導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-函數(shù)的單調(diào)性問題（5題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題12導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-函數(shù)的單調(diào)性問題5題型分類

彩題如工總

題型5：含參數(shù)單調(diào)性討論題型1：利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定

原函數(shù)圖象

題型4：不含參數(shù)單調(diào)性討論

專題12導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一函數(shù)的單調(diào)

性問題5題型分類

題型2：求單調(diào)區(qū)間

題型3：巳知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不

單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍

彩先渡寶庫

一、單調(diào)性基礎(chǔ)知識(shí)

1、函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)＞=/（尤）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果r（尤）＞0,則y=〃尤）為增函數(shù)；如果

r（x）＜0,則y=/（x）為減函數(shù).

2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題

①若/（X）在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有廣（X）N0恒成立（但不恒等于0）；反之,要滿足尸（x）＞0,

才能得出了（X）在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；

②若/（X）在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減,則在該區(qū)間上有了'（無）＜0恒成立（但不恒等于0）；反之,要滿足尸（X）＜0,

才能得出Ax）在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減.

二、討論單調(diào)區(qū)間問題

類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；

（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分.定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù),

無需單獨(dú)討論的部分）；

（3）求根作圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正

負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；

（4）未得結(jié)論斷正負(fù)（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù)）；

（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)（若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)）；

（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo)）；

求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再求導(dǎo).

（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段）；

類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)

的區(qū)間）；

（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分.定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，

無需單獨(dú)討論的部分）；

（3）恒正恒負(fù)先討論（變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；

（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；

（5）導(dǎo)數(shù)圖象定區(qū)間；

（一）

利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖象

原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值的符號(hào)的關(guān)系，原函數(shù)/（X）單調(diào)遞增O導(dǎo)函數(shù)（（無）20（導(dǎo)函數(shù)等于0,

只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足ra）＞o）；原函數(shù)單調(diào)遞減。導(dǎo)函數(shù)/''（無廳。（導(dǎo)函數(shù)等于o,只在離散點(diǎn)

成立，其余點(diǎn)滿足/（/）＜。）.

題型1:利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖象

1-1.（天津市西青區(qū)為明學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)y=/（￡）的圖象是下列

四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y=/'（x）的圖象如下圖所示，則該函數(shù)的大致圖象是（）

求單調(diào)區(qū)間

1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下：

（1）求/（X）的定義域

（2）求出f'（x）.

（3）令/（x）=0,求出其全部根，把全部的根在無軸上標(biāo)出，穿針引線.

（4）在定義域內(nèi)，令/'（x）＞0,解出x的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；令（（x）＜0,解出x的取值

范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.若一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個(gè)，則這些單調(diào)區(qū)間不能用"U"、"或"

連接，而應(yīng)用"和"隔開.

2.導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)應(yīng)注意如下幾方面：

（1）在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域；

（2）不能隨意將函數(shù)的2個(gè)獨(dú)立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；

（3）利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類

討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

3.已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍

（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析導(dǎo)函

數(shù)的形式及圖象特點(diǎn)，如一次函數(shù)最值落在端點(diǎn)，開口向上的拋物線最大值落在端點(diǎn)，開口向下的拋物線

最小值落在端點(diǎn)等.

（2）已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號(hào)零點(diǎn)，通常用分離變量法求解參變量范圍.

（3）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零或小于零有解.

題型2:求單調(diào)區(qū)間

2-1.（2024高三下,江西鷹潭,階段練習(xí)）函數(shù)y==^+lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

x

A.（0,2）B.（0,1）C.（2,+oo）D.（1,+℃）

【答案】D

【分析】求導(dǎo)，求出不等式y(tǒng)＞o的解集即可.

【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?+8）.

尤2+2,2,21x~+x—2（尤+2）（x—1）

y=-------+\nx=x+-+\nx,貝Uy=1---+-=-------——=-------?------.

xx廠Xxx

y>0

令c，解得%￡（l,+8）.

［x>0

故選：D

22（2024高二下?湖北,期中）函數(shù)”x）=ln（4f-l）的單調(diào)遞增區(qū)間（）

A.B,1-［JUW（。，+8）

【答案】A

【分析】根據(jù)戶（*）>0,結(jié)合函數(shù)的定義域，即可得出單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】由4尤2-1>0,可得x<-g或x>g,

所以函數(shù)〃x）=ln（4x2-l）的定義域?yàn)?

Q1

求導(dǎo)可得:（力=7竽r7,當(dāng)用勾>。時(shí)，%>0,由函數(shù)定義域可知，%>-,

4x—12

所以函數(shù)〃司=m（4/-1）的單調(diào)遞增區(qū)間是6，+，|.

