2025年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題講義：高等解析幾何背景新定義（七大題型）（學(xué)生版）

專題06高等解析幾何背景新定義

【題型歸納目錄】

題型一：特殊空間幾何體新定義

題型二：空間斜坐標(biāo)系新定義

題型三：結(jié)合解析幾何距離新定義

題型四：空間直線方程

題型五：空間平面方程

題型六：立體幾何與解析幾何結(jié)合新定義

題型七：解析幾何概念新定義

【方法技巧與總結(jié)】

空間立體幾何與解析幾何新定義試題呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)通常為“給出圖形的新定義一探索圖形的新性質(zhì)一運

用圖形的新性質(zhì)解決問題”，設(shè)問的層次通常為從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般.理解概念重要的不僅是概念

如何定義，而且是概念能夠引出哪些性質(zhì)(具有哪些表征)；研究圖形重要的不僅是發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論，而且是

采用了怎樣的思想方法.這正是數(shù)學(xué)課程性質(zhì)中的抽象結(jié)構(gòu)思想和數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中的核心素養(yǎng)導(dǎo)向的體現(xiàn).

【典型例題】

題型一：特殊幾何體新定義

【典例1-1】(2024?高三?河北?階段練習(xí))已知“=(尤”[/J,b={x2,y2,z1),c=(x3,y3,z3),定義一種運算：

(ax9Jc=x{y2z3+x2y3zx+x3y{z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2zt,在平行六面體48co-4BC中，48=(1,1,0),

25=(0,2,2),Z4；=(l,-l,l).

(1)證明：平行六面體ABCD-/EGA是直四棱柱；

(2)計算|(萬乂而卜五可，并求該平行六面體的體積，說明|(萬x45).無可的值與平行六面體

48co-4與GO體積的關(guān)系.

【典例1-2】(2024?高二?上海徐匯?期中)設(shè)尸為多面體M的一個頂點，定義多面體"在點尸處的離散曲率

為1一，-億。/。2+/。2尸。3+~+/。1尸&+/&尸。)，其中2(，=1，2,k,左23)為多面體M的所有

2兀

與點尸相鄰的頂點，且平面Q，平面022。3,…，平面。和平面&尸。為多面體M的所有以尸為

公共點的面.已知在直四棱柱/BCD-/4G2中，底面/BQ)為菱形，且N4=/8=l.

(1)求直四棱柱用G2在各個頂點的離散曲率之和；

（2）若直四棱柱/BCD-43C2在點/處的離散曲率為x,直四棱柱/3CD-/3C2體積為/（x）,求函數(shù)

》=/（力的解析式及單調(diào)區(qū)間.

【變式1-1］（2024?遼寧沈陽?二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱

截去三個相等的三棱錐〃-/3C,J-CDE,K-EE4,再分別以/C,CE,E/為軸將“CH,KEJ,AE4K

分別向上翻轉(zhuǎn)180。，使H,J,K三點重合為點S所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示.蜂房曲頂

空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和，而每一頂點

的曲率規(guī)定等于2兀減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表

示）.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是玄7T，所以正四面體在各頂點的曲率為2兀-3、§7T=兀.

圖1

（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；

（2）若正六棱柱底面邊長為1,側(cè)棱長為2,沒BH=x

⑴用x表示蜂房（圖2右側(cè)多面體）的表面積S（x）；

（ii）當(dāng)蜂房表面積最小時，求其頂點S的曲率的余弦值.

題型二：斜坐標(biāo)系新定義

【典例2-1［（2024?高二?湖北?階段練習(xí)）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系.如

果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條

數(shù)軸的夾角均為60。，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60。坐標(biāo)系”.我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60。坐

標(biāo)系”下向量的斜60。坐標(biāo)：7,，》分別為“斜60。坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（x軸，了軸，z軸）正方向上的單位向量,

若向量力=/+/+雙，則萬與有序?qū)崝?shù)組對應(yīng)，稱向量力的斜60。坐標(biāo)為卜,八二］,記作

n=[x,y,z].

