2025年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：四邊形的證明與計(jì)算問題（9大題型）（原卷版）

中考大題05四邊形的證明與計(jì)算問題

考情分析?直擊中考

四邊形在中考數(shù)學(xué)中是占比較大，考察內(nèi)容主要有各個(gè)特殊四邊形的性質(zhì)、判定、以及其應(yīng)用:考察題

型上從選擇到填空再到解答題都有，題型變化也比較多樣;并且考察難度也都是中等和中等偏上，難度較大,

綜合性比較強(qiáng).所以需要考生在復(fù)習(xí)這塊內(nèi)容的時(shí)候一定要準(zhǔn)確掌握其性質(zhì)與判定，并且會在不同的結(jié)合問

題上注意和其他考點(diǎn)的融合.

琢題突破?保分必拿

四邊形對角互補(bǔ)模型

正方形對稱模型

與正方形有關(guān)的三垂直模型

四邊形翻折模型

與四邊形有關(guān)的新定義問題

題型一：利用四邊形的性質(zhì)與判定求解

龍麓》大題典例

1.（2023,廣東深圳?中考真題）（1）如圖，在矩形ABCD中，E為4。邊上一點(diǎn)，連接BE,

①若BE=BC,過。作CF1BE交BE于點(diǎn)F,求證：AABE=AFCB；

②若s矩形4BCD=20時(shí)，則BE-CF=.

（2）如圖，在菱形ABCD中，cos力=，過C作CE14B交力B的延長線于點(diǎn)E,過E作EF14。交AD于點(diǎn)尸,

若S菱形4BCD=24時(shí)，求EF?BC的值.

（3）如圖，在平行四邊形28CD中，乙4=60。，48=6,力。=5,點(diǎn)E在CD上，且CE=2,點(diǎn)F為BC上一點(diǎn),

連接EF,過E作EG1EF交平行四邊形2BCD的邊于點(diǎn)G,若EF-EG=7g時(shí)，請直接寫出4G的長.

備用圖

2.（2023?甘肅蘭州?中考真題）綜合與實(shí)踐

【思考嘗試】

（1）數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖1,在矩形N3CD中，E是邊4B上一點(diǎn)，DF1CE于點(diǎn)尸,

GD1DF,AG1DG,AG=CF.試猜想四邊形ABCD的形狀，并說明理由；

【實(shí)踐探究】

（2）小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2,在正方形ABCD中，￡是邊力B上一點(diǎn)，DF1CE

于點(diǎn)RAH1CE于點(diǎn)“，GDLDF交AH于點(diǎn)G,可以用等式表示線段FH,AH,CF的數(shù)量關(guān)系，請你思考

并解答這個(gè)問題；

【拓展遷移】

（3）小博深入研究小睿提出的這個(gè)問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3,在正方形4BCD中，￡是邊48

上一點(diǎn)，4H1CE于點(diǎn)X,點(diǎn)/在C”上，且=連接力M,BH,可以用等式表示線段CM,的數(shù)

量關(guān)系，請你思考并解答這個(gè)問題.

GG

3.(2023?江蘇徐州?中考真題)【閱讀理解】如圖1,在矩形48CD中，若AB=a,BC=b,由勾股定理，得

AC2^a2+b2,同理)^2222

BI2=a2+62,AC+BD=2(a+h).

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2,四邊形2BCD為平行四邊形，若AB=a,BC=b,則上述結(jié)論是否依然成立？請加以判

斷，并說明理由.

【拓展提升】如圖3,已知B。為△4BC的一條中線，AB=a,BC=b,AC=c.求證：3。2=學(xué)—冬

【嘗試應(yīng)用】如圖4,在矩形4BCD中，若4B=8,BC=12,點(diǎn)尸在邊力。上，貝中/+PC?的最小值為

圖1圖2圖3圖4

四邊形邊角對角線對稱性

平行四邊形對邊平行且相等對角相等兩條對角線互相平分中心對稱

軸對稱、中心對

矩形對邊平行且相等四個(gè)角都是直角兩條對角線互相平分且相等

稱

對邊平行且四條兩條對角線互相垂直平分，且每軸對稱、中心對

菱形對角相等

邊都相等一條對角線平分一組對角稱

對邊平行且四條兩條對角線互相垂直平分，且每軸對稱、中心對

正方形四個(gè)角都是直角

邊都相等一條對角線平分一組對角稱

3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定

四邊形邊角對角線

平行四邊形1）兩組對邊分別平行兩組對角分別相等兩組對角線互相平分

2）兩組對邊分別相等

3）一組對邊平行且相等

矩形1）平行四邊形+一直角平行四邊形+兩條對角線相等

2）四邊形+三直角

菱形1）平行四邊形+一組鄰邊相等平行四邊形+兩條對角線互相

垂直

2）四邊形+四條邊都相等

正方形矩形+一組鄰邊相等菱形+一直角兩條對角線互相垂直平分且相

等的四邊形

蘢塞〉笠式訓(xùn)級

1.（2023?山東濟(jì)南?模擬預(yù)測）如圖1,在矩形中，點(diǎn)E,F分別在ZB,BC邊上,DE=AF,DE1AF

于點(diǎn)G.

