2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【新定義問題】數(shù)與式中的新定義問題（解析版）

數(shù)與式中的新定義問題

知識(shí)方法精講

1.解新定義題型的方法：

方法一：從定義知識(shí)的新情景問題入手

這種題型它要求學(xué)生在新定義的條件下，對(duì)提出的說法作出判斷，主要考查學(xué)生閱讀理解能

力，分析問題和解決問題的能力.因此在解這類型題時(shí)就必須先認(rèn)真閱讀，正理解新定義的

含義；再運(yùn)用新定義解決問題；然后得出結(jié)論。

方法二：從數(shù)學(xué)理論應(yīng)用探究問題入手

對(duì)于涉及到數(shù)學(xué)理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細(xì)研究前面的問題解法.即

前面解決問題過程中用到的知識(shí)在后面問題中很可能還會(huì)用到，因此在解決新問題時(shí)，認(rèn)真

閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關(guān)問題和內(nèi)容，并注意這些新知識(shí)運(yùn)用的方法步驟.

方法三：從日常生活中的實(shí)際問題入手

對(duì)于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題,那么處理此類問題需要結(jié)合生活實(shí)際,

再將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)知識(shí)、或者將生活圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，從而利用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答。

2.解新定義題型的步驟：

(1)理解“新定義”一一明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.

⑵重視“舉例”，利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”；歸納“舉例”提供的解

題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.

(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.

3.列代數(shù)式

(1)定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來，

就是列代數(shù)式.

(2)列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義.列代數(shù)式時(shí)，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語,

仔細(xì)辯析詞義.如“除”與“除以”，“平方的差(或平方差)”與“差的平方”的詞義區(qū)分.②

分清數(shù)量關(guān)系.要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系.③注意運(yùn)算順序.列代數(shù)式

時(shí)，一般應(yīng)在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級(jí)運(yùn)算的語言，且又要體現(xiàn)出先低

級(jí)運(yùn)算，要把代數(shù)式中代表低級(jí)運(yùn)算的這部分括起來.④規(guī)范書寫格式.列代數(shù)時(shí)要按要

求規(guī)范地書寫.像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號(hào)不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號(hào)；

除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱什么時(shí)不加

括號(hào)，什么時(shí)要加括號(hào).注意代數(shù)式括號(hào)的適當(dāng)運(yùn)用.⑤正確進(jìn)行代換.列代數(shù)式時(shí)，有

時(shí)需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換.

【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個(gè)問題

1.在同一個(gè)式子或具體問題中，每一個(gè)字母只能代表一個(gè)量.

2.要注意書寫的規(guī)范性.用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“X”

簡寫作或者省略不寫.

3.在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個(gè)數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)要把它化成

假分?jǐn)?shù).

4.含有字母的除法，一般不用“小”（除號(hào)），而是寫成分?jǐn)?shù)的形式.

4.規(guī)律型：數(shù)字的變化類

探究題是近幾年中考命題的亮點(diǎn)，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要

求在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

（1）探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，通常將數(shù)字

與序號(hào)建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡單運(yùn)算，從而得出通項(xiàng)公式.

（2）利用方程解決問題.當(dāng)問題中有多個(gè)未知數(shù)時(shí)，可先設(shè)出其中一個(gè)為x,再利用它們

之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知數(shù)，然后列方程.

5.取整函數(shù)

取整函數(shù).

不超過實(shí)數(shù)X的最大整數(shù)稱為X的整數(shù)部分，記作[X].

X-[x]稱為X的小數(shù)部分，記作｛%｝.

（需要注意的是，對(duì)于負(fù)數(shù)，區(qū)指的并不是X小數(shù)點(diǎn)做右邊的部分，任｝指的是X小數(shù)點(diǎn)右

邊的部分，例如對(duì)于負(fù)數(shù)-3.7,L3.7]=-4,而不是-3,此時(shí)任｝=-3.7-（-4）=0.3,

而不是-0.7）

取整函數(shù)的圖象一般都有跳躍性.

選擇題（共6小題）

1.（2021秋?南沙區(qū)期末）定義新運(yùn)算“〃名）6”：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,6,都有a=,

其中等式右邊是通常的加法、減法和乘法運(yùn)算，如3名）2=（3--2=-1.若工③左=0（左為

實(shí)數(shù)）是關(guān)于X的方程，且x=2是這個(gè)方程的一個(gè)根，則后的值是（）

A.4B.-1或4C.0或4D.1或4

【考點(diǎn)】方程的定義；解一元二次方程-因式分解法；實(shí)數(shù)的運(yùn)算

【分析】根據(jù)定義運(yùn)算“。名）6”：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,都有。W）6=（a-6）2-6,進(jìn)行計(jì)

算即可.

【解答】解：由題意得：

2須=0,

（2-k）2-k=0,

:.k2-5k+4=0,

尢=1,左2=4，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，方程的定義，解一元二次方程-因式分解法，理解定義新

運(yùn)算“。名）6”是解題的關(guān)鍵.

