2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)模擬預(yù)測(cè)卷2（新高考卷）（解析版）

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2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)模擬預(yù)測(cè)卷02

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將

準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.

寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位

置上.

1.已知集合/={1,2,3},5={1,3,4},則ZU8=()

A.{1,3}B.{1,2,3}C.{1,3,4}D.{1,2,3,4}

【答案】D

【分析】根據(jù)并集的定義直接進(jìn)行運(yùn)算即可求出答案.

【詳解】解：?"={1,2,3},5={1,3,4},

.?./U8={L2,3,4},

故選：D.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足(l+2i)z=-l+3i,則|z|=()

A.V2B.百C.2D.3

【答案】A

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模長運(yùn)算可得答案.

【詳解】依題意，z=^^=l+i,.-.\Z\=^2.

故選：A.

3.已知函數(shù)/(x)=2sin(0x+0)[0>O,|d<m的最小正周期為萬，將函數(shù)/(x)的圖象向右

平移器個(gè)單位得到函數(shù)g⑴的圖象，且+=則。的取值為

【答案】C

【分析】通過最小正周期得到。，再通過平移得到g（x）解析式，根據(jù)X=（是g（x）的對(duì)稱

■JTJT

軸可得左"，再根據(jù)。的范圍確定結(jié)果.

【詳解】函數(shù)“X）的最小正周期為萬.-.?=2n〃x）=2sin（2x+0）

將函數(shù)〃x）的圖象向右平移J個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象

6

g（x）=2sin2（1一方]+0=2sin12x+0—

又??,g[x+g1=g[g-x]（為函數(shù)g（x）圖象的一條對(duì)稱軸

.（c乃乃、.（兀、

sinI2xy+-yI=sinIy+^z?I=±I

717171

—cp——Fk兀,左￡Z,（p——Fk兀,keZ

326

又=0=?

2o

本題正確選項(xiàng)：c

09

4.已知。=1嗎），b=log072,c=O.9,則b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c

【答案】C

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.

09

【詳解】因?yàn)?logs萬>1，0<c=O,9<1,b=log072<0,

所以a>c>6,

故選：C.

5.如圖，在矩形/BCD中，AB=2BC=4,￡為邊48上的任意一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），。為

/C的中點(diǎn)，則無.瓦的取值范圍是（）

A.[2,10]B.[-2,8]C.[2,8]D.[4,20]

【答案】A

【分析】法一：設(shè)冠=九益（六［0,1］）,然后用方，而分別表示出礪，DE，從而由平

面向量的數(shù)量積運(yùn)算并結(jié)合彳的范圍求得結(jié)果；

法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E（加,0）（04加W4）,然后求出無，DE，

從而由向量的坐標(biāo)運(yùn)算并結(jié)合m的范圍求得結(jié)果.

【詳解】法一：設(shè)荏=彳荔

因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，所以的=；（方+而）=?-益+而），

所以礪=|■（益-勿5）.又詼=樂一石=2萬一而，

所以礪―詼=3（萬_詬）?（4方_9）=3（彳而2+赤2）=8/1+2,

因?yàn)樗?2+2e［2/0］,

所以礪.詼?2,10］；

法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,石的方向分別為X,y軸的正方向，建立如圖所示的平面直

角坐標(biāo)系，

則。（2,1）,0（0,2）,5（4,0）,設(shè)E（%0）（04加44）,

所以礪=（2,-1）,DE=（m,-2）,所以麗?瓦=2加+2.

因?yàn)?4加（4,所以2〃?+2e[2,10],

即無.瓦e[2,10].

故選：A.

6.在正四棱柱N5CD-中，/8=/。=2,//=3,尸為線段CA的中點(diǎn)，一質(zhì)點(diǎn)從A

點(diǎn)出發(fā)，沿長方體表面運(yùn)動(dòng)到達(dá)P點(diǎn)處，若沿質(zhì)點(diǎn)A的最短運(yùn)動(dòng)路線截該正四棱柱，則所得

截面的面積為（）

拽1576

A.43B.D.376

24

【答案】B

【分析】根據(jù)正四棱柱的側(cè)面展開圖可得最短距離，進(jìn)而可得截面與截面面積.

