2025年云南省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年云南省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.(5分)已知集合后收€21鼠|<2},N=1貝UMNN的真子集個數(shù)為()

I)

A.5B.6C.7D.8

2.(5分)已知i+2zi=-l+2z,則下列關(guān)于z-z說法中不正確的是()

A.z-z的實部為0B.z-z的模為1

C.z-z對應(yīng)的點y軸上D.(z-Z)i=l

3.(盼)已知向量a=(sin90°,cos0°),b=(l,-l),若cos〈a+入b,a+ub〉=0,貝U()

A.2如=1B2而■；C.2X|i=2D,不確定

4.(5分)已知loga3=l,且函數(shù)f(x)=logax(t-x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)，則實數(shù)t的取值范圍是()

A.(-0,0)U[2,+0]B.(-,0)U(2,+0)

C.(0,2)D.[2,+0]

5.(5分)已知點A(0,H3),B(2,0)在橢圓CI：捺+*1(a*叫|上，設(shè)橢圓G的離心率為由，

雙曲線C2：高-儼=l(m：刈)的離心率為e2,若4e?+3eie2=e2,則111=()

A.A/3B、2心更□在

a2

6.(5分)把函數(shù)9(乃二4sm(2x-5)的圖象向左平移彳個單位，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的兩倍，得到函數(shù)

f(x)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)y=f(x),xe[0,的說法正確的是()

A.f(x)的最小正周期

B.f(x)在區(qū)間[0.苧]上有一個極大值點

C.f(x)的最小值為T

D.在為上單調(diào)遞增，在點，學(xué)上單調(diào)遞減

7.(5分)已知圓C的圓心為C(2,0),且經(jīng)過點Q(0,l),過圓C上兩點A、B分別作圓C的切錢，

若兩切線的交點為P(0,-2),則PA?PB=()

A.lCQ-C.■?D.-

444

8.(5分)已知在平行四邊形AVBC中,VA=VB=2且/AVB=60°,把三角形VAB沿對角線AB折疊,

使得VC=1,得到三棱錐V-ABC,如圖所示，則下列說法中正確是()

A.點V到平面ABC的距離為號

B.直線AB與直線VC不垂直

C.直線VC與平面ABC所成角的正弦值等于造

A

60

D.三棱錐V-ABC外接球的表面積為不n

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。

(多選)9.(6分)下列說法正確的是()

A.數(shù)據(jù)12,23,35,47,61的75百分位數(shù)為47

B.兩位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是

C.數(shù)據(jù)xl,x2,x3,x4,x5的均值為4,標(biāo)準(zhǔn)差為1,則這組數(shù)據(jù)中沒有大于5的數(shù)

D.設(shè)數(shù)列｛an｝的公比為q,貝U“ai>0且0<q<l”是“｛an｝是遞減數(shù)列”的必要不充分條件

(多選)10.(6分)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,把函數(shù)f(x)的圖象向左平移一個單位，再向下平移

兩個單位，所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，且f(x)+4x=f(4-x)+8,則下列選項中正確的有()

A.f(2-2024x)+f(2024x)=4

B.f(3)=-2

C.f(x)+f(x+2)=4+4x

D.f(2025)=-4046

(多選)11.(6分)已知Fi(-c,0),F2(c,0)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩定點，動點M(x,y)與點Fz

(c,0)的距離和它到定直線1:=琉勺距離的比是常收；其中a,b,c為AABC的三邊長，且CA-CB=0,

ca

設(shè)點P為動點M的軌跡上一點，且點P不在坐標(biāo)軸上，則下列結(jié)論中正確的是()

A.當(dāng)PFiTF2=0時，|PFIIPF^b2

B.若點P在y軸右側(cè)時,則△PFiFz內(nèi)切圓的圓心在定直線x=a上

C.使得△PF1F2為等腰三角形的點P有且僅有4個

D.APFiFz的面積〃——T7W-

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）已知正項數(shù)列{an},滿足2an+l-an=an+2（nEN*）,且2,a4+a5,8成等比數(shù)列，貝！JSg=

13.（5分）已知函數(shù)〃x）=cos竽sin竽-：，（w〉0）在區(qū)間［0,3m］上有且僅有兩個零點，則實數(shù)w的

取值范圍為____________________

14.（5分）已知圓F':（x+BM+y^ni2（3J2-3WmW3V2+3）與圓F:6-3尸+『=（6V2-m）2的

一個交點為P,動點P的軌跡是曲線C,點P是曲線C上一點，若則當(dāng)AMPF的周長

最小時，其面積為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）已知△回?三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且滿足2J2SAABC=（a斗b2）sinC.