⑴若@=[1,2,3],3=[-1,1,2],求3+B的斜60。坐標(biāo)；

⑵在平行六面體4SCD-43CQ中，AB=AD=2,AAt=3,ABAD=ABAAX=ADAAX=60°,建立“空間斜60。

坐標(biāo)系”如下圖所示.

①若礪=甌，求向量兩的斜60。坐標(biāo)；

②若與7=[3,f,0],且而_1藺，求|而

【典例2-2]（2024?高二?四川綿陽?階段練習(xí)）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)

系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任

意兩條數(shù)軸的夾角均為60。，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60。坐標(biāo)系”.我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間

斜60。坐標(biāo)系”下向量的斜60。坐標(biāo)：月分別為“斜60。坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（x軸、y軸、z軸）正方向的單位

向量，若向量萬=行+百+/,則萬與有序?qū)崝?shù)組（x/,z）相對應(yīng)，稱向量力的斜60。坐標(biāo)為[x,y,z],記作

ii=[x,y,z].

(1)^5=[1,2,3],5=[-1,1,2],求&+B的斜60。坐標(biāo)；

(2)在平行六面體N8CD-N8G2中，AB=AD=2,AAt=3,ABAD=ZBAA{=ADAAX=60°,N為線段DG

的中點.如圖，以｛函而，五。為基底建立“空間斜60。坐標(biāo)系”.

①求麗的斜60。坐標(biāo)；

②若而=[2,-2,0],求翔與麗夾角的余弦值.

【變式2-1](2024?高二?山東濰坊?期中)空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，

如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩

條數(shù)軸的夾角均為60。，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60。坐標(biāo)系”.我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60。

坐標(biāo)系”下向量的斜60。坐標(biāo)：分別為“斜60。坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸(X軸、了軸、,軸)正方向的單位向量，

若向量元=6+獷+zG,則為與有序?qū)崝?shù)組(x,Nz)相對應(yīng)，稱向量力的斜60°坐標(biāo)為[Ky,z],記作n=[x,y,z].

(1)若N=[1,2,3],b=[-1,1,2],求9+B的斜60°坐標(biāo)；

(2)在平行六面體/BCD-/BGA中，AB=AD=2.,AAl=3,ZBAD=ZBAAt=ZDAA[=60°,如圖，以

｛麗亞，石｝為基底建立“空間斜60。坐標(biāo)系”.若方7=[2J,O],且而_L布，求|五可

【變式2-2](2024?高二?江蘇常州?期中)空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，

如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩

條數(shù)軸的夾角均為60°,我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60。坐標(biāo)系”.我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°

坐標(biāo)系”下向量的斜60。坐標(biāo)：i,j,k分別為“斜60。坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸(x軸j軸、z軸)正方向的單位向量，

若向量萬=6+行+zA,則萬與有序?qū)崝?shù)組(%,y,z)相對應(yīng)，稱向量力的斜60。坐標(biāo)為[x,y,刁，記作n-[x,y,z].

(1)若N=[l,2,3],ft=[-1,1,2],求9+5的斜60。坐標(biāo)；

(2)在平行六面體ABCD-ABCXDX中,48=40=2,44尸3,/.BAD=Z.BAAX=Z.DAAX=60°，如圖，以AD,因｝

為基底建立“空間斜60。坐標(biāo)系”.

①若屜=而「求向量麗1的斜60°坐標(biāo)；

②若刀7=[2j,0],且商工布，求|押

題型三：結(jié)合解析幾何距離新定義

【典例3-1]（2024?高二?北京?期中）“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼?閔可夫斯基提出

來的.如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段“倒是歐式空間中定義的兩點最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們

只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點最短距離用"（43）表示，又稱“曼哈

頓距離”，即d（4B）=MC|+|C同，因此“曼哈頓兩點間距離公式”：若省國,必），B（x2,y2）,則

〃（43）=忖2-莓|+|%-必|

⑴①點/（3,5）,5（2-1）,求“48）的值.

②求圓心在原點，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程.

