導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（選填題）-2020-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編（解析版）

4<03導(dǎo)敷女盛用（送蟆盤J

五年考情?探規(guī)律

考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢(shì)

2024全國甲卷I卷

考點(diǎn)1利用導(dǎo)2023II卷乙甲

2022甲卷I卷II卷乙卷

數(shù)求函數(shù)單調(diào)

2021甲卷I卷

性，極值最值2020I卷III卷

構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性

從而進(jìn)行比較大小，利用導(dǎo)數(shù)求函

數(shù)的極值點(diǎn)以及最值問題收高考

考點(diǎn)2構(gòu)造函2023甲卷

必考題型

數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求2022甲卷I卷II卷

單調(diào)性比較大2021乙卷II卷

小2020IIIIII卷

2021上海卷II卷

考點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)綜2022天津卷2023天津卷零點(diǎn)含參問題的討論是導(dǎo)數(shù)綜合

合應(yīng)用2021I卷北京卷題型的重難點(diǎn)

分考點(diǎn)?精準(zhǔn)練工

考點(diǎn)01利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，極值最值

一、單選題

1.（2024?全國?高考甲卷）設(shè)函數(shù)=則曲線y=在點(diǎn)（0,1）處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成

的三角形的面積為（）

【答案】A

【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得其在點(diǎn)(0,1)處的切線方程，即可得其與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得其

面積.

(e*+2cosx)(1+x*2)-(e"+2sinx^-2x

【詳解】1(司=

(e。+2cos0)(l+0)-(e°+2sin0)x0

則:(。)==3,

(1+0)2

即該切線方程為y—l=3x,即y=3x+l,

令x=0,貝ijy=l,令y=0,貝！=

故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積S=1xlx-：=3

236

故選：A.

2.(2023年全國新高考回卷)已知函數(shù)〃%)=斌-111天在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則。的最小值為().

2-12

A.eB.eC.eD.e-

【答案】C

【分析】根據(jù)((可=役，-520在(1,2)上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出.

【詳解】依題可知，:⑺=枇，—-20在(1,2)上恒成立，顯然4>0,所以xe'N：,

設(shè)g(x)=xe：xe(L2),所以g[x)=(x+l)e，>0,所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，

g(x)>g(l)=e,故即。Z」=eT,即。的最小值為

ae

故選：C.

3.(2023年全國高考乙卷數(shù)學(xué)(文)試題)函數(shù)/(%)=丁+分+2存在3個(gè)零點(diǎn)，貝心的取值范圍是()

A.(-oo,-2)B.(-co,-3)C,(-4,-1)D.(-3,0)

【答案】B

【分析】寫出尸(x)=31+a,并求出極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.

【詳解】f(x)=x3+ax+2,則尸(無)=3尤2+a,

若廣(X)要存在3個(gè)零點(diǎn)，則要存在極大值和極小值，則a<0,

令尸(尤)=3/+。=0,解得了=0或斤，

、

U舊M時(shí)，八元）＞0,

且當(dāng)尤e

，r（無）＜。，

故的極大值為了,極小值為

>0+2>0

若f（x）要存在3個(gè)零點(diǎn),則，，BP-，解得a＜-3,故選：B.

5+2<。

4.（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）曲線y=/在點(diǎn)［1,e

處的切線方程為（）

eeeee3e

A.y=-xB.y=-xC.y=—x+—D.y=—x+—

424424

【答案】C

【分析】先由切點(diǎn)設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，代入所設(shè)方

程即可求解.

