2025年中考數(shù)學思想方法復習【新定義問題】三角形中的新定義問題（解析版）

三角形中的新定義問題

知識方法精講

1.解新定義題型的方法：

方法一：從定義知識的新情景問題入手

這種題型它要求學生在新定義的條件下，對提出的說法作出判斷，主要考查學生閱讀理解能

力，分析問題和解決問題的能力.因此在解這類型題時就必須先認真閱讀，正理解新定義的

含義；再運用新定義解決問題；然后得出結(jié)論。

方法二：從數(shù)學理論應用探究問題入手

對于涉及到數(shù)學理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細研究前面的問題解法.即

前面解決問題過程中用到的知識在后面問題中很可能還會用到，因此在解決新問題時，認真

閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關問題和內(nèi)容，并注意這些新知識運用的方法步驟.

方法三：從日常生活中的實際問題入手

對于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題,那么處理此類問題需要結(jié)合生活實際,

再將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學知識、或者將生活圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學圖形，從而利用數(shù)學知識進行解答。

2.解新定義題型的步驟：

(1)理解“新定義”一一明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.

⑵重視“舉例”，利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”；歸納“舉例”提供的解

題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.

(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.

3.三角形內(nèi)角和定理

(1)三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且

每個內(nèi)角均大于0°且小于180°.

(2)三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

(3)三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角.在

轉(zhuǎn)化中借助平行線.

(4)三角形內(nèi)角和定理的應用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關

系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，己知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

4.線段垂直平分線的性質(zhì)

(1)定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平

分線(中垂線)垂直平分線，簡稱“中垂線”.

(2)性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點，

到線段兩端點的距離相等.③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外

心，并且這一點到三個頂點的距離相等.

5.等腰三角形的性質(zhì)

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

(3)在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個元素中，從

中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論.

6.等邊三角形的性質(zhì)

(1)等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等

腰三角形.

①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況.在等邊三角形

中，腰和底、頂角和底角是相對而言的.

(2)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°.

等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊

的垂直平分線是對稱軸.

7.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平

方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么。2+b2=c2.

(2)勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式/+y=C2的變形有：a=J2.2,b=j232及。=\//+卜2.

(4)由于a2+62=c2>/，所以c>°,同理。>從即直角三角形的斜邊大于該直角三角形

中的每一條直角邊.

8.勾股定理的逆定理

(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長°,6,C滿足。2+廬=’2,那么這個三角形就

是直角三角形.

說明：

①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形.必須滿足

較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷.

(2)運用勾股定理的逆定理解決問題的實質(zhì)就是判斷一個角是不是直角.然后進一步結(jié)合

其他已知條件來解決問題.

注意：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩

條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是.

9.三角形的外接圓與外心

(1)外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓.

(2)外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心.

(3)概念說明：

①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點.

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角

三角形的外心在三角形的外部.

③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接

圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個.

10.相似三角形的判定與性質(zhì)

(1)相似三角形相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對應邊的比相等和

對應角相等兩方面下定義；反過來，兩個三角形相似也有對應角相等，對應邊的比相等.

(2)三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利

用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形

的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作

輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可單獨使用，有時需要綜合運用，無論

是單獨使用還是綜合運用，都要具備應有的條件方可.

11.解直角三角形

（1）解直角三角形的定義

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.

（2）解直角三角形要用到的關系

①銳角、直角之間的關系：ZA+ZB=90°；

②三邊之間的關系：a?+62=c2；

③邊角之間的關系：

NA的對邊_aNA的鄰邊_bNA的對邊_a

sinJcosAtanA

雁——丁雁——丁NA的鄰邊

（a,b,c分別是//、/B、NC的對邊）

一.填空題（共5小題）

1.（2021秋?花都區(qū)期末）如圖，在四邊形/2C。中，AB=BC,AD=CD,我們把這種

兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”.箏形N8CD的對角線NC、8。相交于點。.已

知/4DC=120。，AABC=60°,小嬋同學得到如下結(jié)論：①A42c是等邊三角形；②

BD=2AD；③端邊形加8=/。助；④點M、N分別在線段/B、BC上，且/"DN=60°,

則=+其中正確的結(jié)論有①②④.（填寫所有正確結(jié)論的序號）

【考點】三角形綜合題

【分析】由“箏形”的性質(zhì)可得N3=3C,AD=CD,可證A48C是等邊三角形，故①正

確；由"SSS”可證KABD=NCBD,可得ZABD=ZCBD=30°,ZADB=ZBDC=60°,由

直角三角形的性質(zhì)可得應＞=2/。，故②正確；由面積關系可求S四邊如BCO=LX/CX&D,故

③錯誤；延長8C到E,使CE=4W,連接由“SNS”可證AMLWMAEDN,可得

MN=EN,由線段和差關系可得〃N=4M+CN,故④正確，即可求解.

