初中七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期末壓軸題（附答案）

一、解答題

1.在平面直角坐標(biāo)系xQv中描出下列兩組點(diǎn)，分別將每組里的點(diǎn)用線段依次連接起來.

4

3

2

第一組：A(-3,3)、C(4,3)；

第二組：￡>(-2-1),E(2,-l).

(1)線段AC與線段DE的位置關(guān)系是；

(2)在(1)的條件下，線段AC、DE分別與J7軸交于點(diǎn)B,F.若點(diǎn)M為射線08上一

動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)。，5重合).

①當(dāng)點(diǎn)M在線段08上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接AM、DM,補(bǔ)全圖形，用等式表示/C4M、

ZAMD./MDE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

②當(dāng)△AC0與△￡>砌面積相等時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

2.如圖，直線PQ//MN,一副直角三角板AABC,ADE/中，

ZACB=NEDF=90°,ZABC=ABAC=45°,NDFE=30°,ZDEF=60°.

(1)若ADEF如圖1擺放，當(dāng)ED平分NPEF時(shí)，證明：FD平分ZEFM.

FAN

圖1

(2)若AABC,NDEF如圖2擺放時(shí)，則ZPDE=

D

Q

圖2

（3）若圖2中AABC固定，將AD跖沿著AC方向平移，邊。尸與直線尸。相交于點(diǎn)G,

作ZFGQ和NGE4的角平分線GH、EW相交于點(diǎn)H（如圖3）,求/GHF的度數(shù).

D

圖3

（4）若圖2中ADEF的周長(zhǎng)35an,AF=5c%,現(xiàn)將AABC固定，將ADEF沿著C4方向平

移至點(diǎn)F與A重合，平移后的得到ADES,點(diǎn)、D、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是。、E',請(qǐng)直接寫

出四邊形DE4D'的周長(zhǎng).

（5）若圖2中ADEF固定，（如圖4）將AABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，1分鐘轉(zhuǎn)半圈，旋轉(zhuǎn)

至AC與直線⑷V首次重合的過程中，當(dāng)線段BC與ADEF的一條邊平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出旋

轉(zhuǎn)的時(shí)間.

圖4

3.如圖，已知直線A3〃射線CO,/CEB=110。.尸是射線￡B上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作

PQ//EC交射線C。于點(diǎn)。，連接CP.作NPCT=NPC。，交直線AB于點(diǎn)尸，CG平分

ZECF.

（1）若點(diǎn)P,F,G都在點(diǎn)E的右側(cè).

①求/PCG的度數(shù)；

②若ZEGC-ZECG=30。，求N"。的度數(shù).（不能使用"三角形的內(nèi)角和是180?！敝苯咏?/p>

題）

（2）在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的偕形，使NEGC:NEFC=3:2?若存在，直

接寫出NC尸。的度數(shù)；若不存在.請(qǐng)說明理由.

4.如圖①，將一張長(zhǎng)方形紙片沿環(huán)對(duì)折，使A3落在4夕的位置;

（1）若/I的度數(shù)為。，試求N2的度數(shù)（用含。的代數(shù)式表示）；

（2）如圖②，再將紙片沿GH對(duì)折，使得8落在。D的位置.

①若EFUC'G,4的度數(shù)為〃，試求/3的度數(shù)（用含。的代數(shù)式表示）；

②若3/JLCG,/3的度數(shù)比N1的度數(shù)大20。，試計(jì)算N1的度數(shù).

5.（1）如圖①，若NB+ND=NE,則直線AB與C。有什么位置關(guān)系？請(qǐng)證明（不需要注

明理由）.

（2）如圖②中，AB//CD,又能得出什么結(jié)論？請(qǐng)直接寫出結(jié)論.

（3）如圖③，已知AB〃CD,則31+N2+...+Nn-1+N"的度數(shù)為______.

6.己知，ABWDE,點(diǎn)C在AB上方，連接BC、CD.

（1）如圖1,求證：NBCD+NCOE=NABC；

（2）如圖2,過點(diǎn)C作CF,8c交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,探究NABC和NF之間的數(shù)量關(guān)

系；

（3）如圖3,在（2）的條件下，NCFD的平分線交CD于點(diǎn)G,連接GB并延長(zhǎng)至點(diǎn)H,

若BH平分NABC,求NBGD-ZCGF的值.

H

D

圖3

7.規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)(均不等于0)的除法運(yùn)算叫做除方，如2+2+2,(-3)十

(-3)4-(-3)4-(-3)等.類比有理數(shù)的乘方，我們把2+2+2記作2③，讀作“2的圈3次

方"，(-3)+(-3)+(-3)+(-3)記作(-3)④,讀作“-3的圈4次方",一般地，把

a^a±a±^Za(a=0)記作a可讀作"a的圈n次方

n^a

(初步探究)

(1)直接寫出計(jì)算結(jié)果：2③=—,(1)⑤=—；

(2)關(guān)于除方，下列說法錯(cuò)誤的是—

A.任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；

B.對(duì)于任何正整數(shù)n,1?1；

C.3④=4③；

D.負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù).

(深入思考)

我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理

數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？

(1)試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成塞的形式.

(-3)@=_；5@=—；(-1)@=—.

