2025年中考數(shù)學技巧專項突破：八種隱圓類最值問題圓來如此簡單（解析版）

專題2-3八種隱圓類最值問題，圓來如此簡單

在中考數(shù)學中，有一類高頻率考題，幾乎每年各地都會出現(xiàn)，明明圖形中沒有出現(xiàn)“圓”，但是解題中

必須用到“圓”的知識點，像這樣的題我們稱之為“隱圓模型

正所謂：有“圓”千里來相會，無“圓”對面不相逢?！半[圓模型”的題的關(guān)鍵突破口就在于能否看出這個

“隱藏圓”。一旦“圓”形畢露，則答案手到擒來！

題型?解讀/

知識點梳理

題四O定點定長得圓

2023年湖北省鄂州市中考數(shù)學真題

2023?邵陽市中考真題

2023?廣西南寧市二模

2022?遼寧撫順?中考真題

2022?長春?中考真題

題包目直角的對邊是直徑

2023?荷澤市中考真題

2022?通遼?中考真題

2023?汕頭市金平區(qū)一模

2023?廣州市天河區(qū)三模

2022?成都市成華區(qū)二診

題色目對角互補得圓

2023年?廣元市一模

題園國定弦定角得圓

2023?成都市新都區(qū)二模

2023?成都市金牛區(qū)二模

2023?達州?中考真題

題四運四點共圓

題包式相切時取到最值

2023?隨州市中考真題

2022?江蘇無錫?中考真題

2022揚州中考真題

題幽電定角定高面積最小、周長最小問題

題圓加米勒角（最大張角）模型

徐州中考

MR/滿分?技巧/

知識點梳理

一、定點定長得圓

在幾何圖形中,通過折疊、旋轉(zhuǎn)，滑梯模型得到動點的軌跡為繞定點等于定長的圓，從而畫出動點軌跡,

并進行計算

二、直角的對邊是直徑

前世：在。0中，AB為直徑，則始終有AB所對的NC=90°

今生：若有是固定線段，且總有N4CB=90°,則C在以ZB為直徑徑的圓上.（此類型本來屬于定

弦定角，但是因為比較特殊，故單獨分為一類）

三、對角互補

前世：在。。上任意四點力，B,C,。所圍成的四邊形對角互補

今生：若四邊形4BCZ）對角互補，則/,B,C,。四點共圓

四、定弦定角模型

定角模型是直危模型的一種變形形式，其依據(jù)是已知定角，則根據(jù)“同弧所對的圓周角相等''得到動點

的軌跡為圓弧，再畫出對應(yīng)圖形進行計算.

前世：在。0中，若弦AB長度固定則弦AB所對的圓周角都相等（注意：弦AB在劣弧AB上也有圓

周角，需要根據(jù)題目靈活運用）

今生：若有一固定線段ZB及線段4B所對的NC大小固定，根據(jù)圓的知識可知C點并不是唯一固定的

點，C在。。的優(yōu)弧ZCB上均可（至于是優(yōu)弧還是劣弧取決于NC的大小，小于90°,則C在優(yōu)弧上運

動；等于90°,則。在半圓上運動；大于90°則C在劣弧運動）

五、四點共圓模型

D

前世:在。0中，ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，則有N1=N2,N3=N4,ZiBPC?4APD（同理4BPA?4CPD）

今生:若四邊形ABCD中有N1=N2（通常情況下N5=N6對頂角相等，故不需要N3=N4,實際應(yīng)用中

長用N1=N2,N5=N6）則ABCD四點（某些不能直接使用四點共圓的地區(qū)，可以通過證明兩次三角形

相似也可），選填題可以直接使用

六、定角定高（探照燈模型）

什么叫定角定高，如右圖，直線3c外一點/到直線BC距離為定值（定高），N3/C為定角。則

△/3C的面積有最小值。又因為，像探照燈一樣所以也叫探照燈模型。

問題解決：如果頂角和高，都為定值，那么三角形48c的外接圓的大小，也就是半徑，是會隨著/點

的運動而發(fā)生變化的。從而弦3c的長也會發(fā)生變化，它會有一個最小值，由于它的高40是定值，因

此三角形4BC的面積就有一個最小值。

所謂定角定高是指三角形的一條邊和這條邊上的高是定值.一般是考查直角三角形，此時我們可

以取斜邊中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)及斜垂關(guān)系來解決面積最小值問

題；通過構(gòu)造平行線的對稱點來解決周長最小值的問題.這類問題都是在等腰時取得最小值.