【解答】解：?.?四邊形/5C0是“箏形”四邊形，

;.AB=BC,AD=CD,

???/ABC=60°，

是等邊三角形，故①正確；

ABAC=ABCA=60°,

?;AD=CD,ZADC=120°,

/DAC=/DCA=30。,

/DAB=90°,

???AD=CD,AB=BC,BD=BD,

KABD?ACBD(SSS),

NABD=ZCBD=30°,ZADB=ZBDC=60°,

:.BD=2AD,故②正確；

v/DOC=ADAC+AADB=60°+30°=90°,

ACLBD,

?S四邊形48c。=S&4co+SMCB,

二?S四邊形Me。=^ACXOD+^XACXOB=^XACXBD,故③錯誤；

延長5C到￡,使CE=/M,連接。如圖所示：

NDAB=ZDCB=90°,

ZDAB=ZDCE=90°,

又??,AM二CE,AD=CD,

\ADM=\CDE(SAS),

ZADM=ZCDE,DM=DE,

=120°,

???ZMDN=60°，

/ADM+ZCDN=NADC-/MDN=60°,

ZCDE+ZCDN=ZEDN=60°,

/EDN=ZMDN,

又?；DN=DN,

,\MDN=\EDN(SAS),

MN=EN,

???EN=CE+CN=AM+CN,

:.AM+CN=MN,故④正確；

故答案為：①②④.

【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，

理解“箏形”的性質(zhì)和添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵.

2.(2021秋?長寧區(qū)期末)定義:在A45C中，點。和點￡分別在45邊、4C邊上，且DE1//5C,

點。、點石之間距離與直線。石與直線間的距離之比稱為。E關于5C的橫縱比.已知，

4

在A43C中，BC=4,3c上的高長為3,DE關于8C的橫縱比為2:3,則￡>￡=___.

—3-

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)

【分析】先證明,由相似三角形的性質(zhì)可求解.

【解答】解：???￡>￡關于BC的橫縱比為2:3,

二.設點。、點E之間距離為2x,直線與直線BC間的距離為3x,DE/IBC,

AABCSAADE,

2x_3-3x

——-----,

43

2

x=—f

3

4

DE=2x=—9

3

故答案為：—.

3

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，理解“橫縱比”的定義并運用是解題的關鍵.

3.(2021秋?贛州期中)規(guī)定:若C=(再,必)，b=(x2f%),則鼠B=x[x2+yxy2.例如3=(1,3)，

B=(2,4),貝1JNZ=1X2+3X4=2+12=14.已知2=(x+l,x—1),B=(x—3,4),貝的

最小值是_-8_.

【考點】新定義，平面向量

【分析】根據(jù)平面向量的新定義運算法則，列出關于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值的求

法解答即可.

【解答】解：根據(jù)題意知:a-(x+l)(x-3)+4(x-l)=(x+1)2-8.

所以當x=-l時，a-6=(-l+l)2-8=-8.

即/3的最小值是-8.

故答案是：-8.

【點評】本題主要考查了平面向量，解題時，利用了配方法求得二次函數(shù)的最值.

4.(2021秋?閔行區(qū)校級期中)如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我

們把這條直線稱作為這個平面圖形的一條優(yōu)美線.已知AA8C中，AB=AC=5,BC=6,

點。、E在邊BC上,且5。=2,E為8C中點，過點。的優(yōu)美線交過點￡的優(yōu)美線于歹，

那么線段/斤的長等于—史

~7~

【考點】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)

【分析】作NGDC使得GD是\ABC的一條優(yōu)美線，過點G作G/f_L3C于〃，根據(jù)EF/IGH,

得ACGHsACAE,ADEL^ADGH,列出比例式，代入數(shù)值計算即可求解.

【解答】解：如圖，VAB=AC=5,E為8C的中點，

AE1BC,BE=EC=-BC=3,

2

AE7AB2-BE。=4,

???=-2xBCxAE=-2x6x4=12,

DC=BC—BD=6—2=4,

作\GDC使得GD是\ABC的一條優(yōu)美線，過點G作G/ZJ_BC于H,

B

DEH

則SXGDC=]S"BC=6,

:.GH=6x2+DC=3,

???GHLBC,AELBC,

:.GH//AE,

/.ACGHSACAE,

HCGH

設HC=x,

則二二，

34

Q

解得：x」，

4

93

:.EH=EC-HC=3——二一，

44

???\DEF^\DGH,

.EF_ED

,,市一向'

97

又?；DH=BC—BD—HC=6—2，=—,

解得：EF=—

7

AF=AE-EF=4——

7

故答案為：

7

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，利用

相似三角形求出線段跖的長是解題的關鍵.

