2025年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練：幾何最值問(wèn)題（解析版）

專題09幾何最值問(wèn)題

目錄

熱點(diǎn)題型歸納

題型01將軍飲馬模型.................................................................................1

題型02費(fèi)馬點(diǎn)模型...................................................................................5

題型03阿氏圓模型..................................................................................14

題型04隱圓模型.....................................................................................19

題型05瓜豆圓模型..................................................................................26

中考練場(chǎng)............................................................................................32

熱點(diǎn)摩型歸納

題型01將軍飲馬模型

【解題策略】

兩定一動(dòng)模型一定兩動(dòng)模型

兩線段相減的最大值模型（三點(diǎn)共線）

【典例分析】

例.（2022?黑龍江?中考真題）如圖，菱形A8CD中，對(duì)角線/C,AD相交于點(diǎn)。，ZBAD=60°,AD=3,AH是/B4C

的平分線，于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OP+PE的最小值是.

【答案】遼濟(jì)

22

【分析】作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F,連接OF交AB于G,連接PE交直線AB于P,連接尸。，則PO=PF,此時(shí)，PO+PE

最小，最小值=ER利用菱形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求出。尸，OE長(zhǎng)，再證明△EOF是直角三角形,

然后由勾股定理求出E廠長(zhǎng)即可.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)。關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)尸，連接。尸交48于G,連接PE交直線于尸，連接尸。，貝!］尸0=尸尸,

此時(shí)，PO+PE最小，最小值=￡/的長(zhǎng)，

???菱形ABCD,

：.ACLBD,OA=OC.OB=OD,AD=AB=3,

?.?ZBAD=60°,

/\ABD是等邊三角形，

；?BD=AB=3,ZBAO=30°f

13

：.OB=-AB=~,

22

OA=^-43,

2

???點(diǎn)。關(guān)于45的對(duì)稱點(diǎn)R

：.OFLAB.OG=FG,

：.OF=2OG=OA=^,ZAOG=60°f

2

?；CEUH于E,OA=OC,

：.OE=OC=OA=1yf3,??./AEC=/CAE,

2

平分NB4C,：.ZCAE=15°,:?NAEO=/CAE=15。,

：.ZCOE=ZAEO+ZCAE=30°,

ZCOE+NZOG=300+60°=90。,/./FOE=90。,

???由勾股定理，得以7。產(chǎn)2+o￡=

2

...尸O+PE最小值=地.故答案為：巫

22

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱求最短距離問(wèn)題，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，作點(diǎn)。關(guān)于N8的對(duì)稱

點(diǎn)凡連接。尸交N5于G,連接尸￡交直線于尸，連接尸O,則尸O=P尸，則PO+PE最小，最小值=即的長(zhǎng)是解題

的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2022?山東棗莊?二模）如圖，點(diǎn)尸是內(nèi)任意一點(diǎn)，0P=3cm,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線。4和射線上的

動(dòng)點(diǎn)，4403=30。，貝UAPAW周長(zhǎng)的最小值是.

B

P

0MA

【答案】3cm

【分析】分別作點(diǎn)尸關(guān)于0408的對(duì)稱點(diǎn)C、。，連接分別交04于點(diǎn)M、N,連接。尸、OC、OD、PM、PN,

當(dāng)點(diǎn)M、N在C。上時(shí)，△尸初N的周長(zhǎng)最小.

【詳解】解:分別作點(diǎn)尸關(guān)于。4。8的對(duì)稱點(diǎn)C、，連接C。，分別交。8于點(diǎn)“、N,連接。只OC、OD、PM、PN.

:點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C,關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D,

:.PM=CM,OP=OC,ACOA-ZPOA；

:點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為。，

Z.PN=DN,OP=OD,ZDOB=ZPOB,

：.OC=OD=OP=3cm,ZCOD=ZCOA+ZPOA+ZPOB+ZDOB=2ZPOA+2NPOB=2ZAOB=60°,

△COO是等邊三角形，.CD=oc=OD=3（cm）.

APMN的周長(zhǎng)的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN>CD=3cm.

故答案為：3cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查最短路徑問(wèn)題和等邊三角形的判定.作點(diǎn)尸關(guān)于。2的對(duì)稱點(diǎn)C、￡>是解題的關(guān)鍵所在.

2.（2023廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形48co中，AB//CD,AC1BC,ADAB=60°,4D=CD=4,點(diǎn)M是

四邊形48CD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足乙4MD=90°,貝！IAM8c面積的最小值為.