當定角不是直角時，通過構(gòu)造平行線的對稱點來解決周長最小值的方法仍然適用，而面積最小值

可以通過構(gòu)造三角形的外心或外接圓來解決.

七、米勒角（最大張角）問題

【問題提出】己知點4B是/MON的邊。N上的兩個定點，點P是邊0M上的動點，當P在何處時，ZAPB

最大？

米勒問題在初中最值的考察過程中，也成為最大張角或最大視角問題.

米勒定理：

已知點AB是NMON的邊ON上的兩個定點，點P是邊OM上的一動點，則當且僅當三角形ABP的外接

圓與邊OM相切于點P時，NAPB最大。

知識鋪墊：對于同一個圓來說，同弧所對的圓周角＞圓外角，即=尸

問題解決

證明：在直線/上任取一點Q（不與P點重合），連接4Q、BQ,/力QB即為圓。的圓外角

ZAPB>ZAQB,NAPB最大

.?.當圓與直線/相切時，/APB最大

Q

p

0

0

ABN

*y核心?題型/

題園。定點定長得圓

1.如圖，在矩形N3CO中，已知N8=3,8C=4,點尸是8C邊上一動點（點尸不與8,C重合），連接

AP,作點8關(guān)于直線/尸的對稱點M,則線段MC的最小值為（）

A.2B.—C.3D.VTo

2

【答案】A

【思路點撥】根據(jù)對稱性得到動點M的軌跡是在以N圓心，3為半徑的圓上，根據(jù)點圓模型，在矩形中利

用勾股定理求出線段長即可.

【詳解】解：連接如圖所示：

?.?點8和朋■關(guān)于N尸對稱，

二用■在以/圓心，3為半徑的圓上，

...當N,M,C三點共線時，CA/最短，

在矩形ABCD中，/C=^32+42=5,

AM=AB=3,，CA/=5-3=2

2.如圖,在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,點E,F分別為AD、DC邊上的點，且EF=2,G為斯的

中點，P為BC邊上一動點，則PA+PG的最小值為？

【答案】4

【簡析】簡單：G的運動軌跡為圓，求AP+PG典型的“將軍飲馬”問題，故做A關(guān)于BC的對稱點A，，則

AP+PG=AP+PG,當A'、P、G三點共線時，最短，又因為/為固定點，G在圓上運動，可知當A'、

G、D三點共線時，此時A'G最短，為4

2023年湖北省鄂州市中考數(shù)學真題

3

3.如圖，在平面直角坐標系中，。為原點，3=08=3右，點C為平面內(nèi)一動點，BC.，連接/C,

點M的坐標是（

【答案】D

O/o/c\

【思路點撥】由題意可得點。在以點5為圓心，—為半徑的08上，在％軸的負半軸上取點。-三一，°,

2I2J

連接BD,分別過C、M作b_LCM,MELOA,垂足為尸、E,先證ACMMSA.C,

CD4D3

從而當CD取得最大值時，0M取得最大值，結(jié)合圖形可知當。，B,。三點共線，且點5在線段。。上時,

5取得最大值，然后分別證△BDOS^CDT"八AEMS公AFC,利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

3

【詳解】解：,?,點。為平面內(nèi)一動點，BC.,

3

.,?點。在以點8為圓心，,為半徑的。8上，

(3后、

在％軸的負半軸上取點。一——,0,連接AD,分別過。、M作CF_LCM,MELOA,垂足為尸、E,

?OA=OB=3出,

.AD=OD+OA=2^1

2

OA2

~AD~3

*CM:MA=1:2,

OA2CM

'AD~3~14Cf

,/NOAM=NDAC,

：.AOAM^DAC,

.OMOA_2

，9~CD~^4D~3"

???當8取得最大值時，(W取得最大值，結(jié)合圖形可知當。，B,。三點共線，且點8在線段。。上時，CD

取得最大值，

：OA=OB=3y[5,OD=^4-/s

2

：.BD=y/0B2+0D2=

2

：.CD=BC+BD=9,

OM2

.記二

???OM=6,

??,＞軸_1不軸，CFLOA,

：.NDOB=NDFC=90。,

丁NBDO=NCDF,

：.ABDOS^CDF,

OB15

=2

~CF

CF9

解得。尸=身叵

5

同理可得，AAEMSAAFC,

ME2

.MEAM二1■即1875~3

,CF~AC3-------

5

解得ME=坦叵，

5

?.OE=4OM1-ME1=J62=蟲“當線段（W取最大值時，點M的坐標是僅夕，與5

\I5J5I55

2023?邵陽市中考真題

4.如圖，在矩形4BCD中，AB=2,AD=布,動點P在矩形的邊上沿8'C-。一/運動.當點P不與

點48重合時，將尸沿AP對折，得到445'尸，連接C8',則在點尸的運動過程中，線段CB'的最小

值為.