4G

3

A

所以質(zhì)點(diǎn)從A到P的最短距離為30,

此時(shí)質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過。R上靠近。的三等分點(diǎn)S,再到達(dá)尸點(diǎn),

面/S9截正四棱柱所得截面為五邊形/SP0&,如圖,

由/S=/R=RS=272,SP=PQ=QR=42,

所以沿質(zhì)點(diǎn)A的最短運(yùn)動(dòng)路線截正四棱柱,

則所得截面的面積為:

S,ARS+$梯MPgRS=2.3+—^―=.

故選：B

7.已知/,N是焦點(diǎn)為歹的拋物線/=以上兩個(gè)不同點(diǎn)，且線段"N的中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)

是3,直線與x軸交于點(diǎn)3,則點(diǎn)8的橫坐標(biāo)的取值范圍是

A.(—3,3]B.(—℃,3]C.(~6,—3]D.(一6,3)

【答案】A

【詳解】(1)若直線MN的斜率不存在，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0).

V2——4x

⑵若直線AW的斜率存在，設(shè)43,加w0),M(X"3N(X2，%),則由｛，「得，

%=4X2

爐一只=4(%一馬)，二"2^%+%)=4，即K.=2直線MV的方程為

國一工2t

2

yt=2(x-3),.??點(diǎn)8的橫坐標(biāo)出=3-二，由「一’=7(”一3),消去x得：

t2丁=4一

產(chǎn)

/-2"+2--12=0,由A>0得〃<12又蜂0,，xB=3-萬?(-3,3).綜上，點(diǎn)8的橫坐標(biāo)的取

值范圍為(-3,3].

8.若函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=-lg(-x)+x+3,已知/(x)=0有一個(gè)根為

x0,且曲+nsN*，則〃的值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)單調(diào)性和根的存在性定理確定函數(shù)的負(fù)根的?(-3,-2),結(jié)合奇偶性可得必有另

一根七田2,3),即可得解.

【詳解】由題當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=-lg(-x)+x+3,根據(jù)基本初等函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)在x<0

時(shí)單調(diào)遞增，/(-3)=-lg3<0,/(-2)=-lg2+l>0,

所以函數(shù)在x<0時(shí)有唯一根xi武-3,-2),

函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以必有另一根看?2,3),

所以"的值為2.

故選：B

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分,

有選錯(cuò)的得0分.

9.某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級(jí)中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成

績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進(jìn)一步分析高分學(xué)生的成績分布情況，計(jì)算得

到這100名學(xué)生中，成績位于［80,90）內(nèi)的學(xué)生成績方差為12,成績位于［90,100）內(nèi)的同學(xué)成

績方差為10.貝U（）

A.a=0.004

B.估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績的中位數(shù)約為77.14

C.估計(jì)該年級(jí)成績?cè)?0分及以上的學(xué)生成績的平均數(shù)為87.50

D.估計(jì)該年級(jí)成績?cè)?0分及以上的學(xué)生成績的方差為30.25

【答案】BCD

【分析】A項(xiàng)，由各組頻率之和為1求參數(shù)；B項(xiàng)可由頻率分布直方圖面積與0.5比較，估計(jì)

中位數(shù)所在區(qū)間，利用面積關(guān)系建方程求解可得；C項(xiàng)，兩組求加權(quán)平均數(shù)可得；D項(xiàng)，由

分別兩組成績的方差與兩組總方差的關(guān)系求解即可.

【詳解】A項(xiàng)，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1,

貝!］（2。+3。+7a+6a+2a）xl0=200a=l,解得。=0.005,故A錯(cuò)誤；

B項(xiàng)，前兩個(gè)矩形的面積之和為（2。+3a）x10=50a=0.25<0.5

前三個(gè)矩形的面積之和為（2。+3〃+7a）x10=120a=0.6>0.5.

