等式與不等式（解析版）-2025年天津高考數學一輪復習

第02講等式與不等式

（6類核心考點精講精練）

1%.考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

2019年天津卷，第10題,5分解不含參數的一元一次不等式

2017年天津卷，第2題,5分必要條件的判定及性質解不含參數的一元一次不等式

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度為低難度與中檔難度，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握不等式的性質，能夠運用不等式的性質進行比較大小

2.能掌握一元二次不等式的性質

3.掌握一元二次不等式根與系數的關系

4.會解一元二次不等式、能夠解決一元二不等式的恒成立與存在成立等問題

【命題預測】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，一般考查不等式的性質，一元二次不等式的性質等。

卜飛?考點梳理?

1.兩個實數比較大小的方法考點一、等式與不等式的性質

「知識點一.等式與不等式的性質Y2.等式的性質《考點二、比較大小

3.不等式的性質考點三、最值與取值范圍問題

等式與不等式r

1一.元二次不等式的概念「

2.二次函數與一元二次方程的根、一元二次不考點四、一元二次不等式

1知識點二.一元二次不等式《等式的解集的對應關系Y考點五、一元二次方程跟的分布

3.一元二次不等式的解法考點六、一元二次不等式恒成立

4.三個“二次”間的關系1

知識講解

知識點一.等式與不等式的性質：

1.兩個實數比較大小的方法

(1)作差法

a-b>0Qd>b,

a-b=0=a-b,

a-b〈0=a<b.

(2)作商法

E>l(a￡R,b>0)oa>b(a￡R,b>0),

￡=l(a,bH0)=a=b(a,bW0),

三<l(ae/?,b>0)<=>a<b{aER,b>0),

2.等式的性質

⑴對稱性:若a=b,則心a.

(2)傳遞性:若a=b,b=c,則a=c.

⑶可加性：若。二力，貝！Ja+c=b+c.

(4)可乘性:若a=b,則ac=be;若a=b,c=d,則ac二bd

3.不等式的性質

⑴對稱性：cOb=b<a;

(2)傳遞性：a>b,b>c=a>c;

⑶可加性a>b=>a+c>b+c;a>b,c〉d=a+c>b+d

(4)可乘性：a〉b,c>0?ac>bc;a>b,c<0<=>ac<cb;a>b>0,c〉d>0"acybd;

(5)可乘方：a>b>0<=>an>bn(nGN,n>l);

(6)可開方a>b>0oyja>VF(nGN,n>2).

知識點二.一元二次不等式

1.一元二次不等式的概念

只含有一個未知數,并且未知數的最高次數是工的不等式，叫做一元二次不

定義

等式

ax+bx+c>0,axbx+c<.Q,af+6x+c20,其中〃W0,

一般形式

a,b,c均為常數

2.二次函數與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應關系

判別式A=l）—^acA>0zl=0A<Q

心

二次函數y=ax+bx

+c（a〉0）的圖象1LV

有兩個相等的實數

一元二次方程ax+有兩個不相等的實

沒有實數根

根不=*=—5

bx+c=0（a>0）的根數根Xi,X2（X1<X2）

ax+bx~\-c>0(乃>0)b

>

{xX〈矛1,或X>E}x豐FR

的解集

ax+bx~\-c<0(a>0)

{xXl〈水用}00

的解集

3.一元二次不等式的解法

1.將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項系數大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a

>0).

2.求出相應的一元二次方程的根.

3.利用二次函數的圖象與x軸的交點確定一元二次不等式的解集.