【答案】711-2

【思路點撥】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出8'在A為圓心，2為半徑的弧上運動，進而分類討論當點尸在3c上時,

當點P在。C上時，當P在/D上時，即可求解.

【詳解】解：?..在矩形48co中，AB=2,AD=布,

：?BC=ADM,AC=NBC?+AB?=777Z=Vn,

如圖所示，當點P在2C上時，

AB'=AB=2

，？在A為圓心，2為半徑的弧上運動,

當，,夕,。三點共線時，CB'最短，

此時”的=而—2，

當點尸在。C上時，如圖所示，

此時⑦＞而—2

當尸在40上時，如圖所示，此時函＞4_2

2023?廣西南寧市二模

5.在矩形MCD中，AB=3,將繞點8順時針旋轉(zhuǎn)a（0。＜o＜90。）得到BE,連接。E,若DE的最小

值為2,則BC的長為

【答案】4

【思路點撥】根據(jù)三角形不等式得到BE+DE>？。，當點2,點E,點。三點共線時，3E+DE取得最小

值，得到8。=5,根據(jù)勾股定理計算3C即可.

【詳斛】?：BE+DE>BD,

二當點2,點E,點。三點共線時，BE+DE■取得最小值，

;BE=AB=3,

：.DE的最小值為2,

/.BD=5,

;矩形NSCD,AB=3,

：.AB=CD=3,/BCD=90°

?**BC=yjBD1-CD2=4

2022?遼寧撫順?中考真題

6.如圖，正方形MCD的邊長為10,點G是邊CD的中點，點E是邊/。上一動點，連接BE,將A/BE沿

BE翻折得到△尸BE,連接GF.當GF最小時，NE的長是.

D.__________.C

【答案】5/一5

【詳解】解：①分析所求線段G下端點G是定點、尸是動點；②動點尸的軌跡：正方形劉CD的邊長為

10,點E是邊月。上一動點，連接3E,將“BE沿BE翻折得到4FBE,連接GF,則8尸=胡=10,因此

動點軌跡是以3為圓心，歷1=10為半徑的圓周上，如圖所示：

T\,G_c

國飛

\/

\/

\X//

、、?一一//

③最值模型為點圓模型；④G尸最小值對應(yīng)的線段為G3-10:⑤求線段長,連接GB,如圖所示:

qGc

在比A5CG中，ZC=90°,正方形/5CD的邊長為10,點G是邊。的中點，則CG=5,8C=10,根據(jù)勾

股定理可得BG=^CG1+BC2=A/52+102=56，

當G、F、8三點共線時，G廠最小為56-10,

接下來，求4E的長：連接EG,如圖所示

根據(jù)翻折可知EF=EA,ZEFB=ZEAB=90°,設(shè)AE=x,則根據(jù)等面積法可知

S正方形=S空DG+8ABeG+S2AB+S2EG，即

=+++—%）+5xl0+10x+5氐］整理得（布+1）%=20,

20

解得x=AE=

V5+1

7.如圖，在矩形45cZ）中，AB=3,40=4,E、產(chǎn)分別是邊40、5。上的動點，且CF=24￡,連接跖,

將四邊形ABFE沿EF翻折，點4、B的對應(yīng)點分別為，、B',連接4。則A'D的最小值為

提示：連接/C交跖于點。，連接。⑷、OD,作于//

BFC

則△4O￡SZ\CO77

,:CF=2AE,：.CO=2AO,：.A,O=AO=-AC=—

33

443

：.AH=^AO=-,OH=—AO=\

535

；.DH=AD-AH=4——=-,0D=\joH2+DH2=山

333

；.A'D》OD—OA'='S3—5

3

8.如圖，半圓O的直徑N3的長為6,長度為2的弦CD在半圓上滑動，￡是CD的中點，DFLAB于F,

連接/C、EF,當線段斯的長最大時，/C的長為.

