對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（6題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題07對數(shù)與對數(shù)函數(shù)6題型分類

彩題生工總

題型6：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題題型1:對數(shù)運算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式

\_____________________

題型5：對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合專題07對數(shù)與對數(shù)函數(shù)6—題型*對數(shù)函數(shù)的圖像

題型分類

題型4：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和最值題型3：對數(shù)函數(shù)的定義域、值域問題

彩先我宏庫

1、對數(shù)式的運算

（1）對數(shù)的定義：一般地，如果/=N（a>0且。*1）,那么數(shù)x叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=log.N,

讀作以。為底N的對數(shù)，其中。叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

（2）常見對數(shù)：

①一般對數(shù)：以a（a>0且OH1）為底，記為log"讀作以a為底N的對數(shù)；

②常用對數(shù)：以10為底，記為IgN；

③自然對數(shù)：以e為底，記為InN；

（3）對數(shù)的性質(zhì)和運算法則：

①log；=0；log°=1；其中a>0且awl；

②個或=N（其中a>0且awl,N>0）；

③對數(shù)換底公式：1°8。6=署1；

④log?（MN）=logaM+logaN；

⑤log”果=log“M-log“N；

⑥logb"=—log”b（m,〃eR）；

m

⑦*J=匕和log.ah=b.

1

⑧l(xiāng)og”b=

log；,a

2、對數(shù)函數(shù)的定義及圖像

（1）對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)丁=108“％（。>0且。*1）叫做對數(shù)函數(shù).

對數(shù)函數(shù)的圖象

a>\0<a<l

VAx=\

\

圖象\!(ho)

o\Z(l,o)X

定義域：（。，+8）

值域：R

過定點（1，0）,即尤=1時，y=0

性質(zhì)

在（0,+8）上增函數(shù)在（0,+8）上是減函數(shù)

當(dāng)OVJTVI時，y<0,當(dāng)時，當(dāng)。vxvl時，y>0,當(dāng)時，

y>Qy<0

彩健題海籍

（一）

對數(shù)運算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式

對數(shù)的有關(guān)運算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對數(shù)方程或?qū)?shù)不等式問題是要將其化為同底,

利用對數(shù)單調(diào)性去掉對數(shù)符號，轉(zhuǎn)化為不含對數(shù)的問題，但這里必須注意對數(shù)的真數(shù)為正.

題型1:對數(shù)運算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式

1-1.(2024?北京)已知函數(shù)/(x)=4'+logzx,貝

【答案】1

【分析】根據(jù)給定條件，把尤=g代入，利用指數(shù)、對數(shù)運算計算作答.

【詳解】函數(shù)/（x）=4"+log2X,所以/（；）=4；+log2g=2-1=1.

故答案為：1

1-2.（2024高三上?湖北,階段練習(xí)）使log2（r）＜x+l成立的x的取值范圍是

【答案】（-1,0）

【詳解】在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y=iog2（-x）和＞=無+1的圖象（如圖所示），由圖象，得使

皿2（-尤）＜尤+1成立的X的取值范圍是（T0）；故填（-1,0）.

7=log2（-X）/

1-3.（2024?全國）已知函數(shù)/（力=觀式/+”）,若〃3）=1,則”.

【答案】-7

【詳解】分析：首先利用題的條件"3）=1,將其代入解析式，得到〃3）=/限（9+a）=l,從而得到9+。=2,

從而求得。=-7,得到答案.

詳解：根據(jù)題意有〃3）=上?2（9+〃）=1,可得9+。=2,所以口=-7,故答案是-7.

點睛：該題考查的是有關(guān)已知某個自變量對應(yīng)函數(shù)值的大小，來確定有關(guān)參數(shù)值的問題，在求解的過程中,

需要將自變量代入函數(shù)解析式，求解即可得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.

1-4.（2024高三上.江蘇南京.期中）設(shè)函數(shù)/。）=性：；'無＞°,則"K.