(2)想一想：將一個(gè)非零有理數(shù)a的圈n次方寫成累的形式等于—；

(3)算一算：122+(-，)④x(-2)⑤-(-g)⑥73

8.對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)"，如果"滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個(gè)

數(shù)為"夢(mèng)幻數(shù)"，將一個(gè)"夢(mèng)幻數(shù)”任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后可以得到三個(gè)不同的新三

數(shù)，把這三個(gè)新三位數(shù)的和與111的商記為K"),例如“=123,對(duì)調(diào)百位與十位上的數(shù)

字得到213,對(duì)調(diào)百位與個(gè)位上的數(shù)字得到321,對(duì)調(diào)十位與個(gè)位上的數(shù)字得到132,這三

個(gè)新三位數(shù)的和為213+321+132=666,666+111=6,所以K(123)=6.

(1)計(jì)算：K(342)和K(658)；

(2)若x是"夢(mèng)幻數(shù)"，說明：K(x)等于x的各數(shù)位上的數(shù)字之和；

(3)若x,y都是"夢(mèng)幻數(shù)"，且x+y=1000,猜想：K(x)+K(y)=,并說明你猜

想的正確性.

9.閱讀理解：

一個(gè)多位數(shù)，如果根據(jù)它的位數(shù)，可以從左到右分成左、中、右三個(gè)數(shù)位相同的整數(shù)，其

中。代表這個(gè)整數(shù)分出來的左邊數(shù)，b代表的這個(gè)整數(shù)分出來的中間數(shù)，c代表這個(gè)整數(shù)分

出來的右邊數(shù)，其中。，b,c數(shù)位相同，若b-a=c-b,我們稱這個(gè)多位數(shù)為等差數(shù).

例如：357分成了三個(gè)數(shù)3,5,7,并且滿足：5-3=7-5；

413223分成三個(gè)數(shù)41,32,23,并且滿足：32-41=23-32；

所以：357和413223都是等差數(shù).

(1)判斷：148等差數(shù)，514335等差數(shù)；(用"是"或"不是"填空)

(2)若一個(gè)三位數(shù)是等差數(shù)，試說明它一定能被3整除；

(3)若一個(gè)三位數(shù)7■是等差數(shù)，且7■是24的倍數(shù)，求該等差數(shù)兀

10.我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)x都可以進(jìn)行這樣的分解：x=mxn(m,"是正整數(shù)，

且加4”)，在x的所有這種分解中，如果加，〃兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱

機(jī)xw是x的最佳分解，并規(guī)定：〃x)=一.例如：18可分解成1x18,2x9或3義6,因?yàn)?/p>

m

31

18-1>9-2>6-3,所以3x6是18的最佳分解，所以〃18)===；

62

(1)填空：/(6)=；/(16)=；

(2)一個(gè)兩位正整數(shù)f(r=10a+A,l<a<b<9,a,b為正整數(shù))，交換其個(gè)位上的數(shù)

字與十位上的數(shù)字得到的新數(shù)減去原數(shù)所得的差為54,求出所有的兩位正整數(shù)；并求了⑺

的最大值；

(3)填空：

①/(22x3x5x7)=；②/Q4X3X5X7)=；

11.規(guī)定兩數(shù)a,b之間的一種運(yùn)算，記作(a,b)：如果a。=6,那么(。，b)=c.

例如：因?yàn)?3=8,所以(2,8)=3.

(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：

(3,27)=,(5,1)=,(2,-)=

4

(2)小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：(3。，納)=(3,4)小明給出了如下的證

明：

設(shè)(3",4")=x,貝lj(3n)*=4",即(3、)"=4。

所以3*=4,即(3,4)=x,

所以(3",4n)=(3,4).

請(qǐng)你嘗試運(yùn)用上述這種方法說明下面這個(gè)等式成立的理由：(4,5)+(4,6)=(4,30)

12.先閱讀材料，再解答問題：

我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪問途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力

題：求59319的立方根，華羅庚脫口而出，給出了答案，眾人十分驚訝，忙問計(jì)算的奧

妙，你知道華羅庚怎樣迅速而準(zhǔn)確地計(jì)算出結(jié)果嗎？請(qǐng)你按下面的步驟也試一試：

(1)我們知道%000=10,%000000=100,那么，請(qǐng)你猜想：59319的立方根是

位數(shù)

（2）在自然數(shù)1到9這九個(gè)數(shù)字中，"=1,33=27,53=,73=,

93=.

猜想：59319的個(gè)位數(shù)字是9,則59319的立方根的個(gè)位數(shù)字是.

（3）如果劃去59319后面的三位“319”得到數(shù)59,M33=27,43=64,由此可確定59319

的立方根的十位數(shù)字是，因此59319的立方根是.

（4）現(xiàn)在換一個(gè)數(shù)103823,你能按這種方法得出它的立方根嗎？

13.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)40,。），C（6,0）,其中，“是16的算術(shù)平方根，

〃=8,線段GO由線段AC平移所得，并且點(diǎn)G與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)。與點(diǎn)C對(duì)應(yīng).

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為—;點(diǎn)C的坐標(biāo)為_；點(diǎn)G的坐標(biāo)為_；

（2）如圖②，/是線段AC上不同于AC的任意一點(diǎn)，求證：

ZOFC=ZOAF+ZAOF；

（3）如圖③，若點(diǎn)F滿足ZFOC=NFCO,點(diǎn)E是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)。、A不重

合），連CE交OF于點(diǎn)H,在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，/OHC+/ACE=2/OEC是否總成

立？請(qǐng)說明理由.