營在點(diǎn)處的切線方程為=

【詳解】設(shè)曲線y=

x%X

因?yàn)閥=E,e(x+l)-eXQ

，所以y=——--

x+1X+l)2(X+1)2'

所以k=y'3=；所以丫一；=；"一1）所以曲線y=￡在點(diǎn)Le處的切線方程為yj喈.故選：c

424x+1I

h

5.（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）當(dāng)％=1時(shí)，函數(shù)/（%）=Qlnx+2取得最大值—2,則八2）=（

x

1

A.-1B.——c-ID.1

2

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可知/（1）=-2,尸（1）=0即可解得〃乃，再根據(jù)「（力即可解出.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)“X）定義域?yàn)椋?,+8）,所以依題可知，/（1）=-2,川）=0,而:（無），-與，所以

9?

b=-2,a-b=0,即a=-2,b=-2,所以廣（天卜-最+7，因此函數(shù)〃x）在（0,1）上遞增，在（1,+向上遞減,

x=l時(shí)取最大值，滿足題意，即有了'（2）=-l+g=-g.故選：B.

6.（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)〃W0,若兀=。為函數(shù)"%）=〃（％-op（%-4的極大值點(diǎn),

則()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【分析】先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否變號(hào)，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)"進(jìn)行分

類討論，畫出/(K)圖象，即可得到6所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】若。=6,則=為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故山b.

有x=a和尤=6兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在％左右附近是不變號(hào)，在x=6左右附近是變號(hào)的.依題意，

x=。為函數(shù)/(,v)=a(.v(x-h)的極大值點(diǎn)，，在x=。左右附近都是小于零的.

當(dāng).<0時(shí)，由人y(x)wo,畫出〃尤)的圖象如下圖所示：

由圖可知6<a,a<0,故ab〉".

當(dāng)a>0時(shí)，由時(shí)，/(x)>0,畫出的圖象如下圖所示:

由圖可知人。，上>0,故而".

綜上所述，次7>/成立.故選：D

7.(2021年全國新高考回卷)若過點(diǎn)(a,6)可以作曲線y=e、的兩條切線，則()

A.e.b<aB.ea<b

C.0<a<e*D.0<b<ea

【答案】D

【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定

結(jié)果；

解法二：畫出曲線>=，的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)(“力)在曲線下方和x軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.

【詳解】在曲線y=上任取一點(diǎn)尸對(duì)函數(shù)y=e*求導(dǎo)得y=e"

所以，曲線y=e，在點(diǎn)尸處的切線方程為y—e'=d(x-t),即y=e'x+(l—

由題意可知，點(diǎn)(4力)在直線y=e'x+(l—)e'上，可得b=ae'+(l-r)e',

令/⑺=(a+l-f)e'，則/'⑺=(a-)e'.

當(dāng)/＜。時(shí)，/⑺＞0,此時(shí)函數(shù)/⑺單調(diào)遞增，

當(dāng)然。時(shí)，/(。＜0,此時(shí)函數(shù)，⑺單調(diào)遞減，

所以，/(K=〃a)=e"，

由題意可知，直線y=b與曲線y=/。)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則1rax=",

當(dāng)t＜“+l時(shí)，〃。＞0,當(dāng)/＞。+1時(shí)，/(r)＜0,作出函數(shù)〃。的圖象如下圖所示:

由圖可知，當(dāng)0＜8＜e"時(shí)，直線＞=b與曲線y=/?)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

故選：D.

解法二：畫出函數(shù)曲線y=e，的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)(a,6)在曲線下方和x軸上方時(shí)才可以作

出兩條切線.由此可知?！簇埃糴".

故選：D.

8.(2020年全國高考回卷)函數(shù)“刈=--2;?的圖像在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程為()

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y=2x+l

【答案】B

【分析】求得函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)尸(x),計(jì)算出〃1)和廣⑴的值，可得出所求切線的點(diǎn)斜式方程，化簡

即可.

【詳解】??-/(X)=X4-2%3,.-.r(x)=4%3-6x2,=『'(1)=一2,

因此，所求切線的方程為y+l=-2(x-1),即y=-2尤+1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題

9.(2020年全國高考回卷)若直線/與曲線片&和乂2+必=!都相切，貝心的方程為()

A.y=2x+lB.y=2x+^-C.y=^x+lD.片

【答案】D

【詳解】設(shè)直線/在曲線y=?上的切點(diǎn)為卜。,后)，則%>0,

,1

函數(shù)y=五的導(dǎo)數(shù)為>'=5%則直線/的斜率左=丁;=,

設(shè)直線/的方程為了一A=^^(彳_/),^x-2^y+xo=O,

cc1廝1

由于直線/與圓廠+y相切，則J1+4,二忑，

兩邊平方并整理得5x；-4x0-l=0,解得%=1,x0=-1(舍),

則直線/的方程為無一2、+1=。，即>=3》+(故選：D.