2.（2021秋?洪山區(qū)期末）定義:如果/=N（a>0,awl）,那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，

記作x=logaN.例如：因?yàn)??=49,所以log?49=2；因?yàn)?3=125,所以logsl25=3.則

下列說法中正確的有（）個(gè).

@log66=36；②logj81=4；③若log4（a+14）=4,則a=50;④log2128=log216+log28；

A.4B.3C.2D.1

【考點(diǎn)】有理數(shù)的乘方

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)和乘方互為逆運(yùn)算逐一進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：???6=6,

log66=1,故①不符合題意；

34=81.

log381=4,故②符合題意；

44=256,

q+14=256,

a=242,故③不符合題意;

27=128,

log2128=7,

??.24=16,

/.log216=4,

23=8,

/.log28=3,

???7=4+3,

log2128=log216+log28，故④符合題意;

綜上所述，符合題意的有2個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘方，屬于新定義問題，掌握對(duì)數(shù)和乘方互為逆運(yùn)算是解題的

關(guān)鍵.

3.（2020秋?安新縣期末）定義外為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為rb\=ad-bc,

cdcd

那么當(dāng)x=l時(shí)，二階行列式+1、一2|的值為（）

3—5

A.7B.-7C.1D.-1

【考點(diǎn)】整式的加減一化簡求值；有理數(shù)的混合運(yùn)算

【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算法則列式，然后去括號(hào)，合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡，最后代入求值.

【解答】解：原式=-5（x+l）-3（x-2）

=—5x—5—3x+6

——8x+1f

當(dāng)X=1時(shí)，

原式=-8、1+1=-8+1=-7,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的加減一化簡求值，掌握合并同類項(xiàng)（系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變）

和去括號(hào)的運(yùn)算法則（括號(hào)前面是“+”號(hào)，去掉“+”號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)不變號(hào)；

括號(hào)前面是號(hào)，去掉“-”號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào)）是解題關(guān)鍵.

4.(2021秋?六盤水月考)對(duì)于有理數(shù)〃，b,定義aO6=24-6,則[(x-y)O(x+y)]G>3x

化簡后得()

A.-x+yB.-x-6yC.-x+6yD.-x+4y

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算；整式的加減

【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算列式，去括號(hào)，合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡，注意先算括號(hào)里面的，再算

括號(hào)外面的.

【解答】解：原式=[2(x-y)-(x+y)]03x

=(2x-2y-x-y)Q3x

=(x-3y)O3x

=2(x-3y)-3x

=2x-6y-3x

=-x-6y,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的加減，掌握合并同類項(xiàng)(系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變)和去括號(hào)

的運(yùn)算法則(括號(hào)前面是“+”號(hào)，去掉“+”號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)不變號(hào)；括號(hào)前面

是“一”號(hào)，去掉號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào))是解題關(guān)鍵.

5.(2021秋?瑞安市月考)格子乘法是由明代數(shù)學(xué)家吳敬在其撰寫的《九章算法類比大全》

一書中提出，例如圖1所示計(jì)算89x65,將被乘數(shù)89計(jì)入上行，乘數(shù)65計(jì)入右行.然后

以乘數(shù)65的每位數(shù)字乘被乘數(shù)89的每個(gè)數(shù)字，將結(jié)果計(jì)入相應(yīng)格子中，最后斜行加起來,

即得5785.現(xiàn)用格子乘法進(jìn)行如圖2計(jì)算，問：根據(jù)該計(jì)算得到的最終結(jié)果是()

D.4058

【考點(diǎn)】有理數(shù)的乘法；數(shù)學(xué)常識(shí)

【分析】先根據(jù)題意推出。=4,然后完成圖2即可得解.

【角軍答】解：2x7=14,2x8=16,16-14=2,。+2-。=2,

「.4=4.

.??計(jì)算過程如圖所示:

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義，能夠理解新定義，根據(jù)題意推出“的值，是解題的關(guān)鍵.

6.（2021秋?德城區(qū)校級(jí)月考）對(duì)于正整數(shù)"，我們定義一種“運(yùn)算"：①當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，結(jié)

果為"+1；②當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果Lz,并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行.例如，取〃=9,則若〃=12,

2

則第2019次運(yùn)算的結(jié)果是（）

9第1次運(yùn)算，10第2次運(yùn)算J5第3次運(yùn)算「6

A.2018B.2017C.2D.1

【考點(diǎn)】有理數(shù)

【分析】按新定義的運(yùn)算法則，分別計(jì)算出當(dāng)〃=9時(shí)，第一'二、三、四、五次運(yùn)算的結(jié)

果，發(fā)現(xiàn)循環(huán)規(guī)律即可解答.