（2）已知點2（1,0）,直線2x-y+2=0,求2點到直線的“曼哈頓距離”最小值；

⑶設(shè)三維空間4個點為4=（x”％zJ,；1,2,3,4,且4％,Z,.G{0,1}.設(shè)其中所有兩點“曼哈頓距離”的

平均值即2,求2最大值，并列舉最值成立時的一組坐標(biāo).

【典例3-2】(2024?高三?上海青浦?開學(xué)考試)我們稱點P到圖形C上任意一點距離的最小值為點P到圖形C

的距離，記作d(RC).

(1)求點網(wǎng)3,0)到拋物線C:y2=4x的距離d(P,C)；

(2)設(shè)/是長為2的線段，求點集。=｛尸卜(尸,/)<1｝所表示圖形的面積.

22

【變式3-1](2024?江蘇南通?二模)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知橢圓「：'+鼻=1(.>b>0)的離心率為

g,直線/與4目切，與圓。：工2+y=3/相交于/,8兩點.當(dāng)/垂直于x軸時，|/刃=2指.

(1)求「的方程；

(2)對于給定的點集M,N,若M中的每個點在N中都存在距離最小的點，且所有最小距離的最大值存在，

則記此最大值為d(M,N).

(1)若“，N分別為線段與圓。上任意一點，尸為圓。上一點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求d(M,N)；

(ii)若d(M,N),d(N,M)均存在，記兩者中的較大者為"(MN).已知"(X,Y),H(Y,Z),〃(X,Z)均存在,

證明：H(X,Z)+H(Y,Z^H(X,Y).

【變式3-2](2024?高二?山東青島?期中)中國結(jié)是一種手工編制工藝品，因其外觀對稱精致，符合中國傳統(tǒng)

裝飾的審美觀念，廣受中國人喜愛.它有著復(fù)雜奇妙的曲線，卻可以還原成單純的二維線條，其中的“八字

結(jié)''對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的伯努利雙紐線.在xQy平面上，我們把與定點片(-結(jié)0),外(a,0)(a>0)距離之積等

于/的動點的軌跡稱為伯努利雙紐線，耳，心為該曲線的兩個焦點.數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利曾將該曲線作為

橢圓的一種類比開展研究.已知曲線C:(x2+/)2=9(x2-是一條伯努利雙紐線.

⑴求曲線C的焦點耳，耳的坐標(biāo)；

(2)試判斷曲線C上是否存在兩個不同的點A,8(異于坐標(biāo)原點O),使得以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點。.如

果存在，求出8坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

【變式3-3](2024?高三?全國?專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于直線I:辦+勿+c=0和點耳(國,必)，

5包,%)，記〃=(。再+加+<?)(酩+奶+<?),若〃<0,則稱點耳，鳥被直線/分離，若曲線c與直線/沒

有公共點，且曲線c上存在點耳，鳥被直線/分隔，則稱直線/為曲線c的一條分隔線.

⑴求證：點/(L2),*-1,0)被直線工+夕—1=0分隔；

(2)若直線y=息是曲線/-4/=1的分隔線，求實數(shù)k的取值范圍；

⑶動點M到點。(0,2)的距離與到了軸的距離之積為1,設(shè)點M的軌跡為曲線E,求證：通過原點的直線中,

有且僅有一條直線是￡的分隔線.

題型四：空間直線方程

____kUUUI

【典例4-1](2024?高二?寧夏銀川?期中)在空間直角坐標(biāo)系中，三棱錐尸-4BC,=(2,-1,3),NC=(-2,1,0),

AP=(3,-1,4).

(1)求三棱錐P-4BC的體積

(2)用求軌跡方程的思想方法，試求在空間直角坐標(biāo)系中，以在=(2,-1,3)為方向向量，過點M(W)的直

線方程

【典例4-2](2024?高二?浙江臺州?期末)我們知道，在平面中，給定一點和一個方向可以唯一確定一條直線.如

點/(1,2)在直線/上，d=(1,3)為直線/的一個方向向量，則直線/上任意一點3(x,y)滿足：ABHa，化簡可

得3x-y-l=0,即為直線/的方程.類似地，在空間中，給定一點和一個平面的法向量可以唯一確定一個

平面.