10.(2019年全國高考回卷)已知曲線丫=。1+尤111元在點(diǎn)(l,ae)處的切線方程為y=2x+b,則()

A.a=e,b=—lB.a=e,b=1C.a=el,b=\D.a=el,b=-1

【答案】D

【解析】通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，求得。，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，求得6.

【詳解】詳解：y'=aex+lnx+l,

k=yL=]=ae+1=2,a—e1

將(1,1)代入y=2x+6得2+6=1,6=-1,故選D.

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵得到含有a,b的等式，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和點(diǎn)在曲線上得到方程關(guān)系.

二多選題

11(2024?全國?高考I卷)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-l)2(x-4),則()

A.x=3是/(尤)的極小值點(diǎn)B.當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)</(x2)

C.當(dāng)l<x<2時(shí)，-4</(2x-l)<0D.當(dāng)-l<x<0時(shí)，f(2-x)>f(x)

【答案】ACD

【分析】求出函數(shù)/'(X)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點(diǎn)，即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)函數(shù)/(X)在

(1,3)上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.

【詳解】對(duì)A,因?yàn)楹瘮?shù)外力的定義域?yàn)镽,/(X)=2(X-1)(X-4)+(X-1)2=3(X-1)(X-3),

易知當(dāng)xe(l,3)時(shí)，r(x)<0,當(dāng)xe(—8,1)或xe(3,+e)時(shí)，(無)>0

函數(shù)在(-81)上單調(diào)遞增，在(L3)上單調(diào)遞減，在(3,+動(dòng)上單調(diào)遞增，故x=3是函數(shù)的極小值

點(diǎn)，正確；

對(duì)B,當(dāng)0<x<l時(shí)，x-x2=x(l-x)>0,所以l>x>d>0,

而由上可知，函數(shù)〃尤)在(0』)上單調(diào)遞增，所以錯(cuò)誤；

對(duì)C,當(dāng)1<X<2時(shí)，1<2%-1<3,而由上可知，函數(shù)”X)在(1,3)上單調(diào)遞減，

所以F(l)>F(2x—1)>/(3),即T</(2x-l)<0,正確；

對(duì)D,當(dāng)_]<x<0時(shí),/(2—%)—/(%)=(1—x)-(―2—%)—(%—1)-(%—4)=(x—1)-(2—2x)>0,

所以〃2-x)>/(x),正確；

故選：ACD.

三填空題

12.(2024?全國?高考I卷)若曲線y=e，+x在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+l)+。的切線，貝|

a=,

【答案】In2

【分析】先求出曲線y=e*+x在(0,1)的切線方程，再設(shè)曲線y=ln(x+l)+。的切點(diǎn)為a，ln(x0+l)+a),求

出V，利用公切線斜率相等求出％,表示出切線方程，結(jié)合兩切線方程相同即可求解.

【詳解】由y=e"+%得了=/+1,/|x=0=e°+1=2,

故曲線y=e、+x在(0,1)處的切線方程為y=2x+l；

由y=ln(x+l)+a得y'=—^f

設(shè)切線與曲線y=山(x+l)+a相切的切點(diǎn)為(%,In5+1)+4),

由兩曲線有公切線得y'=L=2,解得無。=-：,則切點(diǎn)為+

y—21%+—+In——2x+1+Q—In2,

根據(jù)兩切線重合，所以a-ln2=0,解得a=In2.

故答案為：ln2

13.(2023?全國乙卷)設(shè)1?0,1),若函數(shù)"％)=優(yōu)+(1+4；在(0,+。)上單調(diào)遞增，則〃的取值范圍是.