【解答】解：由題意可得，

當(dāng)”=9時(shí)，

第一次輸出的結(jié)果為：10,

第二次輸出的結(jié)果為：5,

第三次輸出的結(jié)果為：6,

第四次輸出的結(jié)果為：3,

第五次輸出的結(jié)果為：4,

第六次輸出的結(jié)果為：2,

第七次輸出的結(jié)果為：1,

第八次輸出的結(jié)果為：2,

第九次輸出的結(jié)果為：1,

...9

即從第六次開始2和1出現(xiàn)循環(huán)，偶數(shù)次為2,奇數(shù)次為1,

.?.當(dāng)〃=9時(shí)，第2019次運(yùn)算的結(jié)果是1.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)輸

出結(jié)果的變化特點(diǎn).

二.填空題(共7小題)

7.(2021秋?海曙區(qū)期末)對(duì)實(shí)數(shù)0、6規(guī)定一種新運(yùn)算4,若046=成-6,則方程工/\2=0

的解是—x=1—.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；解一元一次方程

【分析】根據(jù)題目已知的新運(yùn)算，列出方程進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：由題意得：

2x—2=0,

7.x=2,

x=1,

故答案為：X=l.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解一元一次方程，理解題目已知的新運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

8.(2021秋?順義區(qū)期末)對(duì)于任意的正數(shù)。，6,定義運(yùn)算“*”如下：a*b=\^*d,

yjb-y/a-(a<b)

計(jì)算(3*2)+(48*50)的結(jié)果為_4&-36_.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算

【分析】根據(jù)題目已知的定義運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解:(3*2)+(48*50)

=V3-V2+V50-V48

=V3-V2+5A/2-4A/3

=4夜-3百,

故答案為：4V2-3V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，理解題目已知的定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

9.(2021秋?遷安市期末)對(duì)于實(shí)數(shù)產(chǎn)，我們規(guī)定：用｛J5｝表示不小于G的最小整數(shù).例

如：｛"｝=2,｛百｝=2,現(xiàn)在對(duì)72進(jìn)行如下操作：

72第一次卜歷卜9第二次卜同=3第三次卜同=2,即對(duì)72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?.類

比上述操作：對(duì)36只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?；如果只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所

有正整數(shù)中最大的數(shù)為—.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；估算無理數(shù)的大小

【分析】仿照題目已知的例題即可解答.

【解答】解：由題意得：

現(xiàn)在對(duì)36進(jìn)行如下操作：

36第一次(麗｝=6第二次卜佰｝=3第三次卜6｝=2,

.?.對(duì)36只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?；

現(xiàn)在對(duì)256進(jìn)行如下操作：

256第一次卜酶｝=16第二次卜恁｝=4第三次卜"｝=2,

如果只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中最大的數(shù)為：256；

故答案為：3,256.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了估算無理數(shù)的大小，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，理解已知條件的規(guī)定：用｛J萬｝表示

不小于力的最小整數(shù)，是解題的關(guān)鍵.

10.(2021秋?金牛區(qū)期末)規(guī)定“①”是一種新的運(yùn)算符號(hào)：a^b=a-+ab-1,已知

3①(2①x)=-l,則x=_-3_.

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算

【分析】根據(jù)規(guī)定，先計(jì)算3①(2①x),再解關(guān)于x的方程.

【解答】解：；3①(2①x)

=30(22+2X-1)

=32+3(4+2X-1)-1

=9+12+6x—3—1

=6x+17,

又?.?3①(2①x)=—1,

/.6x+17=—1.

x=-3?

故答案為：-3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解和掌握新定義的規(guī)定是解決本題的關(guān)鍵.

11.(2021秋?成都期末)對(duì)于實(shí)數(shù)x,y,定義新運(yùn)算：y=ax+by+c,其中a,b,c

是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算.已知3*2=7,5*3=16,那么1*1=_-2_.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；解三元一次方程組

【分析】根據(jù)定義的新運(yùn)算，列出關(guān)于a,b,。的三元一次方程組，解方程組即可解答.

【解答】解：由定義可知：l*l=Q+b+C,

設(shè)。+/7+。=左，

?.?3*2=7,5*3=16,

3。+2b+c=7,5a+36+c=16,

a+b+c=k?

由題意得：＜3a+26+c=7②，

5a+36+c=16③

③-②得：2a+b=9,④

②-①得：2a+b=7-Z,⑤

「.7-左=9,

/.k——2,

。+6+。=—2,

.-.1*1=-2,

故答案為：-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解三元一次方程組，理解定義新運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

12.(2021秋?福田區(qū)校級(jí)期末)規(guī)定：符號(hào)[幻叫做取整符號(hào)，它表示不超過x的最大整數(shù),

例如：[5]=5,[2.6]=2,[0,2]=0.現(xiàn)在有一列非負(fù)數(shù)%,a2,%，…，已知%=10，當(dāng)

〃目時(shí)，an=an_x+1-一[一■])，貝Ua2022的值為11.