【答案】673-4

【分析】取的中點(diǎn)O,連接OM,過(guò)點(diǎn)”作MEL3C交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作。尸，3c于尸，交CD于G,

則OM+MEWO尸，通過(guò)計(jì)算得出當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，求出最小值即可.

【詳解】解：如圖,

2G/也。

取4D的中點(diǎn)O,連接O",過(guò)點(diǎn)M作“E_L3C交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作。月_L2C于尸，交C0于G,則

OM+ME>OF,AB//CD,ZDAB=60°,AD=CD=4,：.ZADC=120°,

AD=CD,：.ADAC=30°,Z.CAB=30°,

ACIBC,：.ZACB=90°ZS=90°-30°=60°,:.NB=NDAB,四邊形/BCD為等腰梯形,ABC=AD=4,

???ZAMD=90°,4D=4,CM=。。，，OM=，4D=2,.?.點(diǎn)M在以點(diǎn)。為圓心，2為半徑的圓上，

2

???AB//CD,：.ZGCF=ZB=60°,：.ZDGO=ZCGF=30°,

OFIBC,ACIBC,ADOG=ADAC=30°=ZDGO,DG=DO=2,

OG=2t?r>-cos30°=2V3.GF=△,OF=3y[3,■■ME>OF-OM=343-2,

.?.當(dāng)。，峪E三點(diǎn)共線時(shí)，ME有最小值36-2,.〔面積的最小值為=gx4x（3百-2）=66-4.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、隱圓、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，點(diǎn)”位置的確定是解題關(guān)鍵.

題型02費(fèi)馬點(diǎn)模型

【解題策略】

CB-

「一落入下石揚(yáng)屋為質(zhì)點(diǎn)通向軒旋轉(zhuǎn)而「將到入。17逕接下土廠可入?yún)s6為等訪三鬲形「正二五浦

即PA+PB+PC=PQ+PB+PC,當(dāng)B、P、Q、E四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值BE。

【典例分析】

例.（2023全國(guó)?中考模擬預(yù)測(cè)）如圖1,在中，乙4cB=90。,CB=4,CA=6,圓C的半徑為2,點(diǎn)P為圓

上一動(dòng)點(diǎn)，連接/P,BP,求：

@AP+-BP,

2

?2AP+BP,

@^AP+BP,

④/尸+33尸的最小值.

【答案】①屈'；②2歷；③々詈；④2歷.

【分析】①在C8上取點(diǎn)D使CD=1,連接CP、D尸、/D根據(jù)作圖結(jié)合題意易證ADC尸~APC8,即可得出「。=：3尸，

從而推出4P+，8尸=/尸+尸說(shuō)明當(dāng)/、尸、。三點(diǎn)共線時(shí)，4P+PD最小，最小值即為4D長(zhǎng).最后在必A/CD中，

2

利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)即可；

②由2/P+AP=2（4P+ggP）,即可求出結(jié)果；

21

③在C4上取點(diǎn)￡,使CE=§,連接。尸、EP、BE.根據(jù)作圖結(jié)合題意易證AECP~APC4,即可得出EP=/P,從而

推出:4P+BP=EP+AP,說(shuō)明當(dāng)3、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，EP+AP最小，最小值即為8E長(zhǎng).最后在RZkBCE中，利用勾

股定理求出8E的長(zhǎng)即可；

④由/尸+38P=3（；4P+8P）,即可求出結(jié)果.

【詳解】解：①如圖，在C8上取點(diǎn)。，使C0=1,連接CP、DP、AD.

'：CD=1,CP=2,CB=4,

.CDCP\

""CP~CB~1'

又：ZDCP=ZPCB,

：.ADCP~APCB,

即

BP22

Z.AP+-BP=AP+PD,

2

...當(dāng)/、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，”+PD最小,最小值即為4D長(zhǎng).

:在MA/CZ)中，AD=yjAC2+CD2=A/62+12=737-

/.在+；2尸的最小值為歷；

②,:2AP+BP=2(AP+^BP),

2NP+AP的最小值為2x歷=2百；

2

③如圖，在C4上取點(diǎn)E,使CE=§,連接CP、EP、BE.

：c*2，CP=2,CA=6,

.C

??--E-=-C--P=——1

CPCA3'

又,：NECP=NPCA,

??^ECP?&PCA,

.EP1?