(1)若在空間直角坐標(biāo)系中，尸(l,3,T),M(2,l,0),N(3,2,T),請利用平面麗的法向量求出平面麗的方程;

(2)試寫出平面小+為+&+尸=0(4,B,C不同時為0)的一個法向量(無需證明)，并證明點(%,外,%)到平

+By。+Cz。+E)\

面/尤+為+Cz=0的距離為I/,,,I.

yJA2+B2+C2

題型五：空間平面方程

【典例5-1】（2024?高二?上海楊浦?期中）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們知道ax+力+c=0（a、6不全為0）是直

線的一般式方程.而在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們稱ax+6y+cz+d=0（a、b、c不全為0）為平面的一般式方

程.

（1）求由點/（2,0,0）,5（0,3,0）,"0,0,4）確定的平面的一般式方程;

（2）證明：”=4c）為平面ax+by+cz+d=0（a、b、c不全為0）的一個法向量；

⑶若平面a的一般式方程為ax+6y+cz+d=0（a、6、c不全為0）,z。）為平面a外*—點，求點尸到

平面。的距離.

【典例5-2］（2024?高二?湖南?課時練習(xí)）閱讀“多知道一點：平面方程”，并解答下列問題：

⑴建立空間直角坐標(biāo)系，已知41,0,0）,5（0,1,0）,C（0,0,l）三點，而尸（尤J,z）是空間任意一點，求/,B,

C,P四點共面的充要條件.

（2）試求過點0,0）,8（0,仇0）,C（0,0,c）的平面N3C的方程，其中a,6,c都不等于0.

⑶已知平面1有法向量3=（1,1,1）,并且經(jīng)過點2（1,0,0）,求平面0的方程.

（4）已知平面C的方程為4x+為+Cz+D=0,證明：E=（43,C）是平面a的法向量.

（5）①求點（W）至IJ平面x+y+z=1的距離；

…\—+By,+Cz,+D\

②求證：點＜再,％4到平面/x+平+Cz+￡＞=0的距離d」；'I并將這個公式與“平面解

SIA2+B2+C2

析幾何初步”中介紹的點到直線的距離公式進(jìn)行比較.

題型六：立體幾何與解析幾何結(jié)合新定義

22

【典例6-1】（2024?高三?浙江寧波?期末）已知橢圓C：=+4=1（。＞0,6＞0）的左、右焦點分別為￡、F2,

ab

離心率為:，經(jīng)過點耳且傾斜角為。（0＜。＜當(dāng)?shù)闹本€/與橢圓交于43兩點（其中點/在x軸上方），

22

的周長為8.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)如圖，將平面xOy沿x軸折疊，使j軸正半軸和x軸所確定的半平面(平面AFXF,)與》軸負(fù)半軸和x軸所

確定的半平面(平面Bg)互相垂直.

①若。=]，求三棱錐4^的體積，

②若。=：,異面直線/月和3月所成角的余弦值；

③是否存在8(0<6<g71),使得a/臺與折疊后的周長為與折疊前的周長之比為1￡5?若存在，求tan。的值；

216

若不存在，請說明理由.

【典例6-2】(2024?高二?山東青島?階段練習(xí))學(xué)習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)素描的重要一步.如圖所示，這是一

個用來練習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描的石膏幾何體，它是由一個圓柱OO'和一個正三棱錐P-/3C穿插而成的對稱組