⑴求證：四邊形ABC。是正方形；

⑵延長CB到點(diǎn)H,使得BH=4E,判斷△4HF的形狀，并說明理由.

（3）如圖2,在菱形4BCD中,點(diǎn)E,F分別在AB,BC邊上，DE與”相交于點(diǎn)G,DE=AF,AAED=60°,

AE=6,BF=2,求DE的長.

2.（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）【問題發(fā)現(xiàn)】

（1）在一次小組合作探究課上，老師將正方形4BCD和正方形4EFG按如圖所示的位置擺放，連接BE和DG,

請直接寫出線段BE與DG的數(shù)量關(guān)系,位置關(guān)系；

【類比探究】

（2）若將“正方形ABCD和正方形AEFG改成“矩形48CD和矩形4EFG,且矩形A8CD“矩形4EFG,AE=3,

4G=4,如圖，點(diǎn)E、D、G三點(diǎn)共線，點(diǎn)G在線段DE上時(shí)，若4。=半迫，求BE的長.

【拓展延伸】

（3）若將正方形4BCD和正方形4EFG改成菱形力BCD和菱形4EFG,且菱形ABC?！绷庑?EFG如圖3,4。=5,

AC=6,2G平分NZMC,點(diǎn)P在射線4G上，在射線4f上截取4Q,使得4Q=|dP,連接PQ,QC,當(dāng)tan/PQC=

g時(shí)，直接寫出4P的長.

圖3

3.（2023?福建龍巖?模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐：過四邊形ABCD的頂點(diǎn)/作射線4M,尸為射線4M上一點(diǎn)，連

接DP.將力P繞點(diǎn)/順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至力Q,記旋轉(zhuǎn)角NP4Q=a,連接BQ.

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,數(shù)學(xué)興趣小組探究發(fā)現(xiàn)，如果四邊形4BCD是正方形，且a=90。，無論點(diǎn)尸在何處,

總有BQ=DP,請證明這個(gè)結(jié)論.

【類比遷移】如圖2,如果四邊形力BCD是菱形，/.DAB=a=60°,^MAD=15°,連接PQ.當(dāng)PQ1BQ,

48=遍+魚時(shí)，求4P的長.

【拓展應(yīng)用】如圖3,如果四邊形力BCD是矩形，AD=3,AB=4,4M平分N/MC,a=90°.在射線4Q上

截取4R,使得AR=3P.當(dāng)△PBR是直角三角形時(shí)，請直接寫出4P的長.

題型二：中點(diǎn)四邊形

龍麓》大題典例

1.（2023?山西?中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形4BCD中，點(diǎn)、E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，順次連接E,F,G,H,得到

的四邊形EFGH是平行四邊形.

D

G

C

H,

A/-E^B

圖1

我查閱了許多資料，得知這個(gè)平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里尼翁

(Varingnon,Pierrel654—1722)是法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家.瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切.

①當(dāng)原四邊形的對角線滿足一定關(guān)系時(shí)，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關(guān)系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結(jié)論可借助圖1證明如下：

證明：如圖2,連接4C,分別交于點(diǎn)P,Q,過點(diǎn)。作DM14C于點(diǎn)M,交HG于點(diǎn)N.

分別為力的中點(diǎn)，.?"G||4C,”G=/C.(依據(jù)1)

.?.黑=段.-：DG=GC,：.DN=NM=，M.

NMGC2

?.?四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，.出口4匕SPHP||GQ.

■：HG||AC,即”G||PQ,

1

???四邊形HPQG是平行四邊形.(依據(jù)2).?.SnHpQGuHG-MNEHG-DM.

'''SAADC=-AC-DM=HG-DM,''-SI=IHPQG=-SAADC.同理，...

任務(wù)：

⑴填空：材料中的依據(jù)1是指：.

依據(jù)2是指：.

(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個(gè)四邊形4BCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH,使得四邊形EFGH為

矩形；(要求同時(shí)畫出四邊形力BCD的對角線)

(3)在圖1中，分別連接力C,BD得到圖3,請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線長度的關(guān)

系，并證明你的結(jié)論.

