變量間的相關(guān)關(guān)系及回歸模型-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（二）

第三節(jié)成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

第1課時(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系及回歸模型

■課程標(biāo)準(zhǔn)

1.結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.

2.結(jié)合實(shí)例，會(huì)通過(guò)相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性.

3.結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，了解最小二乘原理，掌握一元線

性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法.

4.針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè).

口----------必備知識(shí)系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)---------課前自修

I_____知___識(shí)___?__逐____點(diǎn)___夯____實(shí)_______________________________________________________________J__________

知識(shí)梳理

1.變量的相關(guān)關(guān)系

(1)相關(guān)關(guān)系：若兩個(gè)變量之間有關(guān)系，但又不是函數(shù)關(guān)系，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系；

(2)相關(guān)關(guān)系的分類：①?gòu)恼w上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，就

稱這兩個(gè)變量________;

②當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)，則稱這兩個(gè)變量_______；

提醒注意相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別：函數(shù)關(guān)系是一■種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一■種非確定的關(guān)系.(3)

線性相關(guān)：如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在附近，就稱這兩個(gè)變量線性

相關(guān).

2.樣本相關(guān)系數(shù)

對(duì)于變量X和變量》設(shè)經(jīng)過(guò)隨機(jī)抽樣獲得的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(X1,%),(X2,>2)，…，Cxn,yn)>若無(wú)

與y存在線性相關(guān)關(guān)系，可用樣本相關(guān)系數(shù)r定量分析它們的相關(guān)程度的強(qiáng)弱.

(1)樣本相關(guān)系數(shù)

n__

2(Xi-x)(yi-y)

r=,i=i,:

fn2fn2,

(2)樣本相關(guān)系數(shù)廠的性質(zhì)

①當(dāng)廠>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)；當(dāng)廠=0時(shí)，稱成對(duì)樣本

數(shù)據(jù)間沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系；

②樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為.當(dāng)IrI越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越;

當(dāng)I川越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越.

3.一元線性回歸模型

(1)經(jīng)驗(yàn)回歸直線：從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱

兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做經(jīng)驗(yàn)回歸直線；

n_n_

八-z(%i-x)(yi-y)Yxiyi-nxy4

(2)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為夕=bx+6,其中------——=嗎----—JS=y—hx；

X(%i-x)Xxf—rix

i=li=l

n

(3)通過(guò)求。=E(V—2的最小值而得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的

i=l

距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法.

4.判斷回歸模型的擬合效果

由成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(尤"?)(i=l,2,…，w)按照最小二乘法得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程夕=6尤+4,其中y叫做觀測(cè)

值，夕叫做預(yù)測(cè)值，殘差2=y一夕.相對(duì)于樣本點(diǎn)(孫弘)的隨機(jī)誤差瓦=%—%=%—Cbxi+a).

(1)殘差分析法

①作殘差圖：作圖時(shí)縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或國(guó)數(shù)據(jù)，或%數(shù)據(jù)，這樣作出的圖形稱

為殘差圖；

②殘差分析：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越

窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高.

n2

ccZ(力一%)/n\

(2)決定系數(shù)(爐)法：R2=IT-----J其中夕=工￡%).爐的值越趨近于I,模型的擬合效果越好.

z(.yi-y)\ni=i'

i=l

對(duì)點(diǎn)自測(cè)

1.判斷正誤.(正確的畫r”，錯(cuò)誤的畫“x”)

(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系.()

(2)散點(diǎn)圖是判斷兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系的一種重要方法和手段.()

(3)經(jīng)驗(yàn)回歸直線夕=5尤+a至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)(X1,力)，(X2,>2),…，Cxn,yn)中的一個(gè)點(diǎn).()

(4)樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1,成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng).()

2.兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系有①正相關(guān)，②負(fù)相關(guān)，③不相關(guān)，則下列散點(diǎn)圖從左到右分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)

系是()

A.①②③B.②③①

C.②①③D.①③②

3.對(duì)于尤，y兩變量，有四組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，分別算出它們的樣本相關(guān)系數(shù)廠如下，則線性相關(guān)性最強(qiáng)的是

()

A.-0.82B.0.78

C.-0.69D.-0.87

4.在對(duì)兩個(gè)變量x,y進(jìn)行回歸分析時(shí)有下列步驟：①對(duì)所求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程作出解釋；②收集數(shù)據(jù)(沏,

9)，i=l,2,n；③求經(jīng)驗(yàn)回歸方程；④根據(jù)所收集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖.則下列操作順序正確的是

()

A.①②④③B.③②④①

C.②③①④D.②④③①

5.已知尤，y的取值如下表，已知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為9=0.95戈+4,貝值=.