【答案】

6

【分析】先求出巾，再求々0即可

flO2oX-l,X＞0

【詳解】因為〃尤）=2.；＜0，

1

I1一1111n

所以/log2--l=log2-+log2-=log2-<0,

2喝=L

所以//

366

故答案為：I

O

1-5.（2024高三下?上海?階段練習(xí)）若12"=3〃=機，＞--7=2,貝打〃=

ab

【答案】2

【分析】將條件中的指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，求出工1,代入：=2,利用對數(shù)的運算性質(zhì)可得機.

abab

【詳解】-.-12a=3h=m,>--7=2,

ab

...機>0且機w1,

/.a=log12m,b=log3m,

■■--=logm12,1=log,?3,

ab

?■---J-=log?,12-logm3=log?,4=2,

ab

:.m=2.

故答案為：2.

)2?21g3Jg2

（高三,全國專題練習(xí)）(log63+(log62)2

1-6.2024(Ig3+lg2)2

【答案】1

【分析】利用換底公式、對數(shù)的運算性質(zhì)計算可得結(jié)果.

【詳解】原式=（1嗎3y+（1叫2）2+穿警

Ig61g6

22

=（log63）+（log62）+21og63-log62

2

=(log63+log62)

2

=(log66)=l.

故答案為：1.

彩健題秘籍。

對數(shù)函數(shù)的圖像

研究和討論題中所涉及的函數(shù)圖像是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.圖像問題是數(shù)和形結(jié)合的護體

解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.

題型2:對數(shù)函數(shù)的圖像

2-1.（2024?山東荷澤?三模）已知函數(shù)y=log“（2x+3）—4（。>0且過定點尸，且定點尸在直線

/:6+勿+7=0（6>0）上，則」的最小值為______.

a+24b

【答案】|4

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得尸（T,-4）,代入直線方程得0+2+46=9,再根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.

【詳解】令2x+3=l,即x=-l,得'=々，故P（T,-4）,

由P(—1,-4)在直線/:改+Z?y+7=0(Z?>。)上，得一Q—4/?+7=0,即a+2+4Z?=9,

因為〃>0且awl,Z?>0,所以a+2>2且，+2?3,4/?>0,

11a+2+4614ba+21a+2、4

所以--------F一=出+小——-——=-(2+------+-------)>-(2+2,--------------)=-

a+24b99a+24b9\a+24b9

4ba+2959

當(dāng)且僅當(dāng)力=工’即"+2=46=5,即"屋"費時，等號成立?

114

故會+花的最小值為屋

4

故答案為：—

22（2024高二上?四川綿陽?單元測試）函數(shù)丁=1。8/1+3）-1（〃>0,〃。1）的圖象恒過定點人，若點A在直

19

線如+2+1=。上，其中加、H>0,則一+一的最小值為.

mn

【答案】8

1o

【分析】求出定點A（-2,T）,可得出2初+及=1,將代數(shù)式乙+4與2機+”相乘，展開后利用基本不等式可

mn

求得1上9的最小值.

mn

【詳解】對于函數(shù)y=log?（x+3）T（a>0,awl）,令x+3=l,可得x=-2,貝！|y=log01-1=一1,

故函數(shù)y=log,,（x+3）—l（a>0,awl）的圖象恒過定點A（-2,-l）,

因為點A在直線=。上，貝!J—2加一〃+1=0,可得2機+〃=1,

因為用、〃>0,所以，—+-=（2m+n）|—+—|=4+—+—>4+2J—?—=8,

mnnJnm\nm

1?

當(dāng)且僅當(dāng)〃=2%時，等號成立，故上+士的最小值為8.

mn

故答案為：8.

2-3.（2024高二上?河北衡水?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（無）=/一2尤+3,g{x}=\og2x+m,對任意的毛，e［l,

句有/。）>8（三）恒成立，則實數(shù)機的取值范圍是.

【答案】（-8,0）

【分析】由題設(shè)不等式恒成立，只需在xe［L4］上“X）1rto>g（x）a成立即可，進而求優(yōu)范圍.