合體.棱尸B和面P/C與圓柱側(cè)而相切，點G是棱尸B與圓柱側(cè)而的切點.直線0(7分別與面PAB,面PBC交

于點q,Q，圓柱OO'在面尸48,面尸3C上分別截得橢圓月,4.在平面PNC和平面尸8C中，橢圓月,馬上

分別有兩組不重合的兩點可2，生和M”N2(圖中未畫出).且滿足關(guān)系

ZM.GO,=ZM2GO2=a,/NQ=NN2Go?=氏風(fēng)。<0,2碘.已知三棱錐的外接球表面積為32乃，

圓柱的底面直徑為2百,/5=2逐，請問平面P48,平面P8C上是否分別存在點2，Q，使得對于滿足

tan(a+￡)=*走的直線監(jiān)乂,弧小分別恒過定點Q],Q2.若存在，試求BQ和BQ2夾角的余弦值：若

不存在，請說明理由.

p

【變式6-1］（2024?高三?浙江杭州?階段練習(xí)）如圖，4M為圓柱。02的一條母線，且。。2=244.過點4且

不與圓柱底面平行的平面。與平面垂直，軸。。2與。交于點O,平面夕截圓柱的側(cè)面得到一條閉

合截線，截線與平面。14Mo2的另一交點為4.已知該截線為一橢圓，且44和尾當(dāng)分別為其長軸和短軸，O

為其中心.N為名在上底面內(nèi)的射影.記橢圓的離心率為e.

（1）求e的取值范圍；

（2）當(dāng)e="時，求直線與平面。所成的角的正弦值.

5

【變式6-2］（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測）已知頂點為S的圓錐面（以下簡稱圓錐5）與不經(jīng)過頂點S的平面a相交,

記交線為C,圓錐S的軸線/與平面a所成角。是圓錐S頂角（圓S軸截面上兩條母線所成角。的一半，為探究

曲線C的形狀，我們構(gòu)建球7,使球7與圓錐S和平面a都相切，記球T與平面a的切點為R直線/與平面

a交點為4直線NF與圓錐S交點為。，圓錐S的母線OS與球T的切點為M,\OM\=a,\MS\=b.

(1)求證：平面SO/_L平面a,并指出a,b,。關(guān)系式;

(2)求證：曲線C是拋物線.

題型七：解析幾何概念新定義

【典例7-1](2024?新疆烏魯木齊?二模)在平面直角坐標(biāo)系丫?中，重新定義兩點/(西,/),8(馬，力)之間的“距

離"為|陰=|x2-x1|+|y2-y,|,我們把到兩定點耳(-C⑼(c,O)(c>0)的“距離”之和為常數(shù)2as>。)的點的

軌跡叫“橢圓

⑴求“橢圓”的方程；

⑵根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；

⑶設(shè)c=l,a=2,作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為C,C的左頂點為A,過乙作直線交C于河,N

兩點，A4W的外心為0,求證：直線與九W的斜率之積為定值.

【典例7-2](2024?湖南?二模)直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如》=卬+1表示過點(1,0)的直

線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處

的切線都是該直線族中的某條直線.

⑴若圓G:x2+y2=1是直線族加x+町=1(加,〃eR)的包絡(luò)曲線，求私〃滿足的關(guān)系式；

(2)若點尸(%,%)不在直線族：Q(2a-4)尤+4了+(“-2)2=0(℃1<)的任意一條直線上，求為的取值范圍和直

線族Q的包絡(luò)曲線E;

（3）在⑵的條件下，過曲線E上48兩點作曲線E的切線4，，其交點為P.已知點若43,C三點不

共線，探究/尸=是否成立？請說明理由.

【過關(guān)測試】

1.（2024?高三?江蘇?開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系》。夕中，若在曲線耳的方程F（尤,田=0中，以（4尤,勿）?為

非零的正實數(shù)）代替（xj）得到曲線外的方程尸（雙"）=0,則稱曲線￡、區(qū)關(guān)于原點“伸縮”,變換

力稱為“伸縮變換”，兒稱為伸縮比.