D

圖3

蘢龍》揶黃揖號

【模型介紹】依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形.

中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)：

已知點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，則

1

①四邊形EFGH是平行四邊形②Cc>EFGH=AC+BD③SEFGH='SABCD

【補(bǔ)充】“

結(jié)論一：順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是矩形.

結(jié)論二：順次連接對角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是菱形.

結(jié)論三：順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是正方形.

速記口訣：矩中菱，菱中矩，正中正.

蘢物要其訓(xùn)綣

1.（2022?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）在四邊形ABCD中，對角線4C與BD交于點(diǎn)。，E、F、G、H分別是48、

BC、CD、邊中點(diǎn),連接EF、FG、GH、HE,分別交兩條對角線于點(diǎn)P、點(diǎn)Q、點(diǎn)R、點(diǎn)S,^,AC=BD.

圖1圖2

（1）如圖1,求證：四邊形EFGH是菱形；

⑵如圖2,若2C垂直平分8D,在不添加任何字母及輔助線的情況下，請直接寫出圖中銳角Na,使Na正弦

值等于PR與4B的比值.

2.（2023,黑龍江齊齊哈爾?三模）折紙是一項(xiàng)有趣的活動，有的同學(xué)玩過折紙，可能折過小動物、飛機(jī)、

小船等.在折紙過程中，不僅可以得到一些美麗的圖形，而且其中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識.

如圖①，菱形紙片4BCD中，力8=4/4=60。.

(1)活動一:

如圖②，折疊菱形紙片力BCD,使點(diǎn)力落在點(diǎn)B處，則折痕的長為；菱形紙片4BCD的面積是

(2)活動二：

如圖③，E,￡G,H分別是菱形紙片4BCD各邊的中點(diǎn)，分別沿著折疊并展開.猜想四邊形EFGH

是什么特殊四邊形，并證明你的猜想；

⑶活動三：如圖④，先將菱形紙片4BCD沿4c折疊再展開，點(diǎn)E,F,G,”分別在邊力B,BC,CD,D4上且EFII4C,

再分別沿著EF,FG,GH,HE折疊再展開，若四邊形EFGH是正方形，則4E=；

⑷活動四：如圖⑤，折疊菱形紙片4BCD,使點(diǎn)2落在BC邊的中點(diǎn)尸處，則折痕MN的長為.

題型三：十字架模型

龍麓＞大題典例

1.(2022?四川樂山?中考真題)華師版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第121頁習(xí)題19.3第2小題及參考答案.

2.如圖，在正方形ABCD中，CELDF.求證：CE=DF.

證明：設(shè)CE與。尸交于點(diǎn)O,

???四邊形N2CD是正方形，.-.ZB=ZOCF=90°,BC=CD.；.NBCE+NDCE=90。.

■:CEIDF,:./.COD=90°.:.^.CDF+/.DCE=90°.

:.Z.CDF=Z.BCE.△CBE=ADFC.

：.CE=DF.

某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上解答后，決定對該問題進(jìn)一步探究

(1)【問題探究】如圖，在正方形/BCD中，點(diǎn)E、F、G、〃分別在線段/2、BC、CD、DA1.,且

并證明你的猜想.

(2)【知識遷移】如圖，在矩形/BCD中，AB^m,BC=n,點(diǎn)、E、F、G、〃分別在線段N8、BC、CD、

⑶【拓展應(yīng)用】如圖，在四邊形/BCD中，/.DAB=90°,^ABC=60°,AB=BC,點(diǎn)E、尸分別在線段

rp

上，且求嬴的值.

AB、ADCE1BF.Dr

避黃揖號

【模型介紹】如圖，在正方形ABCD中，若EF_LMN,則EF=MN

(1)問題解決：如圖①，若E,F分別是BC,CD上的點(diǎn)，且4E1BF.求證：AABEmABCF；

⑵類比探究：如圖②，若點(diǎn)E,F,G,H分別在BC,CD,DA,28上，且EG1HF,求證：EG=HF.

⑶遷移應(yīng)用：如圖③，在△ABC中，N4BC=90。，4B=8C,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是4C上一點(diǎn)，且

ADLBE,求力E：EC的值.

2.(2024?山東荷澤,一模)瑯珊中學(xué)九年級一班同學(xué)利用工具，對幾種四邊形進(jìn)行探究.

圖1圖2圖3

【初步認(rèn)識】同學(xué)們所用的工具由兩條互相垂直的直線構(gòu)成，垂足為。如圖1,同學(xué)們將該工具放入正方

形力BCD中，該工具與正方形四條邊的交點(diǎn)分別為E、F、G、H.

