2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【猜想歸納】周長(zhǎng)面積問(wèn)題中的猜想歸納思想（解析版）

周長(zhǎng)面積問(wèn)題中的猜想歸納思想

1.猜想歸納思想

歸納猜想類問(wèn)題也是探索規(guī)律型問(wèn)題，這類問(wèn)題一般給出一組具有某種有規(guī)律的數(shù)、式、

圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作變化過(guò)程，或某一具體的問(wèn)題情境，通過(guò)認(rèn)真觀察、分析

推理，探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論?？疾閷W(xué)生的歸納、概括、類

比能力。有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和創(chuàng)造性。

解決歸納猜想類問(wèn)題的基本思路是“觀察一歸納一猜想一證明(驗(yàn)證)”，具體做法：

(1)認(rèn)真觀察所給的一組數(shù)、式、圖等，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系；

(2)根據(jù)它們之間的關(guān)系分析、概括，歸納它們的共性和蘊(yùn)含的變化規(guī)律，猜想得出一個(gè)

一般性的結(jié)論；

(3)結(jié)合題目所給的材料情景證明或驗(yàn)證結(jié)論的正確性。

歸納猜想類問(wèn)題可以分成四大類：

(1)數(shù)式歸納猜想題

這類題通常是先給出一組數(shù)或式子，通過(guò)觀察、歸納這組數(shù)或式子的共性規(guī)律，寫(xiě)出一個(gè)一

般性的結(jié)論。找出題目中規(guī)律，即不變的和變化的，變化的部分與序號(hào)的關(guān)系是解這類題的

關(guān)鍵。

(2)圖形歸納猜想題

此類題通常給出一組圖形的排列(或操作得到一系列的圖形)探求圖形的變化規(guī)律，以圖形為

載體考查圖形所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。其解題關(guān)鍵是找出相鄰兩個(gè)圖形之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)

系。

(3)結(jié)論歸納猜想題

結(jié)論歸納猜想題?？紨?shù)值結(jié)果、數(shù)量關(guān)系及變化情況。發(fā)現(xiàn)或歸納出周期性或規(guī)律性變化,

是解題的關(guān)鍵。

(4)類比歸納猜想題

類比歸納猜想題通常是指由兩類對(duì)象的具有某些相同或相似的性質(zhì)，和其中一類對(duì)象的某些

己知的性質(zhì)，推斷出另一類對(duì)象也具有這些性質(zhì)的一種題型，有時(shí)也指兩個(gè)對(duì)象在研究方法、

學(xué)習(xí)過(guò)程上類比，考查類比歸納推理能力。

2.作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖

應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖主要把簡(jiǎn)單作圖放入實(shí)際問(wèn)題中.

首先要理解題意，弄清問(wèn)題中對(duì)所作圖形的要求，結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方

法作圖.

3.翻折變換（折疊問(wèn)題）

1、翻折變換（折疊問(wèn)題）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換.

2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，

位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.

3、在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問(wèn)題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到

圖形間的關(guān)系.

首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件.解題時(shí)，我們常常設(shè)要求

的線段長(zhǎng)為x,然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適

當(dāng)?shù)闹苯侨切危\(yùn)用勾股定理列出方程求出答案.我們運(yùn)用方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)

出正確的未知數(shù).

一.選擇題（共6小題）

1.（2021秋?龍口市期末）如圖，A43C的周長(zhǎng)為°,以它的各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△4瓦G，

再以△/4G各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△4鳥(niǎo)。2，…如此下去，則紇G,的周長(zhǎng)為（）

.1clc1r1

A.—aB.—aC?——ciD?——ci

【考點(diǎn)】三角形中位線定理

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到△4月G的周長(zhǎng)=；a,△4層。2的周長(zhǎng)=；。=:。，

總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可.

【解答】解：?.?點(diǎn)4、瓦、G分別為BC、AC.45的中點(diǎn)，

.?.△4月。1的周長(zhǎng)=^0，

同理，△42C的周長(zhǎng)=%，

則△%紇Q的周長(zhǎng)=/°,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理，正確找出三角形的周長(zhǎng)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

2.（2020秋?零陵區(qū)期末）如圖，在矩形N8C。中，AD=2,CD=\,連接NC,以對(duì)角線

/C為邊，按逆時(shí)針?lè)较蜃骶匦蜰8CD的相似矩形ZB|GC,再連接』G，以對(duì)角線NG為

邊作矩形/瓦GC的相似矩形/芻。26，…按此規(guī)律繼續(xù)下去，則矩形NgCCi的周長(zhǎng)為（

3X(￡IC.6x(*D.6x($i

2

【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；相似多邊形的性質(zhì)；規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】根據(jù)已知和矩形的性質(zhì)可分別求得/C,AQ,蟲(chóng)4的長(zhǎng)，從而可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)

規(guī)律即可求得第〃個(gè)矩形的面積.