【考點(diǎn)】取整函數(shù)

【分析】由所給條件分別求出q=10,%=11，%=12，%=13,“5=14,。6=1°，???，

從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每5個(gè)結(jié)果循環(huán)一次，則可得4022=4=11.

【解答】解：＜％=10,

/.4=q+1-5([自—0)=11,

%=%+1-5([|]-3=12,

32

tz4=a3+l-5([-]-[-])=13,

%=%+1-5(申-申)=14,

4

。6=%+1-5([1]-[])=10，

「.可,a2,a3,...?每5個(gè)結(jié)果循環(huán)一次，

2022+5=404…2,

??。2022=。2=11，

故答案為：11.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查取整函數(shù)，理解定義，通過對(duì)所給的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)結(jié)果的循環(huán)規(guī)律是

解題的關(guān)鍵.

13.(2021?金鳳區(qū)二模)定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)“，b,者B有a十6=a(6+l)-6,等式

右邊是通常的加法、減法及乘法運(yùn)算，比如：302=3x(2+l)—2=9-2=7.

(1)2?(-3)=_-1_.

(2)若-2十x等于-5,貝!Jx=.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算

【分析】(1)根據(jù)新定義運(yùn)算法則進(jìn)行求值即可求出答案.

(2)根據(jù)題意列出方程即可求出x的值.

【解答】解：(1)原式=2x(_3+l)-(-3)

=2x(-2)+3

=—4+3

=-l.

故答案為：-1.

(2)由題意可知：—2(x+1)—x=—59

—2,x—2—x——5,

~3x=-3,

..x-1,

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

三.解答題(共13小題)

14.(2021秋?順德區(qū)期末)用“G)”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任何有理數(shù)x和歹，規(guī)定

2x+-y(x-^)

x?j?=<.

1

y--x(zx>y)

(1)求2便)(-3)的值；

(2)若(-/)便)2=冽，求加的最大整數(shù)；

(3)若關(guān)于〃的方程滿足：1③咒-2,求〃的值；

2

(4)^--A=-t3--t2-2t-2,工5=-工/3+2/2+3/+1,且/(g)3=-2,求5+12f—2/的

33322

值.

【考點(diǎn)】解一元一次方程；整式的加減一化簡求值；有理數(shù)的混合運(yùn)算

【分析】(1)由定義可得，2名)(-3)=-3-92=-4；

(2)由-,則(-/)(g)2=2x(-/)+gx2=〃?，即可求解；

131Q

(3)分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，2+—n=——〃一2；當(dāng)1〉〃時(shí)，n--=——n-2；求出〃

2222

的值即可；

(4)由題意可求「.4=—『+8?+6，+6,B=-t3+4t2+6t+2,再由4〉5,可得

/名)3=-r+4/+6彳+2-；(一/+8/+6/+6)=-2,得到/一61-2=0,再求解即可.

【解答】解：(1)2?(—3)=—3—^x2=—3—1=—4；

(2)?.?-/會(huì),

222

(-a)02=2x(-fl)+1x2=-2a+l=m,

—2。2+,

???加的最大整數(shù)1;

i7

(3)當(dāng)19時(shí)，2+±〃=一巳〃一2,

22

n=-2(舍)；

當(dāng)1>幾時(shí)，n--=--n-2,

22

3

..n=—；

5

(4)\'--A=-t3--t2-2t-2,-B=--t3+2t2+3t+l

333229

/.A=—『+8J+6/+6,B=-+4/+6/+2,

當(dāng)小力時(shí),即一尸+84+叩+66戶+4產(chǎn)+6f+2,

/.t2^-1(舍)；

當(dāng)/〉8時(shí)，即一人+8*+6/+6>-t3+4/+6,+2,

/>—1,

:.A?B=-t3+4〃+6/+2-1(-?3+8f2+6/+6)=一2,

—6/-2=0,

二.5+12t-2/=-2(6/+2)+12/+5=-12/-4+12l+5=l.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義，整式的加減法，理解題意，熟練掌握整式的運(yùn)算法則，分類討論

是解題的關(guān)鍵.

15.(2021秋?門頭溝區(qū)期末)對(duì)于任意兩個(gè)非零實(shí)數(shù)。，b,定義運(yùn)算⑤如下：

a/八、

b(fl>0).

a+b(a<0)

如：2(8)3=g,(-2)03=-2+3=l.

根據(jù)上述定義，解決下列問題:

(1)V60V3=_V2_,(-=；

(2)$n>(x2+l)?(x2-x)=l,那么x=；

(3)如果(/_3)?x=(-2)(8)x,求x的值.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；解分式方程

【分析】(1)根據(jù)題目已知的定義運(yùn)算，進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)根據(jù)題意可知x2+l>0,然后根據(jù)題目已知的定義運(yùn)算，列出方程進(jìn)行計(jì)算即可;

(3)分兩種情況，X2-3>0,X2-3<0.

