二次函數(shù)中定值、定點問題（學(xué)生版）-2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題

二次函數(shù)中定值、定點問題

解題思路：

二次函數(shù)中的定值定點問題通常涉及到二次函數(shù)在特定點或特定條件下的性質(zhì)。

這類問題一般會要求找出某個特定的值（定值）或某個特定的點（定點），使得二次函數(shù)滿

足某種條件。

解決這類問題的一般步驟是：

1.根據(jù)題目條件，設(shè)出二次函數(shù)的一般形式。

2.利用題目給出的條件（如定點、定值等），建立方程或不等式。

3.解方程或不等式，找出滿足條件的值或點。

1.（2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?中考真題）探究函數(shù)＞=-2國2+4國的圖象和性質(zhì)，探究過程如

下：

（1）自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，％與y的幾組對應(yīng)值列表如下

_5_325_

XL-2-1012L

~2~2~2222

_52222_5

yL0m020L

~22222~2

其中，m=.根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在圖1所示的平面直角坐標系中，通過描點畫出了函

數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象的另一部分.觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；

（3）在圖2中，當x在一切實數(shù)范圍內(nèi)時，拋物線y=-2/+4x交x軸于。，A兩點（點。在

點A的左邊），點尸是點。（1,0）關(guān)于拋物線頂點的對稱點，不平行，軸的直線/分別交線段

OP,AP（不含端點）于/,N兩點.當直線/與拋物線只有一個公共點時，PM與PN的

和是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.

2.（2023?遼寧大連?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線G：y=/上有兩點A、

B,其中點A的橫坐標為-2,點8的橫坐標為1,拋物線C2：y=-x2+ZJx+c過點A、B.過

備用圖

⑴求拋物線C2的解析式；

（2）將矩形ACDE向左平移機個單位,向下平移n個單位得到矩形ACDE，點C的對應(yīng)點。

落在拋物線C|上.

①求”關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量〃，的取值范圍；

②直線AE交拋物線于點尸，交拋物線Q于點Q.當點?為線段PQ的中點時，求機的

值；

③拋物線C?與邊E。、AC分別相交于點M、N,點、M、N在拋物線C?的對稱軸同側(cè)，

當MN=±叵時，求點。的坐標.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線上有兩點，其中點

3

的橫坐標為，點的橫坐標為，拋物線過點.過作軸交拋物線另一點為點.以長為邊向上構(gòu)造

矩形.

Q

3.(2023?遼寧?中考真題)如圖，拋物線廣加+>+c與x軸交于點A和點3(3.0),與y

軸交于點C(0,4),點尸為第一象限內(nèi)拋物線上的動點過點P作尸軸于點E,交8C于

(1)求拋物線的解析式；

(2)當△3EF的周長是線段尸產(chǎn)長度的2倍時，求點P的坐標；

(3)當點P運動到拋物線頂點時，點。是y軸上的動點，連接BQ,過點8作直線/18。，

連接。尸并延長交直線/于點當=時，請直接寫出點。的坐標.

4.(2023?四川德陽?中考真題)己知：在平面直角坐標系中，拋物線與無軸交于點A(-4,0),

8(2,0),與y軸交于點C(0,-4).

圖I圖2

(1)求拋物線的解析式；

(3)如圖2,如果把直線A3沿y軸向上平移至經(jīng)過點D,與拋物線的交點分別是E,F,直

DFI-

線BC交EF于點H,過點尸作bGLC”于點G,若丁=2石.求點尸的坐標.

5.（2023?湖北?中考真題）如圖1,在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線

y=加+桁-6（"0）與x軸交于點A（—2,0）,3（6,0）,與V軸交于點C,頂點為。，連接BC.

圖1圖2

（1）拋物線的解析式為；（直接寫出結(jié)果）

（3）如圖2,若動直線I與拋物線交于M,N兩點（直線/與5c不重合），連接CN,BM,直線CN

與8M交于點尸.當時，點尸的橫坐標是否為定值，請說明理由.

6.（2023?福建?中考真題）已知拋物線〉=0?+法+3交工軸于4（1,0）,3（3,0）兩點，以為拋

物線的頂點，CD為拋物線上不與A,B重合的相異兩點，記A8中點為E,直線的

交點為P.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若C（4,3）,。］機且相＜2,求證：C,2E三點共線；

（3）小明研究發(fā)現(xiàn)：無論G。在拋物線上如何運動，只要C,D,E三點共線，

AAMP,AMEP,AABP中必存在面積為定值的三角形.請直接寫出其中面積為定值的三角形

及其面積，不必說明理由.

7.（2023?湖北武漢?中考真題）拋物線G：y=V-2彳-8交X軸于兩點（A在8的左邊）,

交V軸于點C.

⑴直接寫出A,民C三點的坐標；

（3）如圖（2）,將拋物線C1平移得到拋物線C”其頂點為原點.直線y=2尤與拋物線C?交于

0,G兩點，過0G的中點H作直線（異于直線0G）交拋物線G于兩點，直線M0

與直線GN交于點P.問點尸是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請

說明理由.

8.（2023?湖南?中考真題）如圖，已知拋物線y=--2ax+3與x軸交于點A（-l,0）和點B,

（2）將直線8C向下平移機＞0）個單位長度，交拋物線于夕、C'兩點.在直線B'C'上方的

拋物線上是否存在定點。，無論“取何值時，都是點。到直線AC的距離最大，若存在，

請求出點。的坐標；若不存在，請說明理由

9.（2023?江蘇揚州?中考真題）在平面直角坐標系中，已知點A在y軸正半軸上.

⑴如果四個點（0,0）、（0,2）、（1,1）、（-1,1）中恰有三個點在二次函數(shù)y=以？（°為常數(shù)，且“40）

的圖象上.

①a=；

②如圖1,已知菱形A3CD的頂點8、C、。在該二次函數(shù)的圖象上，且軸，求菱形

的邊長；

③如圖2,已知正方形ABCD的頂點2、。在該二次函數(shù)的圖象上，點8、。在y軸的同側(cè)，

且點8在點。的左側(cè)，設(shè)點8、。的橫坐標分別為機、n,試探究〃一機是否為定值.如果是，

求出這個值；如果不是，請說明理由.

（2）已知正方形ABCD的頂點2、。在二次函數(shù)＞=辦2（a為常數(shù)，且。＞0）的圖象上，點2

在點。的左側(cè)，設(shè)點8、。的橫坐標分別為機、”直接寫出機、〃滿足的等量關(guān)系式.

10.（2023?四川南充?中考真題）如圖1,拋物線丫="2+6尤+3（。片0）與無軸交于A（-LO）,

3（3,0）兩點，與y軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式；

⑵點P在拋物線