??方=丁即EP=嚴(yán),

]4P+BP=EP+BP,

.?.當(dāng)8、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，EP+BP最小,最小值即為BE長(zhǎng)

,在RtLBCE中，BE=yjBC2+CE1=卜2+（2y_

；，/尸+5P的最小值為獨(dú)Z.

J3'

@VAP+3BP=^AP+BP）,

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),

勾股定理.正確的作出輔助線，并且理解三點(diǎn)共線時(shí)線

段最短是解答本題的關(guān)鍵.

【變式演練】

L（2022?廣東廣州.一模）如圖，在無(wú)△N2C中

ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，作pD±BC于點(diǎn)D>

線段/。上存在一點(diǎn)。，當(dāng)Q/+Q8+QC的值取得最小值，且/g=2時(shí)，則尸D=

【答案】3+73

【分析】如圖1,將ABOC繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△的VM,連接。N,當(dāng)點(diǎn)/，點(diǎn)。，點(diǎn)N,點(diǎn)M共線時(shí)，QA+QB+QC

值最小，此時(shí)，如圖2,連接MC,證明⑷/垂直平分8C,證明此時(shí)尸與。重合，設(shè)尸。=x,則￡＞。=尤-2,

構(gòu)建方程求出x可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖1,將△BQC繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到連接0N,

：.BQ=BN,QC=NM,NQBN=60。,

△?BQN是等邊三角形,

：.BQ=QN,

：.QA+QB+QC=AQ+QN+MN,

，當(dāng)點(diǎn)工，點(diǎn)。，點(diǎn)N,點(diǎn)〃■共線時(shí)，。/+Q8+QC值最小,

此時(shí)，如圖2,連接A/C

4（?）

圖2

:將△BQC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△3NM,

：.BQ=BN,BC=BM,/QBN=6V=/CBM,

...△8QN是等邊三角形，是等邊三角形，

AZBQN=ZBNQ=60°,BM=CM,

,:BM=CM,AB=AC,

垂直平分3C,

"CADLBC,ZBQD=60°,

：.BD=y/3QD,

\'AB=AC,NB4c=90。,AD±BC,

：.AD=BD,此時(shí)尸與。重合，設(shè)PD=x,貝ij￡>Q=x-2,

/.x=tan60°x（x-2）=V3（x-2）,

.,.x=3+V3,

：.PD=3+43.

故答案為：3+6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用等

邊三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題.

2.（2023廣東?一模）如圖，△48C中，NB4c=45。,AB=6,AC=4,尸為平面內(nèi)一點(diǎn)，求25BP+亞AP+3PC最

小值

【答案】1273

【分析】將△APC繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，得到將擴(kuò)大逆倍，得到△4P"C〃，當(dāng)點(diǎn)8、P、P"、

4

C"在同一直線上時(shí)，2而P+JL4尸+3尸。=2加（28+尸"+尸"。"）最短，利用勾股定理求出8c〃即可.

【詳解】解：如圖，將△/PC繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，得到C',將C'擴(kuò)大，相似比為逑倍，得到

4

貝|」/尸〃=迪/P,P"C"=^P'C,AC"=^AC,

444

過(guò)點(diǎn)尸作PELNP"于￡,

：.AE=PE^—AP,

2

歷

P"E=AP"-AE=—AP,

4

：.PP"=^PE2+P"E2=亞AP，

4

當(dāng)點(diǎn)2、P、P"、C"在同一直線上時(shí)，2CBP+&P+3PC=26（PB+PP"+P"C、最短,此時(shí)

2庭（尸8+PP+尸"C"）=2&8C",

VZBAC"=ZBAC+ZCAC"=90°,AB=6,優(yōu)=述/C=迪x4=g,

44

BC"7AB2+/C"2=M+(3回=3￡.

242BP+45AP+3PC=2V2SC"=272x3V6=12V3

【點(diǎn)睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確理解費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題的造圖方法：利用旋轉(zhuǎn)及全等的

性質(zhì)構(gòu)建等量的線段，利用三角形的三邊關(guān)系及點(diǎn)共線的知識(shí)求解，有時(shí)根據(jù)系數(shù)將圖形擴(kuò)大或縮小構(gòu)建圖形.

3.（2024湖北中考?二模）如圖，正方形4BC。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)尸是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求以+2用+@>。的最小值.

