2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：利用洛必達法則解決導(dǎo)數(shù)問題（解析版）

利用洛必達法則解決導(dǎo)數(shù)問題精講精練

000

一、入型及一型未定式

000

1、定義：如果當(dāng)Xf。(或x-oo)時，兩個函數(shù)/(x)與g(x)都趨于零(或都趨于無

f(x)f(x)

窮大)，那么極限lim—(或lim￡4)可能存在、也可能不存在.通常把這種極限

x—>agwx—>00g(x)~

000

稱為型及一型未定式.

000

2、定理1(9型)：⑴設(shè)當(dāng)xfa時，lim/(x)=0及l(fā)img(x)=0

0%-a/%-a'/

(2)在a點的某個去心鄰域內(nèi)(點a的去心鄰域(a-￡,a)U(a,a+￡)內(nèi))都有了'(X),g'(x)

都存在，且g'(x)wO；

f'(x)

(3)hm；(=/；

…g(x)

,/(x)f\x),

貝nU：lrim=lim=I

XT"g(x)-g'(x)

3、定理2(，型)：若函數(shù)/(x)和g(x)滿足下列條件：⑴!呼/(x)=0及

㈣g(x)=0；

(2)3>0,/(x)和g(x)在(一叫/)與(4+℃)上可導(dǎo)，且g'(x"0；

(3)lim/；粵=/,

那么lim里=1皿坐=/.

…g(x)XT8g⑺

4、定理3(藝型)：若函數(shù)八％)和g(x)滿足下列條件：(1)lim/(x)=8及

00Xia

limg(x)=oo.

x-^a\)9

(2)在點a的去心鄰域(a-￡,a)U(a,a+￡)內(nèi)，/(X)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)W0；

/'(x)

那么lim半=

g(x)》-ag(%)

5、將上面公式中的x-a,xf+8,x——oo,xfa+,xf丁洛必達法則也成立.

6、若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止：

1加44=lim/黑=limg4,如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則.

fg(X)—ag(X)』g⑴

二、o.oo型s—②、o°、r、8°型

1、0-8型的轉(zhuǎn)化：

10010

0-GO=>CO=—或0?CO=>0?一二一；

000000

2、8-00型的轉(zhuǎn)化：

110-00

00—00=>----------------------------=——

000.00

3、0°、/00°型的轉(zhuǎn)化：易指函數(shù)類

0°1fO-lnO

r>取對數(shù)_><oo-lnln0.00

oo°[0-Inoo

高頻考點類型

類型一：洛必達法則的簡單計算

典型例題

1.(23-24高二下?新疆伊犁?期中)我們把分子、分母同時趨近于。的分式結(jié)構(gòu)稱為，型，

ex-10

比如：當(dāng)xf0時，的極限即為入型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在,

x0

為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限

來確定未定式值的方法.如：1沁，'-1=1而/j)=limG=1ime*=e°=1,貝！115-^；=

x->0%x->01x->0]xf0"fX-1

()

A.|B.；C.1D.2

o2

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意利用洛必達法則求解即可

【,羊解】由口產(chǎn)彳曰rInx（InJI11

zix-l11/2—12xxf2x22

（xT）

故選：B

2.（23-24高二下?廣東佛山?階段練習(xí)）兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極限可能存在,

也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則，即在一定條件下通過對分子、分母

分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法，如

lim￡zl=lim=則

x->01x->0]x->0]

Inx+x-1

lim)

7x+x-2

A-I-1C.1D.2

【答案】B

【分析】利用洛必達法則直接求解即可.

J2

Inx+x-1(lnx+x-1)X______乙

【詳解】％一=lim--------------g=lim

x-?l

+x—2-12x+l3

故選：B.

3.（23-24高二下?重慶江北?階段練習(xí)）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為。

px-1的極限即為，型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能

型，比如：當(dāng)x-0時，-~-

X

不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求

2

x-I-1x-l

導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.如:e吧亍=1,則變

lim-------=lim3

X1xInx

()

A.0B-IC.1D.2

【答案】D

【分析】利用洛必達法則直接求解即可

22

x-lx-l2x

【詳解】lim=lim---------=lim=2,

32

Xf1xInx(j?inx)Xf13x2Inx+x

故選：D

練透核心考點

1.（23-24高二下?四川成都?期中）1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造

了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通

過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.如：

.皿=lime'=lim^=i,按此方法則有1血3二=____.