【答案】

【分析】原問題等價(jià)于尸(x)=a1na+(l+ayin(l+a)tO恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形，可

由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)。的二次不等式，求解二次不等式后可確定實(shí)數(shù)。的

取值范圍.

【詳解】由函數(shù)的解析式可得了'(x)=a1na+(l+ayin(l+a)20在區(qū)間(0,+時(shí)上恒成立,

則(l+ayin(l+a)2—a*lna,即［寧)二一/在區(qū)間(0,+“)上恒成立,

故［邛一瑞而a+le(L2)，故呼+加。，

14.(2022全國乙卷)已知％=玉和x=W分別是函數(shù)/(%)=2優(yōu)-ef(。＞0且awl)的極小值點(diǎn)和極大值

點(diǎn).若石＜%，則。的取值范圍是.

【答案】

【分析】法一：依題可知，方程21nq?爐-26=0的兩個(gè)根為外,三,即函數(shù)y=ln“?優(yōu)與函數(shù)y=ex的圖象

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnad,利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到g(x)的圖象，利用導(dǎo)數(shù)

的幾何意義求得過原點(diǎn)的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.

【詳解】［方法一］:【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)

因?yàn)?x)=21na?優(yōu)-2e無，所以方程21nq-ax-2ex=0的兩個(gè)根為占,三，

即方程Ina-/=ex的兩個(gè)根為西，三,

即函數(shù)y=lna.優(yōu)與函數(shù)，=6%的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

因?yàn)榘?馬分別是函數(shù)=2^-ex2的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

所以函數(shù)在(TO,%)和伍,收)上遞減，在(網(wǎng),左2)上遞增，

所以當(dāng)時(shí)(YO,不)(彳2，+°°)，r(x)＜。，即y=ex圖象在y=lnazX上方

當(dāng)時(shí)，f^x)＞0,即＞=6圖象在y=ln“?優(yōu)下方

a>l,圖象顯然不符合題意，所以0<QVL

令@(%)=111々?優(yōu)，貝ljg'(x)=ln2tz?x,0<a<l,

設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)y=g(x)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為(%,也?！?),

2

則切線的斜率為g'(x())=ln2a陽,故切線方程為y-lna-a&=ln?-a'?(%-x0),

則有-Inad=-尤oln"a%,解得/=白，則切線的斜率為1112a.eh?°，

因?yàn)楹瘮?shù)y=lna.優(yōu)與函數(shù)，=6%的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以eln2QVe,解得一<“<e,又。<avl,所以一<〃<1,

ee

綜上所述，0的取值范圍為

［方法二］:【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)

/f(x)=21n?-ax—2ex=0的兩個(gè)根為%,三

因?yàn)椴唬?分別是函數(shù)〃x)=2"-ex?的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

所以函數(shù)“X)在(T?,番)和(9,口)上遞減，在(占,*2)上遞增，

設(shè)函數(shù)g(x)=/'(尤)=2(a'lna—ex),則gr(x)=2ax(Ina)2-2e,

若a>l,則g'(x)在R上單調(diào)遞增,此時(shí)若g'5)=0,則廣(x)在

(-00,%)上單調(diào)遞減，在(局,心)上單調(diào)遞增，此時(shí)若有了=再和x=w分別是函數(shù)

〃同=2"-ex2(a>0且"1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則不符合題意；

若則g'(x)在R上單調(diào)遞減，此時(shí)若g'(%)=0,則廣(x)在(TO,為)上單調(diào)遞增，在上單

調(diào)遞減，令g'(Xo)=O,則*=c'、2,此時(shí)若有了=%和x=%分別是函數(shù)/(%)=2"-然2(。>0且awl)的

極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且再<%，則需滿足/'(/)>。，r(%)=2(a刃na-氣)=21*-eXoJ>O,即

ln

x0<—,xolnfl>lfe^=xolna=ln—^>1,所以，

Ino(ina)e

15.(2022年全國新高考回卷)若曲線y=(x+a)e*有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則。的取值范圍是

【答案】(f,T)U(0,+8)

【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)飛,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于吃的方程,

根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得。的取值范圍.

