2025年中考數(shù)學復習:圓的相關(guān)性質(zhì)【含解析】_第1頁
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文檔簡介

專題22圓的相關(guān)性質(zhì)【原卷版】

一、單選題

1.(2024?湖南?中考真題)如圖,AB,AC為的兩條弦,連接OB,OC,若NA=45。,則N30C的

C.90°D.135°

2.(2024?甘肅臨夏?中考真題)如圖,AB是:。的直徑,4=35°,則々?!?gt;=()

C.120°D.110°

3.(2024.江蘇連云港?中考真題)如圖,將一根木棒的一端固定在。點,另一端綁一重物.將此重物拉到

A點后放開,讓此重物由A點擺動到8點.則此重物移動路徑的形狀為()

A.傾斜直線B.拋物線C.圓弧D.水平直線

4.(2024.四川涼山.中考真題)數(shù)學活動課上,同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑,小明的

解決方案是:在工件圓弧上任取兩點連接A3,作AB的垂直平分線8交于點。,交A2于點C,

測出"=40011,。。=10011,則圓形工件的半徑為()

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

5.(2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)如圖,AD是。的直徑,48是。。的弦,半徑OC_LAB,連接CD,交

OB于點、E,ZBOC=42°,則NOED的度數(shù)是()

A.61°B.63°C.65°D.67°

6.(2024?湖北?中考真題)A3為半圓。的直徑,點C為半圓上一點,且NC4B=50。.①以點B為圓心,

適當長為半徑作弧,交AB,BC于D,E;②分別以DE為圓心,大于為半徑作弧,兩弧交于點P;③

作射線5P,則NABP=()

A.40°B.25°C.20°D.15°

7.(2024.四川宜賓.中考真題)如圖,A3是。的直徑,若NCDB=60。,則/ABC的度數(shù)等于()

A.30°B.45°C.60°D.90°

8.(2024?四川廣元?中考真題)如圖,已知四邊形ABC。是。的內(nèi)接四邊形,E為AD延長線上一點,

ZAOC=128°f則NCDE1等于()

B

A.64°B.60°C.54°D.52°

9.(2024?云南?中考真題)如圖,CD是。的直徑,點A、B在。上.若AC=BC,ZAOC=36,則"=

A.9B.18C.36°D.45

10.(2024.黑龍江綏化?中考真題)下列敘述正確的是()

A.順次連接平行四邊形各邊中點一定能得到一個矩形

B.平分弦的直徑垂直于弦

C.物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影

D.相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等,所對的弦心距也相等

H.(2024?廣東廣州?中考真題)如圖,中,弦A3的長為4vL點C在(。上,OC±AB,ZABC=3O°.O

所在的平面內(nèi)有一點尸,若。尸=5,則點尸與C。的位置關(guān)系是()

A.點尸在:。上B.點^在(O內(nèi)C.點?在(O外D.無法確定

12.(2024.黑龍江牡丹江.中考真題)如圖,四邊形A3CD是:。的內(nèi)接四邊形,AB是,。的直徑,若

NBEC=20°,則24X7的度數(shù)為()

—*—

\\\[j

W\\I//

D

A.100°B.110°C.120°D.130°

13.(2024?湖北武漢?中考真題)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于(O,NABC=60。,ZBACZCAD45°,

3322

二、填空題

14.(2024.四川南充?中考真題)如圖,A8是;O的直徑,位于48兩側(cè)的點C,。均在。上,ZBOC=30°,

則NADC=度.

15.(2024?北京?中考真題)如圖,O的直徑A3平分弦8(不是直徑).若/。=35。,則NC=

16.(2024?江蘇蘇州?中考真題)如圖,ABC是:。的內(nèi)接三角形,若NO3C=28°,則/A=

17.(2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題)如圖,ABC內(nèi)接于。,AD是直徑,若N3=25。,則NC4D

18.(2024?四川眉山?中考真題)如圖,ABC內(nèi)接于點。在AB上,AD平分/&1C交。于。,連

接50.若AB=10,50=2若,則BC的長為.

19.(2024?陜西?中考真題)如圖,BC是,:。的弦,連接OB,0c,-4是2C所對的圓周角,則NA與N03C

20.(2024.黑龍江牡丹江.中考真題)如圖,在〈O中,直徑至,。0于點£,CD=6,BE=1,則弦AC的

長為.

21.(2024?江西?中考真題)如圖,AB是。的直徑,AB=2,點C在線段AB上運動,過點C的弦DEIAB,

將。BE沿DE翻折交直線AB于點R當DE的長為正整數(shù)時,線段冏的長為

22.(2024?河南?中考真題)如圖,在Rt^ABC中,ZACB=90°,C4=CB=3,線段C。繞點C在平面內(nèi)

旋轉(zhuǎn),過點8作A£)的垂線,交射線4。于點E.若CD=1,則AE的最大值為,最小值為.