14.已知，ABWCD,點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G,F在AB上，點(diǎn)”在AB,CD之間，連接FE,

EH,HG,NAGH=ZFED,FE±HE,垂足為E.

（1）如圖1,求證：HGLHE：

（2）如圖2,GM平分NHGB,EM平分NHED,GM,EM交于點(diǎn),M,求證：ZGHE=

2ZGME；

（3）如圖3,在（2）的條件下，F(xiàn)K平分NAFE交CD于點(diǎn)K,若NKFE：ZMGH=13：5,

求NHED的度數(shù).

AFGAFGGB

C

圖1圖3

15.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=8cm,BC=6cm,點(diǎn)E是CD邊上的一點(diǎn)，且DE=2cm,

動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度沿AfBfC玲E運(yùn)動(dòng)，最終到達(dá)點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)

間為t秒.

（1）請(qǐng)以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，1cm為單位長(zhǎng)度，建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)

系，并用t表示出點(diǎn)P在不同線段上的坐標(biāo).

（2）在（1）相同條件得到的結(jié)論下，是否存在P點(diǎn)使△APE的面積等于20cm2時(shí)，若存

若不存在，請(qǐng)說明理由.

16.某電器超市銷售每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別為200元、170元的A、B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇，下表是近

兩周的銷售情況：

（進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變，利潤(rùn)=銷售收入-進(jìn)貨成本）

（1）求A、B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇的銷售單價(jià)；

銷倍數(shù)量銷售

銷售時(shí)段

A種型號(hào)B附型號(hào)I&A

第一周3臺(tái)5臺(tái)1W0

第』4臺(tái)10臺(tái)3100

（2）若超市準(zhǔn)備用不多于5400元的金額再采購(gòu)這兩種型號(hào)的電風(fēng)扇共30臺(tái)，求A種型

號(hào)的電風(fēng)扇最多能采購(gòu)多少臺(tái)？

（3）在（2）的條件下，超市銷售完這30臺(tái)電風(fēng)扇能否實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)為1400元的目標(biāo)？若

能，請(qǐng)給出相應(yīng)的采購(gòu)方案；若不能，請(qǐng)說明理由.

17.如圖1,以直角△AOC的直角頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，以O(shè)C,OA所在直線為x軸和y軸建立

平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A（0,。），C（"0）,并且滿足Ja—匕+2+0—81=0.

（1）直接寫出點(diǎn)A,點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）如圖L坐標(biāo)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)尸，。同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿x軸負(fù)方向以每秒2

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)沿>軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速

運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)。整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束；線段AC的中點(diǎn)。的坐標(biāo)是。（4,3）,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為f秒.是否存在心使得△OOP與△DOQ的面積相等？若存在，求出，的值；若不存

在，說明理由；

（3）如圖2,在（2）的條件下，若=點(diǎn)G是第二象限中一點(diǎn)，并且OA

平分/DOG,點(diǎn)E是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE交。。于點(diǎn)//,當(dāng)點(diǎn)E在OA上運(yùn)動(dòng)的過

程中，探究/OOG,NOHC,/ACE之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論.

18.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn).已知兩點(diǎn)A（a,0）,貝友0）且。、b滿足

|a+4|+^/^3=0；若四邊形ABCD為平行四邊形，CD/MB且CD=AB,點(diǎn)。（0,4）在>

軸上.

（1）如圖①，動(dòng)點(diǎn)尸從c點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿y軸向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)間/為何值

時(shí)，三角形ASP的面積等于平行四邊形ABCD面積的四分之一；

（2）如圖②，當(dāng)尸從。點(diǎn)出發(fā)，沿y軸向上運(yùn)動(dòng)，連接PD、PA,NCDP、ZAPD,

44B存在什么樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說明理由（排除P在。和C兩點(diǎn)的特殊情況）.

電風(fēng)扇所需費(fèi)用與購(gòu)進(jìn)2臺(tái)B種品牌電風(fēng)扇所需費(fèi)用相同，購(gòu)進(jìn)1臺(tái)A種品牌電風(fēng)扇與2

臺(tái)B種品牌電風(fēng)扇共需費(fèi)用400元.

（1）求4B兩種品牌電風(fēng)扇每臺(tái)的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

（2）銷售時(shí)，該商店將A種品牌電風(fēng)扇定價(jià)為180元/臺(tái)，B種品牌電風(fēng)扇定價(jià)為250元/

臺(tái)，商店擬用1000元購(gòu)進(jìn)這兩種風(fēng)扇（1000元?jiǎng)偤萌坑猛辏?，為能在銷售完這兩種電

風(fēng)扇后獲得最大的利潤(rùn)，該商店應(yīng)采用哪種進(jìn)貨方案？

12Nc+N￡=230。

20.如圖，和“的度數(shù)滿足方程組。/”。，且CDIIEF,AC^AE.

[3Z<z-Zp=20

（1）用解方程的方法求和N夕的度數(shù)；

（2）求NC的度數(shù).

21.閱讀下面資料：

小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1,對(duì)面積為a的△ABC逐次進(jìn)行以下操作：分別延長(zhǎng)AB、

BC、CA至Ai、Bi、C1,使得AiB=2AB,BiC=2BC,C1A=2CA,順次連接Ai、Bi、Ci,得到

AA1B1C1,記其面積為Si,求Si的值.