X0134

y2.24.34.86.7

尸考點(diǎn)?分類突破口----------精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通---------T課堂演練

1—________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

變量間相關(guān)關(guān)系的判斷

(師生共研過(guò)關(guān)

【例1】(1)某商家今年上半年各月的人均銷售額(單位：千元)與利潤(rùn)率統(tǒng)計(jì)表如下：

月份123456

人均銷售額658347

利潤(rùn)率(%)12.610.418.53.08.116.3

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是()

A.利潤(rùn)率與人均銷售額成正比例函數(shù)關(guān)系B.利潤(rùn)率與人均銷售額成反比例函數(shù)關(guān)系

C.利潤(rùn)率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系D.利潤(rùn)率與人均銷售額成負(fù)相關(guān)關(guān)系

(2)已知變量x和y滿足關(guān)系y=-0.卜+1,變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正確的是()

A.x與y正相關(guān)，％與z負(fù)相關(guān)B.尤與y正相關(guān)，尤與z正相關(guān)

C.x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D.x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)

聽課記錄_______________________________

解題技法

判定兩個(gè)變量相關(guān)性的方法

(1)畫散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相

關(guān)；

(2)樣本相關(guān)系數(shù)：當(dāng)廠>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，負(fù)相關(guān)；|川越接近于1,相關(guān)性越強(qiáng)；

(3)經(jīng)驗(yàn)回歸方程：當(dāng)時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)B<0時(shí)，負(fù)相關(guān).

E訓(xùn)練

1.下列關(guān)系不屬于相關(guān)關(guān)系的是()

A.森林中的同一類樹木，其橫截面直徑與高度之間的關(guān)系

B.球的體積與表面積的關(guān)系

C.父母的身高與子女身高的關(guān)系

D.人的身高與體重的關(guān)系

2.對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是()

3535

303()

2525

2020

1515

1()1()

5.3

00

51()1520253()355101520253035

樣本相關(guān)系數(shù)為。樣本相關(guān)系數(shù)為二

(1)(2)

3533

3()30

2525

2020

1515

1()1()

55

00

51()152025303551()1520253035

樣本相關(guān)系數(shù)為7樣本相關(guān)系數(shù)為。

(3)(4)

A.r2<^4<0<f3<riB.r4<^r2<0<ri<F3

C.r4<r2<0<r3<nD.r2<r4<0<ri<r3

1考點(diǎn)二

【例2】(2022?全國(guó)乙卷19題)某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種

樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積(單位：m2)和材積量(單位：

m3),得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號(hào)，12345678910總和

根部橫截

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

面積尤

材積量》0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得￡婷=0.038,23^=1.6158,2%M=0.2474.

i=li=li=l

(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知

樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值.

Z(xi-x)(yi-y)

附:相關(guān)系數(shù)i=l=,VL896=1.377.

r=In2n

2

z(咫一元)x(刃一歹)

i=li=i

解題技法

樣本相關(guān)系數(shù)廠的統(tǒng)計(jì)含義及應(yīng)用

(1)由r的正、負(fù)可判斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)中兩相關(guān)變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；

(2)可根據(jù)IrI的大小從量的角度判斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是否具有線性相關(guān)性，進(jìn)而可知能否用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)

行分析和預(yù)測(cè)；

(3)當(dāng)I*W0.25時(shí)，即便求得了經(jīng)驗(yàn)回歸方程也沒(méi)有任何統(tǒng)計(jì)意義.

Q訓(xùn)練

某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，

將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)

據(jù)(尤,?，9)(/=1,2,…，20),其中即和9分別表示第，個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野

2020202020

生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得Z蒼=60,29=1200,Z(汨一元產(chǎn)=80,2(M—歹)2=9000,￡(%,—%)(%

i=li=li=li=li=l

-y)=800.

(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)

乘以地塊數(shù))；

(2)求樣本(xi,yi)(z=l,2,20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)

量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說(shuō)明理由.

n__

Z(%i-x)(yi-y)

附：r=I匚1，V2-1.414.

n2n、2

Z(Xi-x)Z(”一歹)

Ji=ii=i

經(jīng)驗(yàn)回歸模型

(定向精析突破

考向7線性經(jīng)驗(yàn)回歸問(wèn)題

【例3】某研究機(jī)構(gòu)為調(diào)查人的最大可視距離y(單位：米)和年齡無(wú)(單位：歲)之間的關(guān)系，對(duì)不同年

齡的志愿者進(jìn)行了研究，收集數(shù)據(jù)得到下表：

X2025303540

y167160150143130

(1)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

(2)根據(jù)(1)中求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，估計(jì)年齡為50歲的人的最大可視距離.

nn__

八I(芍一元)(“一?)Ixiyi-nxy

參考公式：經(jīng)驗(yàn)回歸方程夕=以+6中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b=j----------------------

X(%i—x)Xxf—nx2

i=li=l

a=y-bx.

解題技法

線性回歸分析問(wèn)題的解題策略

(1)利用公式，求出回歸系數(shù)有；

(2)利用經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心求系數(shù)式；

（3）利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)，把回歸方程看作一次函數(shù)，將解釋變量x的值代入，得到預(yù)測(cè)變量夕的值.