⑴若2J2csin（A-C）=b,求

（2）設(shè)AB=5,求AABC周長的最大值.

16.（15分）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB=BC=CD=DA=V5,PA=2V2,PB=1,PC=2,

PCLPA.

（1）若點E為線段PC的中點，則直線DE與平面PAB是否平行，請說明理由；

（2）求二面角P-AC-D的大小.

17.（15分）2023年中國航天交出了亮眼的成績，2024年中國空間站工程將陸續(xù)實施神舟十八號、十九號

等更多的飛行任務(wù)，為增進人類對太空的認(rèn)識、和平利用太空作出更多的貢獻.為了激發(fā)學(xué)生對航天的

熱情，培養(yǎng)出更多的航天英雄，某校在高一航天社團開展了航天知識競賽，競賽期間，小航、小天兩位

同學(xué)輪流回答問題（每人各回答一次為一輪），小航先回答，每人回答一次，兩人有1人答對，答對者

得1分，未答對者得T分；兩人都命答對或都未答對，兩人均得0分.設(shè)小航每次答對的概率為

a

小天每次答對的概率為p（o〈p〈l）,且各次回答問題互不影響.

(1)經(jīng)過1輪答題，記小航的得分為X,若1E(X)=求P的值；

(2)在第(1)間的條件下，若經(jīng)過n輪答題，用Pn表示經(jīng)過第n輪答題后，小航的累計得分高于小

天的累計得分的概率，規(guī)定Po=0,假設(shè)Pn=入Pn+1+uPn-1,則求數(shù)列｛Pn｝的前n項和Sn.

18.(17分)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線my-x-m=0經(jīng)過定點F,動點M位于x軸上方，且到直線丫=

-2的距離與到點F的距離之差為L

(1)求動點M的軌跡W的方程；

⑵設(shè)A,B是W上的兩點，點F在以AB為直徑的圓上，另一點P(t,5)W外，若FB=AP,求四

邊形FAPB的面積.

19.(17分)設(shè)函切(x)-xt.(jteR).

(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并證明.

(2)若h(x)=xf(x)且h(x)存在兩個極值點xi,x2(xi<x2),求證：)+(^-)-(*-5)?1

2025年云南省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

l.（5分）已知集合M={xeZlx|W2},:1,1'則MNN的真子集個數(shù)為（）

【解答】解：因為M={xGZ|lxW2}={xGZ|-2WxW2}={-2,T,0,1,2},

所以MNN={-2,-l,2},則MNN的真子集個數(shù)為23-1=7.

婕：C.

2.（5分）已知i+2zi=-l+2z,則下列關(guān)于z-z說法中不正確的是（）

A.z-z的實部為0B.z-z的模為1

C.z-z對應(yīng)的點y軸上D.(z-z)i=l

【解答】解：已知i+2zi=-l+2z,

L,J.z-\i.即z-z=i,則(z-Z)i=-1,所以ABC正確，D錯.

故選：D.

3.(盼)已知向量a=(sin90°,COSQ°),b=(l,T),若cos<a+入b,a+ub>=0,則()

A.2X|i=lC.2%=2D.不確定

【解答】解：樹髓t,nIWa=(sin900,cos00)=(1,1),b=(1,-1),

所以a+入kF(l+入，1-入),a+ukF(l+u,1-u),

因為cos<a+xb,a+pb>=0,即(a+Xb)l(a+pib),

所以(升入b),(a^ub)=(l+入)(1+口)+(1-入)(1-口)電

整理得入M=-1,所以2M=21；

腿：B.

4.(5分)已知loga3=l,且函數(shù)f(x)=logax(t-x)在區(qū)間（0,1）上單調(diào)，則實數(shù)t的取值范圍是（）

A.(-0,0)U[2,+0]B.(-,0)U(2,+0)

C.(0,2)D.[2,+0]

【解答】解：由loga3=l,得a=3,則f(x)=log3x(t-x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)，

當(dāng)tgO時，由x(t-x)>0,得tvx〈0,

與已知函數(shù)f(x)=logax(t-x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)矛盾，所以t>0,

又“=x(r-x>="jr+tr=—(x-%+〈則u=x(t-x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增，

所以g21,解得G2.