(1)若點(diǎn)。在邊長為1的正方形2BCD的中心，直接寫出。6+?！?。6+。F的最大值和最小值.

(2)試猜想黑的值，并證明你的猜想.

rri

【知識遷移】如圖2,同學(xué)們又將該工具放入矩形4BCD中，該工具與矩形四條邊的交點(diǎn)分別為F、G、

H.若=BC=n,則尊=.(直接寫出答案)

rri—

【拓展運(yùn)用】如圖3,同學(xué)們將工具放入四邊形4BCD中，使其經(jīng)過C、2兩點(diǎn)，并與力B邊交于點(diǎn)E,與4D

邊交于點(diǎn)上已知ND4B=90。，乙48c=60。，AB=BC.求D的r值.

3.(2024?廣東陽江?一模)某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下

探究:

圖2圖3圖4

【觀察猜想】

點(diǎn)E,尸分別是4B,4。上的兩點(diǎn)，連接DE,CF,ED1CF,則老的值為

(1)如圖1,在正方形4BCD中,GF

(2)如圖2,在矩形4BCD中，AD=7,=4,點(diǎn)E是4。上的一點(diǎn)，連接CE,BD,且CE1BD,則言的

DU

值為;

【類比探究】

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，乙4=48=90。，點(diǎn)E為4B上一點(diǎn)，連接DE,過點(diǎn)C作DE的垂線交ED的延

長線于點(diǎn)G,交4D的延長線于點(diǎn)尸，求證：DE-AB=CF-AD.

【拓展延伸】

(4)如圖4,在RtaaBD中，NBAD=90。，AD=9,tanzXDfi=將△力BD沿RD翻折，點(diǎn)4落在點(diǎn)C處

得ACBD,點(diǎn)E,尸分別在邊48,4。上，連接DE,CF,DE1CF.求蜉的值.

Cr

題型四：正方形半角模型

龍麓》大題典例

1.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形.如圖①，把一個(gè)含有45。角的三角尺

放在正方形4BCD中，使45。角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)C重合，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，45。角的兩邊CM,

CN始終與正方形的邊4D,48所在直線分別相交于點(diǎn)M,N,連接MN,可得△CMN.

圖③

【探究一】如圖②，把△CDM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到同時(shí)得到點(diǎn)H在直線上.求證:

/.CNM=乙CNH；

【探究二】在圖②中，連接BD,分別交CM,CN于點(diǎn)E,F.求證：4CEFMCNM；

【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線BD與三角尺45。角兩邊CM,CN分別交于點(diǎn)E,F.連接4C

交BD于點(diǎn)0,求=7的值.

2.(2022?貴州黔西?中考真題)如圖1,在正方形4BCD中，E,尸分別是BC,CD邊上的點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)

B,C重合），Mz￡XF=45°.

(1)當(dāng)BE=。尸時(shí)，求證：AE=AF；

(2)猜想BE,EF,。尸三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)如圖2,連接/C,G是。2延長線上一點(diǎn)，GHA.AE,垂足為K,交NC于點(diǎn)X且G”=4E.若DF=a,

CH=b,請用含a,6的代數(shù)式表示EF的長.

蘢龍》解:去揖號.

【模型介紹】正方形半角模型分為“正方形內(nèi)含型半角模型”和“正方形外延型半角模型”，其中前者較

為常見.

正方形內(nèi)含型半角模型結(jié)論：

已知正方形ABCD中，E,F分別是BC、CD上的點(diǎn)，ZEAF=45°,AE、AF分別與BD相交于點(diǎn)0、P,貝心

①EF=BE+DF②AE平分/BEF,AF平分NDFE③C.EF=2倍正方形邊長_____D

@SAABE+SAADF=SAAEF⑤AB=AG=AD(過點(diǎn)A作AGLEF，垂足為點(diǎn)G)

@0P2=0B2+0D2⑦若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，則點(diǎn)F為CD三等分點(diǎn)BEC

⑧AAPOsAAEFsADPFsABEOsADAOsABPA⑨ABEP四點(diǎn)共圓、AOFD四點(diǎn)共圓、OECFP五點(diǎn)共圓

⑩AAPE、AAOF為等腰直角三角形(11)EF=V20P

2

(12)SAAEF=2SAAPO(13)AB=BPX0D

(14)CE-CF=2BE?DF(15)AEPC為等腰三角形

(16)PX=BX+DP(過點(diǎn)E作EX_LBD,垂足為點(diǎn)X)

蘢爾笠式訓(xùn)級

1.(2023?吉林白城?模擬預(yù)測)下面是小明同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整.

