2025新高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破：外接球與內(nèi)切球問題（含答案）

2025新高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破：外接球與內(nèi)切

球問題含答案

外族減與的切球冏敗

o模擬精練Jo------------------------------------------

一、選擇題：（每小題5分，在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.（2024?江西?一模）在體積為12的三棱錐A—BCD中，AC±AD,8C，,平面/CD，平面

BCD,=/85=與，若點(diǎn)ABC,。都在球O的表面上，則球。的表面積為（）

34

A.12兀B.16兀C.32兀D.48兀

【答案】。

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問題、面面垂直證線面垂直

【詳解】

如圖，取CD的中點(diǎn)O,連接AO,BO,

因?yàn)锳C±AD,BC_LBD,所以。4=OB=OC=OD,因此點(diǎn)O就是球心,

又=故根如是等腰直角三角形，所以O(shè)B_LCD.

因?yàn)槠矫鍭C。_L平面BCD,平面ACDA平面BOD=CD,

所以O(shè)B_L平面ACD

設(shè)球。半徑為欠，則OB=R,AC=R,

又NACD=卷，則AD=-7?,

所以三棱錐A-BCD的體積V=^SAACD=x^-xAC-AD-OB^^-貨=12,

332o

所以7?=23，所以球。的表面積為4兀五2=48兀.

故選：D.

2.（2024?湖北?模擬預(yù)測）已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA=PB=PC=4：,AB

=8。=2,4。=2四,則球。的表面積為（）

A64兀口40兀c27兀n21兀

A.~~~h>.~-—：~U.~~~

3342

【答案】A

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問題

【詳解】如圖：

?M

p

在△ABC中，AB=BC=2,AC=2V^,

222

出人^/人acBA+BC-AB4+4-121

由余弦無理：cosZABC^2BAB（J==--）

所以NABC=120°,所以△48。外接圓半徑為一^—―=2膽=2,即QB=2.

2smZABGV3

在直角三角形PQB中，BQ=2,BP=4,所以QP=2，^.

設(shè)棱錐P-ABC外接球半徑為R,在直角三角形OQB中，（2遍一A）?+22=4，

解得：R=

O

所以球O的表面積為：S=4兀7?2=4兀x殍=耳蟲.

故選：4

3.（2024?福建?模擬預(yù)測）已知正四棱臺下底面邊長為4方，若內(nèi)切球的體積為警兀，則其外接球表面積

O

是（）

A.49兀B.56兀C.65兀D.130兀

【答案】。

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、球的體積的有關(guān)計(jì)算、球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接

問題

【詳解】正四棱臺4BCD—ABiGR下底面邊長AB=4血,設(shè)其內(nèi)接球半徑為r,則與"=挈兀，解得「

JJ

=2,

取AB,CD,ABi,CD的中點(diǎn)E,F,瓦，后，則四邊形EFF.E,內(nèi)切圓是正四棱臺內(nèi)接球的截面大圓，

EF

則四邊形EFFIE,是等腰梯形，EEi=±（EF+Ei&，而EE：=E出），+（2r）2,

[y（EF+即叫=[J（EF—E聞，+（2r）2,整理得EF-E^=16,而EF=472,則氏R=2A/2,

設(shè)O為正四棱臺ABCD—ABG。外接球球心,R為該球半徑，則OC=OC、=R,

令河,N分別為正四棱臺ABCD—4BQQ1上下底面的中心，則MC、=2,NC=4,MN=4,

OM=yJOCl-MCl=V,R2-4,ON=^OC^-NC2=V7?2-16,

當(dāng)球心O在線段時(shí)，V7?2-4+V/?2-16=4,解得I=號■，球。的表面積為S=4兀用=65兀;

當(dāng)球心O在線段2W的延長線時(shí),“一4_〃打2-16=4,無解，

所以所求外接球表面積是65兀.

故選：C

4.（2024.陜西寶雞.三模）ZVIBC與△4BD都是邊長為2的正三角形，沿公共邊AB折疊成60°的二面角,

若點(diǎn)在同一球。的球面上，則球。的表面積為（

13208兀521127r

A.KB.C.