【答案】2近

提示：連接OD、OE,取O￡）的中點M,連接ME、MF

則OELCD,ME=MF=-OD

2

EF^ME+MF=OD,當E、M、尸三點共線時所最大

此時四邊形EOFD為矩形，CD//AB

連接OC,作CH工AB于H

則O?=±CD=1,AH=2,CH=2yj2,NC=2\5

2022?長春?中考真題

9.如圖，在YABCD中，AB=4,AD=BD=&i，點、M為近4B的中點，動點尸從點/出發(fā),沿折線/D-D3

以每秒上個單位長度的速度向終點2運動，連結(jié).作點/關(guān)于直線尸”的對稱點出,連結(jié)4P、

A'M.設(shè)點P的運動時間為t秒.

(1)點D到邊N8的距離為;

(2)用含/的代數(shù)式表示線段。尸的長；

(3)連結(jié)4D,當線段4。最短時，求△￡＞口，的面積；

(4)當M、4、C三點共線時，直接寫出f的值.

【答案】(1)3

⑵當時，DP=V13-V13/;當1＜/2時，PD=yli3t-413:

⑶I

/八2,20

(4)§或五

【思路點撥】(1)連接根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得再由勾股定理，即可求解；

(2)分兩種情況討論：當0WW1時，點尸在/￡＞邊上；當1＜云2時，點P在3。邊上，即可求解；

(3)過點、P作PELDM于點、E,根據(jù)題意可得點4的運動軌跡為以點M為圓心，長為半徑的圓，可得

到當點。、/'、Af三點共線時，線段4。最短，此時點尸在4D上，再證明可得

2

DE=3-3t,PE=2-2t,從而得到AE=DE-4'D=2-3t,在必A/'PE中，由勾股定理可得/=1,即可求

解；

(4)分兩種情況討論：當點"位于M、C之間時，此時點P在4D上；當點/(A")位于CM的延長線

上時，此時點尸在5。上，即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，連接

DM=y/AD2-AM2=3,

即點。到邊48的距離為3;

故答案為：3

(2)解：根據(jù)題意得：當把"1時，點P在4D邊上，

。尸=而-屈/;

當1＜正2時，點尸在3。邊上，PD=H-屈;

綜上所述，當03W1時，￡＞P=V13-VB?;當1VE2時，P￡)=Vi3/-＞/B;

(3)解：如圖，過點、P作PELDM于點、E,

:作點A關(guān)于直線PM的對稱點4,

：.A'M=AM=2,

二點/的運動軌跡為以點M為圓心，長為半徑的圓，

...當點。、A\M三點共線時，線段4D最短，此時點尸在/。上,

4D=1,

才艮據(jù)題意得：A'P=AP=413t,DP=413-413t,

由（1）得：DMLAB,

■:PE工DM,

J.PE//AB,

：./\PDE^/\ADM,

.PDDEPE

"AD~DM~AM'

.屈-岳t_DE_PE

■岳=亍=1"'

解得：DE=3-3t,PE=2-2t,

：.A'E=DE-A'D=2-3t,

在Rt^A'PE中，A'P2=PE2+A'E2,

：.（V13?）2=（2-2/）2+（2-3/）2,解得：，=|,

(4)解：如圖,

當點M、4、C三點共線時，且點4位于M、。之間時，此時點尸在4。上，

連接44,AB,過點P作PFL4B于點F,過點4作4G-L45于點G,則44」產(chǎn)初;

■:AB為直徑，

AZA=90°,即

:.PM〃AB,

:?NPMF=NABA,

過點。作CN±AB交延長線于點N,

在Y458中，AB//DC,

u：DM-LAB,

：.DM//CN9

???四邊形cnw為平行四邊形，

:?CN=DM=3,MN=CD=4,

：.CM=5,

?小人「CN

..sm?ZCMN=-----=—3,

CM5

VAfM=2,

A'G=2x—=—

55

Q

：.MG=-

5

BG=BM-MG=-

5

4G

AtanZAfBA=——=3,

BG

tan/PMF=tan/A'BA=3,

PF

：.——=3,PF=3FM

FMf

DMPF3CQSADAM=^-AF

?tanADAM=------=-----=—

AMAF2AD~AP

3

：.PF=-AF,

2

3

A3FM=-AFfAF=2FM,

?.FM=2,

_2

A3_2,解得：％=4；

VBZVB3

如圖，當點4（4〃）位于CM的延長線上時，此時點尸在5。上，PB=2用-岳t,

過點4〃作H'GUZB于點G，，則44比4〃=/CW,取44〃的中點〃，則點河、尸、H三點共線，過點X作

HK1AB于點K,過點P作PT工AB于點T,

■:HKLAB,AnGrLAB,

:?HK〃A〃G,

???小AHK?WG',

???點，是44〃的中點，

.HK_AKAH

一46，一而一看一萬

31

：.HK=-,AK=-,

55

：.MK=~9,

5

HK1

tanZPMT=tan/HMK=-----二—

MK3

PT1o

J—二一，即MT=3尸T,

MT3

DMPTJc°"PBT=^=%=^

tanZPBT=----------二——二

BMBT2"PBBDV13

：.BT=-PT,

3

9

：.MT=-BT,

2

■:MT+BT=BM=2,

4

BT=—,

11

11_____2,解得：t=——;