故選：A.

2-3.（2024?上海靜安?二模）函數(shù)y=xlnx（）

A.嚴(yán)格增函數(shù)

B.在［0,1］上是嚴(yán)格增函數(shù)，在+上是嚴(yán)格減函數(shù)

C.嚴(yán)格減函數(shù)

D.在卜,：上是嚴(yán)格減函數(shù)，在［。+上是嚴(yán)格增函數(shù)

【答案】D

【分析】求導(dǎo)后利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)嚴(yán)格增減函數(shù)的定義即可得到選項(xiàng).

【詳解】解：已知y=xlnx,x>0,則y'=lnx+x,=lnx+l,

令y'=0,即lnx+l=0,解得X=L

e

當(dāng)o<x<，時(shí)，y<o,所以在上是嚴(yán)格減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，y>o,所以在g,+，|上是嚴(yán)格增函數(shù)，

故選：D.

【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)應(yīng)注意如下幾方面：

（1）在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域；

（2）不能隨意將函數(shù)的2個(gè)獨(dú)立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；

（3）利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類

討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

題型3:已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍

3-1.（2024?陜西西安?三模）若函數(shù)/（x）=d-衣+lnx在區(qū)間（l,e）上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是（）

A.[3,+co）B.（—8,3]C.[3,e?+l]D.[3,e~—1]

【答案】B

【分析】由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系結(jié)合條件可得/"）2。在（Le）上恒成立，由此可得a42無+：在區(qū)間

（l,e）上恒成立，求函數(shù)g（x）=2尤+：（l<x<e）的值域可得。的取值范圍.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃尤）=/-依+ln龍?jiān)趨^(qū)間（Le）上單調(diào)遞增，

所以「（無）=2彳-4+/20在區(qū)間（1,6）上恒成立，

即在區(qū)間（l,e）上恒成立，

X

令g（九）=2兀+,（l<x<e）,

貝—與「正坐空包0，

XXX

所以g（x）在（Le）上遞增,又g⑴=3,

所以

所以。的取值范圍是（f,3].

故選：B

3-2.（2024?山東濟(jì)寧?一模）若函數(shù)〃x）=log?（G-x3）m>o且a*1）在區(qū)間（0#內(nèi)單調(diào)遞增，貝的取值

范圍是（）

A.[3,^o）B.（1,3]CD.1,lj

【答案】A

【分析】令〃=g（x）=辦-d,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（無）的單調(diào)區(qū)間，再分“>1和0<a<l兩種情況討論，結(jié)

合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】令〃=8（力=依一丁，貝I]g'（x）=a-3x2,

當(dāng)x>#或x<-R時(shí)，g[x）<0,當(dāng)時(shí)，g'（x）>0,

所以8（%）在1小I,+8和-鞏-上遞減，在上遞增，

當(dāng)a>l時(shí)，y=log“〃為增函數(shù)，且函數(shù)〃x）在區(qū)間（。,1）內(nèi)單調(diào)遞增，

a>\

所以一小0,解得。23,

此時(shí)g（x）在（0,1）上遞增,則8（力>8（。）=0恒成立，

當(dāng)0<“<1時(shí)，y=log"〃為減函數(shù)，且函數(shù)〃x）在區(qū)間（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增，

所以什3一，無解，

0<a<l

綜上所述，。的取值范圍是[3,內(nèi)）.

故選：A.

丫21

3-3.（2024嚀夏銀川?三模）若函數(shù)y（x）=+-lnx在區(qū)間（見機(jī)+?上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

22

A.0<m<—B.—<m<1

33

2

C.—<m<lD.m>l

3

【答案】B

【詳解】首先求出/（X）的定義域和極值點(diǎn)，由題意得極值點(diǎn)在區(qū)間（孫加+g）內(nèi)，且〃2>0,得出關(guān)于加的

不等式組，求解即可.

【分析】函數(shù)/（x）=f■-Inx的定義域?yàn)椋?,+8）,

且——，

令?。?0,得無=1,

因?yàn)?，（九）在區(qū)間（人加+;）上不單調(diào)，

m>0

2

所以1,1，解得：-<m<l

m<l<m+—3

13

故選：B.

3-4.（2024高三上?江蘇蘇州?期中）若函數(shù)?。?限+依2_2在區(qū)間曰2i內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是（

1

A.[-2,+oo）B.——,+00D.(-2,+oo)

8

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在有解，進(jìn)而求函數(shù)（）

-32gx=*的最值，即可求出。

的范圍.

【詳角軍】0f(x)=\nx+ax2-2,

團(tuán)/'(x)=—+2依,

x

若/（X）在區(qū)間g,2內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則-。）>0/6（32]有解,

故">一』，

令（）1在;，2

gxT單調(diào)遞增,

則g（元）=一壽

???g(x)>g

故a>—2.