故選：D.

5.(5分)已知點A(0「J3),B(2,0)在橢圓G：，+§=l(a>b>0)上，設(shè)橢圓C1的離心率為el,

雙曲線C2：:……)的離心'率為e2,若好+3eiesFe2,貝1Jm)

AWB巾c."口立

a2

【解答】解：由點A(0,?3),B(2,0)在橢圓Ci：

可得橢圓Cl的焦點在X軸上，且a=2,b=d3,貝

由已知得I,1

電=｛】+常

-2

因為4e?+3eie2e=(4e!-e2)(ei+e2)=0,

所以4e1二e2,則,2=Jl+解得，m

趣：C.

6.(5分)把函和9(x)—4s”i(2x-5)的圖象向左平移4單位，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的兩倍，得到函數(shù)

f(x)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)y=f(x),xw[0,苧]的說法正確的是()

A.f(x)的最小正周期“巴

B.f(x)在區(qū)叢間[0,孚)上有一個極大值點

C.f(x)的最小值為T

D.在孫知上單調(diào)遞增,在白，均上單調(diào)遞減

【解答】解：對于A:由題意知f(x)=4sinx,則f(x)的最小正周期為2口，故A錯誤；

對于Bf(x)=4cosx,因為4>0,所以/i■!xe[0.?|上的單調(diào)性與y=COSX相同，

所以f(x)在區(qū)間［0,上有一個極小值點，故B錯誤;

對于C和D:因為4>0,所以函數(shù)f(x)=4sinx在xW［O,當(dāng)上的單調(diào)性和正弦函數(shù)y二sinx的單調(diào)

性相同，所以函數(shù)在［0,即上單調(diào)遞增，在由，引上單調(diào)遞減，又岫=0,=_2V2

則gx)的最小值為=-26故C錯誤，D正確.

故選：D.

7.(5分)已知圓C的圓心為C(2,0),且經(jīng)過點Q(0,l),過圓C上兩點A、B分別作圓C的切錢,

若兩切線的交點為P(0,-2),則PAPB=()

133

A.lB.-C.D.-

A4A

【解答】解：由已知可得，圓C的半徑r=V(2-0)2+(0-1)2=V5,

由已知及兩點間距離公式知|PCH為2戶2立

由題意知CALPA且CA45,所以［PAlHlPCF-if,

Q6

故有皿PC.總才

1

?

則co$，XP8?co$2^APC?2COS2￡APC-1■2X

由圓的切線性質(zhì)可得|PB=|PA|=V3,

所以PA?PBM\PA\■\PB\COSLAPB=(V3)2x(-5)?-,.

W：c.

8.(5分)已知在平行四邊形AVBC中，VA=VB=2且NAVB=60。，把三角形VAB沿對角線AB折疊,

使得VC=1,得到三棱錐V-ABC,如圖所示，則下列說法中正確是()

A.點V到平面ABC的距離注”

B.直線AB與直線VC不垂直

C.直線VC與平面ABC所成角的正弦值等于

D.三棱錐V-ABC外接球的表面積為」竺7r

【解答】解：由題意知四邊形AVBC為菱形，AVAB,ACAB為正三角形，如圖所示,

取AB的中點M,連接CM,則CMLAB①，過M點做Mz,平面ABC,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，連接VM,貝UA(T,O,O),B(1,O,O),C(O,J3,0),

在直角△VHM中,MH=WMZ-m壽，二V(0.真幸).

