2025年中考數(shù)學大題與幾何壓軸題：四邊形壓軸（原卷版）

專題11四邊形壓軸

目錄

題型特訓-精準提分

型

題

01與四邊形有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）

型

題

02與四邊形有關(guān)的平移問題

型

題

03與四邊形有關(guān)的翻折問題

型

題

04與四邊形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題

題型

05與四邊形有關(guān)的最值問題

題型

06與四邊形有關(guān)的動點問題

題型

07與四邊形有關(guān)的新定義問題

題型

與四邊形有關(guān)的存在性問題

題型08

題型09四邊形與圓綜合

10四邊形與函數(shù)綜合

中考逆襲-高效集訓

（時間：60分鐘）

題型特訓-精準提分

題型01與四邊形有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）

I.（2023?江蘇鹽城?一模）如圖，在正方形4BCD中，點￡,尸分別是48,BC上的動點，且4F1DE,垂足

為G,將aABF沿4F翻折，得到△AMF,4M交DE于點尸，對角線BD交4F于點X,連接HM,CM,DM,

BM,下列結(jié)論：?AF=DE；②BMIIDE；③若CM1FM；,則四邊形BHMF是菱形；④當點￡運動到AB

的中點，tan乙BHF=2&；⑤EP?DH=2AG?BH.正確的是（）

A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤

2.（2023?廣東深圳?模擬預測）如圖，四邊形4BCD為菱形，BF\\AC,DF交4C的延長線于點E,交BF于點F,

且CE:4C=l:2.則下列結(jié)論：①aABE三△4DE；②乙CBE=MDF；③DE=FE；④S^BCE：S四邊形ABFD

=1:10.其中正確結(jié)論是（）

A.①③B,①②④C.②③④D.①②③④

3.（2022?安徽滁州?二模）如圖，在平行四邊形4BCD中，E是BD的中點，點M在4D上，連接ME并延長交BC

于點N,連接ON交MC于點F.則下列四個結(jié)論：①AM=CN；②若MD=AM,NA=90。，則BM=CM；③

若MD=22M,則^MNC=S^BME；④若AB=MN,則△MFN與△DFC全等.其中正確結(jié)論的個數(shù)為

AMD

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.(2023?山東聊城?二模)如圖，以△ABC的三邊為邊在8c上方分別作等邊△AC。、△ABE、△BCF,且

點4在ABCF內(nèi)部.給出以下結(jié)論：

①四邊形力DFE是平行四邊形；

②當482。=130。時，四邊形力DFE是矩形；

③當4B=4C時，四邊形4DFE是菱形；

④當=且N84C=150。時，四邊形4DFE是正方形.

其中正確結(jié)論有(填上所有正確結(jié)論的序號).

題型02與四邊形有關(guān)的平移問題

5.(2024?河北石家莊?一模)如圖1,四邊形2BCD中，AB||CD,zSCD=90°,Z.BDC=60°,

AB=CD=2,連接BD.將△4BD沿著射線OC的方向平移得到△EFG,繼續(xù)平移使點G始終在DC邊上，當

點G到達點C后，△EFG立刻繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，如圖2,直到邊EG與CD邊共線時停止.

C(G)

圖1圖2圖3

(1)求證：AD=BC-

(2)從AFFG繞點C旋轉(zhuǎn)開始到最終結(jié)束，求邊FG掃過的面積;

(3)如圖3,在繞點C旋轉(zhuǎn)過程中，當GE,GF分別交線段8。于點P,Q時，設BQ=x.

①當DP=4—2遮時，求NPCB的度數(shù)；

②直接寫出DP的長（用含x的式子表示）.

6.（2023?四川成都?模擬預測）綜合與實踐

問題情境：

在數(shù)學活動課上，老師給出這樣一個問題：如圖①，矩形紙片4BCD的邊力8=6cm,BC=8cm,沿對角線AC

剪開，得到兩個直角三角形紙片，分另IJ為和RtaADC.將△力BC固定不動，平移△4DC.

操作探究：

（1）如圖②，把△4DC沿射線CB平移得到△400,當2/=。。，請直接寫出平移的距離；

探究發(fā)現(xiàn)：

（2）如圖③，把△力DC射線C4平移點cm得到△4DC,連接4。,80,判斷四邊形ZBCD的形狀，并證明;

（3）記△47。為△4。。，將其拼接到如圖④的位置，并使C'與/重合，4與C重合，然后把△4。。沿射

線CA方向平移，平移的距離是?0<1<10）,使點4,D,O中的某一點與點8和C構(gòu)成的三角形是等腰三

角形，在圖⑤中補全圖形，求出你探究的等腰三角形和平移的距離/（寫出一種即可）

C(A')