故選：D.

,「1一

3-5.（2024高三上?山西朔州?期中）已知函數(shù)〃x）=lnx+（x-8y（6eR）在區(qū)間-,2上存在單調(diào)遞增區(qū)

間，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】B

【詳解】試題分析：,??函數(shù)/（X）在區(qū)間1-2上存在單調(diào)增區(qū)間，，函數(shù)“X）在區(qū)間1,2上存在子區(qū)間

使得不等式/'（x）>0成立.f'（x）=-+2（x-b）=2x2~2bx+1,設(shè)6（x）=2尤02服+1,則/?（2）>0或

XX

即8-4b+l>0或:一匕+1>0,得故選B.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

【思路點(diǎn)睛】該題考查的是函數(shù)存在增區(qū)間的條件，屬于較難題目，在解題的過程中，緊緊抓住導(dǎo)數(shù)的應(yīng)

用，相當(dāng)于廣（力>。在區(qū)間1,2上有解，最后將問題轉(zhuǎn)化為不等式21.2法+1>0在區(qū)間1,2上有解，

設(shè)立（x）=2/—3+1,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可知只要//（2）>0或彳即可，將2和3分別代入，求得

結(jié)果，取并求得答案.

3-6.（2024高二下?天津和平?期中）已知函數(shù)/（%）=；加+3（〃?-l）d-〃/+1（租>0）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0,4）,

則機(jī)=（）

11

A.3B.-C.2D.-

32

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合韋達(dá)定理得出機(jī)的值.

【詳解】函數(shù)〃%）=如3+3（m-l）x2-m2+l（m>0）,則導(dǎo)數(shù)/'（%）=3瓶/+6（m—l）x

令/'（%）<°，即3mx2+6（m-l）x<0,

團(tuán)機(jī)>0,外力的單調(diào)遞減區(qū)間是（0,4）,

團(tuán)0,4是方程3如2+6（機(jī)_1卜=。的兩根，

回0+4=2（―"7）,0義4=0,

m

^\m=—

3

故選：B.

彩他題秘籍二

函數(shù)單調(diào)性的討論

1.確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意一是不能漏掉求函數(shù)的定義域，

二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用"逗號(hào)"或"和"隔開.

2、關(guān)于含參函數(shù)單調(diào)性的討論問題，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的情況來作出選擇，通過對(duì)新函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論，從

而得到原函數(shù)對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，最終判斷原函數(shù)的增減.（注意定義域的間斷情況）.

3、需要求二階導(dǎo)的題目，往往通過二階導(dǎo)的正負(fù)來判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一階導(dǎo)函數(shù)端點(diǎn)處的函

數(shù)值或零點(diǎn)可判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段.

4、利用草稿圖象輔助說明.

題型4：不含參數(shù)單調(diào)性討論

4-1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已矢口函數(shù)/（x）=l+ln，+l）（x＞0）.試判斷函數(shù)在（0,+s）上單調(diào)性并

證明你的結(jié)論；

【答案】函數(shù)/'（X）在（。,+8）上為減函數(shù)，證明見解析

【分析】求出函數(shù)/（尤）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)取值范圍求解函數(shù)單調(diào)性.

【詳解】函數(shù)/'（X）在（0,+8）上為減函數(shù)，證明如下：

因?yàn)椤▁）Jln,+x）（x＞o）,所以廣⑴「二一；（1+無）,

又因?yàn)橛龋?,所以占＞0,ln（l+x）＞0,所以/'（x）＜0,

即函數(shù)f（x）在（0,+e）上為減函數(shù).

4-2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知/（力=1g+，十”,若。=1,求/'（*）的單調(diào)區(qū)間.

【答案】（0,1）為單調(diào)遞減區(qū)間；（1,+⑹為單調(diào)遞增區(qū)間.

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得f（x）的單調(diào)性.

【詳解】若a=l,貝U/（x）=lnx+W（x＞0）,

求導(dǎo)得/⑴+1）,

令制x）>0可得x>l,令/'（“<0可得0<x<l,

故〃x）在（0,1）上單調(diào)遞減；在（1,+8）上單調(diào)遞增.

4-3.（2024?貴州?二模）已知函數(shù)/（x）=_xlnx-e、+l.

⑴求曲線y=在點(diǎn)（L/⑴）處的切線方程；

（2）討論〃x）在（0,+8）上的單調(diào)性.

【答案】⑴y=（l-e）x

（2）“X）在（0,+功上是減函數(shù).