貝IJAB=⑵0,0),vc=(0,八，-？:，???AB?vc-0,則ABLvc,即ABIVC,故B錯；

：VA=VB=2,；.VM_LAB②，由勾股定理得CM=VM=d3,

則A(-l,0,0),B(l,0,0),C(0N3,0),

在平面VCM內(nèi)，過V點做VH_LMC,由①②知AB_L平面VCM,；.VH_LAB,

又ABNCM=M,則VH上平面ABC,即VH為點V到平面ABC的距離,取VC的中點E,連接ME,

1?,AVMC為等腰三角形，,ME=VMC?-CE2=J3-(5)2=孚

M-MCVH=-VCME，VH--緡故A錯；

22MLb

元=(o,冬-%),n=(o,o,l)為平面ABC的一個法向量，設(shè)直線VC與平面ABC所成角為o,

貝Usin0=|cos〈n,?孚故C錯；

VA(-l,0,0),B(l,0,0),C(0^3,0),v(。,曾物

設(shè)三棱錐V-ABC外接球的球心為O(x,y,z),則IOAI=IOB|,

由空間兩點間距離公式可得

?x+l)2+(y-0)2+(z-0F=?x-l)2+(y-0)2+(z-0)2,整理得x2+2x+lf2_2x+l,

解得x=0,則0(0,y,z),

又：10Al=10g,Vl2+y2+z2=>Ov-V3）2+z2,

解得-W則0（0.卓?Z）,

又T|OA|=|OM，Jl+（妥0）2+N2=Jo+點-￥）?+（.繆）2

解得,■噌則0（0.%累），

設(shè)三棱錐V-ABC外接球的半徑為R,則爐=|Q曲好+得尸+（辱）2=15

故三棱錐V-ABC外接球的表面積為4"肥=黑九故D對.

履：D.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得。分。

(多選)9.(6分)下列說法正確的是()

A.數(shù)據(jù)12,23,35,47,61的75百分位數(shù)為47

B.兩位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是

C.數(shù)據(jù)XI,X2,X3,X4,X5的均值為4,標(biāo)準(zhǔn)差為1,則這組數(shù)據(jù)中沒有大于5的數(shù)

D.設(shè)數(shù)列｛an｝的公比為q,則“ai>0且0<q<l”是“｛an｝是遞減數(shù)列”的必要不充分條件

【解答】解：5義75%=3.75,故這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)為47,故A正確；

兩位男生和兩位女生隨機排成一列共有A牛=24種排法，

兩位女生不相鄰的排法有A2A3=12種，

故兩位女生不相鄰的概率是點.1,故B正確；

不妨設(shè)xi=4-2x,x2=4-x,x3=4,x4=4+x,x5=4+2x,x>0,

Jj((4-2x-4)2+(4-x-4)2+(4-4)2+(4+x-4)2+(4+2x-4)2]-1.

即4x2+x2+x2+4x2=5,解得=必

此時X5=4+d2>5,即這組數(shù)據(jù)中有大于5的數(shù)，故C錯誤；

由等比數(shù)列的通項公式可得，瑪-小

當(dāng)ai>0且(X^<1時，則工0.且丫=4”單調(diào)遞減，貝IJ,乳-q是遞減數(shù)列，故充分性滿足；

QQ

當(dāng)％=堤嫩微列，可將故^要性不滿足；

所以“ai〉O且0<q<r,是“{an}是遞減數(shù)列”的充分不必要條件，故D錯誤.

故選：AB.

(多選)10.(6分)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,把函數(shù)f(x)的圖象向左平移一個單位，再向下平移

兩個單位，所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，且f(x)+4rf(4-x)+8,則下列選項中正確的有()

A.f(2-2024x)+f(2024x)=4

B.f(3)=-2

C.f(x)+f(x+2尸4+4x

D.f(2025>-4046

【解答】解：由函數(shù)*x)的圖象向左平移一個單位，再向下平移兩個單位，所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)

為奇函數(shù)，

得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,2)中心對稱,

則f(2-x)+f(x尸4,有f(2-2024x)+f(2024x)=4,故A正確;

由“x)+4x=f(4-x)+8,得“x)74-x尸8-4x,

則f(2_x)_f(2+x)=4x,取x=l,得f(l)g=4,

在f(2-x)+f(x)=4中,取x=l,得琪尸2,則氏3)=-2,故B正確;

由*2-x)-f[2+x)=4x,得4-f(x)-f(2+x)=4x,

；.f(x)+f(x+2)=4-4x①，故C錯誤;

f[x+2)+f(x+4)=-4-4x②,

②-①得f(x+4)-f(x)=-8,

V2025=1+4x506,/.f(2025)=f(l)-8x506=2-8x506=-4046,故D正確.

故選：ABD.