~9~9T7r3

【答案】。

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問題

【詳解】解：由題，設(shè)正△ABC與AABD的中心分別為N,M,

根據(jù)外接球的性質(zhì)有。M_L平面ABD,ON±平面ABC,

又二面角的大小為60°,故/DEC=60°,

又正△ABO與△ABD的邊長均為2,

故DE=CE=4^),

故EM=EN=^-ED=4，

oo

???OE=OE/OME=ZONE,

???Rt^MEO空Rt/^NEO,

故/MEO=/NEO=30°,

ME2

故OE==g,又EB=\,

cos30°o

故球O的半徑CB=JT+(4)2=等1,

（后

故球。的表面積為S=4兀xj_527r

故選：C.

5.（2024.山西太原.二模）已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓的直徑48=2"，tanNARB=，^，則該圓錐內(nèi)

切球的體積為（）

A.臂B.早C.爭D.4兀

【答案】。

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】球的體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問題

【詳解】由圓錐的性質(zhì)易知△BAB為以P為頂點(diǎn)的等腰三角形，

又tan/APB=V^，所以乙4PB=卷，則AB4B為正三角形，邊長為2遍，

O

如圖所示，作出圓錐及其內(nèi)切球的軸截面，

設(shè)AB.AP中點(diǎn)分別為C、E,內(nèi)切球球心為O,

由正三角形內(nèi)心的性質(zhì)易知OC=OE==x/”2—4。2=4x71^3=1

/JDo

即內(nèi)切球球半徑為1,所以體積■兀.

O

故選：C

6.（2024?全國?二模）已知圓錐的軸截面是底角為。的等腰三角形，圓錐的底面半徑為a,圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)

接圓柱，則圓柱體積的最大值為（）

A.a2tan0B.巖^tan28C.2祟tan。D.“黑tan6

【答案】。

【難度】0.4

【知識點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、柱體體積的有關(guān)計(jì)算

【詳解】

如圖，圓錐的軸截面是底角為個(gè)的等腰三角形SAB,圓錐的底面半徑為OA=OB=a,則圓錐的高為SO=

atanf,

設(shè)圓錐內(nèi)接圓柱CDEF的底面半徑為OC=OD=T,高為DE=h,

叱

由4SHE?ASOB可得，二=11>],解得無=g-r）tan（9,

aatanc/

則圓柱的體積為：V=xr2h=兀"（Q_r）tan0=—TrtanJ?r3+兀atan夕?r2,rG（0,a）

V'=m（2a—3r）tan。，由口=0,得/=冬，當(dāng)0<rV與時(shí)，S>0,則V在（0,冬）上單調(diào)遞增；

當(dāng)?shù)?lt;r<a時(shí)，S<0,則V在（學(xué),a）上單調(diào)遞減.

故當(dāng)「=要時(shí)，Kax=X（a--yL）tan6,=-^7ta3tan/9.

故選：D.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決圓錐體積的最值問題，屬于難題.

解題思路是，借助于軸截面中的相似三角形，將圓錐的體積用底面半徑r的解析式表示，再運(yùn)用函數(shù)求導(dǎo)求

出其最大值.

7.（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知邊長為6的正方體與一個(gè)球相交，球與正方體的每個(gè)面所在平面的交線都

為一個(gè)面積為16兀的圓，則該球的表面積為（）

A.96兀B.1007TC.125兀D.204兀

【答案】B

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問題

【詳解】由對稱性，球心與正方體重心重合,且每個(gè)面的交線半徑為4.

連球心與任意面中心，則連線長為3,且連線垂直該面，

再連交線圓上一點(diǎn)與球心（即為球半徑），由勾股定理得球的半徑為5,

則表面積為4兀-5z=100兀.

故選：B.

8.（2024?河南濮陽?模擬預(yù)測）某圓錐的側(cè)面展開圖是面積為3兀，圓心角為等的扇形，則該圓錐的軸截

O

面的面積為（）

A.yB.4V2C.2V2D.2

【答案】。

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】圓錐中截面的有關(guān)計(jì)算、圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算

5

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為I,

因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是面積為3兀，圓心南為冬的扇形,

O

所以■義x尸=3兀，解得Z=3,

ZiO

因?yàn)?兀/二有"x/,所以2兀安二專~x3,得『二1,

所以圓錐的高為％=廬彳=1=2/5,

所以圓錐的軸截面的面積是=x2x2^2=2^2,

故選：c.