設(shè)該年級(jí)學(xué)生成績的中位數(shù)為加,則加“70,80）,

根據(jù)中位數(shù)的定義可得0.25+（加-70）x0.035=0.5,解得77.14,

所以，估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績的中位數(shù)約為77.14,故B正確;

C項(xiàng)，估計(jì)成績?cè)?0分以上的同學(xué)的成績的平均數(shù)為

—^―x85+-^—x95=87.5^,故C正確；

6Q+2Q6Q+2Q

D項(xiàng)，估計(jì)該年級(jí)成績?cè)?0分及以上的學(xué)生成績的方差為

'[12+(87.5-85)2]+；[10+(87.5-95月=30.25,故口正確.

故選：BCD.

10.已知等差數(shù)列｛七｝的公差dwO,其前〃項(xiàng)和為S“，則下列說法正確的是()

A.是等差數(shù)列B.若d<0,則*有最大值

c.S.,S2ll,邑，成等差數(shù)列D.若S?,=S“，m乎〃，則與+0=。

【答案】ABD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和應(yīng)用對(duì)應(yīng)證明等差判斷A,應(yīng)用數(shù)列正負(fù)求前n項(xiàng)和的最大

值，特殊值法判斷C,結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)判斷D.

【詳解】民=&受籍T—-4故A正確;

n2

若。2<0,則0>出>%>…，H最大；若出=0，0>。3>。4>…，￥=邑最大;

若。2>0,貝lja“=%+("-l)d，則存在掰eN*,am>0,am+l<0,故5戊最大,故B正確;

對(duì)數(shù)列：1,2,3,…，取〃=1,耳=1,邑=3,邑=6,故C錯(cuò)誤；

不妨設(shè)〃>加，則S"一鼠=0=>am+l+am+2+---+an=Q,

即%，+；%(n_m)=Q=%"+；%=0,：.Sm+n=%+；+""+

而％+；+"=%；%=0,故Sa+.nO,D正確.

故選:ABD.

11.如圖，在正方體/BCD-4月GA中，均為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

A.平面/MN//平面BDFE

B.梯形BOFE內(nèi)存在一點(diǎn)K,使得4Kl平面⑷w

C.過?？勺饕粋€(gè)平面，使得月，N到這個(gè)平面的距離相等

D.梯形BDFE的面積是△㈤w面積的20倍

【答案】ABC

【分析】由面面平行證明判斷A,連接NC4G，ACHBD=P,AlClCiEF=O,連接

OP,過點(diǎn)A作/G的垂線，交。尸于K,交CC1于H,證明線面垂直即可判斷B,連接

B\N,取用N的中點(diǎn)甲，連接陽一連接用N,取用N的中點(diǎn)少，連接陽「即可判斷

FF+RD

C,因?yàn)樘菪蜝DFE與A/MN的高分別為OP,/G且。尸=/G,所以面積的比值為-------

MN

即可判斷D.

【詳解】

在正方體N8S-48C2中，均為棱的中點(diǎn)，

可證EF//MN,跖0平面WW,MNu平面所以M//平面㈤W,

AMHDF,OFu平面/MV,Wu平面㈤W,所以。尸//平面⑷W,

DFC\EF=F,所以平面4W//平面8DFE,故A正確；

連接NC，4G，設(shè)=AiClHEF=O,連接。尸,

過點(diǎn)4作/G的垂線，交。尸于K,交eg于H,因?yàn)?〃在上底面的射影為4G，

易證。。|，平面4月。1。1，兒Wu平面481ao],

所以CG^MV，/qncCi=G，所以肱V，平面4NCG，4/u平面//cq,

則4〃_LMV,A.H±AG,又/dnACV=G,

所以4〃，平面所以&KL平面故B正確;

連接甲V,取々N的中點(diǎn)少，連接附＞”

所以過直線陽?的平面一定滿足5,,N到這個(gè)平面的距離相等，故C正確;

因?yàn)樘菪蜝DFE與A/A/N的高分別為。尸,NG且。P="G,

EF+BDMN+2MN

所以梯形BDFE的面積與AAMN面積的比值為.二=:;=3,故D錯(cuò)誤.

MNMN

故選：ABC

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12."-的展開式中的系數(shù)為.