方程的根一函數草圖一觀察得解，對于a<0的情況可以化為a>0的情況解決

注：對于二次型一元二次不等式應首先考慮二次項系數的情況，當二次項系數為0時，按照一次不等式來

解決，對于二次項系數為負數的情況一般將二次項系數變?yōu)檎龜抵笤俳狻?/p>

注：對于含參一元二次不等式內容首先考慮能不能因式分解，然后就二次方程根進行分類討論，同時注意

判別式韋達定理的應用。

4.三個“二次”間的關系

判別式A=b2—4acA>0A=0A<0

二次函數y=ax2+bx

+c(a>0)的圖象4^

有兩相等實根X1=X2

一元二次方程ax2+bx有兩相異實根Xi,

___L沒有實數根

+c=0(a>0)的根X2(X1<X)

22a

2

ax+bx+c>0(a>0){xX>X2

R

的解集或xVxJ

ax2+bx+c<0(a>0)

{xXiVxVxz}00

的解集

考點一、等式與不等式的性質

典例引領

1.(2024?遼寧?模擬預測)若a>b,則下列說法正確的是()

A.a2>b2B.lg(a—h)>0C.a5>b5D.|a3|>|b3|

【答案】C

【分析】利用特殊值判斷A、B、D,根據幕函數的性質判斷C.

【詳解】對于A：當a=0、b=—1,滿足a>b,但是a2Vb2,故A錯誤；

對于B：當a=0、b=—1,滿足a>b,但是lg（a—b）=Igl=0,故B錯誤；

對于C：因為y=%，在定義域R上單調遞增，若。>b,則a，>〃，故C正確

對于D：當a=1、b=—1,滿足a>b,但是=g3|,故D錯誤.

故選:C

2.（2024,山東濱州?二模）下列命題中，真命題的是（）

A.若a>b,則ac>beB.若a>b,則標>b2

C.若。。2之力。2,則Q之力D.若Q+2b=2,則2a+4°24

【答案】D

【分析】由不等式的性質可判斷A,B,C,利用基本不等式。+5之2而，當且僅當a=b時等號成立，即可

判斷D.

【詳解】對于A,由a>b,c=0可得ac=be,故A錯誤；

對于B,由a>0,h<0,\a\<\b\,可得a2Vb2,故B錯誤；

對于C,若ac2Nbc2,且當。=0時，可得Q,b為任意值，故C錯誤；

對于D,因為2a+d=2。+22b2272a?例=2,2a+2匕=4,當且僅當a=2b=1時，等號成立，

即2a+4&>4,故D正確.

故選：D.

即時啰!）

1.（22-23高三上?甘肅定西?階段練習）已知a〉b>0,c<0,則下列正確的是（）

A.ac>beB.ac>bcC.芻>三D.ab—be>0

c2c2

【答案】D

【分析】對于ACD,利用作差法判斷，對于B,利用幕函數的性質比較.

【詳解】對于A,因為a>b>0,cV0,所以ac-be=（a-b）cV0,所以ac<bc,所以A錯誤；

對于B,因為y=V0）在（0,+8）上遞減，且a>b>0,所以a。V所以B錯誤；

對于C,因為a〉b>0,c<0,所以名一號=哼<0,所以與（芻所以C錯誤；

C乙czc乙czcz

對于D,因為a>b>0,c〈0,所以ab-bc=b（a-c）>0,所以D正確.

故選：D

2.（2024?安徽淮北?二模）已知見beR,下列命題正確的是（）

A.若ab=1,則a+b>2

B.若工<士則a>b

ab

C.若a>b,則ln（a—h）>0

D.若a>b>0,則H—>bH—

Qba

【答案】D

【分析】舉反例即可推出A,B,C錯誤，D利用反比例函數單調性和不等式可加性即可證得.

【詳解】當。二-1"二一1時，a+b=—2,所以A錯.

當aVO,b>0時，a<b,所以B錯.

當Q=2,b=l時，ln（a—6）=0,所以C錯.

若a>6>0,貝壯〉工>0,則a+工>6+工成立，所以D正確.

baba

故選：D

3.（2024?天津?一模）已知a”eR,則“b>|a|"是“a?<爐”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.

【詳解】因為a,beR,當b>|a|時，有6>|a|20,則a?<成立，即充分性成立：

當｛/二二時，。2<（一1）2,即。2<爐成立，而—即6>|a|不成立，進而必要性不成立.