7.（2024?河南駐馬店?一模）綜合與實踐

綜合與實踐課上，老師讓同學們以，兩個相似矩形的平移”為主題探究線段之間的數(shù)量關(guān)系：如圖，矩形4BCD

與矩形EFGH相似，其中甯=黑=匕AD>EH,點、E、尸在直線力B上，且點C、D、G、〃在直線A8的同

AUc,n

側(cè)，矩形EFG”沿直線2B左右平移，。為EF的中點，直線?？谂c直線2D相交于點P（點尸、。不重合），直

線。G與直線BC相交于點。（點。、C不重合），試探究DP與CQ之間的數(shù)量關(guān)系.

p

Q

【操作判斷】

(1)如圖1,平移矩形EFGH,當k=2,點/、￡重合時,線段0P與CQ之間的數(shù)量關(guān)系是二

【遷移探究】

(2)繼續(xù)平移矩形EFGH,對任意正數(shù)公(1)中的判斷是否都成立，請就圖2的情形說明理由;

【拓展應用】

(3)如圖3,若k=l,AD=8,EH=4,平移矩形EFG”，連接PQ交CD于點當△OPQ是直角三角形

時，請直接寫出3的長.

8.(2023?江蘇宿遷?三模)綜合與實踐

問題情境：如圖L在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,將矩形48CD繞點4順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形ABO.使

得點。落在的延長線上，分別交AC,CD于點E和點F.

初步探究：(1)△4E。的形狀是.

深入探究：(2)如圖2,延長CE交BC于點G,延長4方交BC于點H,請判斷GH與CN的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由.

拓展延伸：(3)如圖3,將矩形沿射線4。方向平移得到矩形ABC7Z,當點所落在AC上時，延長尸。

交4。于點N,請直接寫出四邊形C:DN。的面積.

題型03與四邊形有關(guān)的翻折問題

9.(2024?安徽?一模)在正方形力BCD中，E、F分別為4B、BC上兩點，連接DE、AF,將AABF沿力F翻折,

得至IJWGF,連接BG,5.BG||DE.

(1)如圖1,求證：AE=BF；

(2)如圖2,對角線BD交4F于點H,連接AC、GH,若點G落在AC上，求證：四邊形GH8F為菱形;

(3)如圖3,若點E為4B的中點，連接BD交4F于點口，連接CG、GH,求tan/HBG.

10.(2024?山西晉城?二模)綜合與實踐

問題情境:

在矩形紙片4BCD中，E是BC邊上一動點，廠是40邊上一動點，將矩形紙片沿EF所在直線翻折，點/的對

應點為點H,點、B的對應點為點G.

猜想證明:

(1)當￡是BC邊的中點時.

①如圖1,連接CG,試猜想EF與CG的位置關(guān)系，并加以證明；

②如圖2,連接BD.若點3的對應點G恰好落在對角線BD上，延長HG與C。邊交于點尸.求證：P是CD邊

的中點.

問題解決：

(2)如圖3,當點2的對應點G落在CD邊上時，"G與4。邊交于點。，連接BG.若力B=3,BC=9,

CG=1,請直接寫出DQ的長.

HH

B，EE°EE°E°

圖1圖2圖3

11.(2024?福建漳州?一模)在數(shù)學活動課中，老師組織學生開展“如何通過折紙的方法，確定矩形紙片長邊

上的一個三等分點,，的探究活動.

【操作探究】

“求知”小組經(jīng)過一番思考和討論交流后，進行了如下操作，如圖1.

第1步：先將矩形紙片4BCD沿對角線BD對折，展開鋪平，折痕為BD；

第2步：將邊4D以某一合適長度向右翻折3次，折痕〃與BD交于點K；

第3步：過點K折疊矩形紙片，使折痕LMII4B,LM交EF于點N；

第4步：延長DN交邊AB于點尸，則點P為邊4B的三等分點.

證明過程如下：

由題意，得LN4K.

■■LMWAB,...乙DLN=4A,乙DNL=4DPA.

.??①一

DLLN閂汨DLLK

詞=而向理，得加=茄.

②一

.?黑=9=右則點尸為邊力B的三等分點.

/iDLt\o

“勵志”小組的操作如下，如圖2.

第1步：先將矩形紙片4BCD沿對角線BD對折，展開鋪平，折痕為BD；

第2步：再將矩形紙片對折，使點/和點2重合，展開鋪平，折痕為EF；

第3步：沿CE折疊矩形紙片，折痕CE交BD于點G；

第4步：過點G折疊矩形紙片，使折痕MNIIAD.

【過程思考】

(1)補全“求知”小組證明過程中①②所缺的內(nèi)容；

(2)“勵志”小組經(jīng)過上述操作，認為點〃為邊4B的三等分點.請你判斷，勵志”小組的結(jié)論是否正確，并說

明理由.