9.(2024.青海.二模)如圖，已知在四棱錐P—ABC?中，底面四邊形48co為等腰梯形，BC〃AD,尸。

=2AD=4BC=4,底面積為,PD，4D且PB=，至，則四棱錐P—ABCD外接球的表面積為

()

A.9兀B.12V3?rC.39兀D.20K

【答案】。

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問題、證明線面垂直

【詳解】取AD的中點(diǎn)為F,因?yàn)?0=25。=2,等腰梯形ABCD的面積為咨顯,

2x

所以梯形的高為:=坐，所以cosABAD=*■，則NBAD=(■，所以AADC=看,連接BF、

/十_L//oO

CF,

所以AABF、/\DCF為等邊三角形，點(diǎn)尸為梯形ABCD外接圓的圓心，

連接BD,在△BCD中，根據(jù)余弦定理得cos華=，即［芝君。=—q，解得=

o?(_>U2X1X1zBD

V3.

因?yàn)镻B=屈，PD=4,所以P。2+BD=pg,所以p。，RD

因?yàn)镻D_L40,ADCBD=O,AD,BDu平面ABCD,所以PD_L平面ABCD,

過A。的中點(diǎn)?作FO〃P。交R4于點(diǎn)O,則FO_L平面ABCD,且。為24的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)。為Rt/^AD外接圓圓心，所以。為四棱錐P-ABCD外接球球心，

所以外接球半徑為=}VPD2+AD2=0，故表面積S=4兀x(〃K)2=20兀.

故選：。

10.（2024?浙江?模擬預(yù)測）清代的蘇州府被稱為天下糧倉，大批量的糧食要從蘇州府運(yùn)送到全國各地.為

了核準(zhǔn)糧食的數(shù)量,蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計(jì)算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛

的容量恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺,上口為正方形，內(nèi)邊長為25cm,下底也為正方形，內(nèi)邊長

為50cm，斛內(nèi)高36cm,那么一斗米的體積大約為立方厘米？（）

A.10500B.12500C.31500D.52500

【答案】A

【難度】0.85

［知識點(diǎn)】臺體體積的有關(guān)計(jì)算

【詳解】一斛米的體積為V=!（S上+S下+候匹=x（252+502+25x50）x36=52500（cm3）,

oo

因?yàn)槲宥窞橐货?，所以一斗米的體積為卷=10500（cm3）,

故選：A.

11.（2024?江蘇無錫?模擬預(yù)測）蒙古包是我國蒙古族牧民居住的房子,適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活.如圖所

示的蒙古包由圓柱和圓錐組合而成，其中圓柱的高為2小,底面半徑為4m,O是圓柱下底面的圓心.

若圓錐的側(cè)面與以。為球心,半徑為47n的球相切，則圓錐的側(cè)面積為（）

A.8V5?tm2B.16^/57tm2C.207tm2D.407rm2

【答案】。

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問題

【詳解】設(shè)PQ=h,R4=Z（%為圓錐高，Z為圓錐母線長）

OMX.R4,?.?以。為球心，半徑為4的球與圓錐側(cè)面相切，則OM=4,

在△POA中，5在04=5（%+2）-4=]-4Z,可得九+2=/,

且無2+16=巴則。-2）2+16=匕解得％=5,

所以圓錐的側(cè)面積為S刪=兀4=兀x4x5=20兀（m?）.

故選：C.