⑴已知曲線耳的方程為=1,伸縮比％=g,求耳關(guān)于原點“伸縮變換”后所得曲線外的方程；

L2

⑵射線/的方程y=缶卜20）,如果橢圓用：?+/=1經(jīng)“伸縮變換”后得到橢圓E2,若射線/與橢圓片、

瑪分別交于兩點43,且|/卻=［，求橢圓外的方程；

2

（3）對拋物線&：x=2Ply,作變換（4蒼勿）,得拋物線與：*2=2°2力對當(dāng)作變換

2

得拋物線Jx=2p3y；如此進(jìn)行下去，對拋物線與：/=2p,j作變換

（尤得拋物線紇hf=20,+j,....若百=1,4=2",求數(shù)列｛"｝的通項公式

2.（2024?高二?貴州貴陽?期末）閱讀材料：在平面直角坐標(biāo)系中，若點河（龍/）與定點尸（。,0）（或/（-。,0）的

2x-c+

/ac7（）y_c

距離和它到定直線/：》=幺（或尤=-幺）的距離之比是常數(shù)￡（0<c<。），則—U~a>化簡可得

cca----x

c

2222

三+Fr=L設(shè)/=/-2（6>0）,則得到方程=+4=1（a>6>0）,所以點”的軌跡是一個橢圓，這

aa-cab

2

是從另一個角度給出了橢圓的定義.這里定點尸（c,0）是橢圓的一個焦點，直線/"=?稱為相應(yīng)于焦點廠的

2

準(zhǔn)線；定點/（-。,0）是橢圓的另一個焦點，直線/':》=-幺稱為相應(yīng)于焦點廠'的準(zhǔn)線.

C

根據(jù)橢圓的這個定義，我們可以把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離.若點M（x,y）在橢圓

222

二+4=1(.>6>0)上，尸(。,0)是橢圓的右焦點，橢圓的離心率e=￡,則點M(x,y)到準(zhǔn)線=*的距離

ub4c

為《-尤，所以|MR|=￡x仁-X=。-￡x=a-夕，我們把這個公式稱為橢圓的焦半徑公式.

cayeJa

結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：

22

已知橢圓。:5+與=1(。>6>0)的右焦點為尸，點尸是該橢圓上第一象限的點，且尸尸，尤軸，若直線/:x=9

ab

是橢圓右準(zhǔn)線方程，點尸到直線/的距離為8.

(1)求點P的坐標(biāo)；

⑵若點MN也在橢圓C上且尸的重心為尸，判斷但閭?cè)fI，3M是否能構(gòu)成等差數(shù)列？如果能，求出

該等差數(shù)列的公差，如果不能，說明理由.

22

3.(2024?高三?上海黃浦?開學(xué)考試淀義：若橢圓C:j+右=1(°>6>0)上的兩個點/(網(wǎng),弘),2卜,力)滿足

ab

呼+普=0,則稱48為該橢圓的一個“共軌點對”，記作[4司.已知橢圓C的一個焦點坐標(biāo)為

片卜2板,0),且橢圓C過點/(3,1).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求“共輾點對”[4團(tuán)中點8所在直線/的方程；

(3)設(shè)。為坐標(biāo)原點，點在橢圓C上，且PQ//CM,(2)中的直線/與橢圓C交于兩點與，當(dāng)，且四點的縱

坐標(biāo)大于0,設(shè)四點練R%,。在橢圓C上逆時針排列.證明：四邊形2丁層。的面積小于8百.

丫22

4.(2024?高三?貴州?開學(xué)考試)定義：若橢圓會+=力⑺乂叫上的兩個點/(4/)，8(%,%)滿足

22

學(xué)+等=0,則稱/,8為該橢圓的一個，共輒點對，，，記作[4司.已知橢圓c：*2=1上一點/(3,1).

⑴求“共輾點對”[4用中點3所在直線I的方程.

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點，點尸，。在橢圓C上，且尸。//。/,(1)中的直線/與橢圓C交于兩點瓦,2.

①求點與，。的坐標(biāo);

②設(shè)四點4,p,B2,。在橢圓C上逆時針排列，證明：四邊形片依2。的面積小于

22

5.(2024?高二?湖南?階段練習(xí))已知曲線C:=+方=(a>b>0),當(dāng)〃/>0)變化時得到一系列的橢圓，我

們把它稱為“"6橢圓群”.