圖①圖②圖③

【作業(yè)】如圖①，已知正方形力BCD中，E,尸分另IJ是4B、BC邊上的點(diǎn)，且NEDF=45。.求證：EF=AE+CF.

證明：如圖，將△D4E繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得至貝!=DM/2=NDCM/2DE=ZJWDC.

???四邊形2BCD是正方形，.?.乙4=^ADC=4DCB=90°,

???Z.EDM=乙EDC+乙MDC=Z.EDC+^ADE=Z.ADC=90°.

乙EDF=45°,/.MDF=乙EDF=45°.

又?.?NA=NDCM=NDCB=90。，:.點(diǎn)、B,F,C,M在一條直線上.

DF=DF,EDF=,EF=MF=CM+CF=+CF.

【探究】(1)在圖①中，若正方形力BCD的邊長為3,AE=1,其他條件不變，求EF的長.

解：?.?正方形4BCD的邊長為3,■.-AE=1,.-.BE=2,CM=1.

設(shè)EF=X,貝ijFM=EF=x,FC=FM-CM=x-1,BF=3-(%-1)=4-x.

在RtaBEF中，由22+(4—x)2=/,解得久=,即EF=.

(2)如圖②，在四邊形2BCD中，Z4=ZS=90°,AB=AD=6,BC=4,E是4B邊上的點(diǎn)，且NCDE=45。,

則CE=.

(3)如圖③，在△4BC中，ABAC=45°,力。為BC邊上的高.若BD=2,C￡>=3,貝心。的長為.

2.(2024?湖北隨州?一模)【操作與發(fā)現(xiàn)】

如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)N,將△AMD繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)。與點(diǎn)5重合，從而可得：

DM+BN=MN.

圖①圖②

⑴【實(shí)踐探究】在圖①條件下，若CN=6,CM=8,則正方形4BCD的邊長是.

(2)如圖②，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，AMAN=45°,若tanNB4V=g,求證：“是

CD的中點(diǎn).

⑶【拓展】如圖③，在矩形4BCD,AB=12,力。=16,點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連接2M、AN,BN=4,

則DM的長是.

題型五：四邊形對角互補(bǔ)模型

龍麓》大題典例

1.(2023?湖北襄陽?中考真題)【問題背景】

人教版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第63頁"實(shí)驗(yàn)與探究"問題1如下：如圖，正方形力BCD的對角線相交于點(diǎn)。，點(diǎn)

。又是正方形&8修1。的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長相等，無論正方形4/修1。繞點(diǎn)。怎樣轉(zhuǎn)動，

兩個(gè)正方形重疊部分的面積，總等于一個(gè)正方形面積的!想一想，這是為什么？(此問題不需要作答)

九年級數(shù)學(xué)興趣小組對上面的問題又進(jìn)行了拓展探究、內(nèi)容如下：正方形48CD的對角線相交于點(diǎn)。，點(diǎn)P落

在線段。。上，*=k(k為常數(shù)).

圖1圖2圖3

【特例證明】

ci）如圖1,將RtaPEF的直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)。重合，兩直角邊分別與邊AB,BC相交于點(diǎn)M,N.

①填空：k=；

②求證：PM=PN.（提示：借鑒解決【問題背景】的思路和方法，可直接證明△P2MWZXPBN；也可過

點(diǎn)P分別作ZB,BC的垂線構(gòu)造全等三角形證明.請選擇其中一種方法解答問題②.）

【類比探究】

（2）如圖2,將圖1中的aPEF沿。C方向平移，判斷PM與PN的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并說明

理由.

【拓展運(yùn)用】

（3）如圖3,點(diǎn)N在邊BC上，ABPN=45°,延長NP交邊CD于點(diǎn)E,若EN=kPN,求k的值.

2.（2022?湖北武漢,中考真題）已知是△4BC的角平分線，點(diǎn)E,尸分別在邊AC,BC上，AD^m,

BD=n,△力DE與△BDF的面積之和為S.

⑴填空：當(dāng)Z2CB=9。。，DEIAC,DF1BC時(shí)，

①如圖1,若Z_B=45°,m=5V2,則71=,S=

②如圖2,若NB=60。,m=4遍,則九=,S=

（2）如圖3,當(dāng)乙4cB=尸=90。時(shí)，探究S與加、〃的數(shù)量關(guān)系，并說明理由:

（3）如圖4,當(dāng)乙4cB=60。，ZEDF=12O°,m=6,九=4時(shí)，請直接寫出S的大小.

蘢皿一變其訓(xùn)綣

1.（2024?貴州黔南?一模）小紅在學(xué)習(xí)了三角形的相關(guān)知識后，對等腰直角三角形進(jìn)行了探究，如圖，在

RtaABC中，AB=BC,^ABC=90°,點(diǎn)、D,E分別在邊AB,ACk（不同時(shí)在點(diǎn)/）,連接DE.