三、解答題

23.(2024?四川甘孜?中考真題)如圖,為。。的弦,C為人臺的中點,過點C作CD〃A3,交的延

長線于點D連接OAOC.

⑴求證:CD是。。的切線;

(2)若。4=3,BD=2,求;。CD的面積.

24.(2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題)如圖,AB是。的直徑,BC,BD是。的兩條弦,點C與點。在A8的

兩側(cè),E是OB上一點、(OE>BE),連接。C,CE,且NBOC=2/BCE.

(2)如圖2,若BD=2OE,求證:3D〃OC.(請用兩種證法解答)

25.(2024?安徽?中考真題)如圖,。是,ABC的外接圓,。是直徑AB上一點,NACD的平分線交AB于

點、E,交CO于另一點P,FA=FE.

⑴求證:CD1AB;

(2)設FNLAB,垂足為若OM=OE=1,求AC的長.

26.(2024?四川眉山?中考真題)如圖,BE是。的直徑,點A在。上,點C在BE的延長線上,

ZEAC=ZABC,AD平分/54E1交O于點。,連結(jié)DE.

⑴求證:C4是的切線;

(2)當AC=8,CE=4時,求。E的長.

27.(2024?江蘇揚州?中考真題)如圖,已知NPAQ及A尸邊上一點C.

0

(1)用無刻度直尺和圓規(guī)在射線AQ上求作點0,使得NCOQ=2N&4Q;(保留作圖痕跡,不寫作法)

(2)在(1)的條件下,以點。為圓心,以Q4為半徑的圓交射線AQ于點5,用無刻度直尺和圓規(guī)在射線CP

上求作點使點”到點C的距離與點/到射線A。的距離相等;(保留作圖痕跡,不寫作法)

3

⑶在(1)、(2)的條件下,若sinA=g,CM=12,求創(chuàng)/的長.

28.(2024?河南?中考真題)如圖1,塑像43在底座8C上,點。是人眼所在的位置.當點B高于人的水平

視線DE時,由遠及近看塑像,會在某處感覺看到的塑像最大,此時視角最大.數(shù)學家研究發(fā)現(xiàn):當經(jīng)過

A,8兩點的圓與水平視線DE相切時(如圖2),在切點尸處感覺看到的塑像最大,此時ZAP3為最大視

角.

(1)請僅就圖2的情形證明ZAPB>ZADB.

(2)經(jīng)測量,最大視角為30。,在點P處看塑像頂部點A的仰角/4PE為60。,點P到塑像的水平距

離PH為6m.求塑像AB的高(結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù):621.73).

29.(2024?江西?中考真題)如圖,A5是半圓。的直徑,點。是弦AC延長線上一點,連接BD,BC,

ZD=ZABC=6O°.

⑴求證:是半圓。的切線;

(2)當3c=3時,求AC的長.

30.(2024?廣東深圳?中考真題)如圖,在中,AB=BD,O為△AB。的外接圓,8E為O的切線,

AC為。的直徑,連接。C并延長交BE于點E.

D

⑴求證:DEYBE-,

⑵若AB=5而,BE=5,求-O的半徑.

31.(2024?四川廣元?中考真題)如圖,在一ABC中,AC=BC,ZACB=90°,O經(jīng)過A、C兩點,交AB

于點CO的延長線交于點F,DE〃CF交BC于點E.

E

H

⑴求證:DE為\。的切線;

(2)若AC=4,tan/CFD=2,求。的半徑.

32.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾.中考真題)如圖,在ABC中,以AB為直徑的。交BC于點AC,

垂足為£.。的兩條弦陽相交于點=陽.

⑴求證:DE是?。的切線;

(2)若/C=30。,CZ)=26,求扇形03。的面積.

33.(2024?江蘇揚州?中考真題)在綜合實踐活動中,“特殊到一般”是一種常用方法,我們可以先研究特殊

情況,猜想結(jié)論,然后再研究一般情況,證明結(jié)論.

如圖,已知ABC,C4=CB,。是.ASC的外接圓,點。在。上(4)>班)),連接AD、80、CD.

圖1圖2備用圖1備用圖2

【特殊化感知】

(1)如圖1,若/ACB=60。,點。在49延長線上,則AD-50與CD的數(shù)量關(guān)系為

【一般化探究】

(2)如圖2,若/ACB=60。,點C、。在同側(cè),判斷AD-BD與O)的數(shù)量關(guān)系并說明理由;

【拓展性延伸】

(3)若NACB=c,直接寫出AD、BD、CD滿足的數(shù)量關(guān)系.(用含a的式子表示)

34.(2024?浙江?中考真題)如圖,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,AD<AC,ZADC<ZBAD,延長AD至點E,

使AE=AC,延長助至點E連結(jié)E尸,使NAFE=NAT)C.