12.（2024?云南大理?模擬預(yù)測）六氟化硫，化學(xué)式為S房,在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣

體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體

每個(gè)面都是正三角形，可以看作是將兩個(gè)棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖

所示，正八面體E-ABCD-斤的棱長為a,此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為（）

A.3V3B.2V3C.3V2D.2V2

【答案】A

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】球的體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問題

【詳解】正八面體E—4BCD—F的棱長為a,連接

由四邊形ABOD為正方形，得AC?=+452=2口2=,

則四邊形力ECF亦為正方形，即點(diǎn)O到各頂點(diǎn)距離相等，

于是此八面體的外接球球心為O,半徑為_R=包,

此八面體的表面積為S—8szM理;=8x設(shè)此八面體的內(nèi)切球半徑為r,

由“-ABC0-F=2%_ABOD，得Js「=2XJXa?X,即2V^a2r=解得「=乎即

3326

所以此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為3V3

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：一個(gè)多面體的表面積為S,如果這個(gè)多面體有半徑為r的內(nèi)切球，則此多面體的體積V滿

足:V=^-Sr.

O

13.（2024.天津北辰.三模）中國載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個(gè)國家能夠獨(dú)立開展載

人航天活動(dòng).從神話“嫦娥奔月”到古代“萬戶飛天”，從詩詞“九天攬?jiān)隆钡奖诋嫛笆伺w天”……千百

年來，中國人以不同的方式表達(dá)著對未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個(gè)容

器，其內(nèi)部可以看成由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2,圓柱的

高為6,圓錐的高為4.若將其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7,則該容器中液體的體積為（）

【答案】A

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、臺體體積的有關(guān)計(jì)算

【詳解】由題意可知：容器中液體分為：下半部分為圓柱，上半部分為圓臺，

取軸截面，如圖所示，Oi,。3分別為AB,的中點(diǎn)，

可知：AB〃CD〃ER,且O田=02。=2,0102=6,02「=4,02。3=1。3「=3,

可得煞=靠=等,即03尸=得,

Cz2'->u2r4/

所以該容器中液體的體積為兀x22x6+'■［兀x2?+兀x（~|~J+J兀x2?義nx（,J］義1=當(dāng)|二.

故選：A.

14.（2024?湖北武漢?二模）房屋建造時(shí)經(jīng)常需要把長方體枝頭進(jìn)行不同角度的切割，以契合實(shí)際需要.已

知長方體的規(guī)格為24cmX11cmX5cm，現(xiàn)從長方體的某一棱的中點(diǎn)處作垂直于該棱的截面，截取1

11R

次后共可以得到12cnzx11cmx5cm,24cmx--cmx5cm,24cmx11cmx—cm三種不同規(guī)格的

長方體.按照上述方式對第1次所截得的長方體進(jìn)行第2次截取，再對第2次所截得的長方體進(jìn)行第

3次截取，則共可得到體積為165cm3的不同規(guī)格長方體的個(gè)數(shù)為（）

A.8B.11C.12D.10

【答案】。

【難度】0.65

［知識點(diǎn)】柱體體積的有關(guān)計(jì)算

【詳解】解：由題意知，長方體的規(guī)格為24X11X5=1320,現(xiàn)從長方體的某一棱的中點(diǎn)處作垂直于該棱的截

面，

截取1次后共可以得到三種規(guī)模長方體為：12X11X5,24x^X5,24x11x,,體積為660,一共3種；

按照上述方式對第1次所截得的3種長方體進(jìn)行第2次截取,得到的體積為330的不同規(guī)格長方體有：

11R1111nR

6x11X5,12X5,12xllX-2-,24x-y-X5,24x合，24x11x三，一共6種；

再對第2次所截得的6種長方體進(jìn)行第3次截取，則共可得到體積為165的不同規(guī)格長方體有：

11K11115耳

3xllx5,6x^x5,6xllx-y,12x^x5,12x^x^-,12xllxy,

1111K11KK

24義甘義5,24乂今乂T，24乂分x一，24x11x總，一共10種.

842248

故選：D.