⑴問題解決：如圖1,當(dāng)點(diǎn)。，￡分別與點(diǎn)2,。重合時(shí)，將線段DE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段FE,

連接4F,4尸與8C的位置關(guān)系是,數(shù)量關(guān)系是.

（2）問題探究：如圖2,當(dāng)點(diǎn)。，E不與點(diǎn)8,C重合時(shí)，將線段DE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段FE,連

接2F/F與BC的位置關(guān)系是怎樣的？請說明理由.

⑶拓展延伸：如圖3,當(dāng)點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合，且。為4B的中點(diǎn)時(shí)，將線段0E繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到

線段FE,點(diǎn)G是點(diǎn)C關(guān)于直線48的對稱點(diǎn)，若點(diǎn)G,D,尸在一條直線上，求正的值.

2.（2023?吉林長春,二模）【問題呈現(xiàn)】如圖①，點(diǎn)E、F分別在正方形4BCD的邊BC、CD上，

NE4F=45。，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.小聰同學(xué)延長CD至點(diǎn)G,使DG=BE,連接力G,可證

AABE=AADG,進(jìn)而得至U△4EF三△4GF,從而得出BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為.（不需要證

明）.

圖①圖②圖③

【類比引申】如圖②，四邊形4BCD中，^BAD^90°,AB=AD,NB+N。=180。，點(diǎn)E、尸分別在邊BC、

CD上，請回答當(dāng)4瓦4/與ABAD滿足什么關(guān)系時(shí)，仍有【問題呈現(xiàn)】中BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系，并給

出證明.

【探究應(yīng)用】如圖③，在四邊形4BCD中，AB^AD=60,NB=60。，^ADC=120°,/BAD=150。，點(diǎn)E、

F分別在線段BC、CD上，KAEIAD,DF=30g—30,直接寫出線段EF的長.

題型六：正方形對稱模型

蘢麓》大題典例

1.（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，在正方形4BCD中，G是對角線BD上的一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），

GE，CD,GF，BC,E,F分別為垂足.連接EF/G,并延長4G交EF于點(diǎn)H.

(1)求證：4DAG=KEGH.

(2)判斷2”與EF是否垂直，并說明理由.

為?！废S指導(dǎo).

口訣：正方形對角線，連接條件對稱現(xiàn).

為能》笠式訓(xùn)級

1.如圖，在正方形48co中，E是射線CD上一動點(diǎn)(E不與。重合)，連/￡交射線AD于尸點(diǎn)，過尸

作FGL4E交在射線BC于G.

⑴當(dāng)點(diǎn)￡在線段CD上時(shí)，求證：AF=FG.

(2)若2C=10,BG=4,求AF的長；

⑶連EG,當(dāng)￡在射線CD上移動時(shí)，探究線段3G、EG、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

題型七：與正方形有關(guān)的三垂直模型

蘢A2鶻粵例.

1.(2022?遼寧阜新?中考真題)已知，四邊形2BCD是正方形，△DEF繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)(DE<AB),

NEDF=90°,DE=DF,連接力E,CF.

(1)如圖1,求證：△ADE三△CDF；

(2)直線ZE與CF相交于點(diǎn)G.

①如圖2,8"146于點(diǎn)“，BN1CF于點(diǎn)N,求證：四邊形BMGN是正方形；

②如圖3,連接BG,若48=4,DE=2,直接寫出在△DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，線段BG長度的最小值.

2.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)已知，點(diǎn)E、F、G、”分別在正方形4BCD的邊力B、BC、CD、XD±.

(1)如圖1,當(dāng)四邊形EFGH是正方形時(shí)，求證：AE+AH=AB；

(2)如圖2,已知=CF=CG,當(dāng)4E、CF的大小有關(guān)系時(shí)，四邊形EFGH是矩形；

⑶如圖3,AE=DG,EG、FH相交于點(diǎn)。，OE:OF=4:5,已知正方形4BCD的邊長為16,長為20,當(dāng)

△OE”的面積取最大值時(shí)，判斷四邊形EFG”是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論.

奧蘢》基黃揖號.

己知(一線三垂直)圖示結(jié)論(性質(zhì))

如圖AB_LBC,AB=BC,1

△ABD^ABCE,DE=AD+EC

CE_LDE,AD±DE

EB2L

如圖AB_LBC,AB=BC,A

△ABD^ABCE,DE=AD-EC

CEJ_DE,AD±DE

.1一

C

龍A笠式訓(xùn)綣

(1)如圖①，在正方形48CD中，E為力B邊上一點(diǎn)，連結(jié)。E,過點(diǎn)E作EF1DE交BC于點(diǎn)F.易證：

△AEDMBFE.(不需要證明)

(2)如圖②，在矩形4BCD中，E為邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE,過點(diǎn)E作EF1DE交8C于點(diǎn)F.