【解答】解：?.?四邊形N8CD是矩形,

AD1DC,

AC=4AD-+CD-=@+F=45,

?.?按逆時(shí)針?lè)较蜃骶匦蜰BC。的相似矩形48CC,

二.矩形AB&C的邊長(zhǎng)和矩形ABCD的邊長(zhǎng)的比為5.2,

二.矩形ABgC的周長(zhǎng)和矩形ABCD的周長(zhǎng)的比石:2,

?.?矩形/BCD的周長(zhǎng)=2x（2+l）=6,

矩形ABgC的周長(zhǎng)=6x等，

依此類推，矩形482c2G的周長(zhǎng)和矩形4BgC的周長(zhǎng)的比，

二.矩形AB2C2Ct的周長(zhǎng)6x（日了，

二.矩形AB3c3c2的周長(zhǎng)=6x（日了

按此規(guī)律第"個(gè)矩形的周長(zhǎng)為：6x（5）",

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似多邊形的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)求

出的結(jié)果得出規(guī)律.

3.（2021?開(kāi)封二模）如圖，將AA8C沿著過(guò)BC,的中點(diǎn)。，E所在的直線折疊，使

點(diǎn)8落在/C邊上的耳處，稱為第一次操作，點(diǎn)。到/C的距離為印；還原紙片后，再將

ABDE沿著過(guò)BD,8E的中點(diǎn)2，耳所在的直線折疊，使點(diǎn)2落在。E邊上的當(dāng)處，稱為

第二次操作，點(diǎn)2到NC的距離記為a；按上述方法不斷操作下去，…，經(jīng)過(guò)第〃次操作

后得到點(diǎn)。到/C的距離記為〃,?若4=1,則切值為（）

B

A.2--J-B.2-—C.1+」D.1+—

2"_2"2"T2"

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）；三角形中位線定理；規(guī)律型：圖形的變化類；相似三角形

的判定與性質(zhì)；點(diǎn)到直線的距離

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，得出色=1+；，依次得到用、\、

%、…兒，再對(duì)兒進(jìn)行計(jì)算即可.

E

Ei,

B/Y7v

【解答］4D

解：?.?將A43c沿著過(guò)8C,的中點(diǎn)。，￡所在的直線折疊，點(diǎn)。到NC的距離為九，

.,.點(diǎn)。到/C的距離4=1,DEI/AC,DE=-AC,

12

KEBD^KABC，AEBD與AABC的相似比為1:2,

?.■折疊,

\EBD=△EBXD,

△EBQSAABC,△EBQ與KABC的相似比為1:2,

?.?將ABDE沿著過(guò)BD,的中點(diǎn)R,且所在的直線折疊，點(diǎn)2到NC的距離記為〃?，

同理：△EiB/e△EBQ,△耳為C\與的相似比為1:2,

二2至!J/C的距離為=1+；,

同理：h,=A,+—h,=1+—+—,

'24124

,,1,,111

/z=4H—h,—Id---1---1—9

48248

"2482"-'

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形的變化規(guī)律問(wèn)題，首先根據(jù)變化發(fā)現(xiàn)第一個(gè)、第二個(gè)、第三個(gè)…發(fā)

現(xiàn)規(guī)律得出一般性結(jié)論是解決本題代入關(guān)鍵.

4.如圖，正方形48cBi中，48=1,N8與直線/的夾角為30。，延長(zhǎng)C4交直線/于點(diǎn)4,

作正方形451GB2,延長(zhǎng)G層交直線/于點(diǎn)4，作正方形4B2cB,延長(zhǎng)C2B3交直線/于

點(diǎn)4，作正方形423c…依此規(guī)律，則4oi84oi9=()

a

A.(G嚴(yán)8B.(V3)2019C.2(6嚴(yán)8D.2(V3)2019

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到=扇4=G,AA,=2/耳=2,再

利用四邊形481GB2為正方形得到4與=44=V3,接著計(jì)算出4與=(6)2，44=2x6,

利用同理方法計(jì)算出44=2X(6)2,44=2X(G)3,然后根據(jù)6的指數(shù)變化規(guī)律得到

^2018^2019的長(zhǎng)度?

