2025年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練：解直角三角形的應(yīng)用（原卷版）

專題06解直角三角形的應(yīng)用

目錄

熱點(diǎn)題型歸納.........................................................................................1

題型01仰角與俯角問題...............................................................................1

題型02坡度問題.....................................................................................3

題型03方位角問題...................................................................................6

中考練場.............................................................................................8

熱點(diǎn)題型歸納

題型01仰角與俯角問題

【解題策略】

仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的角叫做俯角.

【典例分析】

例.（2023?湖北襄陽?中考真題）在襄陽市諸葛亮廣場上矗立著一尊諸葛亮銅像.某校數(shù)學(xué)興趣小組利用熱氣球開展綜

合實(shí)踐活動(dòng)，測量諸葛亮銅像的高度.如圖，在點(diǎn)。處，探測器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離CE為

32m,從熱氣球C看銅像頂部A的俯角為45。，看銅像底部8的俯角為63.4。.已知底座8D的高度為41m,求銅像N8的

高度.（結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)；sin63.4°*0.89,cos63.4°~0.45,tan63.4°?2.00,07.41）

【變式演練】

I.（2024?山西朔州?一模）山西“應(yīng)縣木塔”，又名山西“應(yīng)縣佛宮寺釋迦塔”，它是當(dāng)今世界上的第一奇塔.它不僅是

中國，而且是世界上現(xiàn)存最古老、最高峻的木構(gòu)建筑物，所以它在世界建筑中占有突出的地位.已知“應(yīng)縣木塔”的高

度為67.3米，塔前“女神雕像”的高度C。為10.3米，木塔與雕像之間有障礙物，不能直接測量，某測量小組為了測

量“應(yīng)縣木塔”與塔前“女神雕像”之間的距離，采用了如下測量方案（如圖所示）：

①他們在“木塔”和“雕像”之間選擇一觀景平臺￡,測得“木塔”頂部A的仰角為30。，測得“雕像”頂部C的仰角為45。；

②測得測角儀的高度E尸為1.3米；

③測得點(diǎn)8,尸,。在同一條直線上，AB±BD,EF±BD,CD±BD,垂足分別是民尸,。.

求“應(yīng)縣木塔”與塔前“女神雕像”之間的距離瓦＞（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：百,1.7）

2.（2024?陜西西安?一模）小雁塔位于西安市南郊的薦福寺內(nèi)，又稱“薦福寺塔”，建于唐景龍年間，與大雁塔同為唐

長安城保留至今的重要標(biāo)志.小港為測量小雁塔的高度、制定了如下測量方案：如圖所示，當(dāng)小港站在點(diǎn)力處仰望塔

頂，測得仰角為30。，再往塔的方向前進(jìn)50m至2處，測得仰角為60。、小港的身高忽略不計(jì)，請根據(jù)題目信息，求出

小雁塔的高度CD.（參考數(shù)據(jù)：右土1.73,結(jié)果精確到0.1m）

3.（2024?西藏拉薩?一模）如圖，學(xué)校的教學(xué)樓對面是一幢辦公樓，教學(xué)樓與辦公樓的水平距離BC=30m,卓瑪在教

學(xué)樓頂部N處測得辦公樓頂部。處的俯角a=30。，測得辦公樓底部C處俯角￡=60。，求辦公樓高CD（結(jié)果保留根

號）

4.（2023?海南三亞?二模）某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機(jī)測量一條河的寬度CD.如圖所示，一架水平飛行的無人

機(jī)在A處測得正前方河流的左岸C處的俯角為a,無人機(jī)沿水平線心方向繼續(xù)飛行60米至8處，測得正前方河流右

岸。處的俯角為30。，線段的長為無人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)M、C、。在同一條直線上，其中tana=G，

MC=60百米.

⑴填空：ZACMNBDC=_度；

（2）求無人機(jī)的飛行高度NM；

（3）求河流的寬度CD.（結(jié)果保留根號）

題型02坡度問題

【解題策略】

坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母，表示.

坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用a表示，則有i=tana.

