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文檔簡(jiǎn)介
專題03三角形的證明與計(jì)算
目錄
熱點(diǎn)題型歸納.........................................................................................1
題型01三角形與全等.................................................................................1
題型02三角形與相似.................................................................................3
題型03三角形邊角計(jì)算...............................................................................6
中考練場(chǎng)............................................................................................10
熱點(diǎn)題型歸納
題型01三角形與全等
【解題策略】
六個(gè)全等模型
c
直角一線三等角
兩個(gè)正方形等邊三角形含半角(/8DC-120
手拉手模型
【典例分析】
例.(2023?北京?中考真題)在中、Z5-ZC=a(O°<a<45°),4AUBC于點(diǎn)跖。是線段MC上的動(dòng)點(diǎn)(不
與點(diǎn)M,C重合),將線段DM繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DE.
⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)£在線段/C上時(shí),求證:。是MC的中點(diǎn);
(2)如圖2,若在線段的上存在點(diǎn)尸(不與點(diǎn)3,M重合)滿足。尸=DC,連接/E,EF,直接寫出N/EF的大小,
并證明.
【變式演練】
1.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))如圖,在“3c和VADE中,延長(zhǎng)3C交DE于足BC=DE,ZBAD=ZCAE,
ZACF+/4ED=18Q°.求證:AB=AD.
2.(2022?安徽?模擬預(yù)測(cè))如圖,在等腰RtZ\4BC與等腰RtZ^CDE中,NACB=2DCE=90°,連接RD,/E相交于
點(diǎn)F,連接AD,BE,CF.
(1)探究線段/E,2。有何關(guān)系?寫出結(jié)論并說明理由.
⑵若BC=3,CD=\,求3E2+/Q2的值.
BF-AF
(3)直接寫出八二的值.
CF
3.(2023?河北石家莊?一模)如圖,在中,AB=AC,ZBAC^9Q°,。為線段8C上一點(diǎn),連接4D,將線段4D
繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,作射線CE.
⑴求證:ABAD應(yīng)CAE,并求/8CE的度數(shù);
(2)若尸為中點(diǎn),連接的,連接CF并延長(zhǎng),交射線A4于點(diǎn)G,當(dāng)BD=2,DC=1時(shí).
①求*'的長(zhǎng);
②直接寫出CG的長(zhǎng).
題型02三角形與相似
【解題策略】
【典例分析】
例.(2023?湖南常德?中考真題)如圖,在。8C中,AB=AC,。是3c的中點(diǎn),延長(zhǎng)D4至£,連接
(1)求證:ABAE出ACAE;
⑵在如圖1中,若AE=AD,其它條件不變得到圖2,在圖2中過點(diǎn)。作。尸,于R設(shè)X是EC的中點(diǎn),過點(diǎn)〃
作〃GII/8交陽于G,交DE于M.
求證:①AF?MH=AM?AE;
②GF=GD.
【變式演練】
1.(2023九年級(jí)?安徽?專題練習(xí))如圖,在等腰Rt448C中,ZACB=90。,E為8c邊上一點(diǎn),。為ZC延長(zhǎng)線上一
點(diǎn),且CE=CD,連接AD,DE,AE,延長(zhǎng)NE交8。于點(diǎn)G,。為AD的中點(diǎn),P為射線OE上一點(diǎn),連接。P,交
/G延長(zhǎng)線于點(diǎn)。,且PD=BD.
BP
Q
D
(1)求證:"CE%ABCD;
AJ7
(2)若G為8。的中點(diǎn),求若的值;
EG
(3)在(2)的條件下,當(dāng)尸時(shí),求證:DE?=EG-BD.
2.(2023?上海虹口?一模)如圖,在A4BC中,已知點(diǎn)。、E分別在邊3C,48上,EC和4D相交于點(diǎn)凡ZEDB=ZADC,
DE2=DFDA-
⑴求證:AABDSAECD;
(2)如果44c3=90。,求證:FC=^EC.
3.(2024?上海普陀*一模)已知:如圖,在“3C中,點(diǎn)。在邊8c上,ZADE=ZB,ZEAF=ZFDC,DE與AC交
于點(diǎn)F.
E
B
⑴求證:就=至
(2)連接B尸,如果/爐=/尸./C,求證:ADBC=AEBF.
4.(2023?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè))在“03和△COD中,ZAOB=ZCOD=90°,直線NC與AD交于點(diǎn)M.