⑴若ZAFE=60。,CD為直徑,求ZABD的度數(shù).

(2)求證:①EF〃BC;②EF=BD.

專題22圓的相關(guān)性質(zhì)【解析版】

一、單選題

1.(2024?湖南?中考真題)如圖,AB,AC為的兩條弦,連接OC,若NA=45。,則/30C的

【答案】C

【分析】本題考查了圓周角定理,熟知在同圓或等圓中,一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

是解題的關(guān)鍵.根據(jù)圓周角定理可知/A=:NBOC,即可得到答案.

【詳解】根據(jù)題意,圓周角/A和圓心角/BOC同對著BC,

ZA=-ZBOC,

2

,ZA=45°,

:.ZBOC=2ZA=2x45°=90°.

故選:C.

2.(2024?甘肅臨夏?中考真題)如圖,A3是一。的直徑,ZE=35°,則()

【答案】D

【分析】本題考查圓周角定理,關(guān)鍵是由圓周角定理推出NAOD=2NE.

由圓周角定理得到ZAOD=2ZE=70°,由鄰補角的性質(zhì)求出ZBOD=180°-70°=110°.

【詳解】解:ZE=35°,

.-.ZAOD=2ZE=70°,

ZBOD=180。-70°=110°.

故選:D.

3.(2024.江蘇連云港.中考真題)如圖,將一根木棒的一端固定在。點,另一端綁一重物.將此重物拉到

A點后放開,讓此重物由A點擺動到8點.則此重物移動路徑的形狀為()

A.傾斜直線B.拋物線C.圓弧D.水平直線

【答案】C

【分析】本題考查動點的移動軌跡,根據(jù)題意,易得重物移動的路徑為一段圓弧.

【詳解】解:在移動的過程中木棒的長度始終不變,故點A的運動軌跡是以。為圓心,為半徑的一段

圓弧,

故選:C.

4.(2024.四川涼山?中考真題)數(shù)學活動課上,同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑,小明的

解決方案是:在工件圓弧上任取兩點A,8,連接A8,作A8的垂直平分線CD交A3于點。,交A8于點C,

測出A5=40cm,C£>=10cm,則圓形工件的半徑為()

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

【答案】C

【分析】本題考查垂徑定理,勾股定理等知識.由垂徑定理,可得出2。的長;設圓心為。,連接在

及△OB。中,可用半徑表示出QD的長,進而可根據(jù)勾股定理求出得出輪子的半徑,即可得出輪子的

直徑長.

【詳解】解::8是線段A3的垂直平分線,

直線CO經(jīng)過圓心,設圓心為。,連接08.

\c

\D

A.,RtZXOBD中,BD=^AB=20cm,

O(

根據(jù)勾股定理得:

OD2+BD2=OB2,即:

(OB-10)2+202=(9B2,

解得:08=25;

故輪子的半徑為25cm,

故選:C.

5.(2024?內(nèi)蒙古赤峰.中考真題)如圖,AD是。的直徑,是一。的弦,半徑OC_LAB,連接CO,交

。3于點E,ZBOC=42°,則NOED的度數(shù)是()

A.61°B.63°C.65°D.67°

【答案】B

【分析】本題考查了垂徑定理,圓周角定理以及三角形的外角性質(zhì).先根據(jù)垂徑定理,求得

ZAOC=ZBOC=42°,利用圓周角定理求得4>=;/AOC=21。,再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解.

【詳解】解::半徑OC_LAB,

?*-AC=BC>

:.ZAOC=ZBOC=42°,ZAOB=84°,

AC=AC'

ZD=-ZAOC=21°,

2

:.ZOED=ZAOB-ND=63°,

故選:B.

6.(2024?湖北?中考真題)AB為半圓。的直徑,點C為半圓上一點,且/C4B=50。.①以點3為圓心,

適當長為半徑作弧,交AB,BC于D,E;②分別以祝為圓心,大于“E為半徑作弧,兩弧交于點「③

作射線3尸,則()

A.40°B.25°C.20°D.15°

【答案】C

【分析】本題主要考查圓周角定理以及角平分線定義,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可求出NABC=40。,

根據(jù)作圖可得NABP=\ABC=20°,故可得答案

【詳解】解:為半圓。的直徑,

ZACB=90°,

ZCAB=50°,

:.ZABC=40°,

由作圖知,AP是NA3C的角平分線,

ZABP=-ABC=20°,

2

故選:C

7.(2024.四川宜賓.中考真題)如圖,A3是:O的直徑,若NCDB=60。,則/ABC的度數(shù)等于()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角,同弧或等弧所對的圓周角相等.根據(jù)直徑所對的圓周角為

直角得到NACB=90。,同弧或等弧所對的圓周角相等得到/a?=NA=60。,進一步計算即可解答.