【答案】4而

【分析】延長(zhǎng)。C到使得C〃=2BC=8,則8H=4石，在NC3H的內(nèi)部作射線A/,使得NPBJ=/CBH,使得

BJ=45BP>連接PJ，JH,AH.先證明△JBPs/v/BC，可得尸J=2尸3,再證明△PBCs/vsa，可得：HJ=&C,

從而得到PA+2PB+45PC=PA+PJ+HJ>AH.計(jì)算出AH的長(zhǎng)度即可.

【詳解】解：延長(zhǎng)DC到使得C"=2BC=8,則BH=4右，在NC8H的內(nèi)部作射線即，使得NPBJ=/CBH,

使得RJ=后BP,連接力，JH,AH.

?PB_BJ

.△JBPs4HBe,

/.ZBPJ=/BCH=90°,

PJ=dBJ2-PB?=J（行尸5）2_PB2=2PB,

ZPBC=ZJBH,祟器，:APBCS^JBH,

DJBH

.PC_PB_45

:.HJ=后PC

:.PA+2PB+45PC=PA+PJ+HJ，

22

-：PA+PJ+JH>AH,PA+2PB+y/iPC>V4+12=4Jo-）

.?.￡4+2用+回C的值最小，最小值為4&U.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，正方形的性質(zhì)，，正確理解費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題,

利用相似構(gòu)造2PB與屈C,根據(jù)系數(shù)將圖形擴(kuò)大或縮小構(gòu)建圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

題型03阿氏圓模型

【解題策略】

問(wèn)題：在圓上找一點(diǎn)P使得尸/+的值最小，解決步驟具體如下:

①如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)與圓心相連即OP,OB

②計(jì)算出這兩條線段的長(zhǎng)度比j=k

OB

④則尸/++當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)可得最小值。

【典例分析】

例.(2023?廣西?中考真題)如圖，拋物線y=a/+6x+c與x軸交于/(Q,0),B兩點(diǎn)(點(diǎn)8在點(diǎn)A的左側(cè))，與V

軸交于點(diǎn)C,且08=30/=癡C,/CMC的平分線/。交V軸于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)A且垂直于/。的直線/交了軸于點(diǎn)E,

點(diǎn)P是x軸下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作跳1_Lx軸，垂足為F，交直線于點(diǎn)

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為機(jī)，當(dāng)=時(shí)，求機(jī)的值；

(3)當(dāng)直線依為拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，以點(diǎn)H為圓心，為半徑作。〃，點(diǎn)。為?！ㄉ系囊粋€(gè)動(dòng)點(diǎn)，求9/。+￡。

24

的最小值.

【答案】（1）y=—x2^—A/3x~3；（2）—^3;（3）.

【分析】對(duì)于（1）,結(jié)合已知先求出點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可;

對(duì)于（2）,在Rt^OAC中，利用三角函數(shù)的知識(shí)求出/OAC的度數(shù)，再利用角平分線的定義求出/OAD的度數(shù)，

進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；接下來(lái)求出直線AD的解析式，表示出點(diǎn)P,H,F的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可完成解

答；對(duì)于（3）,首先求出。H的半徑，在HA上取一點(diǎn)K,使得HK=24,此時(shí)K（-述，-二）；然后由HQ2=HK-HA,

得到△QHKS^AHQ,再利用相似三角形的性質(zhì)求出KQ=：AQ,進(jìn)而可得當(dāng)E、Q、K共線時(shí)，JAQ+EQ的值最小,

44

據(jù)此解答.

【詳解】（1）由題意/（百，0）,3（-3百，0）,C（0,-3）,設(shè)拋物線的解析式為y=a（X+3G）（x-百）,

把C（0,-3）代入得到...拋物線的解析式為產(chǎn);x2+g有x-3.

（2）在RtZ\/OC中，tanZOAC=——=#>,：.ZOAC=60°.

OA

平分/CMC,：,ZOAD=30°,：.OD=OA-tan30°=l,：.D（0,-1）,二直線/。的解析式為y=/x-1,由

題意P（%,1m?+2—m-3）,H（m,-1）,F（m,0）.

333

"：FH=PH,-—1-（5蘇+氈加-3）解得加=一人或。（舍棄），，當(dāng)尸時(shí)，m的值為一JL

3333

（3）如圖，是對(duì)稱軸，.?.尸（-百，0）,H（一也,-2）.

"CAHLAE,：.ZEAO=60°,：.EO=43OA=?>,：.E（0,3）.