考向2非線性經(jīng)驗(yàn)回歸問(wèn)題

【例4】“綠水青山就是金山銀山”的理念推動(dòng)了新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展.以下表格和散點(diǎn)圖反映了近幾

年某新能源汽車的年銷售量情況.

年份20192020202120222023

年份代碼X12345

某新能源汽車年銷售量y/萬(wàn)輛1.55.917.732.955.6

60:年銷售量y/萬(wàn)輛

*

40■

*

20?

*

02345屋份代碼工

（1）請(qǐng)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y^bx+a與中哪一個(gè)更適宜作為年銷售量y關(guān)于年份代碼x的回歸方程類

型；（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于尤的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)2024年該新能源汽車的年銷

售量精確到0.1）

55

參考數(shù)據(jù)：9=22.72,2（W,—iv）2=374,工（w,—w）（j,—y）=851.2（其中陰=婢）.

i=li=l

解題技法

有些非線性回歸分析問(wèn)題并不給出經(jīng)驗(yàn)公式，這時(shí)我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，把它與學(xué)過(guò)的各種函

數(shù)（賽函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等）的圖象進(jìn)行比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，用適當(dāng)?shù)淖?/p>

量進(jìn)行變換，如通過(guò)換元或取對(duì)數(shù)等方法，把問(wèn)題化為線性回歸分析問(wèn)題，使之得到解決.

q訓(xùn)練

1.已知變量X與》且觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表（其中6.5>44>6>1,a+b=6）,則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的經(jīng)驗(yàn)回歸

方程可能是（）

X12345

y6.5a4b1

A.y=0.4A-+2.3B.y=2x~2.4

C.y=-2x+9.5D.夕=-0.3尤+0.44

2.數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9義9盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)

字，并滿足每一行、每一列、每一個(gè)粗線宮（3X3）內(nèi)的數(shù)字均含1?9,且不重復(fù).數(shù)獨(dú)愛好者小明打算報(bào)名

參加“絲路杯”全國(guó)數(shù)獨(dú)大賽初級(jí)組的比賽，賽前小明在某數(shù)獨(dú)APP上進(jìn)行一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天的解題平

均速度y（秒）與訓(xùn)練天數(shù)無(wú)（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如表的數(shù)據(jù)：

X（天）1234567

y（秒）990990450320300240210

（1）現(xiàn)用y=a+2作為經(jīng)驗(yàn)回歸模型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

（2）請(qǐng)用第（1）題的結(jié)論預(yù)測(cè)，小明經(jīng)過(guò)100天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度約為多少秒?

77

笏考數(shù)據(jù)（其中ti=E）：Z砂尸1845,￡=0.37,2珞―7冒=0.55.

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（兩，VI）,（"2,V2），…，（說(shuō)，%），其經(jīng)驗(yàn)回歸直線。=2+6"的斜率和截距

n

XuiV[—nuv

的最小二乘估計(jì)公式分別為6=弓----一，a=v-pu.

Xuf—nu2

i=l

刻畫擬合效果

（師生共研過(guò)關(guān)

【例5】假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測(cè)得5組數(shù)據(jù)如下:

X15.025.830.036.644.4

y39.442.942.943.149.2

若由最小二乘法計(jì)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.29x+347

（1）計(jì)算各組殘差，并計(jì)算殘差平方和；

（2）求出，并說(shuō)明回歸模型擬合效果的好壞.

5

參考數(shù)據(jù)：20一歹）2=50.18.

i=l

解題技法

刻畫擬合效果的三種方法

（1）殘差圖法：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說(shuō)明選用的模型比較合適；

（2）殘差平方和法：殘差平方和￡（%—%）之越小，模型的擬合效果越好；

i=l

n2

CI（月一9i）

（3）決定系數(shù)法：K=1一早-------越接近1,表明模型的擬合效果越好.

I（力一步）

i=l

E訓(xùn)練

1.在一元線性回歸模型￥=法+。+?中，下列說(shuō)法正確的是（）

A.Y=bx+a+e是一次函數(shù)

B.響應(yīng)變量y是由解釋變量尤唯一確定的

C.響應(yīng)變量y除了受解釋變量X的影響外，可能還受到其他因素的影響，這些因素會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生

D.隨機(jī)誤差e是由于計(jì)算不準(zhǔn)確造成的，可通過(guò)精確計(jì)算避免隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生

2.現(xiàn)代物流成為繼勞動(dòng)力、自然資源外影響企業(yè)生產(chǎn)成本及利潤(rùn)的重要因素.某企業(yè)去年前八個(gè)月的物流成本和

企業(yè)利潤(rùn)的數(shù)據(jù)（單位：萬(wàn)元）如下表所示：

月份1234

物流成本尤83