【詳解】解:4?是〈O的直徑,

ZACB=90°,

ZCDB=60°,

:.ZA=ZCDB=60°,

ZABC=90°-ZA=30°,

故選:A.

8.(2024.四川廣元?中考真題)如圖,己知四邊形ABC。是。的內(nèi)接四邊形,E為AD延長線上一點,

ZAOC=128°,則NCDE等于()

A.64°B.60°C.54°D.52°

【答案】A

【分析】本題考查了圓周角定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵.根據(jù)同弧所

對的圓心角等于圓周角的2倍可求得NABC的度數(shù),再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補,可推出ZCDE=ZABC,

即可得到答案.

【詳解】解:NABC是圓周角,與圓心角/AOC對相同的弧,且NAOC=128。,

ZABC=-ZAOC=!x128。=64°,

22

又“四邊形ABC。是;O的內(nèi)接四邊形,

ZABC+ZADC=180°,

又Z.CDE+ZADC=180°,

ZCDE=ZABC=64°,

故選:A.

9.(2024?云南?中考真題)如圖,C。是的直徑,點A、3在:。上.若AC=BC,ZAOC=36,則ND=

C.36°D.45

【答案】B

【分析】本題考查了弧弦圓心角的關(guān)系,圓周角定理,連接。3,由AC=BC可得/SOC=NAOC=36。,

進而由圓周角定理即可求解,掌握圓的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:連接。8,

AC=BC,

/3OC=NAOC=36°,

ZD=-ZBOC=18°,

2

10.(2024.黑龍江綏化?中考真題)下列敘述正確的是()

A.順次連接平行四邊形各邊中點一定能得到一個矩形

B.平分弦的直徑垂直于弦

C.物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影

D.相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等,所對的弦心距也相等

【答案】C

【分析】本題考查了矩形的判定,垂徑定理,中心投影,弧、弦與圓心角的關(guān)系,根據(jù)相關(guān)定理逐項分析

判斷,即可求解.

【詳解】A.順次連接平行四邊形各邊中點不一定能得到一個矩形,故該選項不正確,不符合題意;

B.平分弦(非直徑)的直徑垂直于弦,故該選項不正確,不符合題意;

C.物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影,故該選項正確,符合題意;

D.在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等,所對的弦心距也相等,故該選項不正

確,不符合題意;

故選:C.

11.(2024廣東廣州?中考真題)如圖,OO中,弦AB的長為4』,點C在O±,OC±AB,ZABC=30P.0(9

所在的平面內(nèi)有一點P,若。尸=5,則點P與f。的位置關(guān)系是()

A.點尸在。上B.點尸在。內(nèi)C.點尸在。外D.無法確定

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理,圓周角定理,點與圓的位置關(guān)系,銳角三角函數(shù),掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解

題關(guān)鍵.由垂徑定理可得AD=2石,由圓周角定理可得NAOC=60。,再結(jié)合特殊角的正弦值,求出。的

半徑,即可得到答案.

【詳解】解:如圖,令0C與A3的交點為。,

0c為半徑,48為弦,且

ZABC=30°

ZAOC=2ZABC=60°,

在八位)。中,ZADO=90°,NAO0=6O。,AD=2?,

sinZAOD=—

OA

?AD26“

OA=--------=^^=4

sin60°百即O的半徑為4,

2

OP=5>4,

.,.點P在(:O外,

故選:C.

12.(2024.黑龍江牡丹江.中考真題)如圖,四邊形ABCD是:。的內(nèi)接四邊形,是O的直徑,若

ZBEC=20°,則NADC的度數(shù)為()

4k-------2__

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】B

【分析】此題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),連接AC,由A8是。的直徑得到NACB=90。,

根據(jù)圓周角定理得到NC4B=N3EC=20。,得至1」45。=90。-/氏^=7。。,再由圓內(nèi)接四邊形對角互補

得到答案.

【詳解】解:如圖,連接AC,

VABM。的直徑,

/ACB=90°,

"?NBEC=20。,

:.ZCAB=ZBEC=20°

:.ZABC=90°-ABAC=70°

.四邊形A5CZ)是O的內(nèi)接四邊形,

ZADC=180°-ZABC=110°,

故選:B

13.(2024?湖北武漢?中考真題)如圖,四邊形ABCO內(nèi)接于。,ZABC=60°,ABAC=ZCAD=45°,

A指2V2「出V2

A.DR.---------C.Un.

3322

【答案】A

【分析】延長AB至點E,使=連接80,連接CO并延長交i。于點R連接AF,即可證得

ADCWEBC(SAS),進而可求得AC=cos45。-A£=0,再利用圓周角定理得到NAFC=60。,結(jié)合三角

函數(shù)即可求解.