XfoXx-0x'x->015sinX

【答案】2

【分析】由洛必達法則，分別對分子和分母求導(dǎo)，代入x=0即可求得該極限值.

e+e

【詳解】由題意可得：lin/e-------^-=lim=2.

iosinx53cosx

IolilaI

故答案為：2.

2.（23-24高二下?四川成都?期中）1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造

了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通

過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.如：

.皿=lim（sinx）'=.任=1，按此方法則有1面。"一2=_

xf。Xx->0x'xfo11—COSX

【答案】2

【分析】根據(jù)題中所給方法也就是洛必達法則，直接計算可求得答案.

【詳解】由題意可得：

ex+e-x-2@+b-2）'e'-e-'"（/一尸）'e'+e^、

lim----------=lim-------------二lim-------二lim---------=lim-------=2,

71-COS龍5（1-cosx/3sin龍5（sinx）',旬cosx

故答案為：2.

3.（23-24高二下?重慶萬州?階段練習(xí)）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為。

x-10

型，比如：當(dāng)xf0時，」e的極限即為X型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能

x0

不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求

x

導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.如：lim￡zl=iimtzi=lim—=lime=e°=r則

x—>0%x—>0￡x—>0]x—>0

【答案】1/0.5

【分析】依據(jù)洛必達法則去計算即可解決.

■、4叼、1.x2］nx2xInx+x一11

【詳解】吸E=lim=limInx+—=lnl+—=—

x->l2x222

故答案為：；

類型二：洛必達法則在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

典型例題

1.(2024?浙江?二模)①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具一一洛必達法則，法

則中有結(jié)論：若函數(shù)/(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為尸(x),g'(x),且吧/(x)=l即g(x)=0,

則

../(x)/(X)

』g(x)—ag(x)

②設(shè)”>0,左是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)“X)滿足：對任意xe［0,4］,均有成

立，且吧〃x)=。，則稱函數(shù)/(x)為區(qū)間［0,。］上的左階無窮遞降函數(shù).

結(jié)合以上兩個信息，回答下列問題：

(1)試判斷/(x)=x3-3x是否為區(qū)間［0,3］上的2階無窮遞降函數(shù)；

⑵計算:lim(l+x)x;

x->0

⑶證明：<COSX,

【答案】(1)/(X)=X、3X不是區(qū)間［0,3］上的2階無窮遞降函數(shù)；

(2)lim(l+x)x=e

x—>0

⑶證明見解析

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)/(%)為區(qū)間［0,。］上的左階無窮遞降函數(shù)的定義即可判斷；

(2)通過構(gòu)造〃(x)=lng(x),再結(jié)合lim里=lim當(dāng)即可得到結(jié)果；

…g(x)』g(x)

(3)通過換元令令》-無=乙則原不等式等價于tagsiR)J3,再通過構(gòu)造函數(shù)

Jo,9根據(jù)題干中函數(shù)為區(qū)間上的左階無窮遞降函數(shù)的定

義證出即可證明結(jié)論.

【詳解】(1)設(shè)尸(x)=〃x)-/m=門一"

Jo2

73

由于下(1)=丁尸。

o2

所以1不成立，

故/(x)=x3-3x不是區(qū)間[0,3]上的2階無窮遞降函數(shù).

(2)設(shè)g(x)=(l+x)；，則lng(x)=[n0+x)=皿：叼,

設(shè)=

1

則「7/、1-ln(l+x)[.i+x1,

limh{x}=lim----=lim1+x=1

xf0x—>0%x—>0]

2_

所以1?Ing(x)=1,得lim(1+x)三e.

x->0

(3)令x-n=t,則原不等式等價于tandsi/f療,/，,5

口口、十tanZ-sin2^、1(八兀)

即證一p——>1,^10,-1,

、_,j、tan/-sin2^

記/⑷:一一

/(/)tan/?f

所以胃------------=---------=--------->1,

8tan--sin2-1-tan2-1-tan4—

2222

即有對任意T。,胃，均有

所以〃，)>/[￡]*??>/

因為lim----=limcosx=l,

x—>0%x—>0

所以

3

所以證畢!