【分析】（1）求導(dǎo)，計(jì)算斜率，再用點(diǎn)斜式求解即可；

⑵令g（x）=7'（x）,求出g'（x）,根據(jù)短出>0、g，⑴<0可得叫使小）=0,可得xe（O,x。）、

無時(shí)/（x）的單調(diào)性，從而得解.

【詳解】（1）r（x）=lnx+l-e\

“⑴=1-e,又/(1)=1-e,

回曲線y=/（x）在點(diǎn)處的切線方程是yT+e=（l-e）（x-l）,

即y=0-e)x；

(2)令g(x)=/,(x)=ln%+l-ejr(x>0),

且g'(；)=2-&'>0

則8’（力=：-/在（0,+8）上遞減,g,(l)=l-e<0,

03xoe[i1j,使g'(尤o)=^e%=0,即

I2/%

,

當(dāng)工?0,%)時(shí),g'(飛)>0,當(dāng)xe(如+QO)時(shí),g(x0)<0,

回尸（力在（0,尤0）上遞增，在（％,內(nèi)）上遞減,

1

回尸(x)4/'(尤o)=ln%+l-e&=

一無o+—+1<-2x0-—+l=-l<0,

IXoJV/

當(dāng)且僅當(dāng)x°=,，即％=1時(shí)，等號(hào)成立，顯然，等號(hào)不成立，故ra）＜o(jì),

xo

團(tuán)/（無）在（。，+00）上是減函數(shù).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷一個(gè)函數(shù)是單調(diào)增還是單調(diào)減，我們可以通過求導(dǎo)函數(shù)來判斷，如果導(dǎo)函數(shù)為正

值，那么原函數(shù)就是單調(diào)增的，如果導(dǎo)函數(shù)為負(fù)值，那么原函數(shù)就是單調(diào)減的，而如果導(dǎo)函數(shù)為0,那么可

能是函數(shù)的極值點(diǎn).

題型5:含參數(shù)單調(diào)性討論

5-1.（2024高三?全國,專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=（〃z+l）x-〃21nx-m.討論f（x）的單調(diào)性；

【答案】答案見解析

【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)得尸（無），然后分根=T,m＜-l,加＞-1分別討論，即可得到結(jié)果；

?、*.即、a,、,m（m+V）x-m、

【詳解】f（x）=m+l——=----------,無e（0,+＜?）,

①當(dāng)m+1=0,即機(jī)=-1時(shí)，/'（x）=-＞0,/（X）在區(qū)間（0,+8）單調(diào)遞增.

X

②當(dāng)根+1＜0,即機(jī)＜一1時(shí)，

令r（x）＞。，得o＜x＜=,令/（了）＜0,得x＞y,

所以人%）在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間+8］單調(diào)遞減.

③當(dāng)加+1＞0,即機(jī)＞—1時(shí)，

若—1〈加40,貝!）廣（1）＞0,在區(qū)間（0,+8）單調(diào)遞增.

若相＞0,令/'（力＜0,得0＜彳＜弋，令了"）＞0,得x＞M，

所以f（x）在區(qū)間（0,-々］單調(diào)遞減；在區(qū)間（上，+00］單調(diào)遞增.

綜上，機(jī)＜-1時(shí)，/（元）在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間（上，,+8〕單調(diào)遞減；

（m+1）+l）

一1（機(jī)00時(shí)，fM在區(qū)間（0,+8）單調(diào)遞增

m＞0時(shí)，/（無）在區(qū)間（0,一竺；］單調(diào)遞減、在區(qū)間（一依：,+＜?］單調(diào)遞增.

Im+1）I機(jī)+1）

5-2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=lnx—2a2f+3依—1.20）,討論函數(shù)〃x）的單調(diào)性.

【答案】答案見解析

【分析】

求導(dǎo)，分a=0和。>0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性.

【詳解】

由題意可知：的定義域?yàn)椋?,+功，且-3=工-4a2x+3a=出士1乂匕竺t

XX

若4=0,則/'（x）=B>0恒成立，所以“X）在（0,+8）上單調(diào)遞增；

若。>0,令/（龍）=。，解得x='或x=—;<0（舍去），

a4a

當(dāng)0<x<：時(shí)，制x）>0,函數(shù)〃x）在（0,￡|上單調(diào)遞增，

當(dāng)x>：時(shí)，r（x）<0,函數(shù)外力在上單調(diào)遞減；

綜上所述：若a=0,/（x）在（0,+"）上單調(diào)遞增；

若a>0,/（X）在m上單調(diào)遞增，在+8）上單調(diào)遞減.

5-3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=lnx+（l-a）x+l（aeR）,討論函數(shù)〃x）的單調(diào)性.

【答案】答案見解析.