小明是這樣思考和解決這個(gè)問題的：如圖2,連接AiC、BiA、CiB,因?yàn)锳iB=2AB,

BiC=2BC,GA=2CA,根據(jù)等高兩三角形的面積比等于底之比，所以

S/BC=^HB,CA==2SAABC=2a,由此繼續(xù)推理，從而解決了這個(gè)問題.

（1）直接寫出S（用含字母a的式子表示）.

請(qǐng)參考小明同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：

圖4

（2）如圖3,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AP、BP、CP并延長(zhǎng)分別交邊BC、AC、AB于點(diǎn)D、

E、F,則把△ABC分成六個(gè)小三角形，其中四個(gè)小三角形面積已在圖上標(biāo)明，求△ABC的

面積.

（3）如圖4,若點(diǎn)P為△ABC的邊AB上的中線CF的中點(diǎn)，求SAAPE與%BPF的比值.

2Nc+/￡=230

22.如圖，已知/a和4的度數(shù)滿足方程組"。，且CD〃EF,AC，AE.

⑴分別求Na和N6的度數(shù)；

⑵請(qǐng)判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由；

⑶求NC的度數(shù).

23.對(duì)a,b定義一種新運(yùn)算T,規(guī)定：T（。，b）=（a+2b）（ax+by）（其中x,y均為

非零實(shí)數(shù)）.例如：T（1,1）=3x+3y.

（1）已知?。?,-1）=0,T（0,2）=8,求x,y的值；

（2）已知關(guān)于x,y的方程組代；0,2）品。，若嚏一2,求x+y的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，已知平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)A（x,y）落在坐標(biāo)軸上，將線段OA

沿x軸向右平移2個(gè)單位，得線段OA,坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)B滿足三角形BOA的面積為9,

請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo).

24.某治污公司決定購(gòu)買10臺(tái)污水處理設(shè)備.現(xiàn)有甲、乙兩種型號(hào)的設(shè)備可供選擇，其中

每臺(tái)的價(jià)格與月處理污水量如下表：

甲型乙型

價(jià)格（萬元/臺(tái)）Xy

處理污水量（噸/月）300260

經(jīng)調(diào)查：購(gòu)買一臺(tái)甲型設(shè)備比購(gòu)買一臺(tái)乙型設(shè)備多2萬元，購(gòu)買3臺(tái)甲型設(shè)備比購(gòu)買4臺(tái)

乙型設(shè)備少2萬元.

（1）求x,y的值；

（2）如果治污公司購(gòu)買污水處理設(shè)備的資金不超過91萬元，求該治污公司有哪幾種購(gòu)買

方案；

（3）在（2）的條件下，如果月處理污水量不低于2750噸，為了節(jié)約資金，請(qǐng)為該公司設(shè)

計(jì)一種最省錢的購(gòu)買方案.

25.某體育拓展中心的門票每張10元，一次性使用考慮到人們的不同需求，也為了吸引更

多的顧客，該拓展中心除保留原來的售票方法外，還推出了一種“購(gòu)買個(gè)人年票"（個(gè)人年

票從購(gòu)買日起，可供持票者使用一年）的售票方法.年票分A、B兩類：A類年票每張120

元，持票者可不限次進(jìn)入中心，且無需再購(gòu)買門票；B類年票每張60元，持票者進(jìn)入中心

時(shí)，需再購(gòu)買門票，每次2元.

（1）小麗計(jì)劃在一年中花費(fèi)80元在該中心的門票上，如果只能選擇一種購(gòu)買門票的方

式，她怎樣購(gòu)票比較合算？

(2)小亮每年進(jìn)入該中心的次數(shù)約20次，他采取哪種購(gòu)票方式比較合算？

(3)小明根據(jù)自己進(jìn)入拓展中心的次數(shù)，購(gòu)買了A類年票，請(qǐng)問他一年中進(jìn)入該中心不

低于多少次？

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中.點(diǎn)A,B,P不在同一條直線上.對(duì)于點(diǎn)P和線段AB給出

如下定義：過點(diǎn)P向線段AB所在直線作垂線，若垂足Q落在線段AB上，則稱點(diǎn)P為線段

的內(nèi)垂點(diǎn).若垂足Q滿足MQ-BQI最小，則稱點(diǎn)P為線段AB的最佳內(nèi)垂點(diǎn).已知點(diǎn)4

(-2,1),8(1,1),C(-4,3).

10-

9-

r8

I

1-5-

4

于

2

-8-7-6-5-4-3-12-1->

78x

T

(1)在點(diǎn)Pi(2,3)、P2(-5,0)、P3(-1,-2),P4(-4)中，線段AB的內(nèi)

垂點(diǎn)為;

(2)點(diǎn)M是線段AB的最佳內(nèi)垂點(diǎn)且到線段AB的距離是2,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為；

(3)點(diǎn)N在y軸上且為線段AC的內(nèi)垂點(diǎn)，則點(diǎn)N的縱坐標(biāo)"的取值范圍是；

(4)已知點(diǎn)。(m,0),E(m+4,0),F(2m,3).若線段CF上存在線段的最佳

內(nèi)垂點(diǎn)，求m的取值范圍.