5.（2021秋?鄒城市期中）當三角形中一個內(nèi)角a是另一個內(nèi)角力的兩倍時，我們稱此三角

形為“奇妙三角形”，其中c稱為“奇妙角”.如果一個“奇妙三角形”的一個內(nèi)角為60。，

那么這個“奇妙三角形”的另兩個內(nèi)角的度數(shù)為_30。-90?；?0。-80。_.

【考點】三角形內(nèi)角和定理

【分析】分兩種情況討論：①當60。的角為“奇妙角”時，有另一個角為30。，由三角形的

內(nèi)角和可求得第三個內(nèi)角為90。；②當60。的角不是“奇妙角”時，設另兩個內(nèi)角分別為N1,

Z2,且/1=2/2,由三角形的內(nèi)角和可求解.

【解答】解：由題意得：

①當60。的角為“奇妙角”時，

有另一個角為30。,

，第三個內(nèi)角為180。-60。-30。=90。；

②當60。的角不是“奇妙角”時，設另兩個內(nèi)角分別為/I,Z2,且/1=2/2,

有Nl+N2+60°=180°,

即2Z2+Z2=120°,

解得：Z2=40°,

故21=80°.

綜上所述：這個''奇妙三角形”的另兩個內(nèi)角的度數(shù)為30。，90?；?0。，80°.

故答案為：30°,90。或40。，80°.

【點評】本題主要考查三角形的內(nèi)角和，解答的關鍵是對已知60。的角進行分類討論.

二.解答題(共15小題)

6.(2021秋?鄲州區(qū)期末)【問題提出】

如圖1,ZU8C中，線段。E的端點。，E分別在邊48和/C上，若位于DE上方的兩條線

段AD和AE之積等于DE下方的兩條線段BD和CE之積，即ADxAE=BDxCE,則稱DE

是AA8C的“友好分割”線段.

(1)如圖1,若。￡是AA8C的“友好分割”線段，AD=2CE,AB=8,求NC的長；

【發(fā)現(xiàn)證明】

(2)如圖2,AASC中，點尸在2c邊上，F(xiàn)D//AC交AB于D,FE//AB交AC于E,

連結(jié)DE,求證：是ZU2C的“友好分割”線段；

【綜合運用】

(3)如圖3,是A4BC的“友好分割”線段，連結(jié)DE并延長交的延長線于尸，過

點/畫/G//DE交AADE的外接圓于點G,連結(jié)GE,設W2=x,—=y.

DBFB-

①求y關于x的函數(shù)表達式；

②連結(jié)3G,CG,當y=2時，求四的值.

16CG

【考點】圓的綜合題

【分析】(1)設N￡=x,利用“友好分割”線段的定義得到等積式，將已知條件代入等積

式中化簡求得NE,貝IJ/C=/E+EC,結(jié)論可得；

(2)利用平行線分線段成比例定理，通過等量代換即可得出結(jié)論；

(3)①過點C作CH//BD交DF于點、H,利用平行線分線段成比例定理，得到比例式

—,將兩個等式左右分別相乘，整理后將四=X,生=y代入即可

FBBDCHCEDBFB

得出結(jié)論；

②利用①的結(jié)論可以得到絲=3；通過證明ABOGSAGEC,利用相似三角形的性質(zhì)得出

BD4

結(jié)論.

【解答】(1)解：設=

是A45c的“友好分割”線段,

...AD?AE=BD?EC.

?/AD=2CE,AB=8,

2EC-AE=(8—AD〉EC.

/.2x=8-2EC.

x=4-EC，

二.AE=4—EC.

:.AC=AE+EC=A.

(2)證明：?：FDIIAC,

BD_BF

,IF-FC*

???FE//AB,

BF_AE

~FC~^C'

BD_AE

…~AD~^C'

AD,AE=BD,EC.

石是A48c的“友好分割”線段；

（3）解：①?.?QE是A45C的“友好分割”線段,

...AD?AE=BD?EC.

ADEC

AD

-------=Xf

DB

EC

---二x

AE

過點、C作CH//BD交DF于點H,如圖,

???CH11BD,

.FCCHAD_AE

…百一訪’~CH~~CE

FCAECHAD

?____v___________y_____

…FBCE~BDCH'

FCAEAD

?V___________

?FBEC~BD'

1

：.yx—=x.

x

y關于x的函數(shù)表達式為：y=x2；

②連接。G,如圖，

BC

>2

?/y=—，y=x,

16

29

..x=—.

16

?二1>0，

3

/.x=-?

4

即絲=3.

BD4

-AG//DE,

AD=EG.

AD=EG.

AD+AG=EG+AG.

DAG=EGA.

AE=DG,/ADE=/GED.

，/BDF=ZGEF.

?：AD=EG,

ZGDE=ZAED.

ZAED=ZCEF,

ZGDE=ZCEF.

.../BDF+ZGDE=NGEF+NCEF.