2713-713^-V1311

綜上所述，1的值為g或患

題園且直角的對邊是直徑

10.如圖，在“BC中，44c8=30。，/C=4,。為3c上的一個動點，以AD為直徑的OO與48相切于

點B,交AD于點、E,則CE的最小值為.

【答案】V13-1

【思路點撥】取4B的中點/，連接BE,EF,CF,則CE3CF-EF.由N8與。。相切，可得NN2C=90。,

通過解直角三角形可得NB=；/C=2,BC=NAC?-AB。=2拒,CF=JBF?+BC?=屈.才艮據(jù)BD是。。

的直徑，可得A/BE是直角三角形，從而EF=；AB=1,因此CE2后-1,即CE的最小值為舊-1.

【詳解】取48的中點/，連接BE,EF,CF,則CE2CF-EF

：.AB1BC,即N48C=90。，

：Z/4CB=3O。，ZC=4,

AB=-AC=-x4=2,

22

BC=y/AC2-AB2="-2?=273.

?點/是45的中點,

BF=LAB=LX2=I,

22

.?.在RGBCF中，CF=^BF2+BC2=yjl2+（273J"=VB.

：AD是。。的直徑，

Z./BED=90。,

，ZXE5=180°—Z5ED=180°-90°=90°,

點點是48的中點,

：.EF=-AB=-x2=l,

22

ACE>CF-EF=413-1,即CE的最小值為屈-1

11.（2021威海）如圖，在正方形4BCD中，48=2,點、E,尸分別在邊/瓦2c上，AE=BF,連接DE

與NF交于點G,連接BG,則3G的最小值為.

【答案】V5-1

【解析】取AD的中點M,連接BM,GM,

BM=飛AM?+AB。=Vl2+22=石?

?..四邊形ABCD是正方形，

；.DA=AB=2,NDAE=NABF=90°.

；AE=BF,.,.△DAE^AABF,

NADE=NBAF.

:ZBAF+ZDAF=90°,

NADE+NDAF=90。，；.NDGA=90°.

VGM=-^D=1.

2

VBG+GM^BM,ABG^BM-GM,

ABG的最小值為石-1.

12.(2023?嘉興?二模)在RtZ\/3C中，NC=90o,//=3()o,BC=2,點。,E分別是的中點，點戶是

NC上的一個動點，連結(jié)。尸，作8。，。尸交。尸于點。，連結(jié)E。.點尸從點。向點A運動的過程

中，E0的最小值為.

【答案】V3-1

【思路點撥】作EN_L/8于N,取8。中點M,連接M。，ME,由直角三角形的性質(zhì)求出的長，MB

的長，EN的長,AN的長,得到兒W的長，由勾股定理求出ME的長，由EQ2ME-MQ,即可求出E。的

最小值.

【詳解】解：如圖，作ENA.AB于N,取8。中點M,連接血@,ME,

■：ZC=90°,/N=30。，BC=2,

AB=2BC=4,AC=用BC=2C,

■：D是AB中點，

:.BD=gAB=2,

ZBQD=90°,M是8。中點，

:.MQ==BD=1,MB=；BD=1,

是/C的中點，

AE=yAC=百,

:.NE=』AE=2,AN=^NE=-,

222

33

:.MN=AB-MB-AN=4-l--=-,

22

ME=yjMN2+EN2=V3，

-.?EQ>ME-MQ,

EQ>4i-\,；.E。的最小值是6-1

13.如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形O/8C的邊。40c分別在x軸、y軸的正半軸上，。/=6,

。。=4,點。是線段。/上的一個動點，連接CD,以CD為邊作矩形CDER使得邊斯經(jīng)過點3,當

點F到原點。的距離最大時，點F的坐標為.