27.閱讀下列材料：

問題：己知x-y=2,且x>Ly<0

解：,.,x-y=2..,.x=y+2,

又x>l.\y+2>l

/.y>-1

又/y<0

-l<y<0①

-l+2<y+2<0+2

即l<x<2@

①+②得-l+l<x+y<0+2

x+y的取值范圍是0<x+y<2

請(qǐng)按照上述方法，完成下列問題：

(1)已知x-y=3,且x>-Ly<0,則x的取值范圍是；x+y的取值范圍是：

(2)已知x-y=a,且x<-b,y>2b,根據(jù)上述做法得到-2<3x-y<10,求a、b的值.

28.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的任意兩點(diǎn)/W(xi,yi),A/(x2,丫2),給出如下定義：

將|XLX2|稱為點(diǎn)M,N之間的"橫長(zhǎng)"，|yi-y2|稱為點(diǎn)M,N之間的縱長(zhǎng)”，點(diǎn)M與點(diǎn)N

w

的"橫長(zhǎng)"與"縱長(zhǎng)"之和稱為"折線距離"，記作d(M,/V)=|xi-x2|+|yi-y2|.

例如：若點(diǎn)M(-l,1),點(diǎn)N(2,-2),則點(diǎn)M與點(diǎn)N的"折線距離"為：d(M,N)=\-1-

2|+|1-(-2)|=3+3=6.

根據(jù)以上定義，解決下列問題：

已知點(diǎn)P(3,2).

(1)若點(diǎn)4a，2),且d(P,-)=5,求a的值；

(2)已知點(diǎn)B(b,b),且d(P,S)<3,直接寫出b的取值范圍；

(3)若第一象限內(nèi)的點(diǎn)了與點(diǎn)P的"橫長(zhǎng)"與"縱長(zhǎng)"相等，且d(P,T)>5,簡(jiǎn)要分析點(diǎn)了的

橫坐標(biāo)t的取值范圍.

VA

5-

4-

3-

2-

1

j-------1-------1-------1-------

-3-2-1O12345%

-1

-2

-3

29.在平面直角坐標(biāo)系中，已知長(zhǎng)方形4BCD,點(diǎn)4(4,0),C(8,2).

(1)如圖，有一動(dòng)點(diǎn)P在第二象限的角平分線，上，若NPCB=10。，求NCP。的度數(shù);

(2)若把長(zhǎng)方形4BCD向上平移，得到長(zhǎng)方形ABO.

①在運(yùn)動(dòng)過程中，求的面積與的面積之間的數(shù)量關(guān)系；

②若4。〃。。，求的面積與的面積之比.

ax+by(x>y]

30.對(duì)龍，y定義一種新的運(yùn)算A,規(guī)定：A(X,J)=,(其中必HO).

ay+bx^x<y)

(1)若已知a=l,b=-2,貝1JA(4,3)=.

(2)已知A(l,l)=3,A(—1,2)=0.求。，b的值；

(3)在(2)間的基礎(chǔ)上，若關(guān)于正數(shù)P的不等式組恰好有2個(gè)整數(shù)

解，求加的取值范圍.

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除

一、解答題

1.(1)ACWDE-,(2)①NCA/W+N/WDE=N4W。，證明見解析；②點(diǎn)M的坐標(biāo)為

/c17、T/C25、

(0,一)或(0,-.

11。

【分析】

(1)根據(jù)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，連線平行X軸進(jìn)行判斷即可；

(2)①過點(diǎn)/W作MNIIAC,運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)即可；②設(shè)M(0,m),分兩種

情況：(i)當(dāng)點(diǎn)M在線段OB上時(shí)，(ii)當(dāng)點(diǎn)M在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別運(yùn)用三

角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

解：⑴-.-/I(-3,3)、C(4,3),

ACWx軸，

D(-2,-1)、E(2,-1),

DEWx軸，

ACWDE；

(2)①如圖，NCAM+NMDE=NAMD.

理由如下：

過點(diǎn)M作MNIIAC,

,/MNWAC(作圖)，

??/CAM=NAMN(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，

ACWDE(已知),

MNWDE(平行公理推論)，

,NMDE=NNMD(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，

ZCAM+AMDE=NAMN+ANMD=NAMD(等量代換).

②由題意，得：AC=7,DE=4,

設(shè)M(0,m),

(i)當(dāng)點(diǎn)M在線段08上時(shí)，BM=3-m,FM=m+L

11/、21-7m

SAACM=—A^BIVI=—x7x(3-m)=---------,

222

S/DEM=gDE?FM=gx4x(m+1)=2m+2,

「SAACM=SADEM，

21-7m

=2m+2,

-2~

17

解得：m,

M(0,—)；

(ii)當(dāng)點(diǎn)M在線段08的延長(zhǎng)線上時(shí)，BM=m-3,FM=m+l,

11/、7m-21

「?SUCM=7AC?BM=TTX7X(m-3)=----------,

222

SADEM=gDE?FM=gx4x(m+1)=2m+2,

「SAACM—SLDEM9

解得：,

25

M(0,—)；

1775

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,7T)或(0,g).

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形面積，平行坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，平行線的判定和性質(zhì)

等，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想.