【拓展應用】

(3)如圖3,將矩形紙片4BCD對折，使點工和點8重合，展開鋪平，折痕為EF,將邊BC沿CE翻折到GC

的位置，過點G折疊矩形紙片，使折痕MNII4D,若點M為邊48的三等分點，求槳的值.

EMB

DFJFNCDNF

圖1圖2圖3

12.(2023?寧夏?二模)問題提出

(1)如圖①，在矩形力BCD的邊BC上找一點E,將矩形沿直線DE折疊，點C的對應點為。，再在4B上找一

點F,將矩形沿直線。尸折疊，使點4的對應點4落在。。上，貝此EDF=.

圖①

問題探究

(2)如圖②在矩形力BCD中，點P是矩形力B邊上一點，連接DP,PC,將△力DP、aBPC分別沿DP,PC

翻折，得到△4DP、AB'PC,當尸、4、三點共線時，則稱P為邊力B上“優(yōu)疊點”，當4D=4,AB=10,

求此時力P的長度.

圖②

問題解決

(3)如圖③，矩形力BCD位于平面直角坐標系中，AD=4,4。＜4B,點/在坐標原點，B,。分別在x軸

與y軸上，點￡和點尸分別是CD和BC邊上的動點，運動過程中始終保持BF+DE=4.當點P是AB邊上唯

一的“優(yōu)疊點”時，連接PE,PF,形成△石?「，是否存在著面積的最小值？如果存在，請求出此時點

￡和點尸的坐標及最小面積；若不存在，請說明理由.

圖③備用圖

題型04與四邊形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題

13.（2024?遼寧大連?模擬預測）【問題呈現(xiàn)】

如圖1,NMPN的頂點在正方形4BCD兩條對角線的交點處，*MPN=90。,將4MPN繞點P旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程

中，NMPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊力D和CD交于點E、F（點尸與點C,。不重合）.探索線段DE、DF、

力。之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2圖3

【問題初探】

（1）愛動腦筋的小悅發(fā)現(xiàn)，通過證明兩個三角形全等，可以得到結(jié)論.請你寫出線段DE、DF、4D之間的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【問題引申】

（2）如圖2,將圖1中的正方形ABCD改為"DC=120。的菱形，Z.EPF=60°,其他條件不變，請你幫小悅

得出此時線段DE、DF、2D之間的數(shù)量關(guān)系是二

【問題解決】

（3）如圖3,在（2）的條件下，當菱形的邊長為8,點尸運動至與/點距離恰好為7的位置，且NEPF旋

轉(zhuǎn)至。尸=1時，DE的長度為一.

14.（2023?云南昆明?模擬預測）綜合與實踐：

【問題情境】

在數(shù)學活動課上，王老師讓同學們用兩張矩形紙片進行探究活動.陽光小組準備了兩張矩形紙片4BCD和

EFGH,其中AB=6,710=8,將它們按如圖所示的方式放置，當點4與點￡重合，點R〃分別落在AB,

4D邊上時，點尸，H恰好為邊AB,4D的中點，然后將矩形紙片EFGH繞點/按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為

a,連接BF與

【觀察發(fā)現(xiàn)】

DpO

如圖當。=。時，小組成員發(fā)現(xiàn)。易得前=&

2,90484F“2\4//,Un4DH1BF.

【探索猜想】

(1)如圖3,當90。＜戊＜180。時，【觀察發(fā)現(xiàn)】中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論第=[,是否仍然成立？請說明理

Un4

由.

【拓展延伸】

(2)在矩形EFGH旋轉(zhuǎn)過程中，當C,A,尸三點共線時,請求出線段D”的長.

CD

圖1圖2圖3備用圖

15.(2024?江西九江?一模)【特例感知】如圖1,點Ci是正方形/BCD對角線NC上一點，CiBilAB于點

Bi，CWilAD于點￡>1

(1)求證：四邊形48停1。1是正方形.

(2)BB]：CCi：DD]=_；

【規(guī)律探究】將正方形4瓦。山1繞點/旋轉(zhuǎn)得到圖2,連接BBi，CQ,DD1

(3)BBiRDDi的比值是否會發(fā)生變化？請說明理由.

【拓展應用】

如圖3,在圖2的基礎(chǔ)上，B2,C2,。2分別是BBI，CJ,的中點.

(4)求證：四邊形.2B2c2。2是正方形.

題型05與四邊形有關(guān)的最值問題

16.(2023?貴州貴陽?模擬預測)如圖，有一張矩形紙條4BCD,AB=11cm,BC=4cm,點N分別在邊

AB,CD上，CN=3cm.現(xiàn)將四邊形BCNM沿MN折疊，點、B,C的對應點分別為點反，C.

(2)在圖②中，點M從點/向點8運動的過程中，若線段M/與邊CD交于點E,在此運動過程中，求DE的

最大值；

(3)在(2)的條件下，若。為MN的中點，猜想點。的運動路徑并求出它的長度.