提示：取3c中點連接OROM、FM

則FM=CM=±8C=3,OM^CM2+CO2-5

OFWOM+FM=8,當點尸在OM延長線上時。尸最大

作CGJ_O尸于G,FHLBC于H

購AFMH出ACMG(AAS),:.FH=CG,MH=MG

在△CO河中，由面積法可得CG=1,勾股得

:.FH=-,MH=—,：.F(―,-)

5555

2023?荷澤市中考真題

14.如圖，在四邊形MCD中，乙48。=/840=90。,/8=5,/。=4,/。＜8。，點￡在線段8C上運動，點

廠在線段/E上，ZADF=ZBAE,則線段3尸的最小值為.

BEC

【答案】V29-2

【思路點撥】設(shè)的中點為0,以AD為直徑畫圓，連接OB，設(shè)05與。。的交點為點廣，證明ZDFA=90°,

可知點/在以4D為直徑的半圓上運動，當點尸運動到03與。。的交點戶'時，線段B尸有最小值，據(jù)此求

解即可.

【詳解】解：設(shè)ND的中點為。，以為直徑畫圓，連接08,設(shè)08與。。的交點為點尸，，

J.AD//BC,

：.NDAE=NAEB,

ZADF=NBAE,

NDFA=/ABE=90。,

:.點、F在以AD為直徑的半圓上運動，

當點尸運動到OB與。。的交點F'時，線段BF有最小值，

AD=4,

：.AO=OF'=-AD=2,,

2

BO=A/52+22=V29，

BF的最小值為J^-2

15.（2023?武漢?一模）如圖，Rt4/BC中，ZACB=90°,AC=4-,BC=6.點尸為“8C內(nèi)一點，且

滿足PT+pc=/C?.當尸8的長度最小時，則尸的面積是.

【答案】673

【思路點撥】取/C中點。，連接。P,BO,由尸T+pc2=/c2即可得到/4PC=90°,再由BPNBO-OP,

可得當點尸在線段80上時，AP有最小值，然后利用直角三角形的性質(zhì)可得尸0=/0=C0=；/C=2G,

即可推出ZBOC=60°,則ACOP是等邊三角形，求得4cop的面積，根據(jù)OA=OC可得S^ACP=2邑=班.

【詳解】解：如圖，取/C的中點。，連接。尸，BO,

A

BC

?.?PA2+PC2=AC2,

ZAPC=90°,

???點尸在以4C為直徑的圓上運動，

在尸。中，BP>BO-OP,

，當點P在線段3。上時，有最小值，

:點。是/C的中點，AAPC=90°,

：.PO=AO=CO=^AC=243,

：.tanZJ8OC=—=V3,

oc

：.4OC=60。，

ACOP是等邊三角形，

=^X12=3V3,

?:OA=OC,

S^ACP=2SACOP=66

2022?通遼?中考真題

16.如圖，。。是“3C的外接圓，/C為直徑，若AB=2△，BC=3,點尸從8點出發(fā)，在“BC內(nèi)運動

且始終保持/C8P=/54P,當C,尸兩點距離最小時，動點尸的運動路徑長為

A

【答案】工

3

【思路點撥】根據(jù)題中的條件可先確定點P的運動軌跡，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定C尸的長最小時點P

的位置，進而求出點尸的運動路徑長.

【詳解】解：?.?/(7為。。的直徑，

ZABC=90°.

:.NABP+NPBC=90°.

QZPAB=/PBC,

NPAB+NABP=90°.

???.?.ZAPB=90°.

???點尸在以45為直徑的圓上運動，且在的內(nèi)部，

如圖，記以為直徑的圓的圓心為a,連接。。交?。1于點p,連接am.

QCP>OC—O]P,

.??當點?,P,C三點共線時，即點。在點p處時，C尸有最小值,

*/AB=2百

/.OXB=y[3

Be3r~

在Rt^BCOx中，tanZ.BOXC=——=—j==v3.

ZBOXC=60.

...冊竺*=&

，C,尸兩點距離最小時，點p的運動路徑長為22萬.

3

17.（2023?廣州?三模）如圖，矩形4BCD中，AB=2,BC=26,點、E、F分別是線段4D,3c上的動

點，且過。作"的垂線，垂足為77.

（2）當￡在月。上運動時，C"的最小值為.

【答案】451

【思路點撥】（1）過點/作WJ_3C于/,由條件可得四邊形4BA/E是矩形，由題意可得從而

問題解決；

（2）連接3D交E廳于點。，可證明△DOE會/XBO尸，易得。。=<8。=2,由DH_LEF知,MH=2,即

點X在以CO中點M為圓心，1為半徑的圓上運動，當點E與點/重合時，CH的值最小，由三角函數(shù)知

識即可求得此時最小值.