【點睛】方法點睛：利用函數(shù)方法證明不等式成立問題時，應(yīng)準確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意題

干條件中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.

2.(2024高三,全國?專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=-H—,如果當(dāng)x＞。，且xwl時,

詈+｝求后的取值范圍.

【答案】(-雙0]

【分析】將題意轉(zhuǎn)化為左＜Q+＞口，令g(3L+i，利用洛必達法則求出

Hfg(x),即可得出答案.

【詳解】根據(jù)題目的條件，當(dāng)i且E時,〃力廿+：

Inx1Inxk6“/人―，xlnx,xkvc2x]wc1

得ZI=t--+->—;+—，等價于后<--+1——-——r+i?

x+1xx-1xx+1x-ll-x2

l-x2

2(x2+l|lnx+

2xlnx,2(x?+1)lux+2(l-x,2X2+l

設(shè)g(x)=g'(x)=

22

l-x2l-x2

2(x2+l)i_?2

因為設(shè)=

(l-x2)-X2+1

2X(12+])(])x2x]4x_(1-

貝

w=g+22222

x2+1X(X+1)-X(X+1)

所以〃(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增,

因為"1)=0,所以當(dāng)x?0,l)時,A(x)<0,

即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，當(dāng)X￡(l,+8)，Mx)＞0,g(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)X趨近1時，2xlnx趨近0,當(dāng)％趨近1時，1-必趨近0,

所以半2YITI符X合洛必達法則的條件，

1—X

即!*("T當(dāng)+門+四￥="=°'

所以當(dāng)x>O,x#l時，g(x)>0

所以上的取值范圍是(-8叫.

練透核心考點

JT

1.(2024?浙江?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=e*+sinx-oxcosx-l,xe0,-,

(1)當(dāng)。=1時，求函數(shù)/(x)的值域；

(2)若函數(shù)/(x)20恒成立，求”的取值范圍.

【答案】⑴0,3

(2)a<2

【分析】(1)求導(dǎo)/<X)=e"+cosx+xsinx-cosx=e"+xsinx>0卜e，易得/(%)在

0,^上單調(diào)遞增求解；

rx

(2)方法一：/(x)=e+tzxsinx+(l-(7)cosx^a<0,0<?<1,1<?<2,a>2f由

〃切血了0求解；方法二：當(dāng)x=o時，〃0)=0成立，當(dāng)x=]時，成立，當(dāng)

時，轉(zhuǎn)化為“we'+simT恒成立,由。gg@)1nm求解.

【詳解】(1)因為/(X)=e"+sinx-xcosx—l,

所以/'(x)=e"+cosx+xsinx-cosx=e*+xsinx>o]xe0,^-

.?./⑺在相og上單調(diào)遞增又?.?〃o)=(v[3=「，

的值域是0,一.

(2)方法一：①當(dāng)時，

x

/(x)=e+sinx-axcosx-1>sinx-axcosx>G0,—上恒成立，

②當(dāng)0<〃《1時，

xx

/'(x)=e+cosx+axsiwc-acosx=e+tzxsiiu+(l-?)cosx>(l-^z)cosx>0xG0,—,

在xe0弓上單調(diào)遞增，，/(x)”(0)=0成立.