二、多選題：（每小題6分,在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合題目要求的.）

15.（2024?山東?模擬預(yù)測）四面體ABCD中，AC=BC=AB=6,CD=10,8,四面體ABCD外接

球的表面積記為S,則（）

A.當(dāng)四面體4BCD體積最大時(shí)，S=112乃B.AD±BC

C.當(dāng)AD=6時(shí)，$^兀D.S可以是400兀

【答案】ACD

【難度】0.4

【知識點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問題、證明線面垂直、線面垂直證明線線垂直

【詳解】設(shè)四面體外接球的球心為O,半徑為

。點(diǎn)在平面BCD內(nèi)的投影是ABCD的外心Oi,

由CDZUBGZ+BJA.ABS為直角三角形，外心Oi是CD邊的中點(diǎn)，

當(dāng)四面體4BCD體積最大時(shí)，有平面ABC平面BCD,

設(shè)平面ABC的外心為O2,后為中點(diǎn)，連接05,AE,OiE,則OO2_L平面ABC,

由4C=BC=AB=6,則人。2=2盜，￡；。2=通，

平面ABC_L平面BCD,平面ABCCI平面BCD=BC,

AEU平面ABC,AE_LBC,則AE_L平面BCD,

又OOi±平面BCD,則有OOi〃AE,

Rt^BCD中，BD1BC,入BD"。出,則。㈤±BC,

同理可得QE_L平面AB。，O田〃。。2,

所以四邊形。國。2。為矩形，。。1=￡。2=四，

22

RtAODOr中，由OB=OQ2+OQ2,得R=VV3+5=277,

此時(shí)S—4nli2=112兀,A選項(xiàng)正確；

假設(shè)AD±BC,由B￡>_LBC,BDCAD=。,所以BC_L平面ABD,

ABU平面ABD,所以BC_LAB,與AC=BC=AB=6矛盾，所以假設(shè)不成立，B錯(cuò)誤;

當(dāng)AD=6時(shí)，AC=AD=AB,則A點(diǎn)在平面BCD內(nèi)的投影是/XBCD的外心O,,

401，平面BCD,OOi，平面BCD,AO,Oi三點(diǎn)共線，

22

Rt/\ADOY中，AO,=JAHOQ2=76-5=V11,

RtAODOi中，由OB=OQ2+OD,得a=（滅—?1）2+52,解得五=18V11,

此時(shí)S—4?！??.兀,。選項(xiàng)正確；

當(dāng)OB=00=00=10時(shí)，OOI=OD2-OiD2=102-52=75,OS2=OOHO^2=75+42=91,

則O#=OO2+AO2=OE2_EO2+AO2=91—通2+（2/）2=，即=10,

四面體ABCD外接球的半徑R=10成立，此時(shí)S=400兀,D選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

16.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測）如圖，幾何體的底面是邊長為6的正方形4BGA,441，底面A.B.C.D.,

AB//A1B1,AAi=AB=3,BC=AID=AA^D^AE［0,1］,則（）

A.當(dāng)4=0時(shí)，該幾何體的體積為45

B.當(dāng)4=:時(shí)，該幾何體為臺體

C.當(dāng)4=］時(shí)，在該幾何體內(nèi)放置一個(gè)表面積為S的球，則S的最大值為9兀

D.當(dāng)點(diǎn)回到直線距離最大時(shí)，則4=1

【答案】42D

【難度】0.4

【知識點(diǎn)】棱臺的結(jié)構(gòu)特征和分類、多面體與球體內(nèi)切外接問題、求組合體的體積、點(diǎn)到直線距離的向量求

法

--?---------?->

【詳解】若才W0,即BC=AD=AA1D1W0,可知4BCD為矩形，

對于選項(xiàng)4:當(dāng)/1=0時(shí)，即BC—AD=0,

取4A,GA的中點(diǎn)E,F,連接BE,EF,BF,如圖所示：

因?yàn)槿藘篲L底面A5G2,4mU底面45Goi,則AAt±A.B.,

且為正方形，則4A±,

AAiAArDi=4,AAX,AYDXu平面AA^,可得4馬_L平面AA^,

又因?yàn)锳B=AiE,AB〃4E,可知A4EB為平行四邊形，則BEIIAAX,

可知44Qi-BEF為直三棱柱,BE_L底面AiBGA,

所以該幾何體的體積為V=VAAiDi_BEF+VB_EB1C1F=~^rx3x6x3+-1-x3x3x6=45,故>1正確;

