奔馳定理與四心問題（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)14奔馳定理與四心問題【五大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1奔馳定理】...........................................................................3

【題型2重心問題】...........................................................................4

【題型3垂心問題】...........................................................................5

【題型4內(nèi)心問題】...........................................................................5

【題型5外心問題】...........................................................................6

?命題規(guī)律

1、奔馳定理與四心問題

奔馳定理是平面向量中的重要定理，這個(gè)定理對(duì)于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三

角形的面積和“四心”相關(guān)的問題有著重要作用；四心問題是平面向量中的重要問題，是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容,

在高考復(fù)習(xí)中，要掌握奔馳定理并能靈活運(yùn)用，對(duì)于四心問題要學(xué)會(huì)靈活求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1奔馳定理】

1.奔馳定理

如圖，已知P為△48C內(nèi)一點(diǎn)，且滿足九刀十22族+段記=6,則有△/總、△4PC、△3PC的面

積之比為灰4法.

由于這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，所以我們把它稱為“奔馳定理”.這個(gè)定理對(duì)于利用

平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用.

【知識(shí)點(diǎn)2四心問題】

1.四心的概念及向量表示

(1)重心的概念及向量表示

①重心的概念：三角形各邊中線的交點(diǎn)叫做重心，重心將中線長(zhǎng)度分成2:1.

___>--->--->->

②重心的向量表示：如圖，在△NBC中，點(diǎn)尸為△N8C重心-PN+P2+PC=0.

③重心坐標(biāo)公式：設(shè)N(xi,y),3(X2,/),C(X3,g),則△48C的重心坐標(biāo)為不|+；+%M+?+力).

A

(2)垂心的概念及向量表示

①垂心的概念：三角形各邊上高線的交點(diǎn)叫做垂心.

②垂心的向量表示：如圖，在△4BC中，點(diǎn)尸為△/8C垂心-?麗=森?》=方5?記.

(3)內(nèi)心的概念及向量表示

①內(nèi)心的概念：三角形各角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心，內(nèi)心也為三角形內(nèi)切圓的圓心.

AB

②內(nèi)心的向量表示：如圖，在中，三角形的內(nèi)心在向量+①所在的直線上，點(diǎn)尸為^

R

48c內(nèi)心0|與卜PC+|^C|-FC+|G1|-PS=6.

(4)外心的概念及向量表示

①外心的概念：三角形各邊中垂線的交點(diǎn)叫做外心，外心也為外接圓的圓心，外心到三角形各頂點(diǎn)的

距離相等.

②外心的向量表示：如圖，在△48C中，點(diǎn)尸為△/2C外心0|萬=|詬|=|京|.

2.三角形的四心與奔馳定理的關(guān)系

-->-->-->->

(1)0是△45C的重心：S^BOC；S△COA：SAAOB=1：1：10OA+OB+OC=0.

(2)0是△45C的垂心：S^BOC：S^COA-S^AOB=tanA:tan5:tanCtanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

—>—>—>->

(3)0是△45C的內(nèi)心：SABOC：SACOA：S2AOB=a:b:c0aOA+bOB+cOC—0.

(4)0是△45C的外心：

S/^BOC-S^COA-S/^AOB—sin2A:sin25:sin2Csin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.

?舉一反三

【題型1奔馳定理】

【例1】（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知點(diǎn)/,B,C,P在同一平面內(nèi)，PQ^^PA,QR^^QB,RP^^RC,

則S/\4BC：S/\PBC等于（）

【變式1-11（23-24高一下?廣西南寧?期末）已知。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足3瓦？+40B+50C=2AB+3BC+

CA,則也皿=（）

S^ABC

2133

A.-B.-C.-D.-

5445

【變式1-2]（23-24高一下?湖北?期中）奔馳定理：己知。是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC,△HOC,ZkAOB的

面積分別為〃，SB，SC,則S〃C5+SB?屈+Sc?覺=6"奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，

因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設(shè)。為三角形4BC內(nèi)一

點(diǎn)，且滿足：OA+20B+30C=3AB+2BC+CA,則登％=（）

SAABC

【變式1-3］（23-24高三上?河南南陽(yáng)?期中）奔馳定理：已知。是4ABe內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC,AAOC,AAOB

的面積分別為L(zhǎng)，SB，SC，貝”4?瓦？+SB?加+S。?配=6.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)

論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”

若。是銳角44BC內(nèi)的一點(diǎn)，A,B,C是2L4BC的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)。滿足?屈=磴?覺=泥?口5,則必有