2.(1)見詳解；(2)15°；(3)67.5°；(4)45cm；(5)10s或30s或40s

【分析】

(1)運(yùn)用角平分線定義及平行線性質(zhì)即可證得結(jié)論；

(2)如圖2,過點(diǎn)E作EKIIMN,利用平行線性質(zhì)即可求得答案；

(3)如圖3,分別過點(diǎn)F、H作FLIIMN,HR11PQ,運(yùn)用平行線性質(zhì)和角平分線定義即可

得出答案；

(4)根據(jù)平移性質(zhì)可得D'A=DF,D￡/=EE，=AF=5cm,再結(jié)合。E+EF+DF=35cm,可得

出答案；

(5)設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，由題意旋轉(zhuǎn)速度為1分鐘轉(zhuǎn)半圈，即每秒轉(zhuǎn)3。，分三種情況：

①當(dāng)BCIIOE時(shí)，②當(dāng)BCIIEF時(shí)，③當(dāng)BCIIDF時(shí)，分別求出旋轉(zhuǎn)角度后，列方程求解

即可.

【詳解】

(1)如圖1,在AOEF中，ZEDF=90°,ZDFE=30°,ZDEF=60°,

圖1

ED平分NPEF,

：.ZPEF=2NPED=2NDEF=2x60°=120°,

PQIIMN,

：.ZMFf=180°-ZPEf=180°-120°=60°,

ZMFD=NMFE-NDFE=60°-30°=30°,

ZMFD=NDFE,

：.FD平分NEFM；

（2）如圖2,過點(diǎn)E作EKWMN,

圖2

,/Z8AC=45°,

/.NKEA=NBAC=45°,

,/PQIIMN,EKWMN,

/.PQIIEK,

：.ZPDE=4DEK=NDEF-NKEA,

又「ZDEF=60°.

/.ZPDE=60°-45°=15°,

故答案為：15。；

(3)如圖3,分別過點(diǎn)F、H作FillMN,HRT1PQ,

D

圖3

/.ZLFA=4B/AC=45°,ZRHG=NQGH,

,/FLIIMN,HRWPQ,PQIIMN,

/.FLIIPQIIHR,

：.ZQGF+NGFL=180°,ZRHF=NHFL=AHFA-NLFA,

■「NFGQ和NGFA的角平分線GH、FH相交于點(diǎn)H,

NQGH=；NFGQ,/HFA=34GFA,

,/ZDFE=30°,

/.ZGFA=180°-ADFE=150°,

/.ZHFA=g/GM=75°,

/.ZRHF=NHFL=AHFA-4LE4=75°-45o=30°,

/.ZGFL=NGFA-乙LE4=150°-45o=105°,

:.NRHG=NQGH=gzFGQ=；(180°-105°)=37.5°,

/.ZGHF=NRHG+NR”F=37.5°+30°=67.5°；

(4)如圖4,?將△OEF沿著CA方向平移至點(diǎn)F與A重合，平移后的得到△

圖4

D'A=DF,OD'=EE'=AF=5cm,

OE+EF+OF=35cm,

二OE+EF+0'A+AF+00'=35+10=45(cm),

即四邊形OEA￡T的周長(zhǎng)為45cm；

(5)設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，由題意旋轉(zhuǎn)速度為1分鐘轉(zhuǎn)半圈，即每秒轉(zhuǎn)3。,

分三種情況：

3t=30,

解得：t=10;

BCWEF時(shí)，如圖6,

BCWEF,

/.ZBAE=N8=45°,

ZBAM=/BAE+N￡4M=45°+45°=90°,

/.3t=90,

解得：t=30；

圖7

ZDRM=ZEAM+NOFE=45°+30°=75°,

ZBKA=NDRM=75°,

■：ZACK=180°-NACB=90°,

：.ZCAK=90°-NBKA=15°,

/.ZCAE=180°-ZEAM-NCAK=180°-45°-15°=120°,

3t=120,

解得：t=40,

綜上所述，△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為10s或30s或40s時(shí)，線段BC與AOEF的一

條邊平行.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行線性質(zhì)及判定，角平分線定義，平移的性質(zhì)等，添加輔助線，利用平

行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.(1)①35。；(2)55。；(2)存在，52.5。或7.5。

【分析】

(1)①依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到NPCG的度數(shù)；

②依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到NECG=NGCG20。，再根據(jù)PQIICE,

即可得出NCPQ=NECP=60°；

(2)設(shè)NEGC=3x,ZEFC=2x,則NGCF=3x-2x=x,分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E

的右側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)，依據(jù)等量關(guān)系列方程求解即可.

【詳解】

解：(1)①CD,

：.ZCEB+ZECQ=180°,

,,,ZC￡B=110",

ZECQ=70°,

???ZPCF=NPCQ,CG平分NECF,

：.ZPCG=NPCF+NFCG=3NQCF+^NFCE=

22ECQ=35。；

②ABWCD,

/.ZQCG=ZEGC,

/ZQCG+ZECG=NECQ=70°,

ZEGC+NECG=70°,

又?「ZEGC-NECG=30°,

/.ZEGC=50°,NECG=20°,

/.ZECG=NGCF=20°,ZPCF=Z.PCQ=1(70°-40°)=15°,

,/PQIICE,

：.ZCPQ=ZECP=NECQ-ZPCQ=70°-15°=55°.