(多選)11.(6分)已知Fi(-c,0),F2(c,0)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩定點，動點M(x,y)與點F2

(c,o)的距離和它到定直線1：*=相距離的比是常1虞中a,b,c為的三邊長，且CA?CB=0,

「n

設(shè)點P為動點M的軌跡上一點，且點P不在坐標(biāo)軸上，則下列結(jié)論中正確的是()

A.當(dāng)PF1TF2=0時，|PFriPF4nZb2

B.若點P在y軸右側(cè)時，則APFF2內(nèi)切圓的圓心在定直線x=a上

C.使得△PFF2為等腰三角形的點P有且僅有4個

D.APF1F2的面積一了F

——公

【解答】解：由已知得"“一口『二=兩邊平方化簡得(c2-a2)x2-(c2-a2)(*),

IX-7-I41

又CA-CB=O,所以^敝為直角三角形，則c2=b?+a2,即c2-a2=b2,

代入(*)式得b2x2-a2y2=a2b2,貝嚀一\=1,

故動點M的軌跡是以F(C,0),F2(C,0)為焦點的雙曲線，

對于A,根據(jù)雙曲線的定義可得||PFiHPF2n=2a,

222

兩邊平方得[PF】I+lPF21-2lPF]llPF2I=4a,

又PFrPFz=O,所以IPFiP+iPFzlwiFiFzPuC2,

222

則2PI￡11PF2I=4C-4a=4b,

2

即|PFJ-|PF2I=2b,故A正確；

對于B,設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓與其三邊PFi、HF2、PF2的切點分別為M、N、E,

則P1pil=lPMl+/MFil,lPF2l=lPEl+lEF2l,I,

由雙曲線定義知2a=IPFiHPFz1=IPMI+1MFiI-1PEHEF2I,

根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知|PM=|PEJ,|FzE=|FzM,|MFJ=IFiM,

1

則2a=IPFi]-1PF21=IMF]-1EF21=|FiM-1NF2I,

又2c=|FM+|NF2I,

聯(lián)立兩式得IFiM=|FiO|+|OM=a+c,

又|FQ|=c,所以|OMF,

所以△PFF2內(nèi)切圓的圓心在定直線x=a上，故B正確；

對于C,根據(jù)雙曲線對稱性分析：要使△PFE為等腰三角形，則BF2必為腰，

在第一象限雙曲線上有且僅有一個點P使|PFiI=2c,|PF2I=2c-2a,

此時△PFE為等腰三角形，

也僅有一個點P'使P|'F2I=2c,|PT1|=2c+2a,此時△PEF2為等腰三角形，

同理可得第二三四象限每個象限也有且僅有兩個點，一共8個，所以C錯誤；

對于D,設(shè)IPFiI=m,\PF2I=n,由雙曲線的定義可得hn-nl=2a,U!!l(m-n)2=m2+n2-2mn=4a2,(1)

由余弦定理PT^4c2=m2+n2-2mncos/F1PF2,②

②①得，2(l-cosNFiPFz)mn=4b2,

所以mn=■：------2I01r,

l-cos^FiPFi

2

1.JCC-b5g

所以％“=/M"a"=-城南=2瑟廣=詔4所以口正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)已知正項數(shù)列｛an｝,滿足2an+l-an=an+2(nEN*),且2,a4+a5,8成等比數(shù)列，則Sg=16

【解答】解：因為2an+l-an=an+2(nEN*),所以an+1-an=an+2-an+l(nEN*),

所以由等差數(shù)列的定義可知：數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，

又因為區(qū)+也)2=2X8=16,且an〉O,

所以a4+as=4,

所以$==竽=3

故答案為：16.

