2025新高考數(shù)學(xué)重難點突破：外接球與內(nèi)切球問題

（模擬精練）

一、選擇題：（每小題5分，在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.（2024?江西?一模）在體積為12的三棱錐A—BCD中，AC±AD,8C，,平面/CD，平面

BCD,//CD=J,/85=與，若點ABC,。都在球O的表面上，則球。的表面積為（）

34

A.127rB.167rC.32兀D.48兀

2.（2024.湖北.模擬預(yù)測）已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上，E4=PB=PC=4,

=8。=2,4。=2",則球。的表面積為（）

A64?？?0兀c27兀c21兀

A.---h>.---—■—U.---

3342

3.（2024?福建?模擬預(yù)測）已知正四棱臺下底面邊長為4方，若內(nèi)切球的體積為當(dāng)兀，則其外接球表面積

O

是（）

A.49兀B.56兀C.65兀D.130兀

4.（2024.陜西寶雞.三模）△ABC與△ABD都是邊長為2的正三角形,沿公共邊AB折疊成60°的二面角，

若點在同一球。的球面上，則球。的表面積為（）

5.（2024?山西太原?二模）已知圓錐的頂點為P,底面圓的直徑AB=2瓜,tan/APB=V3，則該圓錐內(nèi)

切球的體積為（）

A.守B.9C.爭D.4兀

6.（2024?全國?二模）已知圓錐的軸截面是底角為。的等腰三角形，圓錐的底面半徑為a,圓錐內(nèi)有一個內(nèi)

接圓柱，則圓柱體積的最大值為（）

A.a2tan0B.毛^tan2。C.之；。tandD.tan9

7.（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知邊長為6的正方體與一個球相交，球與正方體的每個面所在平面的交線都

為一個面積為16兀的圓，則該球的表面積為（）

A.967rB.IOOTTC.125兀D.2047r

8.（2024?河南濮陽?模擬預(yù)測）某圓錐的側(cè)面展開圖是面積為3兀，圓心角為等的扇形，則該圓錐的軸截

O

面的面積為（）???

a

A，2B.4V2c.2V2D.2

9.（2024?青海?二模）如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD為等腰梯形,BCHAD,PD

=2AD=4BC=4,底面積為封之，尸。，AD且=舊，則四棱錐P-ABCD外接球的表面積為

4

（）

A.9兀B.12V37TC.39兀D.207t

10.（2024?浙江?模擬預(yù)測）清代的蘇州府被稱為天下糧倉，大批量的糧食要從蘇州府運(yùn)送到全國各地.為

了核準(zhǔn)糧食的數(shù)量,蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計算糧食的多少，五斗為一斛,而一只官斛

的容量恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺，上口為正方形，內(nèi)邊長為25cm,下底也為正方形，內(nèi)邊長

為50cm，斛內(nèi)高36cm，那么一斗米的體積大約為立方厘米？（）

A.10500B.12500C.31500D.52500

11.（2024?江蘇無錫?模擬預(yù)測）蒙古包是我國蒙古族牧民居住的房子,適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活.如圖所

示的蒙古包由圓柱和圓錐組合而成，其中圓柱的高為2m,底面半徑為4m,O是圓柱下底面的圓心.

若圓錐的側(cè)面與以。為球心,半徑為47n的球相切，則圓錐的側(cè)面積為（）

A.8^5nrn2B.16V57rm2C.20兀D.40nm2

12.（2024?云南大理?模擬預(yù)測）六氟化硫，化學(xué)式為S房,在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣

體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體

每個面都是正三角形，可以看作是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖

所示，正八面體E—ABCD—F的棱長為a,此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為（）

C.3V2D.2V2

13.（2024?天津北辰?三模）中國載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個國家能夠獨立開展載

人航天活動.從神話“嫦娥奔月”到古代“萬戶飛天”，從詩詞“九天攬月”到壁畫“仕女飛天”……千百

年來，中國人以不同的方式表達(dá)著對未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個容

器，其內(nèi)部可以看成由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2,圓柱的

高為6,圓錐的高為4.若將其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7,則該容器中液體的體積為（）