所以a,6eR,"b>|a|"是ua2<b2n的充分不必要條件.

故選：A.

4.（2023?山西臨汾?模擬預測）若a,beR,則“a<6”是“。3—a2b<。”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】

利用不等式的性質，結合充分必要條件的定義即可得解.

【詳解】當a<b時，取a=0,則a3—a2b=0,即充分性不成立；

當—口26<0時，有a2（a—6）<0,則aKO,故a2>0,

所以a-b<0,即a<b,即必要性成立；

綜上，"a<"'是"a3-a2b<0"的必要不充分條件.

故選：B.

考點二、比較大小

典朋風

1.（22-23高三上?天津河東?期中）若a=巴2b=In21n3,c=見012,則a,b,c的大小關系是（）

44

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>b］）.b>a>c

【答案】C

【分析】根據a>b=a-b>0,因此要比較a,b的大小，作差，通分，利用對數的運算性質，即可求得a,

b的大??；利用對數函數y=lnx的單調性，可知In2n>ln6>0,然后利用不等式的可乘性，即可得出a,c

的大小.

【詳解】解：a—6=蛇—In21n3=3g乂蟲=些應>0,：.a>b,

444

而ln(2n)>ln6>0,即c>a,

44

因此c>a>b.

故選：C.

2.(2024?四川成都-模擬預測)已知a,5為實數，則使得“a>b>0”成立的一個必要不充分條件為

()

A.i>|B.ln(a+l)>ln(h+1)

C.a3>b3>0D.Va—1>Vb—1

【答案】B

【分析】利用不等式的性質、結合對數函數、塞函數單調性，充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【詳解】對于A,工>《，不能推出a>b>0,如工〉反之a>b>0,則有工<

ab-3-2ab

即工是a>b>0的既不充分也不必要條件，A錯誤；

ab

對于B,由ln(a+1)>ln(/?+1),得a+l>h+l>0,即a>b>—1,

不能推出a>b>0,反之a>h>0,則。>b>—1,

因此ln(a+1)>ln(6+1)是a>b>0的必要不充分條件，B正確；

對于C,a3>b3>0a>b>0,a3>b3>。是a>b>0的充分必要條件，C錯誤；

對于D,由—1>得a>b之1>0,反之a>b>0不能推出a>b>1,

因此>VF］彳是a>b>0的充分不必要條件，D錯誤.

故選：B.

??即時啊

1.(22-23高三上?天津河西?期末)若a,b,ceR,a>b,則下列不等式成立的是()

A.—<—B.a?<b?C.——>——D.a|c|>b\c\

abc2+lc2+l1111

【答案】c

【分析】舉反例排除ABD,利用不等式的性質判斷C即可得解.

【詳解】對于A,取a=l,b=—1,滿足a>b,但%>；，故A錯誤；

對于B,取a=l,b=-l,滿足a>b,但小=墳，故B錯誤；

對于D,取c=0,則a|c|=b|c|,故D錯誤；

對于C,因為/+1>1>0,則？—>0,

又a>b,所以白>；,故C正確.

c2+lc2+l

故選：C.

2.(2023-天津-一模)設a>0,b>0,則“a>b"是△<北的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】利用作差法結合得出工<；的等價條件，即可得出結論.

ab

【詳解】因為Q>0,b>0,由工<工可得工一工=火二>0,則a—6>0,即a>b,

abbaab

因此，若a>0,b>0,貝「'a>b"是‘口<J”的充要條件.

故選：C.

3.(23-24高三上?天津和平?開學考試)已知a是實數，則“a>1”是“a+工>2”的().

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】判斷“a>1”和“a+工>2”之間的邏輯推理關系，即得答案.

a

【詳解】當a>l時，a+工一2=%理="比>0,

aaa

故a+二>2,即a>1成立，則a+2>2成立；

aa

當。=工時，。+工=工+2>2,但推不出a>1成立，

2a2

故"a>r是"a+工>2”的充分不必要條件，

a

故選：A

4.(2024?北京西城?一模)設。=t—=t+}c=t(2+t),其中—1<t<0,貝！I()

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】c

【分析】借助正負性、對勾函數的性質及二次函數的性質判斷即可得.