【詳解】函數(shù)/（工）=尤2-2苫+3=（尤-1了+2在口，4J上單調(diào)遞增，？（了）=1082元+根在［1,4］上單調(diào)遞增，

回/（"）*="1）=2，gGL=g（4）=2+〃？，

對任意的毛，々6口，4］有/（%）>g（x2）恒成立，

團人力向，>8（力皿，即2>2+加，解得機<0，

團實數(shù)加的取值范圍是（-8,0）,

故答案為：（-雙。）.

2-4.（2024高三?四川?對口高考）已知函數(shù)y=log“（x+》）（a,6為常數(shù)，其中a>0且aRl）的圖象如圖所

示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.a=0.5,6=2B.a=2,b=2

C.a=0,5>b=0.5D.a=2,b=0.5

【答案】D

【分析】由函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，可得。>1,排除A,C；代入（050）,得6=0.5,從而得答案.

【詳解】解：由圖象可得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，

所以a>l,排除A,C；

又因為函數(shù)過點(050),

所以b+0.5=l,解得6=0.5.

故選：D

2-5.(2024?陜西)函數(shù)>=里的圖像大致為()

x+2

【答案】B

【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可排除AC,再由當(dāng)xe(O,l)時，/(%)<0,排除D,即可得解.

【詳解】設(shè)y=〃x)=M，則函數(shù)〃x)的定義域為{尤卜*0},關(guān)于原點對稱，

又〃-、)］：：：9"')，所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，排除AC；

當(dāng)xe(O,l)時，ln|x|(0,x2+2)0,所以〃x)<0,排除D.

故選：B.

對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））

研究和討論題中所涉及的函數(shù)性質(zhì)是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.性質(zhì)問題是數(shù)和形結(jié)合的護體

解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.

題型3:對數(shù)函數(shù)的定義域、值域問題

3-1.（2024高二下?福建莆田?期中）函數(shù)〃x）=&b+log2（x+l）,則定義域是.

【答案】（-1,內(nèi)）

【分析】根據(jù)解析式列出不等式組求解即可.

【詳解】由/'（%）=Jx+3+log2（x+l）可得,

[犬+320人,

1?，解得x>-l,

[x+l>0

所以函數(shù)的定義域為（-1,內(nèi)）.

故答案為：（-1,內(nèi)）.

logJX,X>1

32（2024?北京）函數(shù)/（尤）={2的值域為.

2',x<l

【答案】（口,2）

【分析】當(dāng)心1時，〃x）=logjXW。；當(dāng)x<l時，〃x）=2，e（O,2）,可得值域

2

【詳解】當(dāng)X21時,/W=log^<0;當(dāng)了<1時，仆）=2*?0,2）,故函數(shù)的值域為（-e,2）.

2

【考點定位】本題考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和值域，求函數(shù)的值域可以利用函數(shù)的單調(diào)性，也可以利用

函數(shù)的圖象求.

3-3.（2024高三?全國?對口高考）若函數(shù)>=lg（f-巾+9）的定義域為R,則a的取值范圍為；若

函數(shù)y=ig（d-依+9）的值域為R,則。的取值范圍為.

【答案】（-6,6）（-<?,-6]u[6,+oo）

【分析】第一空，由題意可得無2一依+9>0對于xeR恒成立，結(jié)合判別式小于0即可求得答案；第二空，

由題意可得Y一依+9能取到所有正數(shù)，結(jié)合判別式大于等于0即可求得答案；

【詳解】函數(shù)y=lg，-G+9）的定義域為R,則無2一6+9>0對于xeR恒成立，

故A=（—Q）2_4X9<0,解得一6<a<6,即?！辏ㄒ?,6）；

若函數(shù)y=lg（*2-歐+9）的值域為R,即X2-依+9能取到所有正數(shù)，

故△=（-o）2-4x920,解得“26或aW-6,即ae（-oo,-6]u[6,+e）,

故答案為：（-6,6）；（-oo,-6]u[6,+oo）

3-4.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃”=館3+福+，|的值域為R,則加的取值范圍是.