【詳解】-y=*+a)e*,0/=(x+l+a)e",

設(shè)切點(diǎn)為(%,％),則％=(%+a)e用，切線斜率k=(x0+l+a)e~,

切線方程為：y-(x()+a)e*=(xo+l+a)ea(x-%),

回切線過原點(diǎn)，E|_(/+a)e而=(%+l+a)e~(F),

整理得：x：+ax0—a=0,

回切線有兩條，團(tuán)A=4+4a>0,解得a<-4或a>0,

回。的取值范圍是(-?T)U(O,y),

故答案為：(r°,T)U(0,+co)

16.(2021?全國甲卷)曲線y=9Jx_1■在點(diǎn)(T-3)處的切線方程為__________.

x+2

【答案】5x-y+2=0

【分析】先驗(yàn)證點(diǎn)在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可.

【詳解】由題，當(dāng)尤=-1時(shí)，尸-3,故點(diǎn)在曲線上.

,2(x+2)-(2x-l)5

求導(dǎo)得："/，―-=所以V1-1=5.

(x+2)(x+2)

故切線方程為5x-y+2=0.

故答案為：5x-y+2=0.

17.(2021年全國新高考回卷)函數(shù)/(x)=|2x-l|-21nx的最小值為.

【答案】1

1

【分析】由解析式知/(》)定義域?yàn)?0,+8),討論0<xV：1、-<x<kx>l,并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性,

22

即可求/(x)最小值.

【詳解】由題設(shè)知：/(無)=|2%-1|-2111元定義域?yàn)?0,+8),

回當(dāng)0(尤時(shí)，f(x)=l-2x-21nx,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減；

12

當(dāng)一<xVl時(shí)，/（尤）=2尤一l-21n無，有了'（x）=2--<0,此時(shí)/（%）單調(diào)遞減；

2x

2

當(dāng)x>l時(shí)，/（x）=2x-l-21nx,有/（無）=2>0,此時(shí)/⑺單調(diào)遞增；

x

又/（x）在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，

團(tuán)綜上有：0<xWl時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，x>l時(shí)，f（x）單調(diào)遞增；

0/U）>/（l）=l

故答案為：1.

三、雙空題

18.（2022年全國高考回卷）曲線>=ln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為,.

【答案】y=-xy=--x

ee

【詳解】［方法一］:化為分段函數(shù)，分段求

分*>0和x<0兩種情況，當(dāng)x>0時(shí)設(shè)切點(diǎn)為（x°,lnx。），求出函數(shù)休導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而

表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出％,即可求出切線方程，當(dāng)無<0時(shí)同理可得；

解:因?yàn)閥=lnN，

當(dāng)x>0時(shí)y=lnx,設(shè)切點(diǎn)為（%,In%）,由y'=L所以九=而=’,所以切線方程為y-lnx。=’（天-/），

X玉）玉）

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以Tn尤°=’（一無。），解得x0=e,所以切線方程為尸1=［x—e）,^y=-x；

當(dāng)x<0時(shí)y=ln（—x）,設(shè)切點(diǎn)為（石,山（-石）），由，=工，所以*個(gè)=,，所以切線方程為

X』

yTn（-xJ=—（x-石）,

x\

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以Tn（f）=：（一玉），解得士=-e,所以切線方程為y—l=：（x+e）,即y=-

故答案為：y=~x；y=--x

ee

［方法二］:根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合

當(dāng)天>0時(shí)y=lnx,設(shè)切點(diǎn)為（Xo，lnxo）,由/=工，所以人f=,，所以切線方程為y-也毛=’（x-x。），

X%0X。

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以Tn%0=’（一%）,解得%o=e,所以切線方程為y-1=」（％-e）,§Jfly=-x；因?yàn)?/p>

xoee

y=ln|M是偶函數(shù)，圖象為：

所以當(dāng)x<0時(shí)的切線，只需找到y(tǒng)=1尤關(guān)于y軸的對(duì)稱直線y=即可.