/o

對于選項(xiàng)B:當(dāng)仁春時(shí)，即熬=屈=春通亢可知普-=1■片卷-=J，所以該幾何體不為臺體，

334場23

故B錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)。：當(dāng)［=］時(shí)，即反?=#=士松，則普-=理-=~，所以該幾何體為臺體,

224與2

如圖所示，E,Q,G為相應(yīng)邊的中點(diǎn)，則ABCD-4EO1G為正方形，

因?yàn)锳4」底面4BQB,且AAr=3,可知所求球的半徑R<=y,

且正方形ABCD-4EQG的內(nèi)切球的半徑即為"兒=y，

所以最大球的半徑R=1■，即S的最大值為4兀序=9兀，故。正確；

對于選項(xiàng)。：以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AJBJ.ADJ.AA分別為c,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則馬（6,0,0）,Di（0,6,0）,0（0,643）,可得_?=（6,—6,0）,旋=（06/1-6,3）,

則點(diǎn)刀到直線皿距離為M=/^T無爵可=/2-署者=/6+二萬

可知磯4）在［0,1］內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)點(diǎn)Bi到直線距離最大時(shí)，則4=1,故。正確；

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問題的求解方法

⑴涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線作截面，把空

間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；

（2）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長；

（3）球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對角線長；

（4）利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置,

弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.

17.（23-24高一下?福建福州?期末）某圓錐的底面半徑為3,母線長為4,則下列關(guān)于此圓錐的說法正確的

是（）

A.圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為爭

B.圓錐的體積為9。兀

C.過圓錐的兩條母線作截面的面積最大值為8

D.圓錐軸截面的面積為3。

【答案】ACD

【難度】0.65

13

【知識點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形、圓錐中截面的有關(guān)計(jì)算、錐體體積的有關(guān)計(jì)算

【詳解】對于4,設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為a,則4a=2兀X3,所以a=[二，所以71正確，

對于石，圓錐的底面半徑為3,母線長為4,所以圓錐的高為九="^=，7,

所以圓錐的體積為-^-Sh=3義兀x32xV7=3A/7兀，所以_B錯(cuò)誤,

OO

對于。，設(shè)圓錐的兩條母線的夾角為仇則過這兩條母線所作截面的面積為

-yx4x4sin。=8sin。，

因?yàn)檫^圓錐母線的截面中，軸截面三角形對應(yīng)的占最大，此時(shí)COS0=4：+=-1.<0,

2x、4x-4，8

所以個(gè)最大是鈍角，

所以當(dāng)（9=年時(shí)，截面的面積最大，最大值為8,所以。正確，

對于。，圓錐軸截面的面積為yx6x，7=3，7,所以。正確.

故選：ACD

18.（2024.湖南.三模）如圖,在棱長為2的正方體ABCD-4瓦GR中，點(diǎn)P是正方體的上底面A.B.C.D.

內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是（）

A.三棱錐Q-PCD的體積是定值

B.存在點(diǎn)P,使得PQ與441所成的角為60°

C.直線尸Q與平面44?？谒山堑恼抑档娜≈捣秶鸀椋?,彳）

D.若PD=PQ,則P的軌跡的長度為竽

【答案】ACD

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、異面直線夾角的向量求法、線面角的向量求法

【詳解】對于A,三棱錐Q-PCD的體積等于三棱錐P一QCD的體積，

V^?P-QCD=^SAQCDX44]=4X*X2X1X2=1是定值，A正確；

以4為坐標(biāo)原點(diǎn),A1Bl,A1D1,AAl分別為⑨“z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

z

a/yc1

則Q(2,l,一2),設(shè)P(rr,g,O)(OVa;<2,O<9V2),則QP=(x-2,y-l,2')

對于B,NX=(0,0⑵，使得PQ與44i所成的角a滿足：

\QP-AA1\2X2

IQPHAAI-2)?+(y-1)~+4X2

因?yàn)椤?lt;,<2,0<夕<2,故0<(cc-2)2+(夕-1)2<5,故cosaC信,1),

而cos60°0(y,l),B錯(cuò)誤;

對于。，平面A1AD2的法向量為=(1,0,0),

1Irr—2l

所以直線PQ與平面AADDi所成角B的正弦值為：sin^=;'