【詳解】由一l<t<0,故：6(-8,-1),故a=t>0,

由對勾函數性質可得b=t+|<-(1+1)=-2,

c—t(2+t)<0,且c—t,(2+t)=產+2t=(t+1)2—1>—1,

綜上所述，有b<c<a.

故選：C.

考點三、最值與取值范圍問題

典例引領

1.（2024高三?全國?專題練習）已知12<a<60,15<b<36,則a-b的取值范圍是,藍的取

值范圍是.

【答案】（-24,45）Q,4）

【分析】根據不等式的性質即可求解.

【詳解】因為15<b<36,所以一36<-b<-15.

又12<a<60,

所以12-36<a-/?<60-15,

所以一24<a-b<45,

即a-b的取值范圍是（一24,45）.

、匕匚[、]]

因為i一1V-1V1一所以一2<-CLV—60,

36b1536b15

即二<巴<4,

3b

所以?的取值范圍是C，4）

答案：（—24,45）,?,4）

2.（2024?全國?模擬預測）已知實數x,y滿足—l<x<y<l,貝b+y的取值范圍是.

【答案】（—2,2）

【分析】根據不等式的性質即可求解.

【詳解】由一1cx<y<1可得一1<x<1,-1<y<1,所以-2<x+y<2,

故答案為:（-2,2）

即時檢測

1.（2024高三?全國?專題練習）若實數x,y滿足lWxy2W4,3（x2y<5,則xy5的取值范圍是.

【答案】。y]

【詳解】

111-L164

因為（xy2）3￡[l,64],—F可，所以xy5=（xy2）3?丹￡[V,?].

x2y5

2.（2024?河北石家莊?二模）若實數x,y,z20,且x+y+z=4,2%-y+z=5,則”=4%+3丫+52的

取值范圍是.

【答案】[15,19]

【分析】先得到x=3-拳y=l—耳并根據”,z20得到0WzW3,從而求出M=半+15e[15,19].

【詳解】因為久+y=4-z,2x-y=5-z,故x=3-拳y=l-$

P-T-0,

由尤,y,z>。得J-[_￡>（）,解得0<z<3,

Iz>0

故M=4x+3y+5z=4（3—日）+3（1—§+5z=￡+15e[15,19].

故答案為：[15,19]

3.（23-24高三下?重慶渝北?階段練習）已知三個實數a、b、c,其中c>0,bW2a+3c且6c=a?,則*

b

的最大值為.

【答案】I

【分析】依題意可得《W2a+3c,進而得a2—2ac-3c2wo,即可求出￡的范圍，于是字=竺孝=￡一

cabaza

2（￡f,令（=t,f?=t-2t2,利用二次函數的單調性即可求解最值.

【詳解】當c>0時滿足b42a+3c且尻=層，

/.—<2a+3c,即小-2ac-3c2工0,進而仁丫一2x2一340,解得一14且<3.

C\C/CC

所以:N[或?4-1,

令：=t,tGt，+8）U（—00—1],

2

令/（t）=-2土2+1=-2（t+'te[^+°°）u（-°°-1]>

所以f（t）在（-8,-1]上單調遞增，在L+8）上單調遞減，

又/（卻，f（T）=_3,所以

即三名的最大值為"

b9

故答案為：a

4.（2024?浙江?模擬預測）已知正數a,b,c滿足a?+c?=16,b2+c2=25,則k-a2+b?的取值范圍

為_____

【答案】9<fc<41

【分析】

根據不等式的性質即可求解.

【詳解】

22

;正數a、b、c滿足a2+c2=16,b+c=25,

c2=16—a2,a2>0所以0<c?<16

同理：有c2=25-爐得到o<C2<25,所以0<c2<16

兩式相加：a2+b2+2c2=41

即a?+Z）2=41—2c2

又-16<-c?<0,即一32<—2c之<0

???9<41-2c2<41

即9<k<41.