（）

A.sin4-0A+sinB-OB+sinC-OC—0

B.cosA-DZ+cosB-~0B+cosC-OC=0

C.tanTl-OA+tanB-05+tanC-OC—0

D.sin24-0/1+sin2B-OB+sin2C-OC=0

【題型2重心問題】

【例2】（2024?貴州六盤水?三模）已知點(diǎn)。為△ABC的重心，AC=AOA+fiOB,則;I+〃=（）

A.-3B.-2C.1D.6

【變式2-1］（2024?陜西西安?一模）已知點(diǎn)P是△ABC的重心，則（）

----->1----->1----->----->1----->1----->

A.AP=-AB+-ACB.AP=-AB+-AC

6644

C.AP=-AC+-BCD.AP=-AB+-BC

3333

【變式2?21（23?24高一下?四川巴中?階段練習(xí)）已知點(diǎn)G為△ABC的重心，分別是/BMC邊上一點(diǎn)，D,GfE

三點(diǎn)共線，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，若而=4而+〃荏，則與+：的最小值為（）

927

A.6B.7C.-D.—

22

【變式2-3］（2024高一下?上海?專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)。是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若市+方+泥=6,則。為△ABC的重心；

B.若01+而）?屈=（赤+反）?近=0,則。為△力BC的垂心；

。?若借+都?阮=。喘?言弓則△曲為等邊三角形;

D.若瓦5+29+3反=6,則△50。與△Z8C的面積之比為S^OC：SA4BC=1:6.

【題型3垂心問題】

【例3】（23-24高一下?上海浦東新?期中）。是平面上一定點(diǎn)，A,B,C平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿

足赤=瓦？+4（=產(chǎn)?+方產(chǎn)"），AGR,貝UP的軌跡一定通過△4BC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【變式3-1]（23-24高一下?廣東東莞?期末）已知在△ABC中，。是△ABC的垂心，點(diǎn)P滿足：30P=+

+20C,則△回「的面積與△ABC的面積之比是

2331

A.-B.-C.-D.-

3452

【變式3-2]（23-24高一下?山東?期中）設(shè)H是△4BC的垂心，且3萬1+4就+5近=6,則cos/AHB的

值為（）

AV30?VsV6?V70

105614

【變式3-3]（2024高三下?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，已知。是△ABC的垂心，且瓦？+2市+3反=6,貝!]

tan/RAC:tan/ZBC:tan"CB等于（）

C.2:3:4D.2:3:6

【題型4內(nèi)心問題】

【例4】（2024?四川南充?三模）已知點(diǎn)尸在△2BC所在平面內(nèi)，若刀.（雋-黑）=麗?（緇-緇）=0,

\AC\\AB\\BC\\BA\'

則點(diǎn)P是△ABC的（）

A.外心B.垂心C.重心D.內(nèi)心

【變式4-1]（23-24高一下?四川成都?期末）己知點(diǎn)。是△力BC的內(nèi)心，AB=4,AC=3,CB=ACA+^CO,

則4+〃=（）

457

A.-B.-C.2D.-

333

【變式4-2]（2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在44BC中，若sin^BAC-PA+sin^ABC-PB+sinzXCfi.PC=0,

貝1J點(diǎn)P是△ABC的（）

A.重心B.內(nèi)心C.垂心D.外心

【變式4-3]（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在△ABC中，|同|=2,|而|=3,|阮|=4,O是△ABC的內(nèi)心,

且同=AAB+面,貝!M+fi=（）

9787

A.—B.—C.-D.-

101099

【題型5外心問題】

【例5】（23-24高一下?天津北辰?期中）。為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足+礪）?瓦？=（礪+浙）?

方=（泥+西?左，貝U。是△48。的（）

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

【變式5-1]（23-24高三下?新疆?階段練習(xí)）在△力BC中，AC=2小,。是△力BC的外心，M為BC的中點(diǎn)，

AB-AO^8,N是直線0M上異于M、。的任意一點(diǎn)，則前?前=（）

A.3B.6C.7D.9

【變式5-2]（2024高三，江蘇?專題練習(xí)）已知。為△ABC的外心，若4（0,0）,2（2,0）,4C=1,NB4C=120。,

且而=XAB+〃前，貝！U+〃=（）

213

A.-B.2C.1D.—

36

【變式5-3]（2024?遼寧撫順?模擬預(yù)測(cè)）在銳角三角形45c中，A=60°,AB>AC,以為△ABC的垂心，

AH-AC=20,O為△ABC的外心，且用.而二|麗|?|而|,則=（）

A.9B.8C.7D.6

?過關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2024?全國(guó)?二模）點(diǎn)0,P是△力BC所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足赤=瓦？+礪+浙，則直線0P經(jīng)

過△ABC的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

2.（23-24高一下?河南安陽(yáng)?期末）已知。是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若△BOC,△40C,△力0B的面積分別記為

Si，S2，S3，則Si?反+S2?砒+S3?沅=。.這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的log。很相似,故形象地稱

其為“奔馳定理如圖，已知。是△A8C的垂心，且反+20B+30C=0,貝I]tan/BAC:tan/ABC:tan/ACB=

A

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

3.（23-24高一下?安徽合肥?階段練習(xí)）點(diǎn)尸是銳角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且存在4€R,使而=4（同+就），則

下列條件中，不能判斷出△ABC為等腰三角形的是（）

A.點(diǎn)P是△4BC的垂心B.點(diǎn)P是△4BC的重心

C.點(diǎn)P是△ABC的外心D.點(diǎn)P是△4BC的內(nèi)心

4.（2024?安徽?三模）平面上有△力BC及其內(nèi)一點(diǎn)。，構(gòu)成如圖所示圖形，若將△04B,△OBC,△。乙4

的面積分別記作Sc，Sa，sb,則有關(guān)系式SjDl+Sb?歷+Sc?覺=0.因圖形和奔馳車的log。很相似，常

把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”.已知△ABC的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若滿足a?+b?砧+c?