【解答】解：???四邊形N3C四為正方形，

/.AB、=AB-1,

A】C//AB,

/與44=30。，

/.=V3,AAX—2AB]=2,

???四邊形為正方形，

AXBXCXB2

4與=AB1=V3,

A2ci//AR,

/B2A2Al=30°,

A2B2=岳也=exg=(6)2,44=23=2又也,

3

同理可得44=2x,A3A4=2x(V3),

2018

?■?4oi84oi9=2x(^).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型-圖形的變化類：探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來(lái)

解決這類問(wèn)題.也考查了正方形的性質(zhì).

5.如圖，ZAOB=45°,在。/上截取04=1，。4=3，OA3=5,。4=7,O4=9,…,

過(guò)點(diǎn)4、4、4、4、4分別作。/的垂線與相交，得到并標(biāo)出一組陰影部分，它們

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】觀察圖形，發(fā)現(xiàn)：黑色梯形的高總是2；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，分別求得黑

色梯形的兩底和依次是4,12,20,…即依次多8.再進(jìn)一步根據(jù)梯形的面積公式進(jìn)行計(jì)算.

【解答】解：,.?403=45。，

.?.圖形中三角形都是等腰直角三角形，

,-.Sl=1（l+3）x2=4；

Sn=1x2x[4+8（?-l）]=8n-4.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的變化類問(wèn)題，解決此題的關(guān)鍵是能夠結(jié)合圖形，根據(jù)等腰直角三

角形的性質(zhì)，找到梯形的上下底的和的規(guī)律.

6.下列圖形都是由同樣大小的矩形按一定的規(guī)律組成，其中第（1）個(gè)圖形的面積為2”？，

第（2）個(gè)圖形的面積為8c/,第（3）個(gè)圖形的面積為18c/，…，則第（10）個(gè)圖形的面

積為（）

(1)Q)(3)

A.196cm2B.200cm2C.216cm2D.256cm2

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】根據(jù)已知圖形面積得出數(shù)字之間的規(guī)律，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：?第一個(gè)圖形面積為：2=lx2(c/),

第二個(gè)圖形面積為：8=22x2(cm2),

第三個(gè)圖形面積為：18=32x2?/)…

.?.第(10)個(gè)圖形的面積為：102X2=200(C/).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的變化類，根據(jù)已知得出面積的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.

二.填空題(共10小題)

7.(2021秋?朝陽(yáng)期中)如圖，的面積為0,分別延長(zhǎng)△&BG的三條邊用G、G4、

44到點(diǎn)與、。2、4，使得&&=耳。|，4c2=4G，用出=4⑸，得到△4打。2；再分

CB

別延長(zhǎng)△422c2的三條邊22c2、CM、A2B2到點(diǎn)名、G、4，使得2I=32c2，4G=4c2,

B2A3=,得到△4&G；????按照此規(guī)律作圖得到△4紇G,，則△44c”的面積為

【考點(diǎn)】三角形的面積

【分析】連接4G.利用三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形，求出△4打。2,

△的面積，探究規(guī)律，可得結(jié)論.

【解答】解：連接4G-

是

7c3

A1BX=AXBX,

?'-8“2"。1=SA4GBi=a9

,/B2cl=B[C],

?'?S"252G=SA&BG=61'

=9

?'?^^A2B2B}2a

同法可證，SAAC=S.BCC=2'

A4]〃2U2△。2592

-S4432G=7a，S”353c3=7sA482c2=7?a'

…,

SARC=7〃TQ，

故答案為：7"-%.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的面積，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型.

8.在平面直角坐標(biāo)系中，正方形/BCD的位置如圖所示，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)。的坐標(biāo)

為(0,2).延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)4,作第1個(gè)正方形4月。1；延長(zhǎng)G片交x軸于點(diǎn)4,作第

2個(gè)正方形…，按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2019個(gè)正方形的面積是

5X(1)4038_.

Q

小X

【考點(diǎn)】規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【分析】先利用勾股定理求出==，再用三角形相似得出42=好，

2

A2B2=(1)275,找出規(guī)律4。19與019=(|)刈9石，即可求出第2019個(gè)正方形的面積.