【解答】解：(1)V60V3

=41，

(-V5)0V5

=-y[5+y/5

=0,

故答案為：V2,0；

(2)由題意可知％2+i>o,

(x2+l)?(x2-x)=l,

X2+11

-2=],

X-X

+1=%?—X9

.X=-1,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=—1時(shí)，x2—x0f

.?.x=T是原方程的根，

故答案為：-1；

(3)當(dāng)％、一3>0時(shí),

解得：％=3,

2

經(jīng)檢驗(yàn)％=3是原方程的解，但不符合——3>0,

2

x=—舍去，

2

當(dāng)工2一3<0時(shí)，

—3+x=-2+x,

解得：x=±1,

經(jīng)檢驗(yàn)x=±l是原方程的解，且符合/_3<0,

x=±1,

綜上所述：X的值為±1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解分式方程，理解題目已知的定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

16.(2021秋?通州區(qū)期末)現(xiàn)有四個(gè)正整數(shù)分布在正方形上，規(guī)定一次操作為；將相鄰的

兩個(gè)數(shù)作差再取絕對(duì)值.圖1是小歡兩次操作的示意圖：

(1)圖2是兩次操作的過程，請(qǐng)將空缺的數(shù)補(bǔ)全;

圖2

(2)在經(jīng)過若干次操作后，如果這4個(gè)整數(shù)最終都變?yōu)?,我們就稱其進(jìn)入了“穩(wěn)定狀態(tài)”.請(qǐng)

將1,2,3,4以某種順序排列在圖3所示的正方形上，通過若干次操作，使其進(jìn)入“穩(wěn)定

狀態(tài)”，請(qǐng)畫圖呈現(xiàn)操作次數(shù)最少的過程；

(3)1,3,6,機(jī)這4個(gè)正整數(shù)以如圖4的方式排列在正方形上.如果通過三次操作進(jìn)入

【考點(diǎn)】絕對(duì)值；規(guī)律型：數(shù)字的變化類

【分析】(1)根據(jù)“將相鄰的兩個(gè)數(shù)作差再取絕對(duì)值”進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)根據(jù)操作規(guī)定“將相鄰的兩個(gè)數(shù)作差再取絕對(duì)值"和''穩(wěn)定狀態(tài)”的定義即可得出答

案;

(3)根據(jù)題意得出方程組，解方程組即可.

【解答】解：(1)根據(jù)“將相鄰的兩個(gè)數(shù)作差再取絕對(duì)值”可得:

圖2

故答案為：5,2；

(2)如圖所示：

(3)如圖:

||m-l|-5|-2=0

||m-3|-3|-2=0

||m-l|-5|-||m-l|-|m-3||=0

||m-3|-3|-||m-l|-|m-3||=0

解得：冽=8或4或-2,

*/m是正整數(shù)，

/.滿足條件的m值為8或4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，代數(shù)式的運(yùn)算，含絕對(duì)值方程，解題關(guān)鍵是理解題意，讀

懂新定義并運(yùn)用新定義.

17.(2021秋?魯?shù)榭h期末)用“△”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a、b,規(guī)定：aX

b=ab2-2ab+a,例如：1A2=1X22—2xlx2+l=l.

(1)求(-2)/\3的值；

(2)求qZ\3的值；

2

(3)若(x-l)Z\5=4,求x的值.

【考點(diǎn)】解一元一次方程；有理數(shù)的混合運(yùn)算

【分析】(1)按照定義的新運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)按照定義的新運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)按照定義的新運(yùn)算，列出關(guān)于x方程，然后解方程即可求出x的值.

【解答】解：(1)(-2)A3--2X32-2X(-2)X3+(-2)

=-18+12-2

=-8；

(2)-A3=-X32-2X-X3+-

2222

9_a

a—3aH—

22

=2a；

(3)?/(x-1)△5=25(x-1)-10(x-1)+x-1

=25x—25—10%+10+x—1

=16x-16,

:.16x-16=4f

解得：％=』.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次方程，有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解題目中定義的新運(yùn)算是解題

的關(guān)鍵.

18.(2021秋?武昌區(qū)期末)知識(shí)背景：已知a,6為有理數(shù)，規(guī)定：f(a)=|。-2|,g(b)

=g+31,例如：/(-3)=|-3-2|=5,g(-2)=|-2+3|=l.

知識(shí)應(yīng)用：

(1)若/(a)+g(b)=0,求3〃一56的值；

(2)求/(q—l)+g(a—l)的最值；

知識(shí)遷移：若有理數(shù)a,b,c滿足|a-b+c+3|=a+b+c-3,且關(guān)于x的方程

QX—2c=2a-ex有無數(shù)解,/(26—4)。0,求|a+26+c+5|—|a+b+c+7|—|一3—61的值.