17.(2024?湖南懷化?一模)已知正方形A8CD和正方形EFGH按圖1所示疊放在一起，其中48=4,EF=2,

點。為4B和EF的中點.

⑴圖2中正方形EFUU為圖1中正方形EFGH關(guān)于直線A8的軸對稱圖形，求點。和點。的連結(jié)線段DU的長

度;

(2)將圖1中的正方形EFGH繞點O旋轉(zhuǎn)，如圖3所示，求運動過程中點D和點G之間距離的最大值和最小

值.

【操作一】：如圖①，已知矩形紙片aBCDG4B>4￡>),點E和點F分別是CD和4B上的點，將矩形力BCD沿EF

折疊，使點8與點。重合，點C的對應點是點求證：人ADF三4CDE；

【操作二】：在操作一的基礎(chǔ)上，將矩形紙片ABC。沿。尸繼續(xù)折疊，點4的對應點是點A.我們發(fā)現(xiàn)，當矩形

48CD的鄰邊長度比值不同時，點4的位置也不同.如圖(2),當點4恰好落在折痕EF上時，喘=_；

【拓展工如圖(3),在【操作二】中點A恰好落在折痕EF上時，點N為4D上任意一點，連接EN、C'N.若

AB=6,則EN+C'N的最小值為一

19.(2024?山東濟南?一模)【問題情境工

(1)如圖1,四邊形力BCD是正方形，點E是力。邊上的一個動點，以CE為邊在CE的右側(cè)作正方形CEFG,連

接DG、BE,則DG與BE的數(shù)量關(guān)系是.

【類比探究】：

(2)如圖2,四邊形ABCD是矩形，AB=4,BC=6,點E是4D邊上的一個動點，以CE為邊在CE的右側(cè)作矩

形CEFG,且CG:CE=2:3,連接DG、BE.

判斷線段DG與BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系：,并說明理由:

【拓展提升】：

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接BG,求|BG+BE的最小值.

圖1圖2圖3

題型06與四邊形有關(guān)的動點問題

20.(2024?山東棗莊?一模)【問題提出】

在等腰△ABC中，AB=AC,ABAC=a,點P為C4延長線上一動點，連接PB,將線段PB繞點尸逆時針旋

轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,得到線段PD,連接DB、DC.判斷P2與DC的數(shù)量關(guān)系；NPCD與a的關(guān)系.

【問題特殊化】

(1)如圖1所示，當a=60。時，P4與。C的數(shù)量關(guān)系為；乙PCD=<

(2)如圖2所示，當a=120。時，請問(1)中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；

【拓展應用】

(3)當a=90。時，若4B=6,BP=3瓜請求出線段4D的長.

21.(2023?吉林白山?一模)如圖，在矩形4BCD中，AB=4,BC=12,DE=，D.現(xiàn)有兩個動點尸、。分

別從點A和點C同時出發(fā)，點P以每秒3個單位長度的速度沿2。向終點D運動，點。以每秒1個單位長

度的速度沿CD向終點。運動，過點。作QFII4D交CE于點尸，設點尸的運動時間為t(s).

(1)DE=_

(2)求線段PE的長(用含f的代數(shù)式表示)：

(3)以點尸、E、。、尸為頂點的四邊形與△CDE重疊部分的面積為S,求S與f之間的關(guān)系式；

(4)當aPEF為直角三角形時，直接寫出/的值.

22.(2024?河北張家口?一模)如圖，在RtaABC中，AABC=90°,AB=6,tan^CAB=1,動點M以每秒2

個單位的速度從點4出發(fā)，沿著A-B-C的方向運動，當點M到達點C時，運動停止.點N是點M關(guān)于點B的對

稱點，過點M作MQ14C于點Q,以MN,MQ為鄰邊作平行四邊形MNPQ,設點M的運動時間為t秒.

(1)求BC的長；

(2)當t=2時，求證：QP=4M；

(3)是否存在這樣的t值，使得平行四邊形MNPQ為菱形？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由.

23.(2023?湖北襄陽?一模)在矩形力BCD中，—=k"為常數(shù))，點尸是對角線BD上一動點(不與B,D

重合)，，將射線P力繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)90。與射線CB交于點￡,連接AE.

⑴特例發(fā)現(xiàn)：如圖1,當k=l時，將點尸移動到對角線交點處，則匠=,^AEP=；當點P

移動到其它位置時，N4EP的大小(填“改變”或“不變”)；

(2)類比探究：如圖2,若k41時，當左的值確定時，請?zhí)骄縉4EP的大小是否會隨著點P的移動而發(fā)生變化,

并說明理由；

(3)拓展應用：當k71時，如圖2,^PC.PC1BD,AEIIPC,PC=2,求4P的長.