【解答】解：

?.?點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2),

OA=1,OD=2,BC=AB=AD=#

???正方形ABCD,正方形AXBXCXC,

ZOAD+AAXAB=90°,ZADO+ZOAD=90°,

AAXAB=ZADO,

ZAOD=AA.BA=90°,

NAOD^△A",

AO_OD

"AXB~AB'

12

"45"V5)

AB=—,

}12

o

/.AXBX—AyC—A[B+BC=—V5,

oa2「

同理可得，^2=|V5=(j)V5,

同理可得，4尾=(|)3逐，

2O19

同理可得，4O^2O19=(|)V5(

第2019個(gè)正方形的面積=,嚴(yán)9X向2=5X弓產(chǎn).

案為：5Xg)4038.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在

于找到規(guī)律.

9.(2021春?瑤海區(qū)期中)如圖，一系列等腰直角三角形(編號(hào)分別為①、②、③、④、…)

組成了一個(gè)螺旋形，其中第1個(gè)三角形的直角邊長(zhǎng)為b則第"個(gè)等腰直角三角形的面積為

1

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類；勾股定理；等腰直角三角形

【分析】分別求出第1、2、3個(gè)直角三角形的直角邊的長(zhǎng)，找到規(guī)律，從而寫(xiě)出第一個(gè)直角

三角形的直角邊的長(zhǎng)，求出面積即可.

【解答】解：???第1個(gè)三角形的直角邊長(zhǎng)為1,

.?.第2個(gè)三角形直角邊長(zhǎng)為V2，

第3個(gè)三角形的直角邊長(zhǎng)為2=(V2)2,

第n個(gè)直角三角形直角邊為（行）1,

.?.s"=27

S②——x*x^2=1=2。，

S③二;x2x2=2,

.?.第〃個(gè)等腰直角三角形的面積為：1(V2r1x(V2)--1=2-2.

故答案為：2"-2.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形及圖形的變化類問(wèn)題，要結(jié)合圖形熟練運(yùn)用勾股定理計(jì)算前

面幾個(gè)具體值，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

10.直線上有100個(gè)點(diǎn)，我們進(jìn)行如下操作：在每相鄰兩點(diǎn)之間插入I個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)三次這樣

的操作后，直線上共有793個(gè)點(diǎn).

【考點(diǎn)】15：有理數(shù)的加減混合運(yùn)算；38：規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】根據(jù)"個(gè)點(diǎn)中間可以有(〃-1)個(gè)空插入，從而找出規(guī)律并得解.

【解答】解：第一次:100+(100-1)=2x100-1,

第二次：2x100-1+2x100-1-1=4x100-3,

第三次：4x100-3+4x100-3-1=8x100-7.

二.經(jīng)過(guò)3次這樣的操作后，直線上共有8x100-7=793個(gè)點(diǎn).

故答案為:793.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形的變化規(guī)律，從簡(jiǎn)單情形入手，利用特殊得出一般的規(guī)律，利用規(guī)律

解決問(wèn)題.

11.如圖，依次連接第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到第一個(gè)菱形，再依次連接所得菱形各邊的中

點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，

按照此方法繼續(xù)下去.已知第一個(gè)矩形的面積為2,則第2013個(gè)菱形的面積為—/

二一公-叵一直一…

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類；菱形的性質(zhì)；中點(diǎn)四邊形

【分析】首先根據(jù)題意求得第一個(gè)菱形的面積、第二個(gè)矩形與菱形面積、第三個(gè)矩形與菱形

面積，繼而得到規(guī)律：第〃個(gè)菱形的面積為：（;『I,則可求得答案.

【解答】解：?.?第一個(gè)矩形的面積為2,

???第一個(gè)菱形的面積為1;

.?.第二個(gè)矩形的面積為：

2

第二個(gè)菱形的面積為：（g『，

第三個(gè)矩形的面積為：（g）3,

第三個(gè)菱形的面積為§）4,

依此類推，第力個(gè)菱形的面積為：（；產(chǎn)一2,

.?.第2013個(gè)菱形的面積為：（；產(chǎn)。氏2產(chǎn)4=強(qiáng).

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形與矩形的性質(zhì).此題難度適中，注意得到規(guī)律：第"個(gè)菱形的面積

為：是解此題的關(guān)鍵.