【詳解】解：（1）過點/作EM_L3C于如圖，

則ABME=ZEMF=90°;

;四邊形4BCD為矩形,

：.ZA=ZB=90°,

：.四邊形ABME是矩形，

:.EM=AB=2,BM=AE=道-1;

?：AE=CF,

：.CF=BM=43-1,

：.MF=BC-BM-CF=2e-2（6-1）=2,

：.ME=MF,

FMIBC,

：.NBFE=45°,

故答案為：45;

（2）連接BD交E尸于點。，如圖,

由矩形性質(zhì)知：AD//CB,AD=BC=2yf3,

：.NDEF=NBFE,AD-AE=BC-CF,

：.DE=BF,

'：AEOD=AFOB,

ADOE^ABOF,

OD=OB,

AE(

由勾股定理得BD=yjAB2+AD2=4，

Z.OD=-BD=2,

2

■:DHLEF,設(shè)中點為

MH=2,

即點〃在以點M為圓心，1為半徑的圓上運動，

由于點￡在4D邊上運動，

當點￡與點N重合時，即E廠與NC重合時，CH的值最小，

VAC=BD=4,cosZACD=—=—,

ACCD

CD24

CH=——=—=1,

AC4

即CH的最小值為1

18.（2023?安陽?一模）如圖，正方形MCD的邊長為2后，點￡是邊上的一個動點，點下是CD邊上

的一個動點，且/￡=b，過點3作尸于點G,連接/G,則NG長的最小值為.

【答案】V5-1

【思路點撥】連接力尸，CE,AC,設(shè)ZC與E尸的交點為點。，得到平行四邊形NECF,點。是/C的中

點，連接3D,則3。經(jīng)過點O,JLOA1OB,G在以BO為直徑的圓上運動，取05的中點H,連接

根據(jù)三角形三邊不等關(guān)系式，計算最值即可.

【詳解】如圖，連接NF,CE,AC,設(shè)/C與E尸的交點為點O,

；正方形4BCD,

：.AE||CF,

AE=CF,

：.四邊形AECF是平行四邊形,

AO=CO,OE=OF,

...點。是NC的中點，連接BD,

?.?正方形48CD,

二點。是8。的中點，且CU_LO8,

取08的中點X,連接4H,GH,

?：BGLEF,

：.AH=ylAO1+OH2,GH=-OB,

2

GH+AG^AH,

：.當4G,H三點共線時，ZG取得最小值,

;正方形4BCD的邊長為2及，

；*4C=BD=⑸+（2司=4,

OA=OB=OC=OD=2,

...G〃=go8=l,3+F=氐

二/G長的最小值為君-1

19.（2023?深圳?模擬預(yù)測）如圖，在矩形MCD中，4B=3,BC=4,E為邊8c上一動點，尸為NE中

點，G為。E上一點，BF=FG,則CG的最小值為

【答案】V13-2

【思路點撥】連接/G,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得NABC=/3CD=/ADC=90。，DC=AB=3,根據(jù)中點的性質(zhì)

和直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半可得回^//E二/尸二斯，推得4F=FG=EF,則

4G￡=AGD=90°,根據(jù)圓周角定理可知：點G在以/。為直徑的圓上運動，取4。的中點0,當O,G,

C三點共線時，CG的值最小，由此可解答.

【詳解】解：如圖1,連接/G,

圖1

???四邊形/BCD是矩形，

ZABC=/BCD=ZADC=90°,DC=AB=3,

,:F是AE的中點,

：.BF=-AE=AF=EF,

2

BF=FG,

：.AF=FG=EF,

：.ZAGE=ZAGD=9Q°,

.?.點G在以4D為直徑的圓上運動，取2。的中點O,連接。G,如圖2：

圖2

當O,G,C三點共線時，CG的值最小，

OD=OG=2,

，OC=萬百=而，，CG的最小值為而-2

2023?汕頭市金平區(qū)一模

20.如圖，為。。的直徑，點C為05中點，弦DE經(jīng)過點C,且。E448.點尸為公上一動點，連

接。尸./GLD/于點G.若/8=4,在點F運動過程中，線段OG的長度的最小值為.

A

【答案】V3-1

【思路點撥】如圖，連接，OD,取4。的中點R,由力G_LDF.可得G在以R為圓心，4。為直徑

的圓上運動，（圓的一部分）當R,O,G三點共線時，0G最小，再求解CD=卜=拒,

AD=JCD2+AC?=26，可得RA=RG=6,sinZCAD=—尸=一,則大=彳，可得火。=1,從而可得

2432Ao2

答案.