故答案為：9<fc<41

5.（2024?廣東?三模）設實數x、y、z、t滿足不等式1<x<y<z<t<100,則三+乙的最小值為.

yt-------

【答案】|/0.2

【分析】令x=1，t=100,根據分母最大分子最小時分式的值最小可得工2工+烹，結合基本不等式

yty100

和221計算即可.

y

【詳解】因為1<x<y<z<t<100,所以三>1,

y

所以三+三之工+三22昆=工，

yty100JlOOy71005

當且僅當工=之即yz=100時等號成立，

y100,

即三+2的最小值為！

yt5

故答案為：

考點四、一元二次不等式

典例引領

1.（2024?上海?高考真題）己知xGR,則不等式/-2x-3<0的解集為.

【答案】{x|-l<x<3}

【分析】求出方程/—2%一3=0的解后可求不等式的解集.

【詳解】方程/-2x-3=0的解為x=-1或x=3,

故不等式/—2%-3<。的解集為{x|-1<久<3},

故答案為：{x|-l<x<3}.

2.（23-24高三上?河北石家莊?階段練習）不等式黑<0的解集是（）

A.^x|—|<x<jjB.{比|―|<無<|}

C.{x[x<-|或x〉|}D.{x|x<—|或%>1}

【答案】B

【分析】化分式不等式為一元二次不等式求解即得.

【詳解】不等式言<0化為：（2x+3）（3x-2）<0,解得一|<%<|,

所以不等式含<。的解集是|“

故選：B

即時

1.(23-24高三下?陜西安康?階段練習)在區(qū)間[0,5]內隨機取一個實數a,則關于x的不等式/+

(2-a)%-2a<0僅有2個整數解的概率為()

A.-2B.2—C.1與.1—

510510

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式解得X6(-2,a),可得區(qū)間(-2,a)內僅包含-1,0兩個整數，再利用幾何概型

概率公式可得結果.

【詳解】根據題意可得不等式/+(2-a)x-2a<0等價于(x+2)(x-a)<0；

因為ae[0,5],所以不等式的解集為(—2,a)；

依題意可得區(qū)間(-2,a)內僅有兩個整數，即包含-1,0兩個整數，可得0<aWl；

由幾何概型概率公式可得其概率為P=二=±

5—U5

故選：C

2.(2024高三?全國?專題練習)已知a,匕€R且abH0,若(％—a)(%-b)(%-2a—b)20在％20上恒

成立，則()

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0

【答案】C

【分析】對?！钡姆柗终搩煞N情況討論，結合穿根法及三次函數的性質分析即可得到答案.

【詳解】由abH0得aW0,bW0,/(%)=(x—a)(%—b)(x—2a-6)=0=>=a,x2=b,x3=2a+b

①若a>0,b>0,貝!J2a+b>0,且2a+b>a,2a+b>b,

根據穿根法可知》G(a,2a+b)或％e(h2a+b)時不符合題意，舍去；

②若a>0,5VO,要滿足題意則a=2a+b>bna+b=0,符合題意，如圖所示；

③當a<0,b>0時，同理要滿足題意需2a+b=b>a=a=0,與前提矛盾；

④當a<0,b<0,此時2a+b<0,則/(%)=(%-a)(%-b)(%-2a-b)的三個零點都是負數，由穿根法

可知符合題意；

綜上可知滿足(％-a)(%-h)(x-2a-b')>。在％>0恒成立時，只有b<0滿足題意.

故選：C.

3.(23-24高三下?上海?階段練習)設。>0,若關于x的不等式/一。工<0的解集是區(qū)間(0,1)的真子集，

則a的取值范圍是.

【答案】(0,1)

【分析】

解一元二次不等式結合真子集的概念即可得解.

【詳解】

因為a>0,所以/-ax<0^0<x<a,

又不等式/-ax<0的解集是區(qū)間(0,1)的真子集，則ae(0,1).