【答案】-105

【分析】根據(jù)12-B(x-y)7=2(x-?-：(x-y)7,而二項(xiàng)式(x-y)，的展開式的通項(xiàng)

Jrr

Tr+l=C^x--(-y),所以分別計(jì)算，最后合并即可求出答案.

【詳解】解：因?yàn)?2-：(x_?=2(x-?-：(》一?,

而二項(xiàng)式(x-?的展開式的通項(xiàng)&=C；-/T.(_月，r=0,1,2,…,7.

所以12-J(x_y)7

的展開式中//的項(xiàng)為_2仁?/?/一u，/=一105工~3,

其系數(shù)為-105,

故答案為：-105.

13.已知/(x)=2x-2+lnx,若實(shí)數(shù)加，〃滿足/(加)+/(±"]=0,則+的最小值為

【答案】4

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性，由/(x)+/]:j=0得￡=1,即可利用不等式求解最

值.

2212

【詳解】由/(x)=2x-----nlnx(x>0)可得(x)=2d--H—>0,故/(x)=2x----nlnx在

XXXX

(0,+8)單調(diào)遞增,

而/（x）+/^―j=^2x--+lnxj+^--2x+ln—j=0,

故/㈣+（1[=0得￡=1，

1

4m+-L=4?2+±>ihn―-4,當(dāng)且僅當(dāng)41=4，即!時(shí)取等號(hào)，

nnVnn2

故答案為：4

/\f—x+4,xK3,

14.已知函數(shù)/X=,凌（a>0且"1）,若y=/（x）有最小值，則實(shí)數(shù)a的

[log.x,x>3

取值范圍是.

【答案】l<a<3

【分析】利用單調(diào)性確定最小值后可得.

【詳解】y=-x+4是減函數(shù)，在XW3時(shí)最小值是>=-3+4=1,

若則y=log.X是減函數(shù)，x>3時(shí)，y=10gax<0,沒有最小值，不合題意，

時(shí)，y=lo&x是增函數(shù)，因此要使得“X）取得最小值，則10g,3Zl,解得1<口<3,

故答案為：

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

15.（13分）在△48。中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知

12cosB

sinC2sinZ+sinB

⑴求c；

⑵若3a+6=2c且a=3,求△NBC的外接圓半徑.

【答案】（1）。=§（2）拽

33

【分析】（1）根據(jù)sin/=sin（2+C）結(jié)合三角恒等變換化簡整理即可得結(jié)果；

（2）根據(jù)題意利用余弦定理可得c=7,進(jìn)而利用正弦定理求外接圓半徑.

12cosR

【詳解】（1）因?yàn)閊---=―；-----；——,BP2sin^+sinB=2sinCcosB,

sinC2sin4+sinB

且sin4=sin（5+C）=sin5cosC+cos5sinC,

即2sinBcosC+2cos3sinC+sin3=2sinCcosB,則2sinBcosC+sinB=0,

且B￡（0,兀），貝iJsinBwO,可得cosC=-；,

且?！辏?,兀），所以。二寧.

,9

（2）因?yàn)?〃+6=2。且4=3,貝！Jb=2c—9>0,可得—,

2

由余弦定理可得/="+/-2仍cosC,即/=9+（2c-9）2-2x3（2c-9）x

整理可得c2-10c+21=0,解得c=7或c=3（舍去），

c7_7^/3

所以△4BC的外接圓半徑—2sinC—一忑一3.

2x——

2

16.（15分）如圖，在四棱錐S-48CD中，BCY^^SAB,AD//BC,SA=BC=\,SB=41,

⑴求證：SA15pffiABCD-

（2）若求平面SCO與平面的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）,

【分析】（1）根據(jù)正弦定理得sin/S/3=l,或者利用余弦定理求解43=1,即可得

SA1AB,結(jié)合2。1眼，即可由線面垂直的判定求證，

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角求解，或者利用線面垂直，找到二面角的幾

何角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系求解，

【詳解】（1）解法一：在AS/B中，

因?yàn)椤?1/SBA=45°,SB=V2,

由正弦定理，得?..SB,所以一^=母

smZSBAsmZSABsin450smZSAB

所以sin/"8=l,

因?yàn)?°</S￡8<180°,所以/￡48=90。，所以￡4_L4B.