ee

［方法三］：因?yàn)閥=ln|x|,

當(dāng)x>0時(shí)y=ln無，設(shè)切點(diǎn)為（%』11%），由y'=L所以丫1'=工，所以切線方程為V-也毛=,

X%0%

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以Tnx°='（-x。），解得x0=e,所以切線方程為y_l=&x_e）,B|Jy=-x；

%ee

當(dāng)x<0時(shí)y=ln（-x）,設(shè)切點(diǎn)為（&ln（F））,由y'=L所以川『,=二所以切線方程為

X玉

y—In（一%）='（%—玉）,

再

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以-ln（f）='（一王），解得玉=-e,所以切線方程為廣1=工（x+e）,即y=」x；

-ee

故答案為：y=-x；y=--x.

ee

考點(diǎn)02構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性比較大小

一、單選題

1.（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)〃x）=eTE2.記。=/3b=f*?=f+

I27I27I27

貝IJ（）

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】令g（尤）=-（尤-I））則g（x）開口向下，對(duì)稱軸為x=l,

因?yàn)樽鳷—1-y-="丁一而函+同一4?=9+6應(yīng)-16=60一7>0,

6r-rrV6(6)A/6+A/34指6

所以----1-1----=------------>0,BJ----1>1--L—

2(2)2222

由二次函數(shù)性質(zhì)知g(乎)<g(亭，

因?yàn)閕20-/，M(A/6+V2)2—42=8+4^/3—16=4^/3—8=4(A/3—2)<0,

釁-1<1-冬所以且凈空爭，

綜上，g(乎)<g(乎)<g(孝)，

又>=。"為增函數(shù)，故a<c<8,即方>c>a.

故選：A.

2.(2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)(文)試題)已知9"'=10,〃=10"'-11*=8"=9,則()

A.a>Q>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【分析】法一：根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知"7=lOg910>l，再利用基本不等式，換底公式

可得“7>lgll,10g89>m,然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出.

【詳解】［方法一］:(指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì))

由9"=10可得加=1%1。=^>1，而lg91gli<產(chǎn)詈9=］詈:<l=(lgl0)2,所以黑，

即〃z>lgll,^flUa=10m-ll>10lgll-ll=0.

又lg81gl0<［g8；gl°］=］等)<(lg9)2,所以貴>需，BNlog89>m,

所以bMgm-gvgbga-gnO.綜上，a>0>b.

［方法二1：【最優(yōu)解】(構(gòu)造函數(shù))

由9"'=10，可得利=log91。e(1,1.5).

根據(jù)a，b的形式構(gòu)造函數(shù)/(X)=JC"'-X-1(X>1),則-1,

令/'(x)=0,解得％=加士，由機(jī)TogglOe(1,1.5)知/€(0,1).

〃無)在(1,+?)上單調(diào)遞增，所以/(1。)>/(8),即a>b,

又因?yàn)閒(9)=/呵-10=0,所以a>0>6.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】法—：通過基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；

法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)/。)=/-x-l(x>l),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該

題的最優(yōu)解.

3.(2022年全國新高考回卷數(shù)學(xué)試題)設(shè)。=0.10°」,6=5c=-ln0.9,貝|()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x,導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定a,6,C的大小.

【詳解】方法一：構(gòu)造法

1Y

設(shè)/(x)=ln(l+x)—%(%>—1),因?yàn)?'(%)=/--1=—F，

l+x1+X

當(dāng)%￡(-1,0)時(shí),f(x)>0,當(dāng)無￡(0,+oo)時(shí),

所以函數(shù)f(x)=ln(l+X)-%在(0,+8)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增,