【答案】（fT

【分析】

利用基本不等式求出函數(shù)M=5*+福+機的值域D,根據(jù)題意可知（O,y）=D,可得出關(guān)于實數(shù)優(yōu)的不等式,

解之即可.

【詳解】對任意的xeR,5">0,由基本不等式可得5*+上+優(yōu)22J5,+優(yōu)=m+4,

5XV5

當(dāng)且僅當(dāng)5'=三4時，即當(dāng)》=1嗎2時，等號成立，

5

因為函數(shù)/（x）=1g15,+：+9]的值域為R,則（0,~Ko）鼻+4,內(nèi)），

所以，m+4<0,解得機

因此，實數(shù)機的取值范圍是（-8,-4].

故答案為：（-oo,-4].

題型4：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和最值

4-1.（2024高三?重慶渝中?階段練習(xí)）函數(shù)yTog/x?-x-2）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

4

1

A.—00—B.(->?,-1)C.D.(2,+09)

2

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的同增異減即可.

【詳解】函數(shù)>=1OS1（無2一無一2）的定義域為。（2,+8）,

4

令”尤2一元一2,又y=i°gJ在定義域內(nèi)為減函數(shù),

4

故只需求函數(shù)-元-2在定義域（-8,-1）。（2,+8）上的單調(diào)遞減區(qū)間，

又因為函數(shù)公尤2_尤_2在上單調(diào)遞減，

y=10§1（%2-X-2）的單調(diào)遞增區(qū)間為（一8,-1）.

4

故選：B

4-2.（2024高三下?寧夏銀川?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（?=1嗝（1-依），若“X）在（9』］上為減函數(shù),則。的取

值范圍為（）

A.（0,+s）B.（0,1）C.（1,2）D.（-8,1）

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的定義域求解.

【詳解】設(shè)函數(shù)y=i-6，

因為/（X）在（-00,1］上為減函數(shù)，

所以，=1-6在（-00,1］上為減函數(shù)，則-<2<0解得。>0,

又因為y=i-依>。在（-8,1］恒成立，

所以Xnin=1一。解得。<1-

所以。的取值范圍為0<。<1,

故選:B.

,、I+（a—2）x—a+3.尤<1

4-3.（2024高一下?陜西寶雞?期末）己知函數(shù)=|,的最小值為0,則實數(shù)。的取

Ilog3X9X>1

值范圍是.

【答案】卜8,20］

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖像知函數(shù)y=iog3x,xwi最小值為0,從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)

//（耳=/+（°-2卜-。+32。對*<1恒成立，通過二次函數(shù)過定點，討論其對稱軸所在位置從而求解.

【詳解】函數(shù)y=iog3尤，XN1最小值為0,

設(shè)尤）=九2+（a-2）x-a+3,xvl,

所以只要滿足可無”0恒成立，

函數(shù)對稱軸為》=-9=平，且力（1）=1+。一2—.+3=2,

①一21,即aWO時，滿足題意；

②—<1,即aX）時，

需滿足//（7[=—2）?^j^-a+320,

IPa2<8,得-20<。<20,

此時實數(shù)。的取值范圍是（0,20].

綜上，實數(shù)。的取值范圍是卜s,2忘]

故答案為：卜°,2行].

44（2024高一下糊北?階段練習(xí)）若函數(shù)〃尤）=：+","'L，在R上單調(diào)，則。的取值范圍是（）

\2a+log,x,x>l

A.（0,1）B.[2,+?）C.]（）,；卜（2,+與D.（0,1）u[2,^）

【答案】D

【分析】分外無）單調(diào)遞增與單調(diào)遞減兩種情況討論，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性判斷方法列出不等式組求解.

[a>l

【詳解】若〃尤）在R上單調(diào)遞增，貝IJ0|1,解得〃￡[2,+8）,

[2+a<2a+iogal

fO<a<l

若在R上單調(diào)遞減，貝IJG11,解得〃￡（0,1）.

[2+a>2a+logal

綜上得aw（0,1）U⑵+8）.