例.（2023?江蘇泰州?中考真題）如圖，堤壩48長為10m,坡度，為1:0.75,底端N在地面上，堤壩與對面的山之間

有一深溝，山頂。處立有高20m的鐵塔CO.小明欲測量山高DE,他在/處看到鐵塔頂端C剛好在視線上，又在

壩頂8處測得塔底。的仰角a為26。35'.求堤壩高及山高DE.（sin26°35'。0.45,cos26°35,?0.89,tan26°35,?0.50,

小明身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1m）

【變式演練】

1.（2023?安徽?模擬）如圖，一棟樓房48后有一個(gè)小山坡CD,其坡度:3:4.某一時(shí)刻太陽光線與水平線的夾角為

40。時(shí)，樓房在小山坡。上的影長為25米，測得坡腳C與樓房的水平距離3C=40米，求樓房N8的高度.（結(jié)果

精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin40°?0.64,cos40°?0.77,tan40°~0.84）

2.（2023?甘肅天水?模擬預(yù)測）如圖，在葫蘆河的右岸邊有一高樓A8,左岸邊有一坡度z,=l：2的山坡CF,點(diǎn)。與點(diǎn)

3在同一水平面上，CR與NB在同一平面內(nèi).某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量樓NB的高度，在坡底C處測得樓頂/的仰角

為45。，然后沿坡面B上行了20。米到達(dá)點(diǎn)。處，此時(shí)在。處測得樓頂/的仰角為30。.

（1）求?！甑闹?

（2）求樓42的高度.

3.（2023?河南濮陽?三模）如圖，李東在延時(shí)課上利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量校園內(nèi)教學(xué)樓CD的高度，在教學(xué)樓前方

有一斜坡，坡長/8=10m,坡比,李東在/點(diǎn)處測得樓頂端C的仰角為45。，在8點(diǎn)處測得樓頂端C的仰角為61。

4

（點(diǎn)4B,C,。在同一平面內(nèi)）.求教學(xué)樓CO的高度（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)；tan61o^L80）

4.（2024?上海普陀?一模）如圖，小河的對岸有一座小山，小明和同學(xué)們想知道山坡AS的坡度，但由于山坡前有

小河阻礙，無法直接從山腳8處測得山頂/的仰角，于是小明和同學(xué)們展開了如下的測量：

DR

第一步：從小河邊的C處測得山頂/的仰角為37。；

第二步：從C處后退30米，在。處測得山頂/的仰角為26.6。；

第三步：測得小河寬8C為33米.

已知點(diǎn)3、C、。在同一水平線上，請根據(jù)小明測量的數(shù)據(jù)求山坡的坡度.

（參考數(shù)據(jù):sin22.6°a0.45,cos26.6°?0.89,tan26.6°?0.5,sin37°?0.6,cos37°~0.8,tan37°?0.75）

題型03方位角問題

【解題策略】

方向角：平面上，通過觀察點(diǎn)。作一條水平線（向右為東向）和一條鉛垂線（向上為北向），則從點(diǎn)o出發(fā)的視線與

水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測的方向角.

【典例分析】

例.（2023?海南?中考真題）如圖，一艘輪船在A處測得燈塔”位于A的北偏東30。方向上，輪船沿著正北方向航行

20海里到達(dá)8處，測得燈塔”位于B的北偏東60。方向上，測得港口C位于B的北偏東45。方向上.已知港口C在燈塔

M的正北方向上.

北上C

(1)填空：NAMB=_度,ZBCM=_度;

（2）求燈塔”到輪船航線N8的距離（結(jié)果保留根號）；

（3）求港口C與燈塔M的距離（結(jié)果保留根號）.

【變式演練】

1.（2024?陜西西安?一模）如圖，我國某海域上有/、3兩個(gè)小島，2在N的正東方向.有一艘漁船在點(diǎn)。處捕魚,

在/島測得漁船在東北方向上，在5島測得漁船在北偏西60。的方向上，且測得8、C兩處的距離為200海里.