③當(dāng)。>2時，

令g(x)=/'(x)=e"+cosx+axsiwc-acosx,

貝Ig'(1)=e"+(Q-1)sinx+a(sinx+xcosx)>0,

所以g(x)在xe0,：上單調(diào)遞增，即/''(》)在XC0,j上單調(diào)遞增，

..力0)=2一時,“3=￡+“。，

e/小使得當(dāng)xe(0,x0)時/'(x)<0,故在xe(0,x0)上單調(diào)遞減,

則/■(/)</(0)=。,不成立，

④當(dāng)l<aW2時，

令g(%)=/'(%)=e"+cosx+axsiwc-acosx,

貝!Js'(%)=e"+(Q—1)sinx+a(sinx+xcosx)>0,

jrjr

所以g(x)在xe0,-上單調(diào)遞增，即/'(X)在0,-上單調(diào)遞增，

7T

rr

.-.f(x)>f(0)=2-a>0,即/(x)在0,-上遞增，則/(x"/(0)=0成立.

綜上所述，若函數(shù)/(x)20恒成立，則aW2.

方法二

當(dāng)x=0時，〃0)=0成立，當(dāng)x=］時，(3=』"成立,

當(dāng)時，與/+5加-1恒成立,

\2Jxcosx

令g(x)=e、+s如T,則aWgWi

XCOSX

ex+sinx-1x+sinx

又「ex-l>xg(x)>------

xcosxxcosx

x+sinx,z、(1+cosx)?xcosx-(x+situ)(cosx-xsinx)

令/z(x)=,/z(x)=22

XCOSXXCOSX

_x+x2si?nx-s,inxcosx

=22，

XCOSX

?.,當(dāng)x￡[0,時，x>sinx,

,,/、sinx+x2sinx-sinxcosxsinx(1-cosx)+x2sinx

?-h%〉-----------X2-cos2-X-----='-X2-cost-X------->°,

在]。馬上單調(diào)遞增.

「x+sinx-1+cosx3

lim-------=lim--------；——=2,

xf°xcosxa°cosx-xsinx

,故人(x)>2,

/、ex+sinx-1「ex+sinx-1「ex+cosx

g(x)=--------->2,Xvlim----------=lim--------；——=2,

xcosx3xcosxcosx-xsinx

；?g(x)minf2，故

【點睛】方法點睛：對于/(x"o,xe。恒成立問題，法一：由求解；法

二：轉(zhuǎn)化為g(x)2。(g(無)Va),xe。由g(x)mm?a(g(x)mmVa),xe。求解.

2.(23-24高三上?四川成都?期中)已知函數(shù)〃x)=lnx-"一1(。>0).

⑴當(dāng)。=0時，求過原點且與/(x)的圖象相切的直線方程；

m

(2)若g(x)=不+W(°>0)有兩個不同的零點再，％(0<x,<x2),不等式國考>e恒成立,

求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】⑴y=

e

⑵(-8,4].

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可；

(2)函數(shù)g(x)有兩個零點等價于6瓜2+(111工-k)-1=0有兩個不同根，構(gòu)造函數(shù)

"(x)=e，+x-1判定其單調(diào)性與零點得方程lnx-ax=0有兩個不等實根，利用換元法得

InXj+31nx2=^^lnZ,構(gòu)造="；lnx(x>1),法一、將恒成立問題轉(zhuǎn)化為

—lnx>m^lnx-m^~^>0,利用對勾函數(shù)的單調(diào)性，分類討論計算即可；法二、利

x-13x+l

用導(dǎo)數(shù)求〃(x)的單調(diào)性結(jié)合洛必達法則最小值即可.

【詳解】(1)易知〃X)的定義域為(O,+s)/(x)=J

設(shè)切點坐標(為,In%-1),則切線方程為：^-(lnx0-1)=—(x-x0),

*0

2

把點(o,o)帶入切線得:Xo=e,

所以，/(x)的切線方程為：y=^x；

e

(2)西?考>e"oln(%i?考)=In%]+31nx2>機，

又8口)=b"+?！?)有兩個不同零點,

則/+(lnx-ax)-l=elniK+(lnx-ax)-l=O有兩個不同零點,

構(gòu)造函數(shù)〃(x)=Qx+x—1=>/(x)=ex+1>0,

則〃(x)為(-00,+00)增函數(shù)，且"0)=0,

ax=InX]

即方程Inx-6=0有兩個不等實根x

ax2

In9xInt〔tint

令^=—2=t>l貝=-7Jn%=-r

In%1%1