【考點(diǎn)】絕對(duì)值；一元一次方程的解

【分析】(1)根據(jù)題中的新規(guī)定列出等式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出。與b的值，代入原式

計(jì)算即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題中的新規(guī)定列出等式，根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式及絕對(duì)值的代數(shù)意義求出

最小值即可；

知識(shí)遷移：求出a+c=0,b>3,再計(jì)算絕對(duì)值即可.

【解答】解：(1)???/(a)=\a-2\,g(b)=\b+3\,

f(a)+g(b)=\a-2\+\b+3\=0,

a=2Jb=—39

「.3?！?b=3x2—5x(—3)=6+15=21；

(2)/(?-1)+g(a-1)=|a-31+1a+21,

3|+|a+2|表示點(diǎn)〃到3和-2的距離之和，

/.|d—31+1iz+21-^5,

.?./(a—l)+g(q—1)有最小值5；

知識(shí)遷移：ax-2c=2a-exM(?+c)x=2(a+c),

???方程有無數(shù)解，

:.a+c=0J

*.*|a—6+c+3|=|(q+c)—(b—3)|,

當(dāng)a+C\^)—3,|ci—Z)+C+3|=Q+。—6+3=Q+Z?+C—3,

「.6=3，

a+cd;

當(dāng)a+c^-b—3,|ci—Z?+c+31—Z7—3—a—c—6z+Z?+c—3,

a+c=0,

/.bp；

?//(2b—4)w0,

26—4—2|w0,

6w3，

:.b>3,

.*.|a+2b+c+5|—|Q+6+C+7]—|—3—b\

二|2b+5\-\b+l\-\-3-b\

=2b+5—(b+7)—(3+6)

二—5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義，理解定義，熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)，一元一次方程的解法是解題

的關(guān)鍵.

19.(2021秋?北京期末)我們規(guī)定：使得a-b=成立的一對(duì)數(shù)a,6為“積差等數(shù)對(duì)”，

記為(a,b).例如,因?yàn)?.5-0.6=1.5x0.6,(—2)—2=(—2)x2,所以數(shù)對(duì)(1.5,0.6),(-2,2)

都是“積差等數(shù)對(duì)”.

(1)下列數(shù)對(duì)中，是“積差等數(shù)對(duì)”的是①③；

71

①(2,字；②(1.5,3)；③(-屋-1).

(2)若(左,-3)是“積差等數(shù)對(duì)"，求2的值;

(3)若(私〃)是''積差等數(shù)對(duì)“，求代數(shù)式4[3〃7〃-機(jī)-2(加〃-1)]-2(3??-2〃)+6〃?2的值.

【考點(diǎn)】整式的加減一化簡求值；解一元一次方程

【分析】(1)根據(jù)新定義內(nèi)容進(jìn)行計(jì)算，從而作出判斷；

(2)根據(jù)新定義內(nèi)容列方程求解；

(3)將原式去括號(hào)，合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡，然后根據(jù)新定義內(nèi)容列出等式并化簡，最后代

入求值.

【解答】解：(1)@2--=-,2x2=3,

3333

，2-2=2x2,故①是“積差等數(shù)對(duì)”，

33

②1.5-3=-1.5,1.5x3=45,

..1.5-3^1,5x3,故②不是“積差等數(shù)對(duì)”,

-1-(-1)=-1x(-1),故③是“積差等數(shù)對(duì)”,

故答案為：①③；

(2)???/,-3)是“積差等數(shù)對(duì)”，

/.k—(—3)=—3k,

解得：k=~,

,左的值為3；

(3)原式=4(3加〃一加一2加〃+2)—6加之+4〃+6^2

=\2rnn—4m-Smn+8-6m2+4〃+6m2

=4mn-4m+4〃，

???(加㈤是“積差等數(shù)對(duì)”,

:.m-n=mn，

原式=4mn-4(m-n)

4mn-4mn

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新定義內(nèi)容，考查解一元一次方程，整式的加減一化簡求值，理解“積差

等數(shù)對(duì)”的定義，掌握解一元一次方程的步驟以及合并同類項(xiàng)(系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不

變)和去括號(hào)的運(yùn)算法則(括號(hào)前面是“+”號(hào)，去掉號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)不變

號(hào)；括號(hào)前面是“-”號(hào)，去掉”號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào))是解題關(guān)鍵.

20.(2021秋?工業(yè)園區(qū)期末)對(duì)于任意有理數(shù)a、b,如果滿足@+白=那么稱它們

232+3

為“伴侶數(shù)對(duì)"，記為(a,6).

(1)若(x,2)是“伴侶數(shù)對(duì)”，求x的值;

（2）若（加⑼是“伴侶數(shù)對(duì)"，求3〃+g[5（3%+2）-2（3機(jī)+〃）]的值.

【考點(diǎn)】整式的加減一化簡求值；解：一元一次方程

【分析】（1）根據(jù)新定義內(nèi)容列方程求解；

（2）先將原式去括號(hào)，合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡，然后根據(jù)新定義內(nèi)容列出等式進(jìn)行化簡，最

后代入求值.