因?yàn)?C_L平面平面”5,所以BC_L&4,

又BCCAB=B,平面

所以“_L平面/BCD；

方法二：證明：設(shè)4B=x,在AS/B中,

因?yàn)椤?\,ZSBA=45。,S3=V2,

由余弦定理，^SA2=SB2+AB2-2SB-ABcosZSBA,

所以1=2+/-2瓶xcos45°，BPX2-2X+1=0,解得X=1.

所以“2+232=532=2,所以雙_L/3.

因?yàn)?C_L平面SAB,SAu平面SAB,

所以2c1&4,

又BCCUB=B,8C,/3u平面/BCD

所以“_L平面/BCD；

解法三：設(shè)4B=x,在△S4B中，

因?yàn)?=1/SBA=45°,SB=V2,

由余弦定理，得SH=SB。+AB?-2SB-ABcosNSBA,

所以1=2+公-2";cos45°，BPX2-2X+1=0,解得X=1.

所以“2+432=*2=2,所以雙_LN2.

因?yàn)?C，平面SAB,BCu平面ABCD,

所以平面ABCD1平面SAB-

又平面ABCD口平面融3=22,白，山u平面”3,

所以M_L平面/BCD；

(2)解法一：由(1)知&4_L平面/8CO,

又平面48。，所以

因?yàn)?C_L平面”8,平面&48,所以8C_LN8,

因?yàn)?D〃2C,所以4。148,

所以W,4D,43兩兩垂直.

以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以所在直線為x軸，了軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

則s(o,o,i),c(i,i,o)，4g,o,o],所以而而=1,0,-1

設(shè)平面SO的法向量為多=(x,y,z),

n-SC=x+y-z=0,

nYSC,1

x即〈—一?1取x=2,則1=(2,T,1),

0,

nxVSD,nx.SD=5X-z=

顯然平面的一個(gè)法向量限=(1,0,0),

一一九1.%2

所以(^々，內(nèi)二尸產(chǎn)

.2+(—1)2+F

々?%3

所以平面SCD與平面眼5的夾角的余弦值為史.

3

解法二：由(1)知￡4_L平面48。，過8作W〃&1,則平面4BCZ),

又/8,3Cu平面4BCD,所以3M_L/3,8M13C,

因?yàn)?C_L平面&45,

又48u平面&43,所以3C_L23,

所以兩兩垂直.

以點(diǎn)3為原點(diǎn)，分別以848C,8赫所在直線為x軸，了軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

則s(i,o,i),c(o,i,o),qi,go],所以文5=(l,-g,0

設(shè)平面SCD的法向量為4=(x,y,z),

n1?SC=—x+y—z=O,

1取V=2,則*=(1,2,1),

nxCD=x--y=0,

顯然平面SAB的一個(gè)法向量鼠=（0,1,0）,

所以平面SCO與平面”8的夾角的余弦值為Y6.

3

解法三：延長8、34交于點(diǎn)連接

則平面SCD口平面SAB=SM,

在中，

CSB=42,XSBA=45°,BM=2,

由余弦定理，得=SB2+MB2-2SB-MBcos^SBM,

所以SM?=(拒)2+22-2XV^X2X￥=2,所以+

所以SM_LS2,

因?yàn)?C，平面SAB,SMu平面SAB,

所以SM13C,又SMLSB,SBcBC=B,

所以SMI平面SBC,

又SCu平面SBC,所以SWLSC,

所以ABSC為平面SCD與平面SAB的夾角,

因?yàn)?C_L平面S/g,S5u平面”5,

所以

因?yàn)?2=亞,2。=1,得sc=VL

所以cos/BSC=些=衛(wèi)="，

而一耳一行

所以平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值為逅.

3

17.(15分)某公司擬通過摸球中獎(jiǎng)的方式對(duì)員工發(fā)放節(jié)日紅包.在一個(gè)不透明的袋子中裝

有"個(gè)形狀大小相同的標(biāo)有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機(jī)摸取乙個(gè)球(加<?),

摸完后全部放回袋中，球上所標(biāo)的面值之和為該員工所獲得的紅包數(shù)額.