【分析】

將函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)1”的正負(fù)性進(jìn)行分類討論，進(jìn)而得到/（X）的單調(diào)性.

【詳解】因?yàn)椤?）=11?+（1-。）龍+1（?€1<）的定義域?yàn)椋?,+（?）,

所以尸（同=：+（］_動(dòng)=（1_?尤+1,其中X>0,

當(dāng)1—時(shí)，即a<l,"X）在（0,+8）上單調(diào)遞增，

當(dāng)1一〃<0時(shí)，即a>l,

令「（x）h直辦+|>0,得0（尤<々；

xa-1

—

人,/\（

令廣⑴:1——1ci-\——x+1<0,,得n龍〉-1

xa-1

所以/'（X）在（。，￡］上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)“VI時(shí)，/（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，〃x）在（0,；］上單調(diào)遞增，在（一上單調(diào)遞減.

5-4.（2024高二下?全國?課后作業(yè)）已知函數(shù)/'（司=^-依-1.討論函數(shù)〃力的單調(diào)性.

【答案】答案見解析.

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)（（x）,再分類討論確定尸（x）的正負(fù)得單調(diào)性.

【詳解】函數(shù)〃x）=e*-6-1的定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得7?'（》）=e，-a,

當(dāng)aWO時(shí)，力^）>0恒成立，〃x）在R上是增函數(shù)，

當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)xclna時(shí)，/,（x）<0,〃尤）遞減，當(dāng)x>lna時(shí)，刊㈤>0,f（x）遞增，

所以當(dāng)aW0時(shí)，/'（X）在R上是增函數(shù)，當(dāng)a>0時(shí)，/（x）在（ro,lna）上是減函數(shù)，在（ina,田）上是增函

數(shù).

5-5.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=alnx+x2-（a+2）x（a>0）,討論函數(shù)“X）的單調(diào)性.

【答案】答案見解析.

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)/（X）,然后分類討論確定/（X）的正負(fù)得單調(diào)區(qū)間.

【詳解】因?yàn)?（勸=。111工+/_（a+2）x（a>0）,該函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8）,

/，（無）,+2尤一（“+2）=2/-（。+2卜+。=（21-初合1）.

因?yàn)閍>0,由尸（力=0得：x=￡或x=l.

①當(dāng)■!=：!,即a=2時(shí)，r（x）20對(duì)任意的x>0恒成立，且/（X）不恒為零，

此時(shí)，函數(shù)/（X）的增區(qū)間為（0,+8）,無減區(qū)間；

②當(dāng)q>1,即。>2時(shí)，由得0<x<l或x>5；由/（x）<0得1<上<色.

222

此時(shí)，函數(shù)“X）的增區(qū)間為（0,1）、匕，+"，減區(qū)間為,，事；

③當(dāng)人<1,即0<a<2時(shí)，由得0<x<5或%>1；由/'（"<0得9<X<L

222

此時(shí)函數(shù)“X）的增區(qū)間為。鼻、（l,+s）,減區(qū)間為期.

綜上所述：當(dāng)4=2時(shí)，函數(shù)“X）的增區(qū)間為（0,+8）,無減區(qū)間；

當(dāng)a>2時(shí)，函數(shù)〃尤）的增區(qū)間為（0,1）、減區(qū)間為

當(dāng)0<a<2時(shí)，函數(shù)〃尤）的增區(qū)間為/f、（1,+向，減區(qū)間為

5-6.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=（j-*］（x-a）-lnx-：+b,其中a,Z?eR,討論函數(shù)

的單調(diào)性.

【答案】答案見解析.

【分析】先將函數(shù)求導(dǎo)并對(duì)導(dǎo)函數(shù)分子進(jìn)行因式分解，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，最后得到不同情況下的函

數(shù)的單調(diào)性.

【詳解】f（x）=（^--^］（X-a）-lnx-^-+b=l-^--^+^-lnx-^-+b

\人乙人"J444人<人乙人>

\aa.7r

=------H------lnx+p+1,

xx2x

所以/（x）的定義域?yàn)椋?,+"），

x_1aa1_-X2+（\+a）x-a_

fX1+X1x3x~x3-X3

①若4>1時(shí)，

0<%<11\<x<aax>a

-0+0-

〃尤）極小值/極大值\

②若Q=I時(shí)，r（x）〈o恒成立，/（%）單調(diào)遞減，

③若Ova<1時(shí)

G<x<aaa<x<l1X>1

/（X）-0+0-

“X)極小值/極大值

④若aWO時(shí)令r（x）>。，解得0<x<l,此時(shí)〃尤）單調(diào)遞增，

令了3<0解得x>l,此時(shí)“X）單調(diào)遞減，

綜上所述，當(dāng)a>l時(shí)，f（尤）在（。,1）和內(nèi)）單調(diào)遞減，在（1,a）單調(diào)遞增；

當(dāng)。=1時(shí),“X）在（0,+8）單調(diào)遞減；

當(dāng)0<0<1時(shí)，”尤）在（0,4）和（1,+8）單調(diào)遞減，在（。,1）單調(diào)遞增；

當(dāng)aVO時(shí)，/⑺在（0,1）單調(diào)遞增，在。,內(nèi)）單調(diào)遞減.