13.(5分)已知函數(shù)/(幻?皿等內(nèi)亨-；,(w>0)在區(qū)間［0,3m］上有且僅有兩個零點，則實數(shù)w的

取值范圍為3.I」

【解答】解：由己知得“⑴=sr：,1Y-:.,(W>O),?/(.r)-vrn.Y.x；-U得sinox=l,

因為xe［0,3rr］,貝!I0WWXW3TT3,令wx=t,(Ovts3TT3),

則方程sint=l在［0,3n3］上有且僅有兩個根，

s953

由正弦函數(shù)的性質(zhì)知-萬<--1?,解得

1~76-2

故答案為：Sat'11

14.(5分)已知圓F':(x+3)2+y2=n)2(3J2-3WmW3V2+3)與圓F:(x-3/+y2=(6J2-m)2的

一個交點為P,動點P的軌跡是曲線C,點P是曲線C上一點，若M(-2,-1),則當(dāng)AMPF的周長

最小時，其面積為

【解答】解：由圓F:(x+3)2+y2=m2(3d2-3Wn￡3d2+3)與圓F:(x-3)2+y2=(6d2-m)2

的一個交點為P,

可得P|F'|=m,|PF|=6V2-m,A|PF'|+|PF|=6J2>|F'F|=6,

...點P的軌跡是焦點在x軸上的橢圓，且2a=6d2,2c=6,即a=3也,c=3,；.b=3,

...曲線C的方程為一+二=1.VM(-2,-l),F(3,0),則MF|=A/26,

189

/.△MPF的周長為M|F|+|PM|+|PF|=V26+|PMl+2a-|PF)|=V26+6V2+1PM-1PF).

,.?-|MFZIWJPMHPF'IWIMF'I,又|MF'|二J2,IPMHPF'2一J2,

當(dāng)且僅當(dāng)P為射線1M與橢圓C的交點時，等號成立，

聯(lián)立直線F，M的方程y=-x-3與橢圓C的方程用‘方」

y="x-3

消y得x2+4x=0,解得二-4(舍去)?即PQ-3),

S“FF，=jX6x3=G=2*6X1=3

AMPF^ffi^^jSAPFF,-SAMFF=9-3=6.

故答案為：6.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)已知△ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且滿足2V2SAABc=(a^b2-c2)sinC.

⑴若2V2csin(A-C)=b,求山、口彳；)

(2)設(shè)AB=5,求4ABC周長的最大值.

【解答】解：⑴已知△ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c國滿足2V2Sz^ABc=(aW-c2)sinC,

由三角形的面積公式、“，代入2V2SAABc=(a2+b2-c2)sinC

得2axgabsfnC=(a2+b2-c2)stnC.Ce(0.n).

化簡可得上=—'根據(jù)余弦定理得cusC=率,即。=:

22nh24

因為2V2csin(A-C)=b,根據(jù)正弦定理得(4-0)二smfi

即2sm(A-C)=smB=sm(A+C),

利用兩角和與差的正弦公式，

.*.2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

O3^/2

/.sinAcosC=3cosAsinC,.=~~COSA5-*-sinA=3cosA

22

即tanA=3,所以O(shè)OV；5,辦=就=」偎COSA2jLs

利用兩角和的余弦公式得:

cot(A+彳)=cosAcos^-slnAsin彳=而x-5------X五=一年

(2)由(1)如。二;設(shè)角A、B、C所對應(yīng)的三邊為a、b、c,又AB=5,

由?=---------即V2ab=a2+b2-25=(a+b)2-2ab-25,

所以ab=9：哈f.又(a+b)2%ab,則3+與224x鋁心#,

整理得(2-V2)(a+b)2^100,所以a+bW5J4+2J2,

當(dāng)且僅當(dāng)id=b="4+2&時等號成立,則a+lY5+5d4+2d2,

則AABC周長的最大值為5+5V4+2V2.

16.(15分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB=BC=CD=DA=J5,PA=2J2,PB=1,PC=2,

PC±PA.

(1)若點E為線段PC的中點，則直線DE與平面PAB是否平行，請說明理由;

(2)求二面角P-AC-D的大小.

【解答】解:⑴因為AB=BC=CD=DA=V5,所以四邊形ABCD為菱形,

如圖，連接AC,BD交于點O,貝。AC±BD,

以0為原點，0D所在直線為x軸，0A所在直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

因為PC=2,PA=2寸2,PCJ_PA,

22

^AC=W+PA=J^+M=2A即心?！?/p>

在RtZ\BOA中,OB=^AB2-OAM2,

所以A(0N3,0),B(H2,0,0),C(0,H3,0),DN2,0,0),

易知平面ACD的法向量m=(0,0,l).

/+(y-V3)2+a1=8?

(x+VZ)2+y2+?a?1②.

{x2+(y+V5)2+z2=4?

由OHD得：-4V3y=4,解汽v=-g

2

2=

3f(x+>/2)+3

珞),=_代入②式和③式得H_

r=-V2i7

解得I_g-所以P點坐標(biāo)為（-J2,-

⑴因為巴-伍-：繳C（0,W3,0）,所以式§_絳塔

貝睡=（-孥,一孥，務(wù)

設(shè)平面APB的法向量）二（X"）,又AF＜他＜33,印=（0,-蔡埠

則DAP,vJ_BP,所41'=-缶_竽"第=°

＞8P=-

令y=L期2=爭無=-乎所以1.當(dāng)?