故選：D

4-5.（2024?云南?模擬預(yù)測）B^/（x）=log2x（l<x<16）,設(shè)g（x）=/2（元）+/（爐），則函數(shù)y=g（x）的最大

值為.

【答案】8

fl<x<16_.

【分析】由，/2/“求出g（x）的定義域為[1，4]，然后換元，令/=1窕2尤，0VY2,得>=〃+2/=。+1）2-1,

[1<尤<16

根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可求出最大值.

2222

【詳解】y=g(x)=r(x)+/(X)=(log2x)+log2x=(log2x)+21og2X,

fl<x<16

由，?得l〈x<4，即g(x)的定義域為口,4]，

[1<x<16

令"logzX,因為所以0WY2,

所以>=?+2/=?+1)2—1在[0,2]上為增函數(shù)，

所以7=2時，9=8.

故答案為：8.

YI

4-6.(2024海南?？?模擬預(yù)測)已知正實數(shù)優(yōu)，〃滿足："In/iue"-,則一的最小值為.

m

2

【答案】-e

4

【分析】將〃ln〃=e祇-〃Inm變形為曖』"+m—ln〃=ein"+lnw,設(shè)/(x)=e"+x,對/(%)求導(dǎo)可知/(%)在R

x

上單調(diào)遞增，所以〃Llnulmw,則”=J,所以烏='，令g(x)=三e，對g(/x)\求導(dǎo)，即可求出己n的最

mmmxm

小值

Qm

【詳解】由〃In〃=e"-〃lnm可得：—=Inm+Inn,

n

w-ln

所以e%m〃—]n〃=inm,en+m-lnn=m+\nm=Qhim+lnm,

設(shè)〃x)=e"+x,/r(x)=ex+l>0,

所以在R上單調(diào)遞增，所以/(機-ln〃)=/(lnm),

Q'"

則m-lnn=]nm,所以In〃=In—,

m

x2x(-2)

所以"=J,所以二=J,令g(x)==,g〈x)=e-x-e-2xe

3

mmmxx，

令g'(x)>0,解得：x>2；令g'(x)<0,解得：0<x<2；

所以g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增,

2

e

所以gWnJg⑵下

2

故上的最小值為

m4

2

故答案為：e

4

4-7.(2024?天津)已知°=2%6=，cfogzg，貝U()

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】c

【分析】利用事函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出a、6、C的大小關(guān)系.

【詳解】因為2°7>2：'>0=log21>log2g，故a”>c.

故答案為：C.

題型5:對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合

5-L(2024高三?全國?專題練習(xí))己知函數(shù)滿足：x>4,則〃x)=2"；當(dāng)x<4時，f(x)=f(x+l),則

/(2+logl3)=

2.

641

【答案】y/21-

【分析】利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定2+l°g23的范圍，再利用給定關(guān)系求解作答.

2

[詳解]依題意，崛4<蹙3<1叫2,則0<2+題工3<1,因此4<6+1<^3<5,

22222

而x",貝療(x)=2%當(dāng)尤<4時，/(x)=/(x+l),

6

6+log13264

所以〃2+108工3)=/(6+1。8工3)=2%=^~^==

22，3

64

故答案為：—

52(2024高一上?江蘇徐州?期末)已知函數(shù)“力是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，/(x)=log2x,則

f(x)2-2的解集是.

【答案】-4,0]u[l

-log20

【分析】利用奇偶性求出函數(shù)"X)的解析式/(x)=0，x=。,分類討論即可求解.

log2x,x>0

【詳解】當(dāng)x<0時，-x>0,所以/(—x)=log2(-x),

因為函數(shù)/(無)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(x)=-/(—x)=—log2(—x),

所以當(dāng)x<0時，f(x)=-log2(-x),

-log?(-尤)，尤<0

所以/(x)=O,X=。,

log2>0

fx>0fx<0[x=0

要解不等式/(x)2-2,只需、c或](、>o或八、c，

[log,x>-2[-log2(-x)>-2[0>-2

解得或TWx<0或x=0,

4

綜上，不等式的解集為_4,0M；,+co].