VC（0,-3）,:/=?后=2,AH=2FH=4,：.QH=1CH=1,在/￡4上取一點(diǎn)K,使得此時(shí)K

715HQKH

（--Vr3,-y）.'：HQ-=\,HK*HA=\,：.HQ2=HK*HA,，京=質(zhì).

KQHQ111

VZQHK=ZAHQ,：.^QHK^/\AHQ,，方=請(qǐng)="--KQ=-AQ,：.~AQ+QE=KQ+EQ,.?.當(dāng)￡、0、K共

線時(shí)，的值最小，最小值=$學(xué)）2+（：+3）2=手.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例、兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的

表達(dá)式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是本題解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2023?甘肅天水?一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,OB的半徑為2,點(diǎn)P是。B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝1JPD

-yPC的最大值為.

【答案】5

【詳解】分析：由PD-：PC=PD-PGWDG,當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD-gpC的值最大，最大值為DG=5.

詳解：在BC上取一點(diǎn)G,使得BG=1,如圖，

..P￡_25C_4.PBBC

?——乙,——乙,??一,

BG1PB2BGPB

VZPBG=ZPBC,.".△PBG^ACBP,：.PG=5PC,

PCPB22

當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD-：PC的值最大，最大值為DG=J42+32=5.

故答案為5

點(diǎn)睛：本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建相似三角形解決問(wèn)

題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考?jí)狠S題.

2.（2023江蘇?二模）如圖，正方形48CD的邊長(zhǎng)為4,。3的半徑為2,尸為。3上的動(dòng)點(diǎn)，則回C-尸。的最大值

是.

【分析】如圖：連接助、BP、PC,在8。上做點(diǎn)使紗￡=連接〃尸，證明在BC上做點(diǎn)

BP4

N,使箸=；，連接稗，證明△8PC,接著推導(dǎo)出后。_尸。=2點(diǎn)河乂，最后證明△皿△BCD,即

可求解.

【詳解】如圖：連接3D、BP、PC

根據(jù)題意正方形/BCD的邊長(zhǎng)為4,的半徑為2

BP=2，BD^BC1+CD1=A/42+42=472

..BP_2_72

BD4VI4

在2。上做點(diǎn)M,使我=正，則連接

BP42

在ABMP與ABPD中

BP_BM

NMBP=NPBD,

BDBP

■■ABMP~ABPD

,?喘=字,則*2件M

BP_2_1

~BC~4~2

在2C上做點(diǎn)N,使槳=：，則BN=1,連接NP

BP2

在ABNP與八BPC中

BNBP

ZNBP=ZPBC,

BP~TC

：.ABNP~Z\BPC

PN1

——=一，貝I尸C=2尸N

PC2

如圖所示連接NM

41PC-PD=y/2x2PN-2A/2PM=2V2(PN-PM)

???PN-PM<NM

：.6PC-PD=26(PN-PM)<26NM

在△皿W與△BQ）中

叵BN_1

ZNBM=ZDBC,BM_~Y,

BD4728

4r

BMBN

△BMN~Z\BCD

,MN_42

*cB---8-

vCZ)=4

.r_V2

,,MA/fNA——

2

2A/2MV=2V2X—=2

2

正PC-PDM2@NM=2

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形，勾股定理等知識(shí)，難度較大，熟悉以上知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

題型04隱圓模型

【解題策略】

定點(diǎn)定長(zhǎng)定弦定角四點(diǎn)共圓

最短距離：“一箭穿心”，然后點(diǎn)到圓心的距離-半徑;

最長(zhǎng)距離：“一箭穿心”，然后點(diǎn)到圓心的距離+半徑。

【典例分析】

例.（2023?遼寧?中考真題）如圖，在矩形/BCD中，AB=8,AD=10,點(diǎn)"為8c的中點(diǎn)，E是瀏/上的一點(diǎn)，連

接作點(diǎn)2關(guān)于直線/￡的對(duì)稱點(diǎn)"，連接并延長(zhǎng)交5c于點(diǎn)?當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)夕到8c的距離是.