【詳解】解：如圖，連接，OD,取的中點五,

AGLDF.

；.G在以R為圓心，4D為直徑的圓上運動，（圓的一部分）

當A,O,G三點共線時，0G最小，

VAB=4，點。為OS中點，

OB=OA=OD=2,0C=\,

,：DE1AB,

,,CD=^22—I2=sfi,

AD=VCD2+AC2=2V3,

■?RA=RG--xfi，sinNCAD=—廣——,

2732

.7?O_1

??而一Q，

:.RO=1,：.OG=RG-RO=4i-\

2023?廣州市天河區(qū)三模

21.如圖，矩形MCD中，AB=2,BC=2C，點、E、廠分別是線段40,3C上的動點，且/E=CF,過

。作E尸的垂線，垂足為〃.

(2)當E在上運動時，S的最小值為.

【答案】451

【思路點撥】(1)過點/作9_L8C于由條件可得四邊形48ME是矩形，由題意可得,從而

問題解決；

(2)連接AD交E尸于點。，可證明絲△3。尸，易得。。=；50=2,由。H_LE尸知，MH=2,即

點〃在以中點〃為圓心，1為半徑的圓上運動，當點E與點N重合時，S的值最小，由三角函數(shù)知

識即可求得此時最小值.

【詳解】解：(1)過點尸作W_L8C于如圖，

則NBME=NEMF=90。；

:四邊形4BCD為矩形，

二4=/3=90。，

二四邊形4EWE是矩形，

EM=AB=2,BM=AE=0-1：

?：AE=CF,

：.CF=BM=y[2>-\,

AMF=BC-BM-CF=2A/3-2(6-1)=2,

：.ME=MF,

?：FMIBC,

：.NBFE=45。,

故答案為：45;

（2）連接50交E廠于點。，如圖，

由矩形性質(zhì)知：AD//CB,AD^BC=273,

:.NDEF=ZBFE,AD-AE=BC-CF,

：.DE=BF,

AEOD=/FOB,

：.ADOE^ABOF,

OD=OB,

由勾股定理得BD=yjAB2+AD2=4，

：.OD=-BD=2,

2

,:DHLEF,設(shè)0￡>中點為M,

：.MH=2,

即點X在以點M為圓心，1為半徑的圓上運動，

由于點￡在月。邊上運動，

，當點E與點/重合時，即E尸與ZC重合時，CH的值最小,

「口CH

AC=BD=4.cosZ.ACD==---

ACCD

CD24

：.CH=——=一=1,即?！ǖ淖钚≈禐?

AC4

2022?成都市成華區(qū)二診

22.如圖，在A43c中，/。=90。,/8=30。,/。=2百.若點。為平面上一個動點，且滿足ZADC=60。,

則線段長度的最小值為,最大值為

【答案】2H22V13+2

【思路點撥】根據(jù)題意進行分類討論，即當點。在/C右側(cè)時，點。在就上運動；當點。在/C左側(cè)時,

點。在G上運動，再分別計算即可.

【詳解】①如圖，

c

以/C為底邊，在NC的右側(cè)作等腰三角形NOC,^ZOAC=ZOCA=30°

貝，OC=120°

以。為圓心，以C。長為半徑畫優(yōu)弧前?，連接8。交公于點E

則當點。在NC右側(cè)時，點D在上運動

過點。作。尸_L3C于尸

?1?ZACB=90°,NABC=30°

ACV3

tanN4BC=-----------

BC3

BC=6AC=6

過點。作（W_L/C于”

OC=OA

:.CM=AM=-AC=43

2

tanNOCA=tan30°=—=—

MC3

h

:.OM=—MC=l

3

CO=2MO=2

...OE=OC=2

ZCMO=ZCFO=ZMCF=90°

:.四邊形MCFO為矩形

：.CF=OM=1,OF=CM=拒

：.BF=6-1=5

在Rt^BOF中，BO=\lBF2+OF2=2J7

:.BE=2幣-OE=2行-2

當點。于點￡不重合時，BD>OB-OD

當點。于點E重合時，BD=OB-OD

:.BD>OB-OD

，當B、D、。三點共線時（此時，點。與E重合），AD有最小值為26-2

②如圖，

以/C為底邊，在NC的左側(cè)作等腰三角形/O'C,使/O'/C=/O'C4=30。

則4O'C=120°

以。'為圓心，以C。'長為半徑畫優(yōu)弧