立.

(1)設(shè)/(%)+)二一111%=匕求實數(shù)k的值；

(2)解不等式/(7+2%)>一言+In(-ex)；

(3)設(shè)g(%)=/(%)-In%,若g(%)27ng(2%)對于任意的％E[1,2]恒成立，求實數(shù)租的取值范圍.

【變式8-3](2023下?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習)如圖，在長方體/8。。-/1/前。1中，點。是

長方形//lGDi內(nèi)一點，乙4PC是二面角/一PDi-C的平面角.

（1）證明：點P在41cl上；

（2）若AB=BC,求直線P4與平面PCD所成角的正弦的最大值.

?直擊真題

1.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）若羽y滿足％2+y2一町=i,則（）

A.%+y<1B.x+y>—2

C.x2+y2<2D.x2+y2>1

2.