所以/(g)<7(0)=0,所以1!1^一^<0,^1>lny=-ln0.9,即b>c,

所以/(-記)</(0)=0,所以In歷+5<0,故/屋。,所以已一。<」,

故。<2,

x+

設(shè)g(x)=xeX+ln(l-元)(0<x<l),則g'(x)=(x+1)e+-^―=—~\

x-1x-1

令h(x)=e'(x2-1)+1,h'(x)=ex(x2+2x—1),

當(dāng)0<x<Gl時(shí),h'(x)<0,函數(shù)以勸=，(--1)+1單調(diào)遞減,

當(dāng)應(yīng)-1<X<1時(shí)，(無)>0,函數(shù)〃(x)=e*，-i)+i單調(diào)遞增，

又網(wǎng)0)=0,

所以當(dāng)O<x<0-1時(shí),h{x)<0,

所以當(dāng)0<x<虛-1時(shí)，g'O)>0,函數(shù)g(x)=xe*+ln(l-x)單調(diào)遞增，

所以g(01)>g(0)=0,即O.le?！?gt;—ln0.9,所以

故選：C.

方法二：比較法

解：。=0.1網(wǎng)，b=-^-,c=-ln(l-o.l),

1—u.1

①ln?-lnZ?=0.1+ln(l-0.1),

令f(x)=x+ln(l—x),xe(0,0.1],

1—丫

貝1Jr?=i---—<o,

l—x1—x

故f(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞減,

可得/(0.1)</(0)=0,即lna-ln&<0,所以a<b；

②6z-c=O.leol+ln(l-O.l),

令^(x)=xex+ln(l—x),xe(0,0.1］,

El/\YY1+—Re"—1

貝1Jg'(x］=xe+e------=------------------，

v71-x1-x

令人(尤)=(1+x)(l—x)ex—1,所以kr(x)=(l—x2—2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞增，可得k(x)>k(0)>0,即gr(x)>0,

所以g(%)在(OOH上單調(diào)遞增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

4.（2021年全國高考回卷數(shù)學(xué)試題）已知〃=logs2,b=log83,則下列判斷正確的是（)

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】c

【分析】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較。、匕與C的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.

［詳解］a=log2<log布=g=log242<log3=6,

5588即avc<〃.

故選：C.

2

5.（2020年全國高考回卷數(shù)學(xué)試題）設(shè)。=log32,fe=log53,c=-,則（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

3

【分析】分別將。/改寫為。=曰幅23,&=1log53,再利用單調(diào)性比較即可.

112112

325==c,

【詳解】因?yàn)椤?§log323<]log39=]=c,Z?=-log53f

所以a<c<b.

故選：A.

【點(diǎn)晴】本題考查對(duì)數(shù)式大小的比較，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.

3111

6（2022?全國甲卷）已知一,Z?=cos—,c=4sin-,貝1!（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

ii

【分析】由石c二小皿^結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得c>b；構(gòu)造函數(shù)〃x）=cosx+/x2T無40,+⑹，利用導(dǎo)數(shù)可

得人〃，即可得解.

【詳解】[方法一]:構(gòu)造函數(shù)

因?yàn)楫?dāng)xe0,-^-l,x<tanx

c1r

故廠故/I，所以"b；

、

^f(x)=cosx+—1x2-1,X€(0,4-00),

/r(x)=-sinx+x>0,所以于(x)在(0,+co)單調(diào)遞增,

131

故/>/(0>0,所以cos：—三〉0,

432

所以b>a,所以故選A

［方法二］:不等式放縮

因?yàn)楫?dāng)xe0,—l,sinx<x,

2

取x=J得：cos-=l-2sin->l-2U—,故人。

848I32

sinf1-+^j,其中14

4sin—+cos—=，且sin°=而展而

444’8S

當(dāng)4sin1+cos工=47時(shí),171R711

—+(p=—,及夕=5-a

4442

此時(shí)，解二儂"三，cosLin展上

4V174V17

乂114?14?1乂

^cos-=-^=<-==sin-<4sin-,故

4VI7V/1744

所以人>。，所以故選A

［方法三］：泰勒展開

設(shè)%=0.25,貝lj〃=2=l—2^,/7=cos-?l-^^+^^

322424!

.J.

.1SmZ10.2520.254、1生,日,.3

c=44sm-=—^^l———+^—,計(jì)算得c〉b>。，故選A.