①求證：AAED-ABFE.

②若4B=10,AD=6,E為AB的中點(diǎn)，求BF的長.

(3)如圖③，在△力8C中，乙4cB=90。，AC=BC,AB=4,E為48邊上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)4、B重合)，

連結(jié)C&過點(diǎn)E作“EF=45咬BC于點(diǎn)F,當(dāng)△CEF為等腰三用形時(shí)，BE的長為多少？

2.【模型引入】

我們在全等學(xué)習(xí)中所總結(jié)的"一線三等角、K型全等"這一基本圖形，可以使得我們在觀察新問題的時(shí)候很迅

速地聯(lián)想，從而借助已有經(jīng)驗(yàn)，迅速解決問題.

AD

DD

圖1ffi2

M

圖7圖8

【模型探究】

如圖，正方形/BCD中，E是對角線3。上一點(diǎn)，連接/E,過點(diǎn)￡作小L4E,交直線CB于點(diǎn)F.

(1)如圖1,若點(diǎn)尸在線段8C上，寫出以與EF的數(shù)量關(guān)系并加以證明;

(2)如圖2,若點(diǎn)尸在線段C2的延長線上，請直接寫出線段2C,和3尸的數(shù)量關(guān)系.

【模型應(yīng)用】

(3)如圖3,正方形N8CD中，48=4,￡為。）上一動點(diǎn)，連接NE交8。于R過尸作F7/1/E于R

過//作8G_LAD于G.則下列結(jié)論：①4F=FH；②乙HAE=45°；③BD=2FG；④△CE"的周長為8.正

確的結(jié)論有個(gè).

(4)如圖4,點(diǎn)E是正方形/BCD對角線2。上一點(diǎn)，連接過點(diǎn)￡作E尸L4E,交線段2C于點(diǎn)R交

線段NC于點(diǎn)M,連接力尸交線段3。于點(diǎn)給出下列四個(gè)結(jié)論，①AE=EF；②)&DE=CF；③&4W

=SAMCF；④BE=DE+&BF；正確的結(jié)論有_個(gè).

【模型變式】

(5)如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形O8CD是正方形，且。(0,2),點(diǎn)E是線段08延長線上一

點(diǎn)，M是線段08上一動點(diǎn)(不包括點(diǎn)。、B),作MN1DM,垂足為M,交NC8E的平分線與點(diǎn)N,求證:

MD=MN

(6)如圖6,在上一間的條件下，連接。N交8c于點(diǎn)尸，連接引W,貝此月河和NMW5之間有怎樣的數(shù)量

關(guān)系？請給出證明.

【拓展延伸】

(7)已知ZA/ON=90。，點(diǎn)N是射線ON上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)8是射線上的一個(gè)動點(diǎn)，且滿足03>

04.點(diǎn)C在線段CM的延長線上，且/C=03.如圖7,在線段2。上截取使連接CE.若

乙OBA+乙OCE=0,當(dāng)點(diǎn)3在射線上運(yùn)動時(shí)，”的大小是否會發(fā)生變化？如果不變，請求出這個(gè)定值；

如果變化，請說明理由.

(8)如圖8,正方形4BCD中，40=6,點(diǎn)E是對角線/C上一點(diǎn)，連接。￡,過點(diǎn)E作EF1E。，交AB

于點(diǎn)尸，連接。尸，交/C于點(diǎn)G,將△￡網(wǎng)7沿斯翻折，得到△ERVf,連接DM,交所于點(diǎn)N,若點(diǎn)尸是

N8邊的中點(diǎn)，則的面積是.

題型八：四邊形翻折模型

龍龍》大題典例

1.(2023,江蘇泰州?中考真題)如圖，矩形28CD是一張44紙，其中力。=岳B,小天用該44紙玩折紙游

戲.

BF

圖②

游戲1折出對角線BD,將點(diǎn)8翻折到BD上的點(diǎn)E處，折痕4F交BD于點(diǎn)G.展開后得到圖①，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)尸

恰為BC的中點(diǎn).

游戲2在游戲1的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)C翻折到BD上，折痕為BP；展開后將點(diǎn)2沿過點(diǎn)尸的直線翻折到BP上

的點(diǎn)〃處；再展開并連接GH后得到圖②，發(fā)現(xiàn)N2GH是一個(gè)特定的角.