(1)若〃=4,〃z=2,當(dāng)袋中的球中有2個(gè)所標(biāo)面值為40元，1個(gè)為50元，1個(gè)為60元時(shí)，

在員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元的條件下，求取到面值為60元的球的概率；

⑵若力=5,m=4,當(dāng)袋中的球中有1個(gè)所標(biāo)面值為10元，2個(gè)為20元，1個(gè)為30元，1個(gè)

為40元時(shí)，求員工所獲得紅包數(shù)額的數(shù)學(xué)期望與方差.

3

【答案】(1)[2)期望為96；方差為104

【分析】(1)記事件A：員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元，事件8：取到面值為60元的

球，根據(jù)條件先求P")，P(/B),再利用條件概率公式，即可求解；

(2)由題知X可能取值為80,90,100,110,再求出對(duì)應(yīng)的概率，利用期望和方差的計(jì)算公式,

即可求解.

【詳解】(1)記事件A：員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元，事件8：取到面值為60元的

球，

因?yàn)榍蛑杏?個(gè)所標(biāo)面值為40元，1個(gè)為50元，1個(gè)為60元，且

40+50>90,40+60>90,50+60>90,所以玖/)=皇詈&=[,

XP(^)=1=|=I,所以尸(用…焉=§=?

6

(2)設(shè)X為員工取得的紅包數(shù)額，則X可能取值為80,90,100,110,

所以尸(X=80)=表=：,P(X=90)=J=g,

2211

P(X=l00)=—=-9P(X=llO)=-=-9

1121

所以磯丫)=80乂,+90*,+100乂1+110*^=96,

ii?l

D(X)=(80-96)2x-+(90-96)2x-+(100-96)2x-+(110-96)2x-=104.

22

18.(17分)已知雙曲線。:三-4=1(“>0,6>0)的離心率為0,右焦點(diǎn)到雙曲線C的一

ab

條漸近線的距離為1,兩動(dòng)點(diǎn)43在雙曲線C上，線段的中點(diǎn)為河(2機(jī),機(jī))(相力0).

(1)證明：直線的斜率上為定值;

2

（2）。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△048的面積為1,求直線初的方程.

【答案】⑴證明見解析⑵y=2x±2

【分析】（1）由題意可得6,c的關(guān)系，求解即可.

（2）設(shè)y=2x+f,求得弦長|42|與原點(diǎn)到直線N3的距離，由面積可求直線48的方程.

土=也

a

\bc\__1

【詳解】（1）由已知可得■1解得a=b=l,c=V2,

Ja1"7--+--6--7-'

a2+b2=c2

所以雙曲線方程為x2-/=i,

設(shè)N（x”必）,B（x2,y2）,

[x,2-y.2=1

所以｛22,，兩式相減，可得（國+工2）（再-尤2）-（必+%）（必-%）=0,

[尤2-%=1

又線段的中點(diǎn)為"（27",伍）（7〃NO）,所以X[+z=4機(jī)，yt+y2=2m,

所以4加區(qū)-馬）-2m（yi-y2）=0,解得上（=2,

所以直線45的斜率左為定值；

（2）由（1）設(shè)直線48的方程為y=2x+乙

（x2_y2=]

由《,所以一一（2X+。2=1,整理可得3/+4以+產(chǎn)+1=0,

[y=2x+t

所以A=16〃一⑵2一12>0,解得/<6或矮石，

又原點(diǎn)到直線班的距離為八壽,

所以△CM3的面積為

2

化簡可得⑶，4/一12=4,解得f=±2,

所以直線初的方程N(yùn)=2x±2.

19.(17分)已知函數(shù)/(x)=巨詈.

(1)求函數(shù)“X)的圖象在x=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線方程;

(2)若對(duì)任意的xe。，均有7〃(x),則稱沈(x)為"(x)在區(qū)間。上的下界函數(shù)，"(x)

為加(力在區(qū)間