5-7.（2024高三■全國■專題練習(xí)）已知函數(shù)〃到=；尤2-3依+2。21nx,awO,討論/'（x）的單調(diào)區(qū)間.

【答案】答案見解析

【分析】

先求得尸（x）,對(duì)。進(jìn)行分類討論，由此求得〃x）的單調(diào)區(qū)間.

【詳解】

〃x）的定義域?yàn)椋?,+動(dòng)，/⑴=（-"）,-2“）,

若a>0,當(dāng)xe（0,a）時(shí)，f>0,〃尤）單調(diào)遞增；

當(dāng)xe（a,2°）時(shí)，f（x）<0,f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)xe（2a,y）時(shí)，f\x）>0,/（無）單調(diào)遞增.

若。<0,則制》）>0恒成立，“X）在（0,+8）上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)4>0時(shí)，〃尤）的單調(diào)遞增區(qū)間為（O,a）,（2a,內(nèi)），單調(diào)遞減區(qū)間為（a,2a）；

當(dāng)a<0時(shí)，/⑺的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,+8）,無單調(diào)遞減區(qū)間.

5-8.（2024高三全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃耳=尸111》-5.判斷函數(shù)〃力的單調(diào)性.

【答案】在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+8）上單調(diào)遞減

【分析】求函數(shù)的定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，分析其正負(fù)號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)性.

【詳解】因?yàn)椤▁）=x-lnx-、，定義域?yàn)椋?,+?0,

/0)=-—(x-l)ex

X2X2

令g(x)=x-e",因?yàn)閤>0,貝|g'(犬)=1一e"<1—e。=。，

可得g（'）在（。,+8）上單調(diào)遞減，所以g（x）<g（O）=-lv。,

所以當(dāng)xe（O,l）時(shí)，/^x）>0,當(dāng)x?l,y）時(shí)，r（x）<0,

所以f（x）在（。，1）上單調(diào)遞增，在。,內(nèi)）上單調(diào)遞減.

煉習(xí)與桎升

一、單選題

b

1.（2024高三?全國?課后作業(yè)）函數(shù)/（x）=ax+（（a、6為正數(shù)）的嚴(yán)格減區(qū)間是（）.

【答案】C

【分析】由題得xwO,再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間得解.

【詳解】解：由題得XN0.

A

由f\x)=a~-,令—(%)=Q-~-^<。解得-4口<x<0或0<x<P.

xVaVa

h

所以函數(shù)/（力="+—的嚴(yán)格減區(qū)間是與

X

選項(xiàng)D,本題的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用"U"連接，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選:c

2.（2024高二上?浙江?開學(xué)考試）已知函數(shù)/（x）=sinx+acosx在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍為（）

A.a>-s/2—1B.a>1C.a>1--\/2D.a>—1

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性知導(dǎo)數(shù)小于等于。恒成立，分離參數(shù)后由正切函數(shù)單調(diào)性求解.

【詳解】由題意，/'（%）=COS%-asinxWO在［2馬上恒成立，

、COSX1r/兀吟匚卜一分一

R即n。之二--=----在上怛成”，

sin尤tanx

因?yàn)閥=tanx在仁金）上單調(diào)遞增，所以y=tan無>1,

所以在無/不彳]時(shí)，0<---<1,

（41）tanx

所以a?l.

故選：B

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）三次函數(shù)/。）=〃?;3-彳在（-<?,+<?）上是減函數(shù)，則加的取值范圍是（）

A.m<0B.m<1C.m<0D.m￡1

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可得/（無）〈。在R上恒成立，結(jié)合恒成立問題分析運(yùn)算.

【詳解】對(duì)函數(shù)/。）=，/-尤求導(dǎo)，得尸（x）=3〃》;2-1

因?yàn)楹瘮?shù)/（X）在（-8,+8）上是減函數(shù)，則f\x）W0在R上恒成立，

即3〃a2_ivo恒成立，

當(dāng)爐=（）,即％=0時(shí)，3m恒成立;

1

當(dāng)f片0,即XNO時(shí)，^>0,貝1]3加44，即加'-^,

因?yàn)椤?NO,所以3m40,即加40；

x

又因?yàn)楫?dāng)機(jī)=0時(shí)，/（%）=-%不是三次函數(shù)，不滿足題意，

所以相<0.