R76元c215兀n325兀

B-I-°，-9~16-

14.（2024?湖北武漢?二模）房屋建造時經(jīng)常需要把長方體磚頭進(jìn)行不同角度的切割，以契合實際需要.已

知長方體的規(guī)格為24cmX11cm義5cm，現(xiàn)從長方體的某一棱的中點處作垂直于該棱的截面，截取1

次后共可以得到12c?nX11cmX5cm,24cmX--cmX5cm,24cmX11cmX—cm三種不同規(guī)格的

長方體.按照上述方式對第1次所截得的長方體進(jìn)行第2次截取，再對第2次所截得的長方體進(jìn)行第

3次截取，則共可得到體積為165cm3的不同規(guī)格長方體的個數(shù)為（）

A.8B.11C.12D.10

二、多選題：（每小題6分，在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合題目要求的.）

15.（2024?山東?模擬預(yù)測）四面體ABCD中，/1C=BC=4B=6,CD=W,=8,四面體ABCD外接

球的表面積記為$,則（）

A.當(dāng)四面體4BCD體積最大時，S=112兀B.AD±BC

C.當(dāng)AD=6時，5=普/兀D.S可以是4007r

16.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測）如圖，幾何體的底面是邊長為6的正方形A.B.C^AA,±底面

AB//AXBX,AAX=AB=3,BC=AD=G[0,1],則（）

A.當(dāng)N=0時，該幾何體的體積為45

B.當(dāng)/1=；時，該幾何體為臺體

C.當(dāng)4=5時，在該幾何體內(nèi)放置一個表面積為S的球，則S的最大值為9兀

D.當(dāng)點回到直線DA距離最大時，則4=1

17.（23-24高一下?福建福州?期末）某圓錐的底面半徑為3,母線長為4,則下列關(guān)于此圓錐的說法正確的

是（）

A.圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為普

B.圓錐的體積為9/7兀

C.過圓錐的兩條母線作截面的面積最大值為8

D.圓錐軸截面的面積為3a

18.（2024.湖南.三模）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A.B.C.D.中，點P是正方體的上底面A.B.C.D,

內(nèi)（不含邊界）的動點，點Q是棱的中點，則以下命題正確的是（）

A.三棱錐Q-PCD的體積是定值

B.存在點P,使得PQ與44i所成的角為60°

C.直線PQ與平面A/DDi所成角的正弦值的取值范圍為優(yōu)，彳）

D.若PR=PQ,則P的軌跡的長度為手

19.（2025?廣東?模擬預(yù)測）已知球。是某圓錐內(nèi)可放入的最大的球，其半徑為該圓錐底面半徑的一半，則

該圓錐的體積與球O的體積之比為.

20.（2023?江蘇連云港?模擬預(yù)測）已知正四面體ABCD的棱長為6,點瓦尸滿足BC=ABE,BD=ABF,

用過A,三點的平面截正四面體ABCD的外接球。，當(dāng)NG[1,3]時，截面的面積的取值范圍為

21.（2024?陜西銅川?三模）柳卯結(jié)構(gòu)是中國古代建筑文化的瑰寶,在連接部分通過緊密的拼接，使得整個

結(jié)構(gòu)能夠承受大量的重量，并且具有較高的抗震能力.這其中木楔子的運(yùn)用，使得樟卯配合的牢度得

到最大化滿足，木楔子是一種簡單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木撅、木片等.如圖

為一個木楔子的直觀圖，其中四邊形是邊長為2的正方形，且△4DEA8CF均為正三角形,

EF〃CE>,EF=4,則該木楔子的外接球的表面積為.

22.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）在三棱錐P-ABC中，PA=P8=PC=2,ZBB4=ZBFC=60°,AAPC=

90°,若該三棱錐內(nèi)有一球O與三棱錐各面均相切，則球O的半徑為.