【詳解】解:延長AB至點E,使3E=AD,連接8D,連接CO并延長交《。于點尸,連接AF,

:四邊形ABCD內(nèi)接于。,

ZADC+ZABC=ZABC+Z.CBE=180°

???ZADC=ZCBE

':ZBAC=ZCAD=45°

:.ZCBD=ZCDB=45°,//MB=90。

:?BD是。的直徑,

???ZDCB=90°

??.△OCB是等腰直角三角形,

:.DC=BC

9:BE=AD

:..AZ)C^JEBC(SAS)

AZACD=ZECB,AC=CE,

?;AB+AD=2

AB+BE=AE=2

又丁NDCB=9。。

:.ZACE=90°

???"CE是等腰直角三角形

AC=cos45°AE=V2

ZABC=60°

:.ZAFC=60°

ZFAC=90°

.”AC276

sin6003

???OF=OC=-CF=—

23

故選:A.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定,圓周角定理,銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)與判定等

知識點,熟練掌握圓周角定理以及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

14.(2024?四川南充?中考真題)如圖,48是O的直徑,位于AB兩側(cè)的點C,。均在。上,ZBOC=30°,

則度.

【分析】本題考查圓周角定理,補角求出/AOC,根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半,進行求解即

可.

【詳解】解::A8是:O的直徑,位于A3兩側(cè)的點C,D均在上,ZBOC=30°,

ZAOC=180°-ZBOC=150°,

/ADC」/AOC=75。;

2

故答案為:75.

15.(2024?北京?中考真題)如圖,:。的直徑48平分弦CD(不是直徑).若/D=35。,則/C=

【答案】55

【分析】本題考查了垂徑定理的推論,圓周角定理,直角三角形的性質(zhì),熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

先由垂徑定理得到AB1CD,由BC=BC得到//=/,=35°,故NC=90?!?5°=55°.

【詳解】解:???直徑平分弦8,

ABLCD,

BC=BC,

:.NA=ND=35°,

NC=90°—35°=55°,

故答案為:55.

16.(2024.江蘇蘇州?中考真題)如圖,ABC是;。的內(nèi)接三角形,若/O3C=28。,則4=

【分析】本題考查了圓周角定理,等腰三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,連接。C,利用等腰三角形的

性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理求出N3OC的度數(shù),然后利用圓周角定理求解即可.

【詳解】解:連接。C,

OB=OC,ZOBC=28°,

:./OCB=/OBC=28°,

ZBOC=180°-Z.OCB-NOBC=124。,

ZA=-ZBOC^62°,

2

故答案為:62°.

17.(2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題)如圖,ABC內(nèi)接于O,是直徑,若NB=25°,貝U/CW

B

【答案】65

【分析】本題考查了圓周角定理,直角三角形的兩個銳角互余,連接CD,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角

得出NACD=90。,根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出/。=/8=25。,進而根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余,

即可求解.

【詳解】解:如圖所示,連接C£>,

,/ASC內(nèi)接于(O,AD是直徑,

^ACD=90°,

??ZC=AC,4=25。,

ZD=ZB=25°

ACAD=90°-25°=65°,

故答案為:65.

18.(2024?四川眉山?中考真題)如圖,ABC內(nèi)接于Q,點。在上,AD平分/BAC交。于。,連

接8£>.若AB=10,BD=2出,則BC的長為.

【答案】8

【分析】本題考查了圓周角定理,角平分線的定義全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判

定和性質(zhì),延長AC,BD交于E,由圓周角定理可得NA2)3=ZADE=90。,ZACB=ZBCE=90°,進而

可證明▲ABD空"D(ASA),得到=DE=2指,即得BE=4有,利用勾股定理得AD=46,再證明

△ABDSABCE,得到黑=照,據(jù)此即可求解,正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

ABAD

【詳解】解:延長AC,BD交于E,

項是::。的直徑,

ZADB=ZADE=90°,ZACB=ZBCE=90°,

A£>平分/8AC,

:.ZBAD=ZDAE,

又:AD=AD,

,ABD^.AED(ASA),

BD=DE=2A/5,

.-.BE=4A/5,

AB=W,BD=2-45,

:.AD=J102-(2肩=4^5,

ZDAC=ZCBD,

又:ZBAD=ZDAE,

NBAD=NCBD,

ZADB=ZBCE=90°,

ABD^BEC,

,BE_BC

,,耘一布,

.4A/5BC

10475

:.BC=8,

故答案為:8.

19.(2024.陜西?中考真題)如圖,BC是「。的弦,連接OB,OC,-4是BC所對的圓周角,則/A與N03C

的和的度數(shù)是.

【答案】90。/90度

【分析】本題考查了圓周角定理,等腰三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,熟練掌握圓周角定理是解題的

關(guān)鍵.根據(jù)圓周角定理可得/8OC=2NA,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理,可證明2NA+NQ5C+/OCB=180。,

再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知/03C=N0CB,由此即得答案.