故選：A.

4.（2024高三下?青海西寧?開學(xué)考試）已知函數(shù)/（x）=3+lnx.若對(duì)任意玉，x2e（0,2],且%w%，都有

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（

x2一百

B.(Y?,2]D.(-co,8]

【答案】A

【分析】根據(jù)題意,轉(zhuǎn)化為1呼+匕+玉〈山/+鼻+/，然后構(gòu)造/（x）=lnx+&+無，得到avi^±D_,

%]?1x??1X+1x

從而求得。的取值范圍.

【詳解】根據(jù)題意，不妨取玉<X2,則1（：）：；GJ>T可轉(zhuǎn)化為/（%）_/（芯）>現(xiàn)_々，

1a1a

即Inxx-\--------F玉<Inx2H---------Fx2.

x1+1x2+1'

^F(x)=］nx+-^—+x,則對(duì)任意A，Aj6(0,21,且占</，

X+1

都有尸(不)〈尸(%),

所以尸(x)在(0,2］上單調(diào)遞增，即9⑺=J-肅1+12。在(0,2］上恒成立,

即aW('+l)3在(。,2］上恒成立.

X

令MX)=3L0<X<2,則/?X)=(X+1)I2XT),0<x<2,

XX

令得0<x<g,令”(兄)>0,得g<%W2,

所以g)在［g］上單調(diào)遞減，在］,2上單調(diào)遞增，所以〃3mM所以維昂，

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是，巴?，

故選:A

5.(2024高三?全國?專題練習(xí))若函數(shù)/。)=/+尤-1”-2在其定義域的一個(gè)子區(qū)間(2—1,2左+1)內(nèi)不是

單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是()

A.［-|。B.加C.D.［1,|］

【答案】D

【分析】先求出函數(shù)的定義域(0,+8),則有2人-120,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，令廣。)=0求出極值點(diǎn)，使極值點(diǎn)

在(2人-1,2左+1)內(nèi)，從而可求出實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)F(x)的定義域?yàn)?0,+s),

所以2左一120,即左23,

小、?12x12+x-l(x+l)(2x-l)

t(x)-2x+1——----------------------，

XXX

令尸(x)=0,得尤=；或*=一1(舍去)，

因?yàn)橛?x)在定義域的一個(gè)子區(qū)間(2"1,2左+1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，

113

所以2左一1<—<2左+1,得一一<k<-

2449

13

綜上，—<77,

24

故選：D

6.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃h=93+］/+尤+1在（y,。），（3,+8）上單調(diào)遞增，在（1,2）上

單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

【答案】A

了'（0）20

【分析】由題意可得（（無）=0兩個(gè)根分別位于［0,1］和［2,3］上，所以，;<0,從而解不等式組可求出實(shí)數(shù)

「⑶20

。的取值范圍.

【詳解】由/'（犬）=；X3+■|._￥2+%+1,得70=/+&1c+］.

因?yàn)?■（%）在（-8,0）,（3,+8）上單調(diào)遞增，在（1,2）上單調(diào)遞減，

所以方程f（X）=o的兩個(gè)根分別位于區(qū)間［0』和［2,3］上,

7W>o1>0,

1+a+1W0,

所以/z(2)<0,即，

4+2tz+l<0,

八3)209+3〃+120,

解得一號(hào)《〃工一"1.

故選：A.

3111

7.(2024?全國)已知〃=一,Z?=cos—,c=4sin—,貝|()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

r,11

【分析】由7=4ta,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得c〉b；構(gòu)造函數(shù)/⑺=COSX+5/TX￡（O,+8）,利用導(dǎo)數(shù)可

得bf即可得解.

【詳解】［方法一］:構(gòu)造函數(shù)

因?yàn)楫?dāng)tanx

c1c

故：=4taiiT>l,故工>1,所以c>b；

b4b

設(shè)/⑺=c°sx+32T無e(0,+oo)

/'(x)=-sinx+x>0,所以于(x)在(0,+GO)單調(diào)遞增,

故叫"。尸。,所以*-||＞。，

所以b＞。，所以故選A

［方法二］:不等式放縮

因?yàn)楫?dāng)sinx<x,

取x二得：cos—=l-2sin2—>l-2f—=—,故力〉。

848⑶32

.11rrz.(1)(兀、.14

4sin—+cos—=V17sinl—+I,其中sin=—j=,coscp=.—

當(dāng)4sin!+cos'=7F7時(shí),17rp兀T

一+。=一，及(p=-----

444224

,141.1

此時(shí)sin7=cos。=-7=,cos—=sin0=—j=

41174歷

.114?1…1皿

故c°s；=K<-^=sm；<4sm],故b<c

4V1771744

所以〃＞。，所以故選A

［方法三］:泰勒展開

?mu_31」0.252,110.2520.254

ixx-0.25,貝[Ia——=1------,b—cos-21--------1------，

322424!