23.（2024?湖南邵陽?三模）在四面體48co中，△430是邊長為4方的等邊三角形，BC,CD,BC=

CD,AC=4v5,點E在棱AD上，且BD=4BE,過點E作四面體ABCD的外接球O的截面，則所得

截面圓的面積最小值與球O的表面積之比為.

24.（2024?安徽蕪湖?模擬預(yù)測）在AABC中，AB==g,AC=2,將△ABC沿AC旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點口到達(dá)

點B'的位置時，平面B'AC±平面BAC,則三棱錐B'-48。外接球表面積為.

25.（2024?吉林?模擬預(yù)測）清初著名數(shù)學(xué)家孔林宗曾提出一種“差藜形多面體”，其可由兩個正交的全等正

四面體組合而成（每一個四面體的各個面都過另一個四面體的三條共點的棱的中點）.如圖，若正四面

體棱長為2,則該組合體的表面積為；該組合體的外接球體積與兩正交四面體公共部分的內(nèi)切

球體積的比值為

26.（2024.內(nèi)蒙古鄂爾多斯.二模）如圖，平面四邊形4DBC中，48，口。,48=反7=2△48。為

等邊三角形，現(xiàn)將4ABD沿AB翻折，使點。移動至點P,且尸B,則三棱錐P-ABC的外接球

的表面積為.

27.（2024.浙江.二模）已知正方體AtA2A3A4-4444的棱長為3，取出各棱的兩個三等分點，共24個

點，對于正方體的每個頂點4,設(shè)這24個點中與4距離最小的三個點為R,Qa,入，從正方體中切去所

有四面體4舄Q優(yōu),i=1,2,…，8,得到的幾何體的外接球表面積是.

28.（2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測）某冷飲店為了吸引顧客，特推出一款蛋仔冰淇淋,其底座造型如圖所示，外

部為半球型蛋殼，內(nèi)有三個特制的球型蛋仔,蛋仔兩兩相切,且都與蛋殼相切，蛋仔的頂端正好與半球

型的蛋殼的上沿處于同一水平面，如果球型蛋仔的半徑為四，求這個蛋殼型的半球的容積為.

一、單i&M

29.（2023?全國?高考真題）已知四棱錐P—ABCD的底面是邊長為4的正方形，PC=P0=3,NPCA=

45°,則△PBC的面積為（）

A.2V2B.3V2C.4V2D.6V2

30.（2023?天津?高考真題）在三棱錐P—ABC中，點MN分別在棱上，且PN=

o

6

日尸3,則三棱錐P—4WN和三棱錐P—ABC的體積之比為（）

O

AXR2c—

9。3

31.（2006?江西?高考真題）如圖，在四面體ABCD中，截面人即經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個面都相切的

球）球心O,且與BC、分別截于E、F.如果截面將四面體分為體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A-

BEED與三棱錐A-EFC的表面積分別為Si，S2,則必有（）

A.&VS2B.Si>S2C.Si=$2D.Si、S2的大小不能確定

32.（2022?天津?高考真題）十字歇山頂是中國古代建筑屋頂?shù)慕?jīng)典樣式之一，左圖中的故宮角樓的頂部即

為十字歇山頂.其上部可視為由兩個相同的直三棱柱重疊而成的幾何體（如右圖）.這兩個直三棱柱有

一個公共側(cè)面ABCD.在底面中，若班=CE=3,NBCE=120°,則該幾何體的體積為（）

D.27V3

33.（2022.全國.高考真題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀,側(cè)面積分別為

S甲和S乙,體積分別為%和吃.若爹=2,則粵=（）

b乙）乙

A.V5B.2V2C.V10D.

4

34.（2022?全國?高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水

庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時，相應(yīng)水面的面積為140.Okn?；水位為海拔157.5?n時，相

應(yīng)水面的面積為180.Oknf,將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔

148.5m上升到157.57n時，增加的水量約為（/772.65）（）

A.1.0X10WB.1.2X10WC.1.4X10WD.1.6x10W

35.（2005?江