BEFM

【答案】y

【分析】如圖，由題意可得：夕在。/上，過(guò)夕作B7/_L2C于由點(diǎn)8關(guān)于直線4E的對(duì)稱點(diǎn)玄，可得48=48，，

BE=B'E,ZAEB=ZAEB',ZABE=ZAB'E,當(dāng)DE與。/切于點(diǎn)8'時(shí)，BF最大,此時(shí)DF_L48',證明E,尸重合,

PR，R，H

可得NDAE=N4EB=N4EB',AD=DE=IQ,求解2E=BE=4,證明AEBTfsAEr）。，可得一=——,從而可得

EDCD

答案.

【詳解】解：如圖，由題意可得：夕在。/上，過(guò)作B'HLBC于H,

:點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)B',

AB=AB',BE=B'E,ZAEB=NAEB：ZABE=ZAB'E,

當(dāng)DE與O/切于點(diǎn)8'時(shí)，BF最大,此時(shí)DF_L481

/.AABE=NAB'F=90°,

：.E,尸重合，

NAEB=NAEB',

:矩形NBC。，

/.AD//BC,ZC=90°,AD=BC=1。,AB=CD=8,

：.NDAE=NAEB=NAEB',

AD=DE=10,

?'-C￡=V102-82=6'BE=B'E=A,

'：B'H1BC,ZC=90°,

B'H//CD,：.AEB'HiEDC,

.EB'B'H.AB'H.___16

??一,??一,??DJTL—,

EDCD1085

點(diǎn)夕到BC的距離是故答案為：y.

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，作

出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2024浙江金華?模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形/BCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是正方形/BCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是3c邊上的動(dòng)

點(diǎn)，且NE4B=NEBC.連結(jié)BE,PD,PE,則PD+PE的最小值為（）

A.2V13-2B.475-2C.473-2D.2V15-2

【答案】A

【分析】先證明N/EB=90。，即可得點(diǎn)￡在以為直徑的半圓上移動(dòng)，設(shè)的中點(diǎn)為。，作正方形48c。關(guān)于直線

BC對(duì)稱的正方形C/G8,則點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是尸，連接尸。交8C于P,交半圓。于￡,根據(jù)對(duì)稱性有：PD=PF,則

有：PE+PD=PE+PF,則線段EF的長(zhǎng)即為尸E+尸。的長(zhǎng)度最小值，問(wèn)題隨之得解.

【詳解】解：；四邊形/BCD是正方形，

ZABC=90°,

ZABE+ZEBC=90°,

'：NEAB=NEBC,

ZEAB+ZEBA=90°,

：.ZAEB=90°,

...點(diǎn)E在以N8為直徑的半圓上移動(dòng)，

如圖，設(shè)48的中點(diǎn)為。，

作正方形48co關(guān)于直線8c對(duì)稱的正方形CFG3,

則點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是尸,

連接尸O交8c于P,交半圓。于E,

根據(jù)對(duì)稱性有：PD=PF,

貝U有：PE+PD=PE+PF,

則線段E尸的長(zhǎng)即為尸E+PO的長(zhǎng)度最小值，E

VZG=90°,FG=BG=AB=4,

：.OG=6,OA=OB=OE=2,

OF=y/FG2+OG2=2而，

EF=OF-OE=2y/\3-2，

故PE+PD的長(zhǎng)度最小值為2Jil-2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線，得出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路線是

解題的關(guān)鍵.

2.（2022?山東泰安?三模）如圖，在RtA42C中，ZACB=90°,ZBAC=30°,BC=2,線段3c繞點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)到3。，

連N。，￡為/。的中點(diǎn)，連接CE,則CE的最大值是—.

【答案】3

【分析】通過(guò)已知求得。在以2為圓心，3。長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，：E為/。的中點(diǎn)，

...E在以切中點(diǎn)為圓心，!仍長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，再運(yùn)用圓外一定點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)距離的最大值=定點(diǎn)與圓心的距離

2

+圓的半徑，求得CE的最大值.

【詳解】解：：2C=2,線段3c繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)到8。,

D

:?BD=2,

：.-BD=\.

2

由題意可知，。在以8為圓心，2。長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

；E為AD的中點(diǎn)，

在以氏4中點(diǎn)為圓心，；如長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

CE的最大值即C到BA中點(diǎn)的距離加上工劭長(zhǎng).

2

ZACB=90°，ZBAC=30°,BC=2,

；.C到A4中點(diǎn)的距離即」N8=2,

2

又；LBD=I,

2

ACE的最大值即！/8+1AD=2+l=3.

22

故答案為3.