故答案為：(0,1).

4.(2023?全國?模擬預測)定義：若集合4B滿足4CBK0,存在a€4且aCB,且存在%eB且6W4

則稱集合4B為嵌套集合.已知集合4={x|2x—%2<0且xeR+},B={x\x2—(3a+l)x+2a2+2a<0},

若集合4B為嵌套集合，則實數a的取值范圍為()

A.(2,3)B.(-oo,1)C.(1,3)D.(1,2)

【答案】A

【分析】作出函數丫=//=2工的圖象，結合函數圖象即可求出集合4,分類討論求出集合B,再根據嵌套

集合的定義即可得解.

【詳解】因為2CB芋0,所有力彳0,870,

由得2工</,

如圖，作出函數y==2》的圖象，

由圖可知,不等式2*-產竟0(刀>0)的解集為[2,4],

所以4={%|2X一/<o且％eR+}=[2,4],

由/—(3a+l)x+2a2+2a<0,得(x—2a)[x—(a+1)]<0,

當2a=a+L即a=l時，則B=0,不符題意；

當2a>a+1,即a>1時，則B=(a+1,2a),

由a>1,得a+1>2,

a>1

根據嵌套集合得定義可得a+l<4,解得2<a<3；

<2a>4

當2aVa+l,即aV1時，則B=（2a,a+1）,

由a<1,得2a<2,

a<1

根據嵌套集合得定義可得a+K4,無解，

a+1>2

綜上所述，實數a的取值范圍為（2,3）.

故選：A.

考點五、一元二次方程跟的分布

典例引領

1.（23-24高三上?四川?階段練習）若關于久的方程/一2a久+a+2=0在區(qū)間（一2,1）上有兩個不相等的

實數解，貝b的取值范圍是（）

A（-g,T）B.（一川

C.（一8,一§U（-1,+00）D.（-8,一§U（1,+00）

【答案】A

【分析】

/A>0

令g(x)="—2ax+a+2,依題意可得IJ,解得即可.

I9(1)>0

【詳解】

令g(x)=x2-2ax+a+2,因為方程/一2ax+a+2=0在區(qū)間(一2,1)上有兩個不相等的實數解,

(△>。fA=4a2-4(a+2)>0

所以上即1.12<(1<^n，解得一?<a<-l，

g^-2)>04+4a+a+2>05

Ig⑴>0Il-2a+a+2>0

所以a的取值范圍是1).

故選：A.

2.（21-22高三上?江蘇南通?期中）已知關于x的不等式a/+2bx+4<0的解集為其中m<0,

則9+2的最小值為（）

4ab

A.-2B.1C.2D.8

【答案】C

【分析】由不等式的解集結合基本不等式得到a=1,622,從而利用基本不等式求出二+：的最小值.

4ab

【詳解】由題意可知，方程a/+2bx+4=0的兩個根為m,—,則m±=士，解得：a=1,故m+—=-2b,

mmam

m<0,

所以2b=-mN2=4,當且僅當一血=一，即m=-2時取等號，則b22,

所以?+：=?+：22n=2,當且僅當?=!即b=4時取等號，

4ab4b74b4b

故二+:的最小值為2.

4ab

故選：C.

即時檢測

1.（2024高三?全國?專題練習）關于％的方程a/+（a+2）x+9a=。有兩個不相等的實數根%第2,且%1<

1<%2,那么a的取值范圍是（）

222

A.—Va<—B.a>—

755

C.a<—2D.--2-<a<0

711

【答案】D

【分析】說明a=0時，不合題意，從而將a/+（a+2）%+9a=0化為%2+（1+：）%+9=0,令y=/+

（1+￡）%+9,結合其與x軸有兩個交點，且分布在1的兩側，可列不等式即可求得答案.