題型07與四邊形有關(guān)的新定義問題

24.12024?江西宜春?一模)定義：一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫作等補四邊形”.如圖1,四邊形2BCD

中，AD^CD,乙4+NC=180。，則四邊形4BCD叫作“等補四邊形”.

D

圖1圖2圖3

(1)概念理解

①在以下四種圖形中，一定是“等補四邊形”的是()

A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形

②等補四邊形ABCD中，若NB:NCZD=2:3:4,則乙4=_。；

③如圖1,在四邊形力BCD中，BD平分NABC,AD=CD,BOBA.求證：四邊形ZBCD是等補四邊形.

(2)探究發(fā)現(xiàn)

如圖2,在等補四邊形2BCD中，AB=AD,連接力C,AC是否平分NBCD?請說明理由.

(3)拓展應用

如圖3,在等補四邊形48CD中，AB^AD,其外角/瓦4。的平分線交CD的延長線于點F,CD=10,AF=5,

求DF的長.

25.(2024?浙江?一模)定義：在四邊形內(nèi)，如果有一點和一組對邊組成的兩個三角形都是以對邊為斜邊的

等腰直角三角形，那么這個四邊形叫做蝴蝶四邊形.例如圖1,AAMB=^CMD=90°,MA=MB,

MC=MD,則四邊形力BCD為蝴蝶四邊形.

(1)【概念理解】如圖2,正方形48CD中，對角線AC與BD相交于。求證：正方形ABCD為蝴蝶四邊形;

(2)【性質(zhì)探究】如圖3,在蝴蝶四邊形4BCD中，AAMB=ACMD=90°.求證：AC=BD；

(3)【拓展應用】如圖3,在蝴蝶四邊形4BCD中，AAMB=ACMD=90°,MA=MB=V2,

MC=MD=1.當△ACD是等腰三角形時，求此時以BD為邊的正方形的面積.

26.(2024?湖南長沙?一模)定義：對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形叫做圓的“奇妙四邊形”.

①矩形；②菱形；③正方形

⑵如圖1,已知。。的半徑為凡四邊形2BCD是。。的“奇妙四邊形”.求證：AB2+CD2=4R2；

（3）如圖2,四邊形4BCD是“奇妙四邊形”，尸為圓內(nèi)一點，ZXPD=ZBPC=9O°,4ADP=4PBC,BD=4,

且4B=gDC.當DC的長度最小時，求器的值.

27.（2022?湖南長沙?一模）定義：一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫作完美四邊形.如圖1,四邊形4BCD

中，AB=BC,AB+AD=180°（或乙4+NC=180。），則四邊形4BCD叫作完美四邊形.

⑴概念理解：在以下四種圖形中：①平行四邊形：②菱形；③矩形；④正方形，一定是，完美四邊形”的是

;（填寫序號）

（2）性質(zhì)探究：如圖2,完美四邊形4BCD中，AB=AD,ABAD=90°,請用等式表示線段AC,BC,CD之間

的數(shù)量關(guān)系，并證明，

⑶拓展應用：如圖3,已知四邊形力BCD是完美四邊形，AADC=60°,AB+BC=6,AB^BC,BC豐CD,

當1WBCW3時，求四邊形4BCD面積的最大值.

28.（2023?陜西西安?模擬預測）定義：由〃條線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做"邊形.相鄰兩邊組

成的角叫做它的內(nèi)角，一邊和它鄰邊的延長線組成的角叫做它的外角.為了探究〃邊形的外角和與內(nèi)角和

的度數(shù)，小華做了以下實驗：取若干張紙片，分別在紙片上畫出三角形、四邊形、五邊形等，順次延長各

邊得到各個外角，然后沿著多邊形的邊和延長線將它剪開，將外角拼在一起，觀察圖形，并進行推理.

（1）實驗操作.

②

③

（2）歸納猜想.

多邊形三角形四邊形五邊形“邊形

外角和

內(nèi)角和—

（3）理解應用.

一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的1008倍，它是多少邊形?

題型08與四邊形有關(guān)的存在性問題

29.（2024?山東東營?二模）在人教版八年級下冊教材“實驗與探究——豐富多彩的正方形”中，我們研究正

方形的性質(zhì)時用到了圖①、圖②兩個圖形，圖②為大小不等的兩個正方形如圖排列，整個圖形被切割為5

部分，受這兩個圖形的啟發(fā)，三個數(shù)學興趣小組分別提出了以下問題，請你回答：

【問題一】“啟智”小組提出問題：如圖①，正方形48CD的對角線相交于點。，點。又是正方形4再也1。的一

個頂點，。公交ZB于點E,。射交BC于點F,則4E與8F的數(shù)量關(guān)系為；

【問題二】受圖①啟發(fā)，“善思”小組繼續(xù)探究，畫出了圖③：直線小、幾經(jīng)過正方形2BCD的對稱中心0,

直線小分別與力。、BC交于點E、F,直線幾分別與AB、CD交于點G、H,且mln,若正方形力BCD邊長為

10,求四邊形。瓦4G的面積；

【問題三】受圖②啟發(fā)，“智慧”小組繼續(xù)探究，畫出了圖④：正方形CEFG的頂點G在正方形2BCD的邊CD

上，頂點E在BC的延長線上，且BC=12,CF=4.在直線BE上是否存在點P,使△4PF為直角三角形？若

存在，請直接寫出BP的長度；若不存在，說明理由.