OC=0,則。為△ABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

5.（23-24高一下?上海奉賢?期中）設(shè)。為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足市+29+2沈=。，貝!|△力BC

的面積與△BOC的面積的比值為（）

O-1O

A.6B.-C.—D.5

37

6.（23-24高一下?甘肅?期末）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美

的結(jié)論.它的具體內(nèi)容是：已知M是△力BC內(nèi)一點(diǎn)，ABMC,△力MC,△4MB的面積分別為〃，SB,Sc,且

Sn?涼+SB?麗+Sc?標(biāo)=。.若M為△ABC的垂心，3加+4麗+5標(biāo)=0,則cos/AMB=（）

A

7.（23-24高三上?遼寧沈陽(yáng)?階段練習(xí)）已知△4BC,/是其內(nèi)心，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別a,b,c,則（）

（

A.Al=-AB+AC}JB.AI=—+—

3vaa

c.刃=3+qD.司=遜+皿

a+b+ca+b+ca+ba+c

8.（23-24高一上?安徽黃山?期末）。為三角形內(nèi)部一點(diǎn)，a、b、c均為大于1的正實(shí)數(shù)，且滿足aDl+b在+

cOC=CB,若S/04B、S404C'S/0BC分別表示/。48、4。4C、4。8c的面積，貝！IS404B：S404C：S/OBC為（）

A.（c+l）:（b—l）:aB.c.b\aC.—:—:—D.c?：b?：a?

二、多選題

9.（23-24高一下?山東棗莊?階段練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出定理:

三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直

線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)。、G、〃分別是△N3C的外心、重心、垂心,

且M為3c的中點(diǎn)，則（）

A.OH=0A+OB+OCB.S^ABG—SABCG—S^ACG

C.AH=30MD.AB+AC40M+2~HM

10.（23-24高一下?福建莆田?期中）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非

常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知M

是△4BC內(nèi)一點(diǎn)，△BMC,AAMC,△力MB的面積分別為S4,SB,Sc,且

SA-MA+SB-14B+SC-MC=0.以下命題正確的有（）

BC

A.若L：SB：Sc=1：1：L則M為△AMC的重心

B.若M為△ABC的內(nèi)心，則BC?加+HC?施+=6

C.若M為△ABC的外心，則（涼+麗）?屈=（而+祈?）?近=（9+M?）-芯=0

D.若M為△ABC的垂心，3拓？+4麗+5標(biāo)=6,則cos乙4MB=或

6

11.（23-24高一下?山東棗莊?期中）點(diǎn)。在aaBC所在的平面內(nèi)，（）

A.若動(dòng)點(diǎn)P滿足碇=瓦5+4（肅井+薩」）。>0）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡1定經(jīng)過△力BC的垂心

\|i4F|smFpclsinc/

B.若動(dòng)點(diǎn)P滿足爐=市+4（/\+高三）（4>0）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△力BC的重心

431cos3\AC\cosC/

C.若2。4+。8+30C=0,Sanoc，S^ABC分別表示△△4BC的面積，則SAAOC：S^ABC=1：6

D.已知△ABC三個(gè)內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,-0A+b-OB+c-0C^0,則點(diǎn)。為△ABC

的內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心）

三、填空題

12.（23-24高一?全國(guó)?課后作業(yè)）已知。是平面上一個(gè)定點(diǎn)，A,B,C是平面上三個(gè)不共線的點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸

滿足條件加=0A+4（儡+pj）（A￡（0,+8））,則點(diǎn)P的軌跡一定通過^ABC的心.

13.（2024?四川成都一模）己知G為A4BC的重心，過點(diǎn)G的直線與邊4B,4C分別相交于點(diǎn)P,Q,若麗=,兩

則44BC與2L4PQ的面積之比為.

14.（2024高一下?四川宜賓?競(jìng)賽）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖

形與“奔馳”（Mercedes-Benz）的log。很相似，故形象地稱其為“奔馳定理）.“奔馳定理”的內(nèi)容如下：如圖，己

知。是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BOCAA0C,A40B的面積分別為S4,SB,SC，貝！IS4-OA+SB-~OB+SC-OC=豆若。

是△ABC銳角內(nèi)的一點(diǎn)，45。是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且。點(diǎn)滿足而?布=礪?灰=瓦?雨，則下列說

法正確的是.（填序號(hào)）

①。是△ABC的外心；②NBOC+A=TT；

③|。川：|05|:\0C\=cosX:cosB:cosC；@tanX-OA+