⑴請你證明游戲1中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

⑵請你猜想游戲2中N4GH的度數(shù)，并說明理由.

2.（2023?四川達(dá)州?中考真題）（1）如圖①，在矩形4BCD的4B邊上取一點(diǎn)E,將△4DE沿OE翻折，使點(diǎn)

4落在BC上4處，若4B=6,BC=10,求霽的值;

CD

D

圖①圖②圖③

（2）如圖②，在矩形48CD的BC邊上取一點(diǎn)E,將四邊形ABED沿DE翻折，使點(diǎn)B落在。C的延長線上方處,

若BC-CE=24,4B=6,求BE的值;

(3)如圖③，在△4BC中，^BAC=45°,AO1BC,垂足為點(diǎn)=10/E=6,過點(diǎn)E作EF1AD交AC于

點(diǎn)尸，連接DF,且滿足ADFE=2NZMC,直接寫出8D+（EF的值.

蘢龍》鼻黃揖號

模型解讀圖形已知結(jié)論

Af

\￡c

沿著矩形的對角D已知矩形ABCD中，以DAABD^AA'BD

線所在直線進(jìn)行對角線BD為折痕，折疊2）折痕BD垂直平分AA'

翻折ABD,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A'3）ABDE為等腰直角三角形

.

DEc

DABCE^ABC'E

2）折痕BE垂直平分CC'

AB

D__________c

沿著矩形的一個(gè)DAABE^AA'BE

E已知矩形ABCD中，以

頂點(diǎn)和一邊上的2）折痕BE垂直平分AA'

BE為折痕，點(diǎn)A的對應(yīng)

點(diǎn)的線段所在直

A點(diǎn)為A'

線進(jìn)行翻折B

Df

D⑷

rC1）四邊形AFED三四邊形

A'FED'

2）折痕BE垂直平分AA'

AFB

D_EC

VFDAEFC^AEFC'

Cf2）折痕EF垂直平分CC'

AB

Df

C

已知矩形ABCD中，以1）四邊形AEFD0四邊形

沿著矩形邊上的

點(diǎn)E,F為折痕，點(diǎn)A的對A'EFD'

任意兩點(diǎn)所在直\14r

應(yīng)點(diǎn)為A',點(diǎn)C的對應(yīng)2）折痕EF垂直平分AA'

線進(jìn)行翻折

點(diǎn)為C'

AEi

DE

11）四邊形BFEC/四邊形

B'FEC

2）折痕EF垂直平分CC'

AB3）AGB'F為直角三角形

蘢能》變式訓(xùn)練

1.（2023?貴州貴陽?模擬預(yù)測）如圖，在邊長為小的正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別為CD,4B邊上的點(diǎn)，將

正方形4BCD沿EF翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為從點(diǎn)C恰好落在力D邊的點(diǎn)G處.

圖①圖②備用圖

（1）【問題解決】

如圖①，連接CG,貝/G與折痕EF的位置關(guān)系是，CG與EF的數(shù)量關(guān)系是.

⑵【問題探究】

如圖②，連接C”，在翻折過程中，GC平分NDG”，試探究△CGH的面積是否為定值，若為定值，請求出

△CGH的面積；若不是定值，請說明理由;

（3）【拓展延伸】若爪=3,求出CH+CG的最小值.

2.（2023?吉林松原?模擬預(yù)測）【感知】如圖①，RtZiABC中，NC=90°/C=3B,貝此B的度數(shù)為

【探究】如圖②，四邊形4BCD是一張邊長為4的正方形紙片，E,尸分別為AB,CD的中點(diǎn)，沿過點(diǎn)。的折

痕將紙片翻折，使點(diǎn)4落在EF上的點(diǎn)4處，折痕交4E于點(diǎn)G,試求乙4DG的度數(shù)和4G的長;

【拓展】若矩形紙片2BCD按圖③所示的方式折疊，B,。兩點(diǎn)恰好重合于對角線47的中點(diǎn)。（如圖④），則

四邊形力ECF為..；當(dāng)4B=9a時(shí)，則四邊形AECF的面積為..（用含a的代數(shù)式表示）

圖④

題型九：與四邊形有關(guān)的新定義問題

龍麓》大題典例

1.（2023,江蘇?中考真題）綜合與實(shí)踐

定義：將寬與長的比值為之尹5為正整數(shù)）的矩形稱為"階奇妙矩形.

（1）概念理解:

當(dāng)n=l時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1）,這就是我們學(xué)習(xí)過的黃金矩形，它的寬（力D）與長（CD）

的比值是.

（2）操作驗(yàn)證：

用正方形紙片4BCD進(jìn)行如下操作（如圖（2））：

第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為E