【詳解】當a=0時，a/+（0+2）%+9a=0即為2%=0,不符合題意；

故aW0,ax*12*7+（a+2）x+9a=0即為％2+（i+：）%+9=。，

令y=/+（1+：）%+9,

由于關于％的方程a/+（a+2）x+9a=0有兩個不相等的實數根無力外，且%i<1<%2，

則y=ax2+（a+2）x+9a與x軸有兩個交點，且分布在1的兩側，

故％=1時，y<0,即1+（1+，XI+9V0,解得2V—11,故一2<。<0,

故選：D

2.（2023?北京海淀-模擬預測）已知關于x的不等式％2+ax+b>0（a>0）的解集是{用工Hd},,則下列

四個結論中錯誤的是（）

A.a2=4b

r1

B.a?H—24

b

C.若關于x的不等式%2+一b<0的解集為（%「%2）,則%i%2>0

D.若關于x的不等式%2+0%+匕<c的解集為（汽1，%2），且I%1—I2l=4,貝Uc=4

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式的解法與一元二次方程之間的關系以及韋達定理，基本不等式進行求解即可.

2

【詳解】由題意△=十一4匕=0,a=4bf所以A正確；

對于B:Q24-1=a2+^->2JQ2.京=4,當且僅當小=/即。=應時成立，

所以B正確；

對于C,由韋達定理，可知%1血=一力=一？V0，所以C錯誤；

4

n2

對于D,由韋達定理，可知%1+%2=-。，X1X2=^—C=——C,

2

則|%i—x2\=+犯尸—4%I%2=Ja-4G—c)=2y[c=4,解得c=4,

所以D正確，

故選：C.

3.(21-22高三上-上海浦東新-階段練習)如果二次方程/-px-q=0(p,qGN*)的正根小于3,那么這

樣的二次方程有一個.

【答案】7

【分析】令/(%)=/一p%一qQ,q￡N*),則由題意可得很祟；：，再結合p,q€N*可求出結果.

【詳解】設/(%)=x2-px-q(p,qGN*),

因為/(0)=-Q<0,/(3)=9-3p-q>0，

所以3p+qV9,又p,q€N*,

當p=l時，q=1,234,5,當p=2時，q=1,2.

所以共7種可能.

故答案為：7

考點六、一元二次不等式恒成立

典例引領

1.(2024高三?全國?專題練習)若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對一切xeR恒成立，則實數a的

取值范圍是()

A.(-oo,2]B.[-2,2]

C.(—2,2]D.(—oo,-2)

【答案】C

【分析】對二次項系數進行分類討論可得a=2符合題意，當a大2時利用判別式可求得結果.

【詳解】當a—2=0,即a=2時，不等式為—4<0對一切x6R恒成立.

當“2時，需滿足｛A=4(a-，)M；6；a.2)<0，

即HWo,解得一2<"2.

綜上可知，實數a的取值范圍是(-2,2］.

故選：C

2.(2024?陜西西安?模擬預測)當1W比W2時，不等式/—ax+lW0恒成立，則實數a的取值范圍

是.

【答案】［|,+8).

【分析】根據題意分離參數進而構造函數求定區(qū)間的最值即可.

【詳解】當1<久42時，不等式%2一+140恒成立，

所以當14%m2時，。之匚^1=%+三恒成立，則。2(％+工),

令g(%)=%+|,則g(%)在［1,2］單調遞增，

所以g(%)max=9(2)=2+［=|,所以QN|.

故答案為：亭+8).

1.(2024高三?全國?專題練習)已知力>0,若對任意的XG(0,+oo),不等式4a%3,|_8/——2b<0

恒成立，則小+2a+4b+ab的最小值為.

【答案】16-8V2

【分析】先把原不等式分解為二次不等式，分類討論后運用整體代換和基本不等式即可.

【詳解】原不等式4a/+8/_abx-2b<0?(4%2—h)(ax+2)<0,

22

由b>0,知OVxV.時,4x—b<0,上>［時,4x—b>Of

故由原不等式知。<%<苧時a%+2>0,x>乎時a%+2<0,

由恒成立知a<0且Qx曰+2=0,即。=高

故所求式M+2a+4b+ab=(工+4b)—得+47。

設力=赤+則tZ2Xyj~b=2^2,

22

則所求式=4(t-t-4)=4［(t-0-遞增，

故最小值在力=2班時取得：4X(8-2V2-4)=16-8位.