（1）求/、C兩處的距離;

⑵突然，漁船發(fā)生故障，而滯留C處等待救援.此時(shí)，在。處巡邏的救援船立即以每小時(shí)40海里的速度沿。C方向

前往C處，測得。在小島/的北偏西15。方向上距/島30海里處.求救援船到達(dá)C處所用的時(shí)間.（結(jié)果保留根號）

3.（2024?湖南長沙?三模）如圖，燈塔3位于港口A的北偏東58。方向，且48之間的距離為30km,燈塔C位于燈塔

8的正東方向，且氏C之間的距離為10km.一艘輪船從港口A出發(fā)，沿正南方向航行到達(dá)。處，測得燈塔C在北偏東

37。方向上，燈塔B到直線40的距離為BE.

D

(1)求BE的長；

(2)求?！甑拈L(結(jié)果精確到0.1).(參考數(shù)據(jù)：

sin58°?0.85,cos58°?0.53,tan58°~1.60,sin37°~0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75)

4.（2023?山東青島?模擬預(yù)測）如圖，在航線/的兩側(cè)分別有觀測點(diǎn)A和3,點(diǎn)A到航線/的距離為2km,點(diǎn)B位于點(diǎn)A

北偏東60。方向且與A相距10km處.現(xiàn)有一艘輪船從位于點(diǎn)&南偏西76。方向的C處，正沿該航線自西向東航行，5min

后該輪船行至點(diǎn)A的正北方向的。處.

A

（1）求觀測點(diǎn)5到航線/的距離；

⑵求該輪船航行的距離CD的長（結(jié)果精確到0.1km）.（參考數(shù)據(jù)：6=1.732,sin76°?0.97,cos76°?0.24,

tan76°?4.01）

5.（2024?重慶大渡口?一模）某送貨司機(jī)在各站點(diǎn)間上門送貨的平面路線如圖所示：A-B-C-D.已知點(diǎn)8在點(diǎn)/

的北偏東45。方向3.6km處，點(diǎn)C在點(diǎn)8的正東方2.4km處，點(diǎn)。在點(diǎn)C的南偏東30。方向，點(diǎn)。在點(diǎn)N的正東方.（參

考數(shù)據(jù)：V2?1.414,621.732,V6?2.449）

⑴求線段CD的長度；（結(jié)果精確到0.01km）

（2）已知送貨司機(jī)在送貨過程中全程保持10〃次的速度勻速行駛，若現(xiàn)在有急件需要在16分鐘內(nèi)從4點(diǎn)運(yùn)送到。點(diǎn),

則送貨司機(jī)按既定路線/-3-C-D進(jìn)行運(yùn)送能否按時(shí)送達(dá)？（送貨司機(jī)在各站點(diǎn)停留的時(shí)間忽略不計(jì)）

中考練場

1.（2023?湖北恩施?中考真題）小王同學(xué)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)后，通過觀察廣場的臺階與信號塔之間的相對位置，他

認(rèn)為利用臺階的可測數(shù)據(jù)與在點(diǎn)A,B處測出點(diǎn)。的仰角度數(shù)，可以求出信號塔DE的高.如圖，N8的長為5m,高BC

為3m.他在點(diǎn)A處測得點(diǎn)。的仰角為45。，在點(diǎn)B處測得點(diǎn)。的仰角為38.7。，A,B,C,D,E在同一平面內(nèi).你認(rèn)為

小王同學(xué)能求出信號塔。E的高嗎？若能，請求出信號塔DE的高；若不能，請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：sin38.7。。0.625,

cos38.7°~0.780,tan38.7°?0.80,結(jié)果保留整數(shù)）

2.（2023?遼寧?中考真題）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山，需要登頂600m高的山峰，由山底/處

先步行300m到達(dá)8處，再由8處乘坐登山纜車到達(dá)山頂。處.已知點(diǎn)4B.D,E,尸在同一平面內(nèi)，山坡NB的坡

角為30。，纜車行駛路線BD與水平面的夾角為53°（換乘登山纜車的時(shí)間忽略不計(jì)）

（1）求登山纜車上升的高度。E；

⑵若步行速度為30m/min,登山纜車的速度為60m/min,求從山底/處到達(dá)山頂。處大約需要多少分鐘（結(jié)果精確

至[[0.1min）

（參考數(shù)據(jù)：sin53°X0.80,cos53°?0.60,tan53°a1.33）

3.（2023?貴州?中考真題）貴州旅游資源豐富.某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗(yàn)，擬在如圖①景區(qū)內(nèi)修建觀光索