V(^-2)2+(?/-l)2+4

因?yàn)?VcV2,0〈9V2,故一2<2；—2Vo

Mg一2|一限一2|/\x—2\

d(%-2)?+5J(力一2戶+(g-1，+4J(力―2)?+4

而=/1e(0,2),,1=1e2

故0V/<即sin6的取值范圍為(0,^^),C正確；

V(^-2)陵2+(?"/-l)2+42'2,

對于。，Z)1(O,2,O),Z)iF=(力,g—2,0),由PDX—PQ,

可得力2+(g—2)2=(力一2)2+(g—I)?+4,化簡可得4/一2g—5=0,

在64g平面內(nèi)，令力=0,得令g=0,得力=[■,則P的軌跡的長度為

J(2一0+(表匕手，。正確;

故選：ACD.

三、填空題：(每小題5分，把答案填在答題卡中的橫線上.)

19.(2025?廣東?模擬預(yù)測)已知球O是某圓錐內(nèi)可放入的最大的球，其半徑為該圓錐底面半徑的一半，則

該圓錐的體積與球O的體積之比為.

【答案】]/2日

OO

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】圓錐中截面的有關(guān)計(jì)算、錐體體積的有關(guān)計(jì)算、球的體積的有關(guān)計(jì)算

【詳解】球O是某圓錐內(nèi)可放入的最大的球，則該球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，

截面如圖所示：設(shè)球。的半徑為r,則圓錐底面半徑為2r,

15

A

可得在△ABC中，_LB。,OF_L4C,GD=CF=2丁，

設(shè)由勾股定理得4F=\Z_AO2—O7?2=J(4+『)2—,2=J/2+2發(fā)力,

AD2+CD2=AC?,即(/+2r)2+(2r)2=(Vx1+2rx+2r)2,

化簡得3x2+4rx-4/=0,即(3x—2r)(x+2r)=0,

oo

,?,比＞0,則%=仔丁,即=

oo

則圓錐體積為呆(2r)2倍+2r)=等上，

球O的體積為早，

O

32兀r.

所以圓錐的體積與球o的體積之比為」一=4.

4兀-3

3

故答案為：得.

O

20.(2023?江蘇連云港?模擬預(yù)測)已知正四面體ABCD的棱長為6,點(diǎn)E,尸滿足反5=4晟，質(zhì)5=4說,

用過A,E,尸三點(diǎn)的平面截正四面體ABCD的外接球。，當(dāng)NG［1,3］時(shí)，截面的面積的取值范圍為

【答案】［12乃，干元］

【難度】0.4

［知識點(diǎn)］球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、錐體體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問題

【詳解】過點(diǎn)力作力O」平面BCD,則點(diǎn)Oi在中線DM上，且。Oi=2QM,

球心。在AQ上，連接AM,OD,

因?yàn)檎拿骟w4BCD的棱長為6,所以。河=6sin譽(yù)=3?。。1=?。河=24

OO

由勾股定理得AO,=JAP?—。］。2=276,

設(shè)外接球。的半徑為五，

設(shè)OA=OD=_R,則001=2^—7?,

』=日時(shí)，三點(diǎn)共線，此時(shí)過4E,F三點(diǎn)的平面過球心O,

此時(shí)截面面積最大，截面面積為nFf年兀；

當(dāng)』=1或4=3時(shí)，此時(shí)球心O到截面的距離較大，

當(dāng)/)=：!時(shí)，過A,E,尸三點(diǎn)的平面即為平面ACD,

由對稱性可知，此時(shí)球心O到平面ACD的距離等于到平面BCD的距離，

即OOi=2y/Q-R=,

當(dāng)4=3時(shí)，BE=BF=2,連接BOi,交EF于點(diǎn)K,則0冉=0］。=24，

由于△BEF為等邊三角形，故BK=BFsin60°=V3,

則C\K=OXB—BK=V3,故O\E=OXF=2,SAO1EF=-1-O〔E-OiFsin60°=V3,

由勾股定理得AK=JOW+OK2=373,=-^EF-AK=3A/3,

設(shè)點(diǎn)Oi到平面AEF的距離為伍則:-h=^-SAO1EF-O.A,

oo

即￡=x，^x2前，解得拉=冬1,

ooo

由于OXA=年。4,故點(diǎn)O到平面AEF的距離為為=平，

故/1=1與4=3時(shí)，點(diǎn)O到平面AEF的距離相等，均為平，

故平面4EF截正四面體ABCD的外接球的半徑為』?2_（等）=2遍，

則截面面積為7T（2A/3）2=12兀，

綜上，截面的面積的取值范圍為［12兀，與兀］.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置.對于外切的問題