4

［方法四］:構(gòu)造函數(shù)

因?yàn)?=4tan』，因?yàn)楫?dāng)x￡(0,5],sinx<x<tanx,所以即f>1,所以c>0；設(shè)

b4I2J444b4b

2

/(x)=cosx+-|x-l,xe(0,+oo),/'(x)=-sinx+x>0,所以/(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增，貝I]/>f(0)=0,

131

所以COS^—瓦>0,所以b>a,所以

故選：A.

［方法五］:【最優(yōu)解】不等式放縮

因?yàn)閒=4tan,，因?yàn)楫?dāng)xe(0,5］,sinx<x<tanx,所以tan，>L即2>1，所以c>b：因?yàn)楫?dāng)

b4<2J^44。

xe(0,；］,sinx<x,MZ^=-^#cos-=l-2sin2->l-2f->|=—,故人。，所以c>6>q.

I2；848⑻32

故選：A.

【整體點(diǎn)評(píng)】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點(diǎn)在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；

方法5:利用二倍角公式以及不等式無€［0e)用1!苫<苫<1211無放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解.

7.(2021?全國乙卷)設(shè)a=21nl.01,Z?=lnl.O2,C=A/L04-1.貝U()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對(duì)a,b的大小作出判定，對(duì)于。與c,b與c的大小關(guān)系，

將0.01換成無，分另ij構(gòu)造函數(shù)/'(x)=21n(l+x)-Jl+4x+l,g(x)=ln(+2x)-Jl+4x+l,利用導(dǎo)數(shù)分析其在

0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合y(0)=0,g(0)=0即可得出。與c,b與c的大小關(guān)系.

【詳解】［方法一］:

a=21nl.01=lnl,012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>］nl.02=b,

所以Z?<a；

下面比較c與a,b的大小關(guān)系.

/、/\/----/、7?2(J1+4%—1—%)

記〃x)=21n(l+x)-Jl+4x+l,則/(0)=0,f'(x\=———」------,',

1+x+4x(l+x)\/l+4x

由于1+4工—(l+x)~=2x—X。=x(2—x)

所以當(dāng)0<x<2時(shí)，1+4X-(1+X)2>0,即J1+4X>(1+X),f^x)>0,

所以在［。，2］上單調(diào)遞增，

所以“0.01)>"0)=0,即21nl.01>即。>。；

/、/、/----/、?22“l(fā)+4x-l-2尤)

令g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+l,貝i］g(0)=0,=—--------------=-^------------------',

、7l+2xJ1+4尤(l+x)Jl+4尤

由于l+4x-(l+2x)2=-4/,在x>0時(shí)，l+4x-(l+2x)2<0,

所以g'(x)<0,即函數(shù)g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞減，所以g(0.01)<g(0)=0,BPlnl.02<^04-l,即從c；

綜上，b<c<a,

故選：B.

［方法二］:

令/⑺=

一<0,即函數(shù)〃x)在a+8)上單調(diào)遞減

\/x2+l

f(Vl+0.04)</(l)=O,.-.Z?<c

令g(x)=21n1尤-x+l(l<x<3)

g，(x)=(x［］『)>0,即函數(shù)g(x)在(1,3)上單調(diào)遞增

g(A/1+0.04)^(1)=0,.-.c

綜上，b<c<a,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)鍵難點(diǎn)是將各個(gè)值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，

利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計(jì)計(jì)算往往是無法解決的.

8.(2020年全國新高考回卷)若2"+log2a=4"+21%匕,則()

A.a>1bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

【答案】B

【分析】設(shè)/(X)=2"+10g2X,利用作差法結(jié)合/(x)的單調(diào)性即可得到答案.

b2b

【詳解】設(shè)F3=2，+log2X,則"X)為增函數(shù),H2°+log2a=4+21og4b=2+log2b

2h2hM

所以/(?)-了(2力=2"+log2a-(2+log?2b)=2+log2b-(2+log?2。)=log21=-l<0,

所以/(a)</(26),所以。<?.

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