12.如圖，“把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為l的矩形”稱為第1次變換，接著

2

“把其中一個(gè)面積為工的矩形等分成兩個(gè)面積為工的矩形”稱為第2次變換，再“把其中

24

一個(gè)面積為工的矩形等分成兩個(gè)面積為工的矩形”稱為第3次變換，…一直到第100次變

48

換，我們得到一系列數(shù)：利用圖形可求得前10個(gè)數(shù)的和是

2481632

1023

1024—

【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類;規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)計(jì)算方法:-=1--；-+-=即計(jì)算其面積和的時(shí)候，只需

22244

讓總面積減去剩下的面積.

……11111

_1023

-1024.

故答案為：竺”.

1024

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的變化類問(wèn)題，此題注意結(jié)合圖形的面積找到計(jì)算的方法：其中的

面積和等于總面積減去剩下的面積.

13.已知邊長(zhǎng)為1的正方形，按如圖所示的方式分割，第1次分割后的陰影部分面積H=工，

12

第2次分割后的陰影部分面積邑=1，第3次分割后的陰影部分面積星=（，?.?.按照這

樣的規(guī)律分割，則第〃（〃為正整數(shù)）次分割后的陰影部分面積可用〃表示為

【分析】根據(jù)第一次為￡=工=1-工，第二次為耳=3=1-工，…，從而得到規(guī)律.

122144

【解答】解：第一次為岳=工=1-工，

122

第二次為$2=；3=1-1;，

Z=-1

8F

故答案為:

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的變化類問(wèn)題，關(guān)鍵是通過(guò)歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律.注意由

特殊到一般的分析方法.

14.如圖，依次連接一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形各邊的中點(diǎn)，得到第二個(gè)正方形，再依次連接第

二個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)，得到第三個(gè)正方形，按此方法繼續(xù)下去，則第二個(gè)正方形的面積是

【分析】先根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)是1,得出斜邊的長(zhǎng)，根據(jù)面積公式計(jì)算出第二個(gè)正方形的面

積，以此類推，得出第三個(gè)正方形的面積，總結(jié)出規(guī)律，得到第〃個(gè)正方形的面積，再把〃=6

時(shí)代入即可求出答案.

【解答】解：???正方形的邊長(zhǎng)是1，

所以它的斜邊長(zhǎng)是:

]_

所以第二個(gè)正方形的面積是:

2

第三個(gè)正方形的面積為工=

4

以此類推，第〃個(gè)正方形的面積為(；)力,

所以第六個(gè)正方形的面積是(1)6-'1

32

故答案為：I1

32

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是掌握中位線定理和正方形的性質(zhì)，計(jì)算出

各邊的長(zhǎng)，再根據(jù)面積公式求出答案.

15.如圖，從原點(diǎn)N開(kāi)始，以=1為直徑畫(huà)半圓，記為第1個(gè)半圓；以2C=2為直徑畫(huà)

半圓，記為第2個(gè)半圓；以CZ)=4為直徑畫(huà)半圓，記為第3個(gè)半圓；以。E=8為直徑畫(huà)半

圓，記為第4個(gè)半圓；…，按此規(guī)律，繼續(xù)畫(huà)半圓，則第6個(gè)半圓的面積為_(kāi)128%

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】根據(jù)已知圖形得出第5個(gè)半圓的半徑，進(jìn)而得出第5個(gè)半圓的面積，得出第〃個(gè)半

圓的半徑，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：?.?以=1為直徑畫(huà)半圓，記為第1個(gè)半圓；

以3C=2為直徑畫(huà)半圓，記為第2個(gè)半圓；

以CO=4為直徑畫(huà)半圓，記為第3個(gè)半圓；

以Z)E=8為直徑畫(huà)半圓，記為第4個(gè)半圓，

.?.第5個(gè)半圓的直徑為16,

根據(jù)已知可得出第〃個(gè)半圓的直徑為：2"一，

則第〃個(gè)半圓的半徑為：—=2,-2,

2

第〃個(gè)半圓的面積為：/*)2=2f.

2

所以第6個(gè)半圓的面積為：128萬(wàn).

故答案為：128%.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，注意數(shù)字之間變化規(guī)律，根據(jù)已知得出第〃個(gè)半圓

的直徑為：2"T是解題關(guān)鍵.