【詳解】NA是BC所對的圓周角,/BOC是BC所對的圓心角,

:.ZBOC=2ZA,

ZBOC+ZOBC+ZOCB=180°,

:.2ZA+ZOBC+Z.OCB=180。,

OB=OC,

:.ZOBC=ZOCB,

2ZA+ZOBC+ZOBC=180°,

.-.2ZA+2ZOBC=180°,

ZA+ZOBC=90°.

故答案為:90°.

20.(2024.黑龍江牡丹江.中考真題)如圖,在(O中,直徑ASLCZ)于點E,CD=6,BE=1,則弦AC的

長為.

【答案】3M

【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識,熟練掌握垂徑定理,由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵.

由垂徑定理得CE=ED=gcn=3,設IO的半徑為r,則=-£3=廠一1,在咫OED中,由勾股定

理得出方程,求出r=5,即可得出AE=9,在RAEC中,由勾股定理即可求解.

【詳解】解::A5,CD,Cr>=6,

:.CE=ED=-CD=3,

2

設<。的半徑為,,則OE=O3-£B=r-l,

在R0匹中,由勾股定理得:OE2+DE2=OD2,即(-I)?+3?=/,

解得:r=5,

OA—5QE-4,

:.AE=OA+OE=9,

在MAEC中,由勾股定理得:AC=^CE2+AE2=732+92=3710.

故答案為:3M.

21.(2024.江西?中考真題)如圖,AB是。的直徑,AB=2,點C在線段上運動,過點C的弦DEI,

將。BE沿DE翻折交直線AB于點R當DE的長為正整數(shù)時,線段陽的長為.

【答案】2-百或2+6或2

【分析】本題考查了垂徑定理,勾股定理,折疊的性質(zhì),根據(jù)可得DE=1或2,利用勾股定理

進行解答即可,進行分類討論是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:4?為直徑,DE為弦,

DE<AB,

..■當DE的長為正整數(shù)時,DE=1或2,

當DE=2時,即DE為直徑,

:DE^AB

二將。BE沿OE翻折交直線AB于點R此時產(chǎn)與點A重合,故FB=2;

當DE=1時,且在點C在線段。2之間,

如圖,連接OD,

此時Or>=,AB=I,

一2

D

DC=-DE=~,

22

OC=40b1-DC1=—,

2

:.BC=OB-OC=2~^,

2

BF=2BC=2-5

當OE=1時,且點C在線段Q4之間,連接0。,

:.BF=2BC=2+6

綜上,可得線段句?的長為2-有或2+6或2,

故答案為:2-石或2+指或2.

22.(2024?河南?中考真題)如圖,在Rt^ABC中,ZACS=90°,01=CB=3,線段C。繞點C在平面內(nèi)

旋轉(zhuǎn),過點8作AQ的垂線,交射線4。于點£.若CD=1,則AE的最大值為,最小值為.

【答案】2忘+1/1+2忘2后-1/-I+20

【分析】根據(jù)題意得出點。在以點C為圓心,1為半徑的圓上,點E在以48為直徑的圓上,根據(jù)

AE=ABcosZBAE,得出當cos/fiAE最大時,AE最大,cos/fiAE最小時,AE最小,根據(jù)當AE1與C

相切于點。,且點。在ABC內(nèi)部時,NBA石最小,A石最大,當A石與相切于點,且點。在

外部時,NBAE最大,AE最小,分別畫出圖形,求出結(jié)果即可.

【詳解】解:,.?/ACB=90。,C4=CB=3,

ABAC=ZABC=-x90°=45°,

2

?.?線段CO繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),CD=1,

...點D在以點C為圓心,1為半徑的圓上,

?/BE±AE,

:.ZAEB=90°,

...點E在以AB為直徑的圓上,

在RtAABE中,AE^AB-cosZBAE,

:AB為定值,

???當cos/BAE最大時,AE最大,cos/fiAE最小時,最小,

???當人后與〈。相切于點且點。在ABC內(nèi)部時,NB4后最小,AE最大,連接8,CE,如圖所示:

:.ZADC=ZCDE=90°,

AD=VAC2-CD2=732-I2=2V2,

**-AC=AC

:.ZCED=ZABC=45°,

???NCDE=90。,

...'CDE為等腰直角三角形,

DE=CD=1,

?"-AE=AD+DE2V2+1)

即AE的最大值為2亞+1;

當AE與C相切于點。,且點。在「.ABC外部時,NBAE最大,AE最小,連接8,CE,如圖所示:

則CDLAE,

NCDE=90。,

22

???AD=VAC-CD=V32-i2=2V2,

?..四邊形ABCE為圓內(nèi)接四邊形,

ZCEA=180°-ZABC=135°,

:.NCED=180°-ZCEA=45°,

NCDE=90。,

,.CDE為等腰直角三角形,

Z.DE=CD=1,

AE=AD-DE=2&-1,

即AE的最小值為20-1;

故答案為:20+1;272-1.