要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離

相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理

求得球的半徑

21.（2024.陜西銅川.三模）樟卯結(jié)構(gòu)是中國古代建筑文化的瑰寶,在連接部分通過緊密的拼接，使得整個(gè)

結(jié)構(gòu)能夠承受大量的重量，并且具有較高的抗震能力.這其中木楔子的運(yùn)用，使得棒卯配合的牢度得

到最大化滿足，木楔子是一種簡單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木檄、木片等.如圖

為一個(gè)木楔子的直觀圖，其中四邊形ABC?是邊長為2的正方形，且均為正三角形,

EF〃CD,EF=4,則該木楔子的外接球的表面積為.

17

【答案】16兀

【難度】0.4

【知識點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問題

【詳解】如圖，分別過點(diǎn)AB作EF的垂線，垂是分別為G,H,連接。G,CH,

則EG==1,故AG=dAE2—E。=（22—12=6

取AD的中點(diǎn)O',連接GO',

又AG=GD,：.GO'±AD,則GO'=《AG2-（怨『=V2.

由對稱性易知，過正方形ABCD的中心Q且垂直于平面ABCD的直線必過線段EF的中點(diǎn)。2,

且所求外接球的球心O在這條直線上，如圖.

設(shè)球O的半徑為凡則H2=OOI+AOI，且兄2=OOI+EOI,

從而OO1=OO,+2,即（OO1+。。2）（。。1一。。2）=2,

當(dāng)點(diǎn)O在線段QQ內(nèi)（包括端點(diǎn)）時(shí)，有OOI+OO2=GO'=血，可得001—0。2=2，

從而OO1=血，即球心O在線段EF的中點(diǎn),其半徑R=2.

當(dāng)點(diǎn)。在線段002外時(shí)，OIO2=V2,（V2+OS）?=05+2,解得=0（舍）.

故所求外接球的表面積為4兀五2=16兀.

故答案為：16兀.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查球的切接問題，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何體的對稱性，通過直觀想象明確外接球的

球心位置，結(jié)合正方形ABCD的外接圓半徑求解可得.

22.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）在三棱錐P—ABC中，PA=P8=PC=2,ZBPA=ZBPC=60°,ZAPC

90°,若該三棱錐內(nèi)有一球O與三棱錐各面均相切，則球O的半徑為.

【答案】20—0

【難度】0.4

【知識點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問題、證明線面垂直

【詳解】

p

取4C中點(diǎn)E,連接PE,BE,

設(shè)三棱錐P—AB。的內(nèi)切球的球心為。，半徑為r,

在三棱錐P-ABC中，由P4=PB=PC=2,ABPA=4BPC=60°,

知APABAPBC為等邊三角形，則AB=BC=2,

又AAPC=90°,則在Rt/\APC中，4。=y/AP2+CP2=272,

又AB-+BC2=AC2,則NABC=90°,

因此，在等腰直角三角形ZV%。和等腰直角三角形△AB。中，點(diǎn)后為A。中點(diǎn)，可得PE=BE=NC=

V2,

又PR=2,則PE2+BE2=PR2,即PE_LRE,

又PE_LAC,BECAC=E,BE,ACa平面AB。,則PE_L平面AB。，即PE為三棱錐P-ABO的高,

則三棱錐P—AB。的體積為：xJX2X2X2=2^Z,

又三棱錐P-ABC的體積可看作為三棱錐O-4BC,三棱錐O—PBC,三棱錐O-24。,三棱錐。一

的體積之和，

由SMBC~S"ACx2x2=2,S5BC~^^PAB=5義2X2sin60—A/3,