16.如圖，AA8C的面積為1,分別取/C、8c兩邊的中點(diǎn)4、瓦，則四邊形4/2瓦的面

積為再分別取/〈、3c的中點(diǎn)4、B2,4。、82c的中點(diǎn)4、尾，依次取下

去....利用這一圖形，能直觀地計(jì)算出+與+…+a=.

442434"

By

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.通過(guò)

分析找到各部分的變化規(guī)律后用一個(gè)統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律是此類題目中的難點(diǎn).

【解答】解：4分別是nC、3c兩邊的中點(diǎn),

且A43C的面積為1,

.?.△4月。的面積為1X：.

a1

/.四邊形AXABBX的面積=\ABC的面積-△AiB{C的面積=-=1--

iia

四邊形44用坊的面積=△48c的面積-△432c的面積=w一不=不

.?.第〃個(gè)四邊形的面積=工--1-=』.

4〃-14〃4〃

..3333八1、/1、z11、［1

故1—r-H—T-+…H---=(1)+(-----7)+…+(;-----)=1----.

442434〃44424“-4〃4〃

故答案為：--1-—.

44"

【點(diǎn)評(píng)】主要考查了學(xué)生通過(guò)特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力.

三.解答題(共4小題)

17.(2021秋?廣陵區(qū)期中)讓我們一起探索有趣的“皮克定理”：用水平線和豎直線將平面

分成若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形格子，小正方形的頂點(diǎn)，叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形叫

格點(diǎn)多邊形.設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S,它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為x.

(1)上圖中的格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有一個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)完成下表，并寫(xiě)出S與X之間的關(guān)

系式：S=___x__.

—2—

多邊形的序號(hào)?②③@

多邊形的面積S2——4

各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和X4568

(2)探索：在上面網(wǎng)格圖中畫(huà)出四個(gè)格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有兩個(gè)格點(diǎn)，并寫(xiě)出所畫(huà)的

各個(gè)多邊形的面積S與它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x之間的關(guān)系式：S=—；

(3)猜想：當(dāng)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有且只有〃個(gè)格點(diǎn)時(shí)，S與x之間的關(guān)系式是：S=—.

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】(1)2=4x1,2.5=5xl；多邊形的面積=各邊上格點(diǎn)個(gè)數(shù)和的一半，即5=!》；

222

(2)內(nèi)部有2個(gè)格點(diǎn)就是指圖形的中間有2個(gè)小正方形的頂點(diǎn)，由此畫(huà)圖；并根據(jù)圖找出S

與x的關(guān)系.

(3)由圖可知多邊形內(nèi)部都有而且只有“格點(diǎn)時(shí)，面積為：5=1x+(?-l).

【解答】解：(1)圖中的格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有一個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)你填寫(xiě)下表：

多邊形的序號(hào)①②③④

多邊形的面積S22.534

各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和X4568

根據(jù)以上信息，多邊形的面積=各邊上格點(diǎn)個(gè)數(shù)和的一半，即5=,工；

2

(2)如圖所示:

根據(jù)圖可知：

長(zhǎng)方形的面積是6,它的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x是10,中間格點(diǎn)數(shù)是2,

6=10+2+1；

三角形的面積是3,它的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x是4,中間格點(diǎn)數(shù)是2,

3=4-=-2+1；

梯形的面積是5,它的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x是8,中間格點(diǎn)數(shù)是2,

5=8+2+1；

那么S=！x+1；

2

(3)通過(guò)上題探究可知：

最后的1就是內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)2-1而得；

所以格點(diǎn)多邊形面積=各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x；+(多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)-1)；即：

S=+(?-!)；

故答案為：S=；x；S=-^x+1；S=^-x+(/7—1).

【點(diǎn)評(píng)】此題需要根據(jù)圖中表格和自己所算得的數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律.尋找規(guī)律是一件比較困

難的活動(dòng)，需要仔細(xì)觀察和大量的驗(yàn)算.

18.正三角形網(wǎng)格中每個(gè)小正三角形面積為1,小正三角形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的

多邊形稱為格點(diǎn)多邊形，設(shè)格點(diǎn)多邊形各邊上的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為0,格點(diǎn)邊多邊形內(nèi)部的格

點(diǎn)個(gè)數(shù)和為6,格點(diǎn)多邊形的面積為S,圖1、圖2是兩個(gè)格點(diǎn)多邊形.