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì),圓周角定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),勾股定理,等腰三角形的性質(zhì),

解直角三角形的相關(guān)計算,解題的關(guān)鍵是作出輔助線,熟練掌握相關(guān)的性質(zhì),找出AE取最大值和最小值

時,點。的位置.

三、解答題

23.(2024.四川甘孜.中考真題)如圖,43為。。的弦,C為人臺的中點,過點C作CO〃AB,交的延

長線于點D連接Q4,OC.

⑴求證:co是。。的切線;

(2)若。4=3,BD=2,求90c。的面積.

【答案】(1)見解析

⑵6

【分析】本題考查了圓的切線的判定、勾股定理、垂徑定理的推論等知識點,熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵.

(1)由垂徑定理的推論可知據(jù)此即可求證;

(2)利用勾股定理求出。即可求解;

【詳解】(1)證明:為。。的弦,C為A8的中點,

由垂徑定理的推論可知:OC±AB,

CD//AB,

:.OCLCD,

0C為。。的半徑,

C£)是。。的切線;

(2)解:,:OB=OA=OC=3,BD=2,

:.OD=OB+BD=5,

CD=>JOD2-OC2=4>

/.Svocfl=g義OCxCD=6.

24.(2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題)如圖,48是。的直徑,BC,BD是。的兩條弦,點C與點。在的

兩側(cè),E是0B上一點(OE>BE),連接OC,CE,且ZBOC=2NBCE.

(1)如圖1,若5E=1,CE=y[5,求:。的半徑;

(2)如圖2,若BD=2OE,求證:3D〃OC.(請用兩種證法解答)

【答案】(1)3

(2)見解析

【分析】(1)利用等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理求出NO2C=NOCB=g(180O-/BOC),結(jié)合

NBOC=2NBCE,可得出/QBC+/3CE=90。,在RtOCE中,利用勾股定理求解即可;

(2)法一:過。作OF,應)于凡利用垂徑定理等可得出==然后利用HL定理證明

RtCEO^RtOFB,得出NCOE=NOBb,然后利用平行線的判定即可得證;

法二:連接AD,證明CEOsADB,得出/COE=/ABD,然后利用平行線的判定即可得證

【詳解】(1)解:':OC=OB,

:.ZOBC=ZOCB=1(180°-ZBOC),

,:ZBOC=2ZBCE,

:.NOBC=1(180°-2NBCE)=90°-NBCE,即ZOBC+NBCE=90°,

ZOEC=90°,

OC2^OE2+CE2,

oc2=(oc-i)2+[^)2,

解得OC=3,

即一。的半徑為3;

(2)證明:法一:過。作。尸,3。于后

D

BF=-BD,

2

,?BD=2OE

:.OE=BF,

又OC=OB,ZOEC=ZBFO=90°,

RtCEO^RtOZ;B(HL),

ZCOE=ZOBF,

:.BD//OC-,

法二:連接AD,

:AB是直徑,

ZADB=90°,

?*.AD=^AB2-BD2=J(2OC)2_(2OE)2=2y/oC2-OE2=2CE,

.PCCEOE\

"AB~AD~BD~1'

.CEO^ADB,

:.ZCOE=ZABD,

:.BD//OC.

【點睛】本題考查了垂徑定理,相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,全

等三角形的判定與性質(zhì)等知識,明確題意,靈活運用所學知識解題是解題的關(guān)鍵.

25.(2024?安徽?中考真題)如圖,。是.ABC的外接圓,。是直徑A3上一點,NACD的平分線交AB于

⑴求證:CD1AB;

(2)設垂足為若OM=OE=1,求AC的長.

【答案】(1)見詳解

(2)472.

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì),圓周角定理,勾股定理等知識,掌握這些性質(zhì)以及定理是解

題的關(guān)鍵.

(1)由等邊對等角得出44E=N位,由同弧所對的圓周角相等得出NE4E=N3CE,由對頂角相等得

出ZAEF=NCEB,等量代換得出/CEB=N8CE,由角平分線的定義可得出NACE=/OCE,由直徑所對

的圓周角等于90??傻贸?ACB=90。,即可得出/CEB+〃CE=/fiCE+/ACE=NACB=90。,即

ZCDE=90°.

(2)由(1)知,/C£B=/BCE,根據(jù)等邊對等角得出郎=3C,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得

出M4,AE的值,進一步求出OA,BE,再利用勾股定理即可求出AC.

【詳解】(1)證明::FA=FE,

:.ZFAE=ZAEF,

又44E與23CE都是2f所對的圓周角,

NFAE=NBCE,

':ZAEF=NCEB,

:.NCEB=NBCE,

':CE平分/AGO,

ZACE=NDCE,

,/A3是直徑,

ZACB=90°,

:.ZCEB+Z.DCE=NBCE+ZACE=ZACB=90°,

故NCDE=90。,

即CD_LAB.