【解答】解：⑴???（X,2）是“伴侶數(shù)對(duì)”,

x2x+2

—I—=------，

232+3

整理，可得：二+2=3，

235

解得：%=

9

即％的值為

9

（2）原式=3〃+g（15加+10—6加一2〃）

）15匚°

=3n-\----m+j-3m-n

2

c9u

=2〃+—冽+5,

2

???（加/）是“伴侶數(shù)對(duì)”,

mnm+n

----1---=--------9

232+3

4

整理，可得：m=——n,

9

a4

原式=2〃+—x（——n）+5

29

二2〃一2〃+5

=5.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新定義題目，解一元一次方程，整式的加減一化簡求值，理解“伴侶數(shù)對(duì)”

的定義，掌握解一元一次方程的步驟以及合并同類項(xiàng)（系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變）和去

括號(hào)的運(yùn)算法則（括號(hào)前面是“+”號(hào)，去掉“+”號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)不變號(hào)；括號(hào)

前面是“-”號(hào)，去掉”號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào)）是解題關(guān)鍵

21.（2021?九龍坡區(qū)校級(jí)模擬）對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)N,如果N滿足各數(shù)位上的數(shù)字不全

相同且均不為0,它的千位數(shù)字減去個(gè)位數(shù)字之差等于百位數(shù)字減去十位數(shù)字之差，那么稱

這個(gè)數(shù)N為“差同數(shù)”.對(duì)于一個(gè)“差同數(shù)”N,將它的千位和個(gè)位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百

位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為s,將它的千位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和個(gè)位構(gòu)成

的兩位數(shù)所得差記為,，規(guī)定："N）=葉二.例如：N=7513,因?yàn)?-3=5-1,故：7513

29

是一個(gè)“差同數(shù)”.所以：s=73-51=22/=71-53=18,則：F（7513）=22^36=2.

（1）請(qǐng)判斷2586、8734是否是“差同數(shù)”.如果是，請(qǐng)求出b（N）的值；

（2）若自然數(shù)尸,。都是“差同數(shù)"，其中尸=1000x+10y+616,0=100優(yōu)+〃+3042（1金遂,

0^^,ipp,（Mr?,x,y,m,"都是整數(shù)），規(guī)定：左=型2，當(dāng)3尸（尸）-尸（。）

廠（。）

能被11整除時(shí)，求后的最小值.

【考點(diǎn)】列代數(shù)式；因式分解的應(yīng)用

【分析】（1）根據(jù)新定義，先判斷2586,8734是否是“差同數(shù)”，再仿照樣例進(jìn)行解答便可;

（2）根據(jù)新定義與已知條件，用一個(gè)字母的代數(shù)式表示"再根據(jù)此字母的取值范圍便可

求出左的最值.

【解答】解：（1）對(duì)于2586,其各數(shù)位上的數(shù)字不全相同且均不為0,

2—6w5—8,

.?.2586不是“差同數(shù)”，

對(duì)于8734,其各數(shù)位上的數(shù)字不全相同且均不為0,

v8-4=7-3,

.18734是“差同數(shù)”,

,-.5=84-73=11,f=83-74=9,

尸(8734)=[J〉=1,

.?.2586不是“差同數(shù)”,8734是“差同數(shù)”，尸（8734）=1；

(2)VP=1000x+10y+616=1000%+600+10(y+1)+6,

.?.尸的千位數(shù)字為x,百位數(shù)字為6,十位數(shù)字為(y+1),個(gè)位數(shù)字為6,

又???自然數(shù)P是差同數(shù)，

..x-6=6-(j+1)即x+y=11,

Sp=(10x+6)-(61+j)=lOx-J/-55,

tp=(10x+j^+l)-66=10x+y-65,

.“小_10-—55+2(10%+?-65)

…-29

,/Q=100m+〃+3042=3000+100m+40+w+2，

二。的千位數(shù)字為3,百位數(shù)字為小，十位數(shù)字為4,個(gè)位數(shù)字為(”+2),

又???自然數(shù)。是差同數(shù)，

3—(〃+2)=加一4,艮加+〃=5,

:.sQ=30+n+2-(10m+4)=77-10m+28，

=34—(10m+?+2)=32-10m-n，

廠/八、n_10m+28+2(32-10m-w).

二.尸(0)=-------------------------------------=3-m,

.?.3F(P)-F(0=3(x-6)-(3-m)=3x+m-21,

*/]/忑,0@,且x+y=11,

,/，06￡,且冽+〃=5,

1曾2,

/.—1l~^3x+m—21世1,

又3x+冽-21能被11整除,

3x+加一21=±11或0,

①當(dāng)3x+%一21=—11時(shí)，x=3,m=l,)=8,九=4,

_F(P)3-63

此時(shí),7

F(Q)~3-12

②當(dāng)3x+加一21=11時(shí)，x=9,m=5,y=2,〃=0,

,F(P)9-63

此時(shí),==

F(e)3^52

③當(dāng)3x+加一21=0時(shí)，x=6,加=3,

此時(shí)，尸(。)=0,

二.左值不存在，

綜上，發(fā)的最小值為-3.