(2)52.5°或7.5°,

,/4BIICD,

/.ZQCG=ZEGC=3x°fZQCF=ZEFC=2x。,

則NGCF=NQCG-NQCF=3x°-2x°=x°,

/.ZPCF=NPCQ=gNFCQ=gNEFC=x0,

貝UNECG=NGCF=tPCF=NPCD=x°f

/ZECD=70°,

4x=70°,解得x=17.5。，

ZCPQ=3x=52.5°；

②當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)，反向延長(zhǎng)8到H,

/ZEGC=3x°,ZEFC=2x°f

/.ZGCH=NEGC=3x°fZFCH=NEFC=2x°,

NECG=NGCF=ZGCH-NFCH=x0,

'：ZCGF=180°-3x°,ZGCQ=70°+x°,

180-3x=70+x,

解得x=27.5,

ZFCQ=NECF+Z.ECQ=27.5°x2+70°=125°,

ZPCQ=；NFCQ=62.5°,

ZCPQ=ZECP=62.5°-55°=7.5°,

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相

等是解題的關(guān)鍵.

4.(1)90°-1a；(2)①45°+；a；@50°

【分析】

⑴由平行線的性質(zhì)得到N4=N3/C="，由折疊的性質(zhì)可知，N2=NBFE,再根據(jù)平角的

定義求解即可；

(2)①由(1)知，NBFE=90。一"根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/BFE=NCGB=9(r-ga,

再由折疊的性質(zhì)及平角的定義求解即可；

②由(1)知，ZBFE=ZEFB'=90°由B'FLC'G可知：

ZB'FC+ZFGC'=90°,再根據(jù)條件和折疊的性質(zhì)得到

ZB'FC+ZFGC'=N1+140。—2/1=90。，即可求解.

【詳解】

解：(1)如圖，由題意可知A'E/AB'b,

/.Nl=N4=a,

,/AD//BC,

：.N4=NB'FC=a,

.\ZBFBf=180°-a,

?二由折疊可知N2=ZBFE=-ZBFB,=90°--a.

22

4*

/)夕’

A.....息dL/p

J.........F~------------------C

(2)①由題(1)可知N8PE=90O-Ja,

EF//CG,

NBFE=NCGB=90°-！。，

2

再由折疊可知：

Z3+ZHGC=180°-ZC'GB=180°-(90°-；a[=90°+；。，

Z3=ZHGC=45°+-a；

4

C\X\.

\z\

...........\付......................q

aG

②由B/LC'G可知：Z5'FC+ZFGC'=90°,

由（1）知/8形=90°-工/1,

2

ZB'FC=180°-2ZBFE=180。一2190。一；=Z1,

又/3的度數(shù)比/I的度數(shù)大20。，

Z3=Zl+20°,

ZFGC=180°-2Z3=180°-2（Z1+2O°）=140°-2Z1,

ZB'FC+ZFGC'=Zl+1400—2/1=90。，

.-.Zl=50o.

【點(diǎn)睛】

此題考查了平行線的性質(zhì)，屬于綜合題，有一定難度，熟記"兩直線平行，同位角相等"、

"兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等"及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（1）AB//CD,證明見解析；（2）ZEi+NE2+...ZE?=ZB+ZFi+ZF2+...NF?i+ND；

（3）（n-l）?180°

【分析】

（1）過點(diǎn)E作EF〃A8,利用平行線的性質(zhì)則可得出N8=NBEF,再由己知及平行線的判定

即可得出AB//CD；

（2）如圖，過點(diǎn)E作E/W〃AB,過點(diǎn)F作FN//AB,過點(diǎn)G作GH〃AB,根據(jù)探究（1）的

證明過程及方法，可推出NE+NG=NB+NF+N。，則可由此得出規(guī)律，并得出

NEi+NEz+.-NEn=NB+NFi+NF2+...NF〃-i+ND；

（3）如圖，過點(diǎn)M作行〃AB,過點(diǎn)N作GH//AB,則可由平行線的性質(zhì)得出

Z1+Z2+Z/W/VG=18O°X2,依此即可得出此題結(jié)論.

【詳解】

解：（1）過點(diǎn)E作EF//AB,

/.ZB=ZBEF.

/ZBEF+NFED=NBED,

/.Z8+NFED=NBED.

■：Ze+ZD=ZE（已知）,

ZFED=ND.

,CD〃EF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

AB//CD.

（2）過點(diǎn)E作EM〃/W,過點(diǎn)F作FN〃AB,過點(diǎn)G作GH〃AB,

B

ABHCD,

.t.AB//EM//FN//GH//CD.

：.ZB=ZBEM,ZMEF=NEFN,ZNFG=4FGH,ZHGD=4D,

：.ZBEF+NFGD=NBEM+NMEF+NFGH+NHGD=4B+NEFN+NNFG+N。=NB+NEFG+ND,

即NE+NG=NB+NF+ND.

由此可得：開口朝左的所有角度之和與開口朝右的所有角度之和相等，

/?NEi+NE2+...NEn—Z.B+NFi+NF2+...NF〃-i+ND.

故答案為：NEi+NE2+...NEn=N8+NFi+ZF2+...NFn-i+ND.