【點(diǎn)睛】本題考查了與圓相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，正確識(shí)別E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?廣東河源?二模）如圖，已知NC=2/O=8,平面內(nèi)點(diǎn)尸到點(diǎn)。的距離為2,連接/P,若乙4尸3=60。且=尸,

2

連接4S,BC,則線段8C的最小值為.

O

AC

P

B

【答案】2V7-V3

【分析】如圖所示，延長(zhǎng)必到。使得必=ZM,先證明△/尸。是等邊三角形，從而推出45尸=90。，NA4P=30。，以/。

為斜邊在4C下方作出使得乙憶4。=30。,連接。/,過(guò)點(diǎn)河作〃"_14。于巴解直角三角形得到坐=包=且，

AOAP2

從而證明5s△/。尸，得至|J2￡=&=走，則則點(diǎn)8在以河為圓心，以百為半徑的圓上，當(dāng)河、B、

OPAP2

C三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)5在點(diǎn)9的位置時(shí)，BC有最小值，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)P8到。使得尸

u：BP=-AP,

2

JAP=PD=2PB,

又,:ZAPB=60°f

/\APD是等邊三角形，

???5為尸。的中點(diǎn)，

：.ABLDP,即N45P=90。，

???/BAP=3U。,

以/。為斜邊在/C下方作使得NM4O=30。，連接CM,過(guò)點(diǎn)河作〃"L4C于"，

?/c-/AMV3

??cosZOAM=-=——,

AO2

同理可得絲=苴，

AP2

ZOAM=30°=ZPAB,

：.NBAM=NPAO,

p??AMABV3

乂?----二----——,

AOAP2

:.△AMBsAaop,

.BMAB43

"'~OP~^P~^2'

:點(diǎn)尸到點(diǎn)。的距離為2,即。尸=2,

BM=用,

.,.點(diǎn)8在以M為圓心，以6為半徑的圓上，

連接CM交圓M（半徑為百）于"，

...當(dāng)M、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)5在點(diǎn)夕的位置時(shí)，3C有最小值，

'：AC=2AO=8,.\A0=4,：.AM=AO-cosZOAM=2.^,

??A.H=AM-cos/M4H=3,HM=AM,sinNMAH，??CH=5,■?CM-1HM?+CH2=2ypi，

B'C=CM-MB'=241-43,的最小值為2療-5

故答案為：-杷.

D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，圓外一點(diǎn)

到圓上一點(diǎn)的最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握瓜豆模型即證明點(diǎn)8在以“為圓心，半徑為由的圓上運(yùn)動(dòng).

題型05瓜豆圓模型

【解題策略】

條件：兩個(gè)定量

主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（NPAQ是定值）；

主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）.

結(jié)論：（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：ZPAQ=ZOAM；

（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP:AQ=AO:AM,也等于兩圓半徑之比.

例.（2023?江蘇?中考真題）在四邊形4BCD中，42=2C=2,N4BC=120。,3H為N4BC內(nèi)部的任一條射線（NCBH不

等于60。），點(diǎn)C關(guān)于8〃的對(duì)稱點(diǎn)為C',直線NC'與88交于點(diǎn)F，連接CC'、CF,則△CCF面積的最大值

是.

【答案】4G

【分析】連接BC,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得CB=CB,CF=CF,進(jìn)而可得A,C,C在半徑為2的。3上，證明ACCF是

等邊三角形，當(dāng)CC取得最大值時(shí)，△CCF面積最大，根據(jù)圓的直徑最大，進(jìn)而得出CC最大值為4,即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接8C',

:點(diǎn)C關(guān)于BH的對(duì)稱點(diǎn)為C,

：.CB=C'B,CF=C'F,

?/AB=BC=2,

：.4C,C'在半徑為2的。3上，

在優(yōu)弧就上任取一點(diǎn)E,連接

貝ljZAEC=-NABC=60°,

2

ZABC=12O°,ZAC'C=\80°-AAEC=180°--AABC-120°,

2

ACC'F=60°,/.△CC戶是等邊三角形，

當(dāng)CC'取得最大值時(shí)，△口?戶面積最大，

在。8上運(yùn)動(dòng)，則CC最大值為4,

則戶面積的最大值是@x42=46.

4

故答案為：4G.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，等邊三角形的性質(zhì)，得出CC'最大值為4是

解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2023江蘇無(wú)錫?二模）如圖，線段NB為。O的直徑，點(diǎn)C在NB的延長(zhǎng)線上，AB=4,3c=2,點(diǎn)尸是OO上一

動(dòng)點(diǎn)，連接CP,以CP為斜邊在尸C的上方作RtAPCD,且使/DC尸=60。，連接OD,則。。長(zhǎng)的最大值為.