30.2024?江蘇無錫?一模)如圖，矩形ABC。中，71B=4,AD=t.G為4。邊上的一個動點，沿BG翻折△4BG,

點2落在點尸處.

(G)(G)

FF

圖1備用圖

(1)如圖1,若2。=8,且點G與點。重合時，DF交BC于點、E.

①求BE的長；

②若點M在射線84上，且求tan/BMF的值.

(2)連接CF,在4。邊上存在兩個不同位置的點G,使得S^BCF/S&WC，則t的取值范圍是.

31.(2024?河南商丘?模擬預測)某數(shù)學小組在一次數(shù)學探究活動過程中，經(jīng)歷了如下過程：

問題提出

如圖，在正方形4BCD中，AD=4,E為BC的中點，將BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到BF,旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為a,

交2C于點G,連接EF.

備用圖

(1)當EF過4C的中點時，a的值為

操作發(fā)現(xiàn)

(2)當Z71CF=a時，求證：CG=CF；

數(shù)學思考

(3)在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在ACEF為等腰三角形的情況？如果存在，直接寫出此時EF的長；如果不存

在，說明理由.

32.(2024?陜西西安?一模)【問題提出】

(1)如圖1,點。為△力8c的邊BC上一點，連接=黑=|,若△ABD的面積為4,則△4CD

AD3

的面積為;

【問題探究】

⑵如圖2,在矩形力BCD中，AB=6,BC=5,在射線BC和射線CD上分別取點E、F,使得普=今連接

Cr3

AE、BF相交于點P,連接CP,求CP的最小值；

【問題解決】

(3)如圖3,菱形4BCD是某社區(qū)的一塊空地，經(jīng)測量，AB=120米，乙4BC=60°.社區(qū)管委會計劃對該

空地進行重新規(guī)劃利用，在射線力。上取一點E,沿BE、CE修兩條小路，并在小路BE上取點H,將CH段鋪設

成某種具有較高觀賞價值的休閑通道(通道寬度忽略不計)，根據(jù)設計要求，/-BHC=ABCE,為了節(jié)省鋪設

成本，要求休閑通道C”的長度盡可能小，問C"的長度是否存在最小值？若存在，求出長度的最小值；

若不存在，請說明理由.

圖1圖2圖3

33.(2023?山東青島?一模)如圖，在四邊形力BCD中，AB||CD,AABC=90°,AB=8cm,BC=6cm,

4。=CD,點P從點/出發(fā)沿AC方向勻速運動，速度為2cm/s；同時，點。從點C出發(fā)沿CD方向勻速運動,

速度為lcm/s,連接PB、PQ、BQ.若設運動時間為f(s)(0<t<2).

(1)當PQII4D時，求t的值；

⑵設△PBQ的面積為S,求S關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系式；

(3)是否存在某一時刻f,使得點3在線段PQ的垂直平分線上？若存在，請求才的值；若不存在，說明理

由.

題型09四邊形與圓綜合

34.(2024?河南洛陽?一模)如圖，。。的直徑48=4,BC切O。于點8,連接2C交O。于點。，連接

OD.

(1)若乙。=30。，求CD的長；

(2)取BC的中點E,連接。E.

①當乙4=_時，四邊形ODCE為平行四邊形；

②在①的條件下，以5為圓心，以r為半徑作圓，使得點。，點￡在OB內(nèi)部，同時點。在OB外部，

則廠的取值范圍是

35.(2024?廣東珠海?一模)如圖1,尸為正方形2BCD邊BC上一點，連接AF,在4F上取一點0,以。4為半

圖1圖2

(1)若正方形的邊長為4時，求。。的半徑；

⑵如圖2,將4F繞點力逆時針旋轉(zhuǎn)45。后，其所在直線與。。交于點G,與邊CD交于點H,連接DG,BG.

①求乙4DG的度數(shù)；

②求證：AB-BF+AG-FG=BG2.

36.(2023?山東青島?二模)如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm,BDIAC^D,且BD=8cm,點M從點力

出發(fā)，沿AC方向勻速運動，速度為2cm/s；同時直線PQ由點B出發(fā)沿84方向勻速運動，速度為lcm/s,運

動過程中始終保持PQIIAC,直線PQ交力B于P,交BC于Q,連接PM,設運動時間為t(s),0<t<5.