（3）如圖，過點(diǎn)M作EFIMB,過點(diǎn)N作G”〃AB,

ZAPM+NPME=180°,

-：EF//AB,GH//AB,

：.EFIIGH,

：.ZEMN+NMNG=180°,

：.Z1+Z2+Z/WA/G=180°x2,

依次類推：N1+Z2+...+Zn-l+Zn=（n-l）?180°.

故答案為：（n-l）?180。.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是過E點(diǎn)作/W（或CD）的平行線，

把復(fù)雜的圖形化歸為基本圖形.

6.（1）證明見解析；（2）ZABC-ZF=90°；（3）45°.

【分析】

（1）過點(diǎn)C作C尸〃先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NABC+N3CF=180。，再根據(jù)平行公

理推論可得C尸DE,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NCDE+/3CF+/3CD=180。，由此即

可得證；

（2）過點(diǎn)C作CG〃AB,同（1）的方法，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

ZABC+ZBCG=180°,/戶+ZBCG+ZBCF=180。，從而可得ZABC-NF=NBCF,再

根據(jù)垂直的定義可得NBCF=90。，由此即可得出結(jié)論；

（3）過點(diǎn)G作GMAB,延長(zhǎng)尸G至點(diǎn)N,先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得Z/?7=/MG”,

ZMGN=ZDFG,從而可得ZMGH—ZMGN=ZABH—/DFG,再根據(jù)角平分線的定義、

結(jié)合（2）的結(jié)論可得NMG"-NMGN=45。，然后根據(jù)角的和差、對(duì)頂角相等可得

ZBGD-ZCGF=ZMGH-ZMGN,由此即可得出答案.

【詳解】

證明：（1）如圖，過點(diǎn)。作CF〃AB,

AB|DE,

:.CFPDE,

二.NCD石+NDCF=180。，即NCDE+NBCF+NBCD=180。,

/CDE+/BCF+ZBCD=ZABC+ZBCF,

/./BCD+/CDE=ZABC；

(2)如圖，過點(diǎn)C作。G〃AB,

ABDE,

:.CGDE,

/.ZF+ZFCG=180°,即ZF+N5CG+NBCF=180。，

ZF+/BCG+NBCF=ZABC+/BCG,

:.ZABC-ZF=ZBCF,

CF±BC,

/.ZBCF=90°,

.\ZABC-ZF=90°；

(3)如圖，過點(diǎn)G作GMAB,延長(zhǎng)FG至點(diǎn)N,

H

c

MG

DF

ZABH=ZMGH,

ABDE,

:.GMDE,

:.ZMGN=ADFG,

平分入WC,FN平分NCFD,

ZABH=；ZABC,ZDFG=|ZCFD,

由（2）可知，ZABC-ZCFD=90°,

ZMGH-AMGN=ZABH-ZDFG=-ZABC--ZCFD=45°,

22

JZBGD=ZMGH+ZMGD

又［ZCGF=NDGN=NMGN+ZMGD'

:.NBGD-NCGF=ZMGH—ZMGN=45。.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8

7.初步探究：（1）8;（2）C；深入思考：（1）三，不，2;（2）n_2；（3）-5.

【分析】

初步探究：

（1）根據(jù)除方運(yùn)算的定義即可得出答案；

（2）根據(jù)除方運(yùn)算的定義逐一判斷即可得出答案；

深入思考：

（1）根據(jù)除方運(yùn)算的定義即可得出答案；

（2）根據(jù)（1）即可總結(jié)出（2）中的規(guī)律；

（3）先按照除方的定義將每個(gè)數(shù)的圈n次方算出來，再根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則即可得

出答案.

【詳解】

解：初步探究：

（1）2③=2+2+2=；

（-）⑤=LLLLL8

222222

(2)A：任何非零數(shù)的圈2次方就是兩個(gè)相同數(shù)相除，所以都等于1,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

B：因?yàn)槎嗌賯€(gè)1相除都是1,所以對(duì)于任何正整數(shù)n,1嘴B等于1,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

C：3④=353+353=！，4③=454+4=,，3④工4③，故選項(xiàng)C正確；

94-

D：負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方，相當(dāng)于奇數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)相除，則結(jié)果是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方，相

當(dāng)于偶數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)相除，則結(jié)果是正數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故答案選擇：C.

深入思考：

(1)(-3)④=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)="

5⑥=5+5+5+5+5+5=二

54

(2)a@a+a+a…+a=—彳

an-2

…111cr

1444-----x------7-z-------+27

(3)原式)一「(-2廣I：?

=144+9X1-；J-81+27

=-2-3

=-5

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了除方運(yùn)算，運(yùn)用到的知識(shí)點(diǎn)是有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)混合運(yùn)算的

法則是解決本題的關(guān)鍵.

8.(1)K(342)=9,K(658)=19；(2)見解析;(3)28

【分析】

(1)根據(jù)K的定義，可以直接計(jì)算得出；

(2)設(shè)了=詼，得到新的三個(gè)數(shù)分別是：標(biāo)，而，嬴，這三個(gè)新三位數(shù)的和為

100(〃+人+c)+10(〃+/?+c)+(a+Z?+c)=111(〃+Z?+c),可以得至|J：K(x)=a+b+c-

(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論，猜想：K(x)+K(y)=28.

【詳解】

解：(1)已知〃=342,所以新的三個(gè)數(shù)分別是：324,243,432,

這三個(gè)新三位數(shù)的和為324+243+342=999,

K(342)=9；

同樣〃=658,所