(1)求“2-1橢圓群''中橢圓的離心率；

⑵若橢圓群”中的兩個橢圓。、C2對應(yīng)的:分別為4、%且e2fz&>0),則稱。、Q為“和諧橢

圓對”.已知。、G為“和諧橢圓對”，尸是C2上的任意一點，過點尸作。2的切線交G于45兩點，Q為3

上異于48的任意一點，且滿足而=夕而+〃礪，問：a?+皮是否為定值？若為定值，求出該定值；否

則，說明理由.

22

6.(2024?高三?上海虹口?階段練習(xí))已知橢圓［小+方=1(a>6>0)的左、右焦點分別為《、8,直線/的

斜率為左，在了軸上的截距為九

(1)設(shè)左=1,若「的焦距為2,/過點￡,求/的方程；

(2)設(shè)m=0,若尸是「上的一點，且|麗|+|而|=4,/與「交于不同的兩點/、B,。為「的上頂點，

求A/80面積的最大值；

(3)設(shè)萬是/的一個法向量，M是/上一點，對于坐標(biāo)平面內(nèi)的定點N,定義/=土絲”用。、b、k、加表示

'\n\

丹?Sg,并利用丹.生與〃的大小關(guān)系，提出一個關(guān)于/與「位置關(guān)系的真命題，給出該命題的證明.

7.(2024?高二?上海青浦?期末)在平面直角坐標(biāo)系xQv中，對于點尸(5,%)、直線/:ax+力+c=0,我們稱

ax+by+c

8=00

yja2+b2為點尸(%，比)到直線/：〃X+"+。=0的方向距離.

⑴設(shè)雙曲線上-/=1上的任意一點尸(X/)到直線(：x—2y=0,/z：x+2y=0的方向距離分別為心電，求

4'

5血的值;

(2)設(shè)點E(T,O)、尸?設(shè))、到直線/：xcosa+2ysin—-2=0的方向距離分別為九名，試問是否存在實數(shù)乙

對任意的g都有7%=1成立？說明理由；

(3)已知直線/：機(jī)x-y+"=0和橢圓3+烏=1(。>6>0),設(shè)橢圓E的兩個焦點4、瓦到直線/的方向距離分

別為4、4滿足44>/,且直線/與X軸的交點為A、與V軸的交點為B,試比較的長與的大小.

8.(2024?高二?北京?期中)已知集合及"={(占,％,…，怎)|可e火,i=1,2,…，4(〃劑，定義尺"上兩點

A(aI,a2,---,all),

2(4也,…,6“)的距離4(43)=-b\.

Z=1

(1)當(dāng)〃=2時，以下命題正確的有(不需證明)：

①若，(1,2),5(4,6),則"(48)=7；

②在A/2C中,若NC=90。,則[d(4C)r+[d(CC)]2=[d(48)T；

③在“BC中，若d(45)=/(4C),則NB=NC;

(2)當(dāng)〃=2時，證明火2中任意三點/,B,C滿足關(guān)系"(4B)4d(4C)+d(C,5)；

⑶當(dāng)〃=3時，設(shè)/(0,0,0),3(4,4,4),P(x,y,z),其中x,y,zeZ,

"(4尸)+〃(尸,B)=d(43).求滿足尸點的個數(shù)〃，并證明從這"個點中任取11個點，其中必存在4個點,

Q

它們共面或者以它們?yōu)轫旤c的三棱錐體積不大于I.

9.(2024?高二?廣東東莞?期中)(1)在空間直角坐標(biāo)系中，已知平面a的法向量Z=(a,6?(ab"0),且平面a

經(jīng)過點片(%,%,Z。)，設(shè)點尸(XJ,Z)是平面內(nèi)a任意一點.求證：a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)=O.

(2)我們稱(1)中結(jié)論。。-/)+6(>>-%)+以2-20)=0為平面7的點法式方程，若平面a過點

M(2,-1,4),%(-1，3,-2),M(。，2,3),求平面a的點法式方程.