道.設(shè)計(jì)示意圖如圖②所示，以山腳A為起點(diǎn)，沿途修建/B、兩段長度相等的觀光索道，最終到達(dá)山頂。處，中

途設(shè)計(jì)了一段與師平行的觀光平臺8C為50m.索道48與肝的夾角為15。，與水平線夾角為45。，43兩處的水

平距離/￡為576m,DFLAF,垂足為點(diǎn)尸.（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)4￡、尸在同一水平線上）

圖①

（1）求索道48的長（結(jié)果精確到1m）；

（2）求水平距離"的長（結(jié)果精確到1m）.

(參考數(shù)據(jù)：sinl5°~0.25,cosl5°?0.96,tanl5°~0.26,72-1.41)

4.（2023?遼寧丹東?中考真題）一艘輪船由西向東航行，行駛到/島時(shí)，測得燈塔3在它北偏東31。方向上，繼續(xù)向

東航行10nmile到達(dá)C港，此時(shí)測得燈塔2在它北偏西61。方向上，求輪船在航行過程中與燈塔3的最短距離.（結(jié)果

精確到0.Inmile）（參考數(shù)據(jù)：sin31°?0.52,cos31°~0.86,tan31°?0.60,sm61°?0.87,cos61°~0.48,tan61°?1.80）.

It

5.（2023?湖北?中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形/8CD,斜面坡

度力=3:4是指坡面的鉛直高度"'與水平寬度8F的比.已知斜坡長度為20米，ZC=18°,求斜坡48的長.（結(jié)

果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：sin18°?0.31,cos18°~0.95,tan18°?0.32）

6.（2023?山東青島?中考真題）太陽能路燈的使用，既方便了人們夜間出行，又有利于節(jié)能減排.某校組織學(xué)生進(jìn)行

綜合實(shí)踐活動(dòng)——測量太陽能路燈電池板的寬度.如圖，太陽能電池板寬為點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，OC是燈桿.地

面上三點(diǎn)E與C在一條直線上，DE=1.5m,EC=5m.該校學(xué)生在。處測得電池板邊緣點(diǎn)2的仰角為37。，在E

處測得電池板邊緣點(diǎn)2的仰角為45。.此時(shí)點(diǎn)/、2與E在一條直線上.求太陽能電池板寬的長度.（結(jié)果精確到

343

0.1m.參考數(shù)據(jù):sin37°?-,cos37°?-,tan37°?—,72?1.41）

7.（2023?內(nèi)蒙古?中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機(jī)測量一條河流的寬度CD.如圖所示，一架水平飛行的無人

機(jī)在A處測得河流左岸C處的俯角為a,無人機(jī)沿水平線"方向繼續(xù)飛行12米至B處，測得河流右岸。處的俯角為

30°,線段3=246米為無人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)C,。在同一條直線上，其中tana=2.求河流的寬度CO

（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：6。1.7）.

ABF

中~'<30°

、、、

、、、

\、'\D

-M-------

8.（2023?山東濟(jì)南?中考真題）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段N3C表示車后蓋，已知48=lm,5C=0.6m,

NABC=123°,該車的高度AO=1.7m.如圖2,打開后備箱,車后蓋/3C落在48'C'處，AB'與水平面的夾角ZB'AD=27°.

（1）求打開后備箱后，車后蓋最高點(diǎn)夕到地面/的距離；

（2）若小琳爸爸的身高為L8m,他從打開的車后蓋C'處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險(xiǎn)?請說明理由.

（結(jié)果精確到0.01m,參考數(shù)據(jù):sin27°~0.454,cos27°?0.891,tan270?0.510,6冬1.732）

9.（2023?江蘇宿遷?中考真題）【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即/CE尸=4EF）.小