.I

.1sin4,0.2520.2547好,口，以、咫

c=4A8111-=—^?1———+^—,計(jì)算得c>6>a,故選A.

4

[方法四]:構(gòu)造函數(shù)

因?yàn)閒=4tan,，因?yàn)楫?dāng)xwfo,g],sinx<尤<tanx,所以tan」>即f>1，所以c>b；設(shè)

b4<2J44。

f(x)=cosx+^x2-l,xe(0,+co),f,(%)=-sinx+x>0,所以/⑺在(0,+>?)單調(diào)遞增，貝(J/>/(0)=0,

131

所以COS]-互>0,所以所以c>6>a,

故選：A.

［方法五］:【最優(yōu)解】不等式放縮

因?yàn)椤?4tan,，因?yàn)楫?dāng)xe(0，W],sinx<x<tanx,所以tan，>工,即￡>1,所以c>b；因?yàn)楫?dāng)

b4{2J44〃

x￡（7,sinx<x,x——得cos—=1—2sin—>1—2\—j=—,故6>。，以c>/?〉1.

I2；848（8）32

故選：A.

【整體點(diǎn)評(píng)】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點(diǎn)在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法;

方法5:利用二倍角公式以及不等式無€[0胃）,011苫<苫<1211》放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解.

8.(2024?全國)設(shè)。=0.加°」,6=，，c=-ln0.9,貝|()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x,導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定d瓦C的大小.

【詳解】方法一：構(gòu)造法

1Y

^/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因?yàn)?-1=—F，

l+x1+X

當(dāng)％￡(-1,0)時(shí)，f(x)>0,當(dāng)%￡(0,+oo)時(shí)廣(%)<0,

所以函數(shù)/(%)=ln(l+%)-%在(0,+8)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增,

所以/(/</(0)=0,所以皿弓-1<0,故|>ln￥=-ln0.9,即b>c,

所以〃-77)</(°)=°，所以故二<e%所以上一。<上，

10101010109

故。<》，

設(shè)g(x)=xe，+ln(l-x)(0<x<l),則g，(x)=(x+i)e*+^^=~+.

令h(x)=e'(x2-1)+1,h'(x)=e'(x2+2%—1),

當(dāng)0〈尤〈夜一1時(shí)，h'(x)<0,函數(shù)/?(無)=e'(x2-1)+1單調(diào)遞減，

當(dāng)A-1<X<1時(shí)，"(x)>0,函數(shù)/z(x)=e*(x2-l)+l單調(diào)遞增，

又〃(0)=0,

所以當(dāng)0<x<近一1時(shí)，以x)<0,

所以當(dāng)0<x<a_］時(shí),g'M>0,函數(shù)g(x)=^re*+ln(l-x)單調(diào)遞增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e°,>-ln0.9,所以

故選：C.

方法二：比較法

解：a=0Ae°l,b=-^-,c=-ln(l-0.1),

1—0.1

①ln?-lnZ?=0.1+ln(l-0.1),

令=x+ln(l—x),xG(0,0.1],

|一y

貝uf'(x)=l--=--<0,

l—xL—X

故于(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞減,

可得/(0.1)</(0)=0,即lna-lnb<o,所以a<b；

②a-c=0.1e0A+ln(l-0.1),

令=xex+ln(l—x),xe(0,0.1],

I/、1+—x)cx—1

貝n!Jg\x\=xex+ex-—~=——八——』-----,

v71-x1-x

令k(x)=(l-^x)(l-x)ex-1,所以k,(x)=(l-x2-2x)ex>0,

所以k{x}在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得k{x}>k(0)>0,即gf(x)>0,

所以g(x)在(0,0-H上單調(diào)遞增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

9.(2024高三上?河南?階段練習(xí))下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+。)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()

A./(x)=xlnxB./(%)二%-C./(x)=ex+e-xD./(冗)=，一

XX十1

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性分別判斷即可，利用導(dǎo)數(shù)即可判斷函數(shù)在(0,+8)的單調(diào)

性.

【詳解】對(duì)于A,/(力=加的定義域?yàn)?0,+8),定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；

丫211

對(duì)于B,〃尤)===%+上,定義域?yàn)?-8,0)11(0,y),

XX

因?yàn)椤?》)=-犬-5=-〃司，所以〃尤)為奇函數(shù)，不符合題意；

對(duì)于c,7(x