2

【點(diǎn)評(píng)】此題考查新定義下的實(shí)數(shù)，整式的加減運(yùn)算，理解新定義內(nèi)容，注意分類討論思想

的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

22.(2021?寧波模擬)規(guī)定一種新運(yùn)算?！?=/一26.

(1)求(-1)派2的值;

(2)這種新運(yùn)算滿足交換律嗎？若不滿足請(qǐng)舉反例，若滿足請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算

【分析】(1)把。=(-1),6=2,代入所給運(yùn)算中計(jì)算就可以了；

(2)不滿足，舉出反例，例如：1X2/2XI等.

【解答】解：(1)(一1)派2=(-1)2-2*2=1-4=一3；

(2)不滿足.

例如：-/I※2=-3,2X1=2.

二1X2W2X1.

【點(diǎn)評(píng)】按照所給運(yùn)算的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算就可以了.

23.(2020?河北一模)有一種用定義的新運(yùn)算，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,都有“☆

b=b2+2a+].例如7^4=42+2x7+l=31.

(1)已知-他翁3的結(jié)果是-4,則加=7.

(2)將兩個(gè)實(shí)數(shù)2〃和2用這種新定義“☆”加以運(yùn)算，結(jié)果為9,則“的值是多少？

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算

【分析】(1)直接根據(jù)題意得出關(guān)于機(jī)的等式進(jìn)而得出答案；

(2)直接根據(jù)題意得出關(guān)于〃的等式進(jìn)而得出力的值.

【解答】解：(1)根據(jù)題意可得：—m☆3=3。-2m+1=-4,

解得：機(jī)=7；

故答案為：7；

(2)根據(jù)題意可得：2〃☆(〃-2)=9,

即(M-2)2+4H+1=9,

解得：〃=2或-2,

-2)☆2〃=4M2+2(〃-2)+1=9,

解得：〃=-2或—，

2

則〃=-2或一或2.

2

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算以及一元二次方程的解法，正確解方程是解題關(guān)鍵.

24.(2021秋?海淀區(qū)校級(jí)期末)在數(shù)軸上，。為原點(diǎn)，點(diǎn)4,8對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是a,

b(aw0),M為線段AB的中點(diǎn).

給出如下定義：若。/+。3=4,則稱/是2的“正比點(diǎn)”；若。NxO3=4,則稱/是3的

“反比點(diǎn)例如0=2,6=工時(shí)，/是2的“正比點(diǎn)”；a=2,6=-2時(shí)，/是3的''反

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比點(diǎn)

(1)若|。+4|+3-8)2=0,則M對(duì)應(yīng)的數(shù)為2,下列說法正確的是(填序號(hào)).

①/是M的“正比點(diǎn)"；②/是"的''反比點(diǎn)”；③3是M的''正比點(diǎn)”；④B是M的

“反比點(diǎn)”；

(2)若/>0,且M是/的“正比點(diǎn)”，求3的值；

b

(3)若M<0,且M既是/,B其中點(diǎn)的“正比點(diǎn)”，又是另一點(diǎn)的“反比點(diǎn)”，直接寫

出人的值.

b

【考點(diǎn)】數(shù)軸；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值

【分析】(1)由|a+4|+(6-8)2=0,得a=-4,6=8,則中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為：言丑=2,

利用“正比點(diǎn)”，“反比點(diǎn)”的定義直接判斷即可；

(2)先表示出M點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為：吐2,分析出*都同號(hào)，根據(jù)定義得。“+。4=4,

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得*=4〃，化簡即可求解；

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(3)利用定義可得=1,得06=-1,分兩種情況：①(W=4|a|,得|苫。=4⑷，

解方程即可；②。河=4|6|,得|等卜4|6|,解方程即可求解.

【解答】解：(1)???|。+4|+0-8)2=0,

u=—496=8,

???M為線段45的中點(diǎn).

對(duì)應(yīng)的數(shù)為：士^=2,

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①CU+(W=4+2=2,

不是M的“正比點(diǎn)”；

@OAxOM=4x2=8,

二/不是〃■的"反比點(diǎn)"；

③O8+OM=8+2=4,

二2是河的“正比點(diǎn)”；

④O5x(W=8x2=16,

.?.3是”的“反比點(diǎn)”；

故答案為：2；③；

(2)???M為線段45的中點(diǎn),

二.M點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為：巴心，

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ab>0f

:.afb,土吆都同號(hào)，

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???M是4的“正比點(diǎn)”，

:.OM^OA=4f

a+b

—■4A67，

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1a=b,

a