⑴當四邊形PQCM是平行四邊形時，求t的值；

(2)設四邊形PQCM的面積為ycm2,求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)是否存在時刻3使以PM為直徑的圓與△ABC的邊相切？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理

由.

37.(2023?浙江杭州?模擬預測)如圖，在矩形4BCD中，AB=6,4。=9,點E是邊4。上一點，且4E=3,

點F在邊48上，過點B、F、E作圓0,交邊BC或其延長線于G,連接BE,GE,GF,設BF=x(0<久<6).

備用圖1備用圖2備用圖3

⑴求tandGE的值;

(2)若BG=EG,求x的值；

(3)若x=2,求弧EF的長；

(4)若圓。經(jīng)過矩形的兩個頂點時，直接寫出久的值.(注：sinl9。/,cos75o=ptan27°=|)

38.(2023?廣東廣州?模擬預測)“鹿鳴?博約”數(shù)學興趣小組開展了《再探矩形的折疊》這一課題研究.已知

矩形力BCD,點E、尸分別是48、CD邊上的動點.

(1)若四邊形ABC。是正方形，如圖①，將四邊形BCFE沿EF翻折，點B,C的對應點分別為M、N.點M恰好

是力。的中點.

①若4。=8,求4E的長度；

②若MN與CD的交點為G,連接EG,試說明4E+DG=EG；

(2)若4B=2g,AD=2,如圖②，且4E=CF,將四邊形8CFE沿E尸翻折，點B、C的對應點分別為所、

C.當點E從點4運動至點B的過程中，點夕的運動路徑長為；

(3)若四邊形4BCD是正方形，AD=8,如圖③，連接0E交4C于點M,以DE為直徑作圓，該圓與4C交于點4

和點N,將△EMN沿EN翻折，若點M的對應點M'剛好落在BC邊上，求此時4E的長度.

題型10四邊形與函數(shù)綜合

39.(2024?山東濟南,一■模)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)丫=mx+九與反比例函數(shù)y=嚏的圖象在

第一象限內(nèi)交于4(a,4)和8(4,2)兩點，直線2B與x軸相交于點C,連接。4.

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；

(2)當%＞。時，請結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出關(guān)于光的不等式mx+n的解集;

(3)過點B作BO平行于x軸，交04于點。，在x軸上是否存在點P,使以點0、B、D、P為頂點的四邊形是平

行四邊形？若存在請求出P點坐標，若不存在請說明理由.

40.（2023?四川成都?模擬預測）如圖1,一次函數(shù)丫=的刀+6與反比例函數(shù)丫=等在第一象限交于“（1,6）、

N（3即）兩點，點尸是x軸負半軸上一動點，連接PM,PN.

（1）求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達式；

（2）若△PMN的面積為12,求點尸的坐標；

（3）如圖2,在（2）的條件下，若點￡為直線PM上一點，點尸為y軸上一點，是否存在這樣的點E和點尸,

使得以點￡、尸、M.N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明

理由.

41.（2024?遼寧大連?模擬預測）綜合與探究

如圖1,在平面直角坐標系中.拋物線'=一暴2+|?久+4與X軸交于4,3兩點（點/在點2的左側(cè)）.與y

軸交于點C,。是y軸負半軸上一點，。4=30。,直線4。與拋物線交于點E.

圖1圖2圖3

（1）求直線4D的函數(shù)表達式;

（2）如圖2.在線段上有一條2個單位長度的動線段MN（點M在點N的左側(cè)）,過點M作x軸的垂線,

交拋物線于點尸，交直線4。于點P；過點N作x軸的垂線，交拋物線于點G.交直線4。于點。，連接FG,

MQ.設點M的橫坐標為加，請解答下列問題:

①線段FM的長為;（用含〃，的代數(shù)式表示）

②當加=—：時，判斷四邊形MFGN的形狀，并說明理由；

③求當加為何值時，MQ||FG.

（3）如圖3,在（2）的條件下，當點"在拋物線的對稱軸上時.連接4C,試探究；此時在第一象限內(nèi)是否

存在點T.使以7,G,。為頂點的三角形與△力CD相似？若存在.請直接寫出點T的坐標；若不存在，請

說明理由.

42.（2023?四川成者B?模擬預測）如圖1,平面直角坐標系中，點2的坐標是（5,4）,過2作BClx軸于C,

軸于/，點尸從點/出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿4TB運動，在點尸運動過程中，函數(shù)y

（kH0）的圖象在第一象限內(nèi)的一支雙曲線經(jīng)過點P,且與線段BC交于M點，連接PM、AC,設運動時間為

t（0<t<5）秒.