(2)由(1)知,NCEB=NBCE,

:.BE=BC,

又E4=FE,FM±AB,

:.MA=ME=MO+OE=2,AE=4,

圓的半徑OA=OB=AE-OE=3,

BE=BC=OB-OE=2,

在,ABC中.

AB=2(M=6,BC=2

AC=y]AB2-BC2=A/62-22=40

即AC的長為40.

26.(2024.四川眉山?中考真題)如圖,BE是。的直徑,點A在O上,點C在BE的延長線上,

ZEAC=ZABC,A£>平分ZBAE交:。于點。,連結(jié)OE.

⑴求證:C4是O的切線;

(2)當AC=8,CE=4時,求的長.

【答案】(1)見解析

(2)6A/2

【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,圓周角定理,熟練掌握切線的判

定是解題的關(guān)鍵.

(1)連接。4,根據(jù)圓周角定理得到/及歸=90。,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到=求得

NQ4c=90。,根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論;

(2)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理得到5c=16,求得BE=BC-CE=12,連接9,根據(jù)角平分線

的定義得到44£>=㈤£>,求得BD=DE,得到3D=DE,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明:連接。4,

BE是廣。的直徑,

:.ZBAE=90°,

ZBAO+ZOAE=90°,

OA=OB,

:.ZABC=ZBAO,

ZEAC^ZABC,

ZCAE=ZBAO,

ZCAE+ZOAE=90°,

.-.ZOAC=90°,

CM是;O的半徑,

二.C4是:。的切線;

(2)解:ZEAC=ZABC,ZC=ZC,

ACCE

*BC-AC?

.8_4

??=一,

BC8

:.BC=16,

:.BE=BC-CE=12,

連接50,

AD平分ZBAE,

\?BAD?EAD,

BD=DE,

BD=DE,

BE是:O的直徑,

:.ZBDE=90°,

27.(2024?江蘇揚州?中考真題)如圖,已知NPAQ及AP邊上一點C.

0

(1)用無刻度直尺和圓規(guī)在射線AQ上求作點0,使得NCOQ=2NC4Q;(保留作圖痕跡,不寫作法)

(2)在(1)的條件下,以點。為圓心,以。4為半徑的圓交射線AQ于點5,用無刻度直尺和圓規(guī)在射線CP

上求作點使點”到點C的距離與點/到射線A。的距離相等;(保留作圖痕跡,不寫作法)

3

⑶在(1)、(2)的條件下,若sinA=g,CM=12,求的長.

【答案】⑴作圖見詳解

(2)作圖見詳解

(3)BM=675

【分析】(1)根據(jù)尺規(guī)作角等于已知角的方法即可求解;

(2)根據(jù)尺規(guī)作圓,作垂線的方法即可求解;

(3)根據(jù)作圖可得“川,4。CM=WM=U,AB是直徑,結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義可得40的值,根

據(jù)勾股定理可求出AC的值,在直角中運用勾股定理即可求解.

/.ZCOQ=2ZCAQ.

點。即為所求

(2)解:如圖所示,

連接BC,以點B為圓心,以2C為半徑畫弧交AQ于點片,以點片為圓心,以任意長為半徑畫弧交AQ于

點G,2,分別以點G,2為圓心,以大于為半徑畫弧,交于點耳,連接用《并延長交AP于點

:AB是直徑,

ZACB=90°,即BC_LAP,

根據(jù)作圖可得4G=BR,GE=DE,

:.MBt±AQ,即/Mg8=90。,M4是點M到AQ的距離,

,/BC=BBt,

:.RtBCMQRt_BB\M(HL),

:.CM=B[M,

點M即為所求點的位置;

(3)解:如圖所示,

根據(jù)作圖可得,ZCOQ=2ZCAQfMC=MW=12,MWLAQ,連接BC,

WM3

在RtAMW中,sinA-------=—,

AM5

."-2。,

33

???AC=AM-CM=2Q-n=8,

???是直徑,

???ZACB=90°,

sinA=^=3

AB5

設BC=3x,貝!=

???在RtABC中,(5x)2=(3%)2+g2,

解得,X=2(負值舍去),

BC=3x=6,

在用3cM中,BM=yjCM2+BC2=7122+62=675-

【點睛】本題主要考查尺規(guī)作角等于已知角,尺規(guī)作垂線,勾股定理,銳角三角函數(shù)的定義等知識的綜合,

掌握以上知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵.

28.(2024.河南?中考真題)如圖1,塑像A3在底座3c上,點。是人眼所在的位置.當點B高于人的水平

視線OE時,由遠及近看塑像,會在某處感覺看到的塑像最大,此時視角最大.數(shù)學家研究發(fā)現(xiàn):當經(jīng)過

A,2兩點的圓與水平視線DE

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