10.（2024?高一?福建泉州?期末）球面三角學(xué)是球面幾何學(xué)的一部分，主要研究球面多邊形（特別是三角形）的

角、邊、面積等問題，其在航海、航空、衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應(yīng)用.定義：球的直徑的兩個端點稱為球的

一對對徑點；過球心的平面與球面的交線稱為該球的大圓；對于球面上不在同一個大圓上的點A,B,C,

過任意兩點的大圓上的劣弧勿，BC，B所組成的圖形稱為球面”3C,記其面積為S球面△放,?易知：球的

任意兩個大圓均可交于一對對徑點，如圖1的A和4；若球面上A,B,C的對徑點分別為"，"，C,

則球面人48。與球面"BC全等.如圖2,已知球。的半徑為五,圓弧標(biāo)和就所在平面交成的銳二面角

3-4O-C的大小為二，圓弧血和病所在平面、圓弧B和在所在平面交成的銳二面角的大小分別為廣，

了己S（a）=S球面△/lac+$球面+S球面+S球面?

⑴請寫出s⑺，sg的值，并猜測函數(shù)S（c）的表達(dá)式;

⑵求S球面△/sc（用1，A，7，尺表示）.

11.（2024?高一?四川成都?期末）類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1,

由射線尸/,PB,尸C構(gòu)成的三面角尸一48C,ZAPC=a,NBPC=/3,NAPB=y,二面角/一尸C一8的大

小為。，貝卜cosy=cosacos尸+sinasinpcos0.

（1）當(dāng)a、夕e時，證明以上三面角余弦定理;

（2）如圖2,平行六面體48cz）-43C中，平面44]C]C_1_平面48cZ）,ZAtAC=60°,ABAC=45°,

①求N//3的余弦值；

②在直線cq上是否存在點p,使3尸〃平面D4G?若存在，求出點尸的位置；若不存在，說明理由.

12.（2024?全國?模擬預(yù)測）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三

個相等的三棱錐48C,J-CDE,K-EFA,再分別以/C,CE,￡/為軸將A4C”,NCEJ,AEAK

分別向上翻轉(zhuǎn)180。，使H,J,K三點重合為點S所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示.蜂房曲

頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和，而每一頂

點的曲率規(guī)定等于2萬減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制

表示）.

圖1

（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；

（2）若正六棱柱的側(cè)面積一定，當(dāng)蜂房表面積最小時，求其頂點S的曲率的余弦值.

13.（2024?高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)尸為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為

1-4（NQFQz+NQ，P03+…+NQIPQK+，其中Qi（，=l，2,k,心3）為多面體M的所有與點

尸相鄰的頂點，且平面QPQ,平面0尸。3,…，平面Qk/PQk和平面QkPQi遍歷多面體陰■的所有以尸為

公共點的面.

圖1圖2

(1)如圖1,已知長方體48C/D/-48CD,48=2C=1,皿=三，點尸為底面N/BG。/內(nèi)的一個動點，

則求四棱錐P-ABCD在點P處的離散曲率的最小值；

(2)圖2為對某個女孩面部識別過程中的三角剖分結(jié)果，所謂三角剖分，就是先在面部取若干采樣點，然后

用短小的直線段連接相鄰三個采樣點形成三角形網(wǎng)格.區(qū)域a和區(qū)域￡中點的離散曲率的平均值更大的是哪

個區(qū)域？(確定“區(qū)域a”還是“區(qū)域￡”)

14.(2024?高二?上海浦東新?期末)(1)如圖，對于任一給定的四面體4444,找出依次排列的四個相互平行

的平面必，%，%，a」使得4e%(i=l,2,3,4),且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等；

(2)給定依次排列的四個相互平行的平面名，%,%，%，其中每相鄰兩個平面間的距離為1，若一個正四

面體4444的四個頂點滿足：4e?,.(/=1,2,3,4),求該正四面體4444的體積.

15.(2024?高三?上海徐匯?期末)已知@=(網(wǎng),必,zj,b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定義一種運算：

(axb)-c=