故答案為：16-8V2.

2.(22-23高三上?河北衡水?階段練習)已知對任意實數第>0,不等式(2/-ax-10)ln->0恒成立，

a

則實數a的值為.

【答案】VTo

【分析】對In'正負分情況討論，得出x=a是其唯一零點.不等式(2久2-ax-10)ln->0對任意的久>0恒

aa

成立.得到％=Q也是2/—Q%—10=0的根,求解即可.

【詳解】由題知，顯然Q>0,當汽>a時In2>0；當％=a時In'=0；當0<x<a時In土<0；

aaa

因為不等式(In%—lna)(2%2—ax—10)>0對任意的％>0恒成立.

當汽>a時，2/—ax—10>0；當0<x<a時，2/—ax—10<0.

結合二次函數性質，x=。是方程2/-ax-10=0的根，即2a2-a2-10=0,

因為Q>0,所以a=

故答案為：V10.

3.(2024?陜西榆林?三模)已知aE(0,2兀)，若當工€[0,1]時，關于％的不等式($111a+。05/+1)%2—

(2sina+1)%+sina>0恒成立，則a的取值范圍為()

A-(■)B.信心C.(,9D,信心

【答案】A

【分析】令/'(x)=(sina+cosa+1)/—(2sina+1)比+sina,易得/(”)的對稱軸為％=三sin/a+高-6

/(0)>0

/(1)>0

(0,1),則〈/,進而可得出答案.

sina+|'

>0

sina+cosa+l

【詳解】令以x)=(sina+cosa+l)x2—(2sinct+l)x+sincr,

-/(0)>0

由題意可得?則囂武

./(I)>0'

又因為a€(0,2兀)，所以a6(°，萬)，

.,1

sma+-

函數/(%)的對稱軸為％=2e(0,1),

sina+cosa+l

sina>0

cosa>0

/.1\21

{(sincr+cosa+1)/\-si-n-s-ai-+n-a-c-+o-s--a..+..l\./—(2sina+1)--si-n-sa-i-+n-ac--+o-s--a-+--l--1-sina>0

'sina>0

即cosa>0,

、(2sina+l)2—4sina(sina+cosa+1)<0

sina>0

cosa>0,結合&解得三<a<—.

?c\1e\2z1212

(sin2a>-

故選：A.

4.(2024?湖北?二模)已知等差數列｛時｝的前n項和為%,且％=n2+m,neN*,若對于任意的ae[0,1],

不等式也<x2—(1+a)x—2a2—a+2恒成立，則實數x可能為()

n

A.-2B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】由上與時的關系且?。秊榈炔顢盗?，求出冊，由詈<2,得/一(1+。)％-2小一。+222,構造

函數g(a)=2a2+(1+x)a-x2+x,由g(a)<0在aG[0,1]時恒成立，求實數x的取值范圍.

【詳解】因為S九=濃+m，兀=1時，ar=Sr=1+m,

22

n>2時，an=Sn-Sn_1=n+m—[(n—I)+m]=2n—1,

以a1=1+TH,,a?=3,(Z3=5,

因為｛%J為等差數列，所以的=1，m=0,

從而a九=2n—1,—=2—V2,

〃nn

所以%之一(1+a)%—2a2—a+222,即一2a?一(1+-%之0,

則當0<a<1時，g(a)=2a2+(1+%)a—x2+x<0恒成立，

g(0)=-x2+%<0

解得久<一1或%>3,

.g⑴=2+l+x—x2+x<0

只有選項A符合題意,

故選：A

|時.好題沖關?

基礎過關

1.(2021?天津和平?一模)設aeR,則“2<a<3”是“(a+l)(a—6)<0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.