故答案為：-4,0]。匕,+8].

5-3.(2024?陜西寶雞二模)已知函數(shù)〃x)=lgx+lg(2-x),則()

A.〃尤)在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,2)單調(diào)遞增B.在(0,2)單調(diào)遞減

C.的圖像關(guān)于直線x=l對稱D.有最小值，但無最大值

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，可判斷A,B；推得/■(2-x)=lg(2-x)+lgx=/(x)可判斷C；

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.

【詳解】由題意可得函數(shù)〃x)=lg無+lg(2r)的定義域為(0,2),

貝I]/(x)=1gx+1g(2-x)=lg(-x2+2x),

因為y=—f+2兀在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減，

且y=lg尤在(0,+℃)上單調(diào)遞增，

故在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L2)上單調(diào)遞減，A,B錯誤；

由于〃2-x)=lg(2—x)+lgx=/(x),故〃x)的圖像關(guān)于直線尤=1對稱，C正確；

因為y=—f+2x在x=l時取得最大值，且y=lgx在(0,口)上單調(diào)遞增，

故/（X）有最大值，但無最小值，D錯誤,

故選：C

5-4.（2024?全國）設(shè)函數(shù)/（x）=ln|2x+l|-ln|2xT|,則於）（）

A.是偶函數(shù)，且在+8）單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在（-提》單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在（f,-；）單調(diào)遞減

【答案】D

【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出了（X）為奇函數(shù)，排除AC；當(dāng)時，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

可判斷出“尤）單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷出〃x）單調(diào)遞減，從而

得到結(jié)果.

【詳解】由/（力=111|2了+1卜1321-1|得“X）定義域為卜土關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，

X/（--^）=ln|l-2x|-ln|-2x-l|=ln|2x-l|-ln|2j;+l|=,

\"x）為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；

當(dāng)xe時，/(x)=ln(2x+l)_ln°_2x),

Qy=ln（2x+1）在1J,1上單調(diào)遞增，y=ln（l—2x）在［g』上單調(diào)遞減,

\4x）在上單調(diào)遞增，排除B；

—8'一；）時'2r+1(2

當(dāng)了￡/(x)=ln(-2x2x)=In-------=InI1+

2x-l

在上單調(diào)遞減,

“i+e“〃）=ln〃在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：“X）在，巴-上單調(diào)遞減，D正確.

故選：D.

【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，根

據(jù)/（-X）與F（x）的關(guān)系得到結(jié)論；判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性

質(zhì)和復(fù)合函數(shù)"同增異減"性得到結(jié)論.

彩健題海籍

(四)

對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

1.不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：

一般地,已知函數(shù)y=/(x),xe[a,6],y=g(x),x&\c,d\

⑴若x4a,6],Vx2clc,d],總有/(xJvgG)成立，故了⑺.<g(x)11M

(2)若％e[a,6],3x2&[c,d],有/(%)<g(%)成立，故/⑺1mx<g(x)1mx；

(3)若叫e[a,句,3X2s[c,d],有〃石)<g(%)成立，故/⑺5<g⑺1mx;

⑷若"3x^[c,d],有/(%)=&(%)，則〃x)的值域是g(x)值域的子集.

2.(1)利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像求解；

(2)分離自變量與參變量，利用等價轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

(3)涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，借助同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、

最值是解決問題的關(guān)鍵.

題型6:對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

6-L(2024高二下嘿龍江大慶?階段練習(xí))已知函數(shù)〃力=--2尤+3,g(x)=log2X+〃2,若對

依耳幺也衽叩轉(zhuǎn)為使得“動一色)，則實數(shù)機的取值范圍為.

【答案】(-8,—1]

【分析】根據(jù)條件分析得到了(占)向“幺仇)皿，然后根據(jù)〃x),g(x)的單調(diào)性分析出對應(yīng)的最值，由此可求

解出機的取值范圍.