（2）判斷PM與4C的位置關(guān)系，并證明；

⑶已知點。的坐標是（0,8）,點￡的坐標為（一2,0）,動點0從點。出發(fā)，與點尸同時出發(fā)，以每秒2

個單位長度的速度沿D-O-E方向運動，在點尸、點0的運動過程中，坐標軸上是否存在點N,使得以尸、

。、M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

中考逆襲-高效集訓

（時間：60分鐘）

I.（2023?浙江寧波?模擬預測）如圖所示，矩形紙片力BCD被分割成六個小矩形，其中矩形矩形

GKLI,若已知△BDK的面積，則一定能求出（）

B.矩形AEKG的面積

C.矩形L/CF的面積D.矩形〃FD的面積

2.（2024九年級下?江蘇?專題練習）把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較

大的比值，則這個比值為黃金分割，比值為與i,它被公認為是最能引起美感的比例，如圖1為世界名畫蒙

娜麗莎.如圖2,點E是正方形4BCD的4B邊上的黃金分割點，且AE>EB,以AE為邊作正方形延長

EH交CD于點J,連結(jié)交E/于點G,連結(jié)B/,貝口海”：S^GH為（）

3.（2023?安徽?模擬預測）在四邊形4BCD中，AD||BC（XD<BC）,點P從點B出發(fā)，沿8一4一。運動，點Q同

時以相同的速度從點B出發(fā)，沿B-C運動，結(jié)果同時到達點D,C,△8PQ的面積y與點P運動的路程x滿足的

函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中。M為拋物線的一部分.根據(jù)圖象得出下列結(jié)論：①NB=90。；②S四邊形4BCO

=6；③以）2=4￡）.%；④當x=2時，四邊形CDPQ是菱形.其中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.（2023?海南三亞?二模）如圖，點力（1,0）,B（0,2）,以4B為邊作正方形4BCD,點E是邊4D上一點，且

DE^AD,則點￡的坐標為（）

5.（2023?江蘇連云港?二模）小明遇到這樣一道試題：如圖1,在平行四邊形4BCD中，點E是BC的中點，

請利用無刻度直尺作圖.

（1）在圖1中，請過點￡作力B的平行線交4D于點?

（2）在圖1中，請過點E作力C的平行線交于點G.

小明第（1）問的做法是：如圖2,①連接交2C于點O；②連接E。并延長，交4。于點尸，貝恬F即為所

求.

小明第（2）問的做法是：如圖3,①連接BD交AC于點。；②連接E。并延長，交2。于點M；③連接

交于點N；④連接ON并延長，交4B于點G,連接EG,貝l]EG即為所求.對小明的解答，下列說法正確的是

（）

A.兩問都正確B.兩問都不正確

C.第（1）問正確，第（2）問錯誤D.第（1）問錯誤，第（2）問正確

6.（2023?吉林長春?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，點4是拋物線y=/+b久的對稱軸直線x=1右

側(cè)的一點，過點4作y軸的垂線，交拋物線于另一點B,以4B為邊向其上方作正方形48CD,邊CD所在的直

線交該拋物線于點E、F.若點E的縱坐標為1,設點4橫坐標為小，則a的值為.

7.（2023?重慶?模擬預測）如圖，四邊形4BCD是菱形，乙2=60。，尸為BC邊上一點，。為CD邊上的一動

點.將aPCQ沿PQ翻折，點C的對應點C'在菱形的對角線BD上.若CQ=2DQ=6,貝。PC的長度

8.（2023?四川成都?三模）如圖，已知四邊形4BCD是矩形，AB=8,AD=12,點E是線段DC上一個動點,

分另IJ以DE、EC為邊向線段DC的下方作正方形DEFG、正方形CEH/,連接G/,過點B作直線G/的垂線，垂足

是J,連接句，求點E運動過程中，線段4/的最大值是.

9.（2023?遼寧盤錦?一模）如圖所示，將邊長為1cm的正方形紙片4BCD折疊，使點。落在BC上，對應點為

￡,點/對應點為尸，EF交4B于G點，折痕為MN,連接DE、NG,則下列結(jié)論正確的是：

①乙MNE=KNMB；②4DEC=4DEG；③MN=DE；④△BEG的周長為定值.其中正確的是.

10.（2023?山東煙臺?模擬預測）【問題背景】

如圖，四邊形4BCD是矩形，AB=2,=4,點P是對角線AC上的動點（不與點4c重合），連接P。，作

PE1PD交射線BC于點E,以線段PD,PE為鄰邊作矩形PEFD,連接CF、PF.

圖1圖2圖3

【操作發(fā)現(xiàn)】

(1)①如圖2,當點E與點C重合時，不難求出線段P。、DF的長度，從而得到葛=,同時發(fā)現(xiàn)aFCP

是直角三角形;

②如圖3,當點P是4C中點時，請直接寫出葛=,4FCP的形狀是

【深入探究】

(2)在圖1中，當