(1)根據(jù)圖中提供的信息填表：

一般格點(diǎn)多邊形aba+2bS

多邊形1(圖1)618—

多邊形2（圖2）7211—

（2）在給定的正三角形網(wǎng)格中分別畫(huà)出一個(gè)面積為3、4、5的格點(diǎn)多邊形:

（3）猜想S與。、6之間的關(guān)系：5=—（用含。、6的代數(shù)式表示）；

（4）若一個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積為S,6是否存在最大值和最小值？若存在求出最大值和最

小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（1）根據(jù)數(shù)值，通過(guò)圖形填出答案即可；

（2）由數(shù)值和圖形直接畫(huà)出即可；

（3）由（1）（2）的計(jì)算方法得出一般規(guī)律即可；

（4）因?yàn)?6+2為偶數(shù)，則。和s同奇或同偶，題目問(wèn)6是否為最大值或最小值，顯然，取

一行平行四邊形來(lái)觀察，不管S取什么值時(shí)，存在最小值6=0,接下來(lái)討論6的最大值，

從s=a+26-2得出，。值得取最小值.因?yàn)镾值可以奇數(shù)也可以取偶數(shù)，所以"的最小值

就有兩種情況：①當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)；②當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)；分別把。值代入公式s=a+26,得出

答案即可.

【解答】解：（1）答案如下：

一般格點(diǎn)多邊形aba+2bS

多邊形1（圖1）6186

多邊形2（圖2）72119

（2）畫(huà)圖如下:

八/wv\/\A7WW\

S=5

(3)因?yàn)?=8-2=6+2xl-2,

9=11-2=7+2x2-2,

所以S與a、6之間的關(guān)系：S=a+2(b-l)；

(4)因?yàn)?6+2為偶數(shù)，則。和S同奇或同偶，如圖所示，題目問(wèn)6是否為最大值或最小值,

顯然，取一行平行四邊形來(lái)觀察，不管S取什么值時(shí)，存在最小值6=0,接下來(lái)討論b的

最大值，從s=“+26-2得出，。值得取最小值.因?yàn)镾值可以奇數(shù)也可以取偶數(shù)，所以。的

最小值就有兩種情況：

①當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，最小值a=3

②當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，最小值a=4.

分別把a(bǔ)值代入公式s=a+26,得最大值6=；(s-l)或最大值6=gs-l.

【點(diǎn)評(píng)】考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖.此題需要根據(jù)圖中表格和自己所算得的數(shù)據(jù)，總結(jié)

出規(guī)律.尋找規(guī)律是一件比較困難的活動(dòng)，需要仔細(xì)觀察和大量的驗(yàn)算.

19.用網(wǎng)格線將平面分成若干個(gè)面積為1的小等邊三角形格子，小等邊三角形的頂點(diǎn)，叫格

點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形叫格點(diǎn)多邊形.設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S,它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)

和為x.

（1）圖中的格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有一個(gè)格點(diǎn)，它們的面積與各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和的對(duì)

應(yīng)關(guān)系如下表，請(qǐng)寫(xiě)出S與X之間的關(guān)系式.

多邊形的序號(hào)?②③④

多邊形的面積S3456

各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和X3456

答：S=—x

（2）請(qǐng)你再畫(huà)出一些格點(diǎn)多邊形，使這些多邊形內(nèi)部都有而且只有2格點(diǎn).此時(shí)所畫(huà)的各

個(gè)多邊形的面積S與它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x之間的關(guān)系式是：S=—.

（3）請(qǐng)你繼續(xù)探索，當(dāng)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有且只有力個(gè)格點(diǎn)時(shí)，猜想S與x有怎樣的關(guān)系？

答：S=.

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】（1）多邊形的面積=各邊上格點(diǎn)個(gè)數(shù)半，即5=工；

（2）內(nèi)部有2個(gè)格點(diǎn)就是指圖形的中間有2個(gè)小正三角形的頂點(diǎn)，由此畫(huà)圖；并根據(jù)圖找

出S與x的關(guān)系.

（3）由圖可知多邊形內(nèi)部都有而且只有〃格點(diǎn)時(shí)，面積為：S=x+（2〃-2）.

【解答】解：（1）圖中的格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有一個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)你填寫(xiě)下表.

多邊形的序號(hào)?②③④

多邊形的面積S3456

各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和X3456

答根據(jù)以上信息，多邊形的面積=各邊上格點(diǎn)個(gè)數(shù)，即5=》；

（2）根據(jù)圖可知:

__C______?______'2__*'__2,__V