【詳解】因為對％?2,4],±2c[16,32],使得〃占)見(%),

所以"xj小8㈤硒,

因為〃x)=d—2x+3的對稱軸為x=l,所以〃尤)在[2,4]上單調(diào)遞增，所以/'(勾神=/(2)=3,

又因為g(X)=現(xiàn)2%+機在[16,32]上單調(diào)遞增，所以g(x)^=g(16)=4+〃?，

所以324+帆，所以％4-1,即〃ze(-8,-l],

故答案為：(7>，T].

【點睛】結(jié)論點睛：不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化:

一般地，已知函數(shù)y=/(x),xe[a,，|,y=g(x),x&[c,d\

(1)若%e[a,可,氣€卜,句，總有/(%)<g(蒼)成立,故〃力2<g(x)min；

(2)若％w[a,6],3X2e[c,J],有〃3)<8(々)成立，故/⑺1mx<g(?1mx；

(3)若初e[a,句,3x2e[c,d],有〃石)<8(z)成立，故/⑺1nto<g(x)1mx；

(4)若V±e[a,6],Bx2&[c,d],有〃石尸8化)，則f(無)的值域是g(x)值域的子集.

62(2024?江西宜春?模擬預(yù)測)若Vxe1,21，不等式“7嗎尤+G<0恒成立，則實數(shù)。的取值范圍

_2J2

為.

【答案】~,-5)

【分析】分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，根據(jù)單調(diào)性可得.

【詳解】因為Vxe[,2],不等式2尤2-xlog2尤+6<°恒成立，

_2J2

所以"log產(chǎn)-2x對Vxe1,2恒成立.

2|_2_

記小)=log:-2X,xe1,2,只需。<〃耳皿.

因為ynlog^x在xe12上單調(diào)遞減，y=-2x在xe：,2上單調(diào)遞減，

2|_2」|_2

所以“無)=1嗎尤-2工在x/山]上單調(diào)遞減，

2|_2

所以〃XL="2)=—5,所以。<一5?

故答案為：(力,-5)

63(2024高三下?浙江?階段練習(xí))已知函數(shù)〃力=2±±，g(x)=log2x+?,若存在不目3,4],任意

X

x2e[4,8],使得〃%)2g(9),則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在對應(yīng)區(qū)間上/(x)max^g(X)max，結(jié)合對勾函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求、gQ)的區(qū)

間最值，即可求。的范圍.

4

3

解得：a＜ir,綜上：實數(shù)。的取值范圍是1,

故選：C

煉習(xí)與桎升

一、單選題

1.（2024高一上?內(nèi)蒙古包頭?期中）函數(shù)/（x）=log“（x-D+2的圖象恒過定點（）

A.(2,2)B.(2,1)C.(3,2)D.(2,0)

【答案】A

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定定點即可.

【詳解】當(dāng)x=2時/（2）=log〃l+2=2,即函數(shù)圖象恒過（2,2）.

故選：A

2.（2024?北京?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（元）=log2*-（x-l）2,則不等式〃無）＜。的解集為（）

A.(fl)U(2,+°o)B.(0,1)"2,內(nèi))

C.(1,2)D.(l,+oo)

【答案】B

【分析】將已知不等式化為log2X＜（x-l）2,在同一坐標(biāo)系下作出兩個函數(shù)的圖象，可得不等式/（x）＜0的

解集.

【詳解】由題意，不等式即log2》-（龍一1『＜0,

等價于log2X＜（尤-球在（0,+8）上的解,

令g(x)=log2X,=則不等式為g(x)</i(x),

在同一坐標(biāo)系下作出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示,

可得不等式/（X）＜0的解集為（0,1）"2,內(nèi)）,

故選：B

3.（2024高三?北京?學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)y=log2X的圖象向上平移1個單位長度，得到函數(shù)y=/（X）的圖象,

則〃x)=()

A.log(x+l)

2B.1+log2x

D.-l+log2x

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)平移變換進行求解即可.

【詳解】將函數(shù)y=iogzx的圖象向上平移1個單位長度，得到函數(shù)y=i+iog2x.