(1)如圖1,若NO48=/OCZ)=45。,求證:AC=BD;
(2)如圖2,^ZOAB=ZOCD=30°,寫出8D與/C的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)如圖2,若NOAB=NOCD=a,請(qǐng)直接寫出8。與/C的數(shù)量關(guān)系(用含。的式子表示).
題型03三角形邊角計(jì)算
【解題策略】
勾股定理常見折疊模型:
例:
A
【典例分析】
例.(2022?四川資陽?中考真題)如圖,在。8c中(,8<5C),過點(diǎn)C作CZ)〃/8,在。。上截取CD=C8,上截
取CE=/8,連接DE、DB.
D
AC
⑴求證:/XABC咨AECD;
(2)若NA=90。,48=3,BD=2卡,求ABCD的面積.
【變式演練】
1.(2023?湖北黃岡?一模)如圖,在中,//8。=90。,/。=30。,點(diǎn)£)在8c上,且AD=/B,E為/。的中
點(diǎn),連接3E并延長(zhǎng),交NC于點(diǎn)足
A
F
E
BD
(1)求//FE的度數(shù);
(2)若ZC=4,求的長(zhǎng).
2.(2023?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè))如圖,在RtZ"3C中,ZACB=90°,AE平分NCAB交CB于點(diǎn)E,CZ)_L/3于點(diǎn)D,
交/E于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作G/〃3c交于尸,連接E尸.
⑴求證:CG=CE;
(2)若NC=3cm,BC=4cm,求線段。G的長(zhǎng)度.
3.(2023?安徽?模擬預(yù)測(cè))某校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)四邊形進(jìn)行了如下探究:在四邊形Z8CD中,對(duì)角線相交于點(diǎn)
O.
圖2
(1)如圖1,若AC,BD,求證:AD1+BC2=AB1+CD\
(2)如圖2,^AC=a,BD=b,ZAOB=a為銳角),求四邊形/3CD的面積;(用含風(fēng)瓦。的代數(shù)式表示)
(3)如圖3,若=ZB+CD,ZABC=NBCD=60°,AC=2,求四邊形ABCD的面積.
4.(2024?山西朔州?一模)綜合與實(shí)踐
在AABC中,=/C,。為邊8c的中點(diǎn),以。為頂點(diǎn)作/MW=48.
(1)如圖1,當(dāng)射線OV經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),交邊NC于點(diǎn)E,不添加輔助線,則圖①中與V4DE相似的三角形有.(填
序號(hào))
①AABD②△ZDC③“BC④ADCE
(2)如圖2,將NMLW繞點(diǎn)。沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),0MDN分別交線段于點(diǎn)£,(點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合),求證:
/\BDFs/\DEF.
(3)在圖2中,若4B=AC=5,BC=6,當(dāng)皿戶的面積等于AABC的面積的;時(shí),求線段Eb的長(zhǎng).
中考練場(chǎng)
1.(2023?青海西寧?中考真題)如圖,在Y48co中,點(diǎn)E,尸分別在C。的延長(zhǎng)線上,且BE=DF,連接E尸與
/C交于點(diǎn)連接的,CE.
⑴求證:AAEM%ACFM;
(2)若/CLEF,AF=38,求四邊形/ECF的周長(zhǎng).
2.(2023?四川甘孜?中考真題)如圖,在RtA/BC中,AC=BC=3也,點(diǎn)、D在4B邊上,連接CD,將CA繞點(diǎn)C逆
時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到CE,連接BE,DE.
⑴求證:ACAD③CBE;
(2)若/。=2時(shí),求CE的長(zhǎng);
(3)點(diǎn)。在N8上運(yùn)動(dòng)時(shí),試探究/。2+3£)2的值是否存在最小值,如果存在,求出這個(gè)最小值;如果不存在,請(qǐng)說明理
由.
3.(2023?山東濰坊?中考真題)如圖,在。BC中,CD平分/ACB,AE1CD,重足為點(diǎn)E,過點(diǎn)E作E產(chǎn)〃8C、
交AC于點(diǎn)、F,G為BC的中點(diǎn),連接FG.求證:FG=-AB.
2
4.(2023?山東聊城?中考真題)如圖,在四邊形/BCD中,點(diǎn)E是邊上一點(diǎn),且BE=CD,NB=NAED=NC.
(1)求證:ZEAD=ZEDA;
⑵若NC=60。,DE=4時(shí),求的面積.
5.(2023?廣西?中考真題)如圖,AABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,點(diǎn)。,E,尸分別在邊AS,BC,G4上運(yùn)動(dòng),滿
定AD
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