【答案】26+1/1+2百

【分析】作ACOE,使得/CEO=90°,ZECO=60°,貝?。軨O=2CE,OE=2C，NOCP=NECD,由△COPs2Xc￡p,

OPCP

推出訪=而=2,即ED=goP=l（定長(zhǎng)），由點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長(zhǎng)，點(diǎn)。在半徑為1的OE上，由此即可解決

問(wèn)題.

【詳解】解：如圖,作ACOE,使得/CEO=90°,NECO=60°,貝IJCO=2CE,0￡=2追，NOCP=NECD,

ZCDP=90°,ZDCP=60°,

:.CP=2CD,

COCPc

----=-----=2,

CECD

:ACOPS公CED,

OPCP1

----=-----=2,BPED=—OP=1（定長(zhǎng)）,

EDCD2

,?,點(diǎn)￡是定點(diǎn)，OE是定長(zhǎng)，，點(diǎn)。在半徑為1的OE上,

■：OD<OE+DE=2y/3+l,-.OD的最大值為26+1，

故答案為：2人+「

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系、軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,

構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

2.（2023?安徽?一模）如圖，在矩形/BCD中，AB=8,月。=4,點(diǎn)￡是矩形/BCD內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且NBEC=90。，點(diǎn)

尸是48邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD、PE,則PD+PE的最小值為（）

A.8B.475C.10D.475-2

【答案】A

【分析】根據(jù)N5EC=90。得到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，利用“將軍飲馬”模型將PE進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求解.

【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)。為3C的中點(diǎn)，由題意可知,

作半圓。關(guān)于48的對(duì)稱圖形（半圓（T）,

點(diǎn)￡的對(duì)稱點(diǎn)為連接則=

當(dāng)點(diǎn)P、耳、O共線時(shí)，PO+PE的值最小，最小值為。心的長(zhǎng),

如圖所示，在RtADCO,中，CD=8,CO'=6,

而+62=10,

又??.O'&=2,

DE廣DO'-O'E'=8,即PD+PE的最小值為8,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查線段和最短問(wèn)題、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理及圓周角定理，利用“將軍飲馬”模型將PE進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)解

題的關(guān)鍵.

3.（2023?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，/是08上任意一點(diǎn)，點(diǎn)。在。8外，已知謖=2,BC=4,"CD是等邊三角

形，則△BCD的面積的最大值為（）

A.4月+4B.4C.473+8D.6

【答案】A

【分析】以5c為邊向上作等邊三角形3cM,連接。證明4。。/之2\』。8得到。河=48=2,分析出點(diǎn)。的運(yùn)

動(dòng)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，DW長(zhǎng)為半徑的圓，在求出點(diǎn)。到線段2C的最大距離，即可求出面積的最大值.

【詳解】解：如圖，以3c為邊向上作等邊三角形3c連接DM,

ZDCA=ZMCB=60°,

ZDCA-AACM=AMCB-AACM,即ZDCM=ZACB,

在4DCM和ZUCB中，

DC=AC

NDCM=ZACB,

MC=BC

/.△OCM空△ZC8（SAS）,

：.DM=AB=2,

...點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)“為圓心，DM長(zhǎng)為半徑的圓，要使△3CD的面積最大，則求出點(diǎn)。到線段8C的最大距離,

?/AHCM是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，.?.點(diǎn)”到2C的距離為26，.?.點(diǎn)。到8c的最大距離為2百+2,

△BCD的面積最大值是:X4X（2A/J+2）=4G+4,故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓的問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是利用構(gòu)造全等三角形找到動(dòng)點(diǎn)。的軌跡圓，再求出圓上

一點(diǎn)到定線段距離的最大值.

中考練場(chǎng)

1.（2023?黑龍江綏化?中考真題）如圖，AABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)E為高區(qū)0上的動(dòng)點(diǎn).連接CE,將CE繞

點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到CF.連接臚，EF,DF,貝UACD下周長(zhǎng)的最小值是.

BC

【答案】3+373/373+3

【分析】根據(jù)題意，證明ACBEgA。尸，進(jìn)而得出廠點(diǎn)在射線■上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)C關(guān)于"'的對(duì)稱點(diǎn)C