故選：B.

4.（2024高三?河南?階段練習(xí)）已知耳，巧分別是方程無+e、3和尤+ln尤=3的根，若%+無2=。+》，實數(shù)

a,b>0,則空土1的最小值為（）

ab

767

A.1B.一C.—D.2

39

【答案】D

【分析】根據(jù)對稱性求得結(jié)合換元法以及基本不等式求得正確答案.

【詳解】X+e"=3,e"=3—％；x+lnx=3,lnx=3-x.

函數(shù)與函數(shù)y=ln%的圖象關(guān)于直線y=x對稱,

y=3-x333)

由y=x解得-y、,設(shè)％

292T

3

則%+%2=/X2=3,即a+b=3,

7尸+17片+17尸+17(/-36)+216+1_21b+1

7+

ab(3-b^bb2—3bb1-3bb「3b'

令2g+1=/，貝九匕二牙，

、

lb2+l21/7+1

則7+7+

abb2-3b-3x0

21

、7

441441

7+>-7+二2,

64*

t~\-----65--65

t

77

當(dāng)且僅當(dāng),若八?八卜=3一八|時等號成立.

故選：D

5.（2024高三?全國?專題練習(xí)）若4滿足2工=5-x,4滿足了+1°82%=5,則占+無2等于（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】將所給式化簡可得5-f=2為，5-x2=log2x2,進而耳和巧是直線y=5-x和曲線>=2晨曲線

>=log?x交點的橫坐標(biāo).再根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)求解即可

【詳解】由題意5-%=23^W5-x2=log2x2

故4和4是直線y=5-x和曲線y=2*、曲線，=log?X交點的橫坐標(biāo).

根據(jù)函數(shù)y=2*和函數(shù)y=1鳴x互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線丁=彳對稱，

故曲線y=2*和曲線y=log2X的圖象交點關(guān)于直線，=了對稱.

即點（xi,5-xi）和點（尤2,5-%2）構(gòu)成的線段的中點在直線y=x上，

文山二5-3+5f,求得切+也=5,

22

故選：D.

6.（2024?陜西?模擬預(yù)測）已知均是方程％.3'=2的根，巧是方程”1鳴％=2的根,則占?%的值為（）

A.2B.3C.6D.10

【答案】A

【分析】先把方程x3=2與方程小1幅戶2變形成方程3，，，和方程借助圖象交點求毛和巧

XX

的關(guān)系，即可求出西?無2.

99

【詳解】方程無3=2可變形為方程3,,，方程x.logsx=2可變形為方程log3x，，

XX

?.，士是方程尤?3'=2的根，巧是方程x-log3x=2的根，

27

.1不是函數(shù)y=3,與函數(shù)＞=—的交點橫坐標(biāo)，巧是函數(shù)y=log3x=與函數(shù)》=—的交點橫坐標(biāo),

XX

函數(shù)y=3'與函數(shù)y=log3x互為反函數(shù)，

22

.?.函數(shù)y=log?x與函數(shù)y=—的交點橫坐標(biāo)4等于函數(shù)，=V與函數(shù)y=—的交點縱坐標(biāo)，即(匹,々)在數(shù)

XX

2

y=—圖象上，

X

又=3圖象上點的橫縱坐標(biāo)之積為2,；.X/2=2,

X

故選：A.

7.（2024?天津）化簡（21og43+log83/log32+log92）的值為（）

A.1B.2C.4D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可求代數(shù)式的值.

【詳解】原式=(2xglog23+glog23)(log32+^log32)

43

=-log23x-log32=2,

故選：B

8.(2024?浙江)已知2"=5,log83=b,則4"3=()

cc255

A.25B.5C.——D.-

93

【答案】c

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，幕的運算性質(zhì)以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可解出.

4"=（2"）［52「25

【詳解】因為2“=5，Z>=log83=1log23,即235=3,所以4-=

4^-（23i）2-

故選：C.

9.(2024高三上?廣西南寧?階段練習(xí))若2。=5"=10,則工+1=()