因痂力=（一峪X（邛）一等+柒辱=b#0.

則Dgv不垂直，所以當(dāng)點E為線段PC中點時，直線DE與平面PAB不平行.

（2）設(shè)平面APC的法向量回做）,由己知AC=（0,-2q3,0）,AP=（H2,-433”

則m,AC,n21AP%g,*=-2?=o,

叼,AP——V2a——b+堂c—0

解得b=0,令a=l,則c=心,所以n2=（l,0,心）.

記二面角P-AC-D的大小為外（）＜8＜4

所以2磊i=9

又二面角P-AC-D為鈍角，因此。=150°,

所以二面角P-AC-D的大小為150°

Az

Tx；-0二

y

17.(15分)2023年中國航天交出了亮眼的成績，2024年中國空間站工程將陸續(xù)實施神舟十八號、十九號

等更多的飛行任務(wù)，為增進人類對太空的認(rèn)識、和平利用太空作出更多的貢獻.為了激發(fā)學(xué)生對航天的

熱情，培養(yǎng)出更多的航天英雄，某校在高一航天社團開展了航天知識競賽，競賽期間，小航、小天兩位

同學(xué)輪流回答問題(每人各回答一次為一輪)，小航先回答，每人回答一次，兩人有1人答對，答對者

得1分，未答對者得T分；兩人都命答對或都未答對，兩人均得0分.設(shè)小航每次答對的概率為J

小天每次答對的概率為P(O<P<1),且各次回答問題互不影響.

(1)經(jīng)過1輪答題，記小航的得分為X,若Edj——：求p的值；

(2)在第(1)間的條件下，若經(jīng)過n輪答題，用Pn表示經(jīng)過第n輪答題后，小航的累計得分高于小

天的累計得分的概率，規(guī)定Po=0,假設(shè)Pn=入Pn+1+口PnT,則求數(shù)列｛Pn｝的前n項和Sn.

【解答】解：(1)由題意得隨機變量X的可能取值為-1,0,1,

P(X=-1)=(1-xp=華,P(X=0)=；xp+(1Y)X(1-P)=宇，

P(x=1)=；X(1-P)=早，

...隨機變量X的分布列為：

X-101

2￡2-P

P1-P

37.4

.*.F(X)=_1*華+0)(0+1*y=_；,

解得P=;

(2)經(jīng)過n輪答題，用Pn表示經(jīng)過第n輪答題后，小航的累計得分高于小天的累計得分的概率，規(guī)定

Po=0,假設(shè)PYI=^PYI+1+[iPn-1,

由(1)知JP]=?經(jīng)過兩輪投籃，小航的累計得分高的有兩種情況：

，fl

一是小航兩輪都得1分，

二是兩輪小航一輪得0分，另一輪得1分，

經(jīng)過兩輪投籃，小航的累計得分高的概率為+

經(jīng)過三輪投籃，小航累計得分高有四種情況：

1+1+1,1+1+0,1+0+0,1+1+(-1),

..?經(jīng)過三輪投籃，小航累計得分高的概率為：

P37，+C”(?K；+GX；X(；)2+C*(?X；=^

*.*Pn=XPn+1+p,Pn-1,當(dāng)n=l時，有Pl=AP2+pPo,

又Po=0,則弓=套入解得人=;

當(dāng)n=2時，有|幾=p+pp,［；.—=-x——+—.解得〃=；

‘7ar'I^3672166?

61

-%+-

77r即7Pn=6Pn+l+Pn-l,整理得p“.：-4=；、(4-P”J

ip】_%1數(shù)列｛Pn-Pn-1｝是以:為首項、:為公比的等比數(shù)列，

：?4."(”舊+島-2+“+&-*).！-；*±,

M,=xx,,x

則&=Pi+P2+^3++^5~||+|-|^+'+|-|^r

YTd"?+/).等+備

18.(17分)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線my-x-m=0經(jīng)過定點F,動點M位于x軸上方，且到直線丫=

-2的距離與到點F的距離之差為1.

(1)求動點M的軌跡W的方程;