即/BDG=/GEC.

???。￡是入43。的“友好分割”線段,

AD?AE=BD?EC.

.ADEC

"訪―益?

EG_EC

"訪—而?

曲DGsNGEC.

BG_BD

…~CG~~EG'

???EG=AD,

BGBD4

"CG~AD~?>'

【點評】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，圓周角定理及其推論，圓心角，弧，弦

的關系定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，過點、C作CH//BD交DF于點、H是

解題的關鍵也是解決此類問題常添加的輔助線.

7.(2021秋?石鼓區(qū)期末)我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做底角的鄰對(ca〃)，

如圖1,在AABC中，AB=AC,底角Z8的鄰對記作,這時cm3="辿=處.容易

腰AB

知道一個角的大小與這個角的鄰對值是一一對應的，根據(jù)上述角的鄰對的定義，解下列問題:

(1)CQ〃30°=—V3—,若。=貝!)/5=°.

O

(2)如圖2,在AA8C中，AB=AC,canB=~,S^BC=48,求AXBC的周長.

A

【考點】解直角三角形

【分析】(1)根據(jù)定義，要求cm3。。的值，想利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，想到過點/

作/DL8C,垂足為。，根據(jù)4=30。，可得：BD=^AB,再利用等腰三角形的三線合

2

一性質(zhì)，求出8c即可解答，

根據(jù)定義，ca〃B=l,可得底邊與腰相等，所以這個等腰三角形是等邊三角形，從而得

ZB=60°；

(2)根據(jù)定義，想利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，想到過點/作垂足為

canB=-,所以設BC=8x,AB=5x,然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用

5

S^BC=48,列出關于x的方程即可解答―

【解答】解：(1)如圖：過點/作NO_L3C,垂足為。，

BC=2BD,

???/B=30°,

/.BD=ABcos30°=生B

BC=2BD=y/3AB,

DZ~,出AB_

/.can300=----

ABAB

若canB=1,

:.canB=^=X,

AB

BC=AB,

vAB=AC,

AB=BC=AC,

\ABC是等邊三角形,

二./B=60°,

故答案為：V3,60；

(2)過點4作垂足為。,

A

'：canB=—,

5

BC

J.——9

AB5

/.設BC=8x,AB=5x,

???AB=AC,ADLBC,

:.BD=-BC=4x,

2

AD=\IAB2-BD2=3x,

,*'S*BC=48,

-BCAD=4S,

2

—8x,3x-48，

2

/.x2=4J

:.x=±2(負值舍去)，

x=2f

AB=AC=10,BC=16,

AA8C的周長為36,

答：A48c的周長為36.

【點評】本題考查了解直角三角形，熟練掌握等腰三角形的三線合一的性質(zhì)是解題的關鍵.

8.(2021秋?豐臺區(qū)期末)對于平面直角坐標系x切中的線段N3及點P,給出如下定義：

若點P滿足尸N=則稱尸為線段48的''軸點”，其中，當0。<44尸2<60。時，稱尸為

線段N3的“遠軸點”；當60。告“尸8<180。時，稱尸為線段N8的“近軸點”.

⑴如圖1,點4,3的坐標分別為(-2,0),(2,0),則在耳(一1,3),巴(0,2),^(0,-1),乙(0,4)

中，線段的“軸點”是_￡一2_;線段的“近軸點”是—.

(2)如圖2,點/的坐標為(3,0),點B在y軸正半軸上，ZOAB=3Q°.若P為線段AS的

“遠軸點”，請直接寫出點P的橫坐標/的取值范圍—.

圖1圖2

【考點】坐標與圖形性質(zhì)

【分析】(1)由題意可知/、8關于y軸對稱，則線段的“軸點”在y軸上；

(2)分兩種情況：①當尸點在線段48上方時，②當尸點在線段48下方時，分別求AP/B

為等邊三角形時/的值，即可確定/的取值范圍.

【解答】解：⑴???/(一2,0),5(2,0),

：.A,8關于y軸對稱，

VPA=PB,

??.尸點在V軸上，

廠.線段45的“軸點”是《，

當￡(0,2)時，AP=OP=2,

ZAPO=45°,

NAPB=90°,

.?.巴是線段45的“近軸點”，

故答案為：P2P4；P2；

(2)如圖1,-ZBAO=30°,

/ABO=60°,

?：AP=BP,

?.?4(3,0),

/.OB=A/3,

當尸點在丁軸上時，尸(0,-百)，

當，＜0時，尸為線段的“遠軸點”;

如圖2,當怪尸_Lx軸時,

"40=30。，

/PAB=60°,

???PA=PB,

NAPB=60°,

此時。點是線段的“遠軸點”，

?.?4(3,0),

OA=3,

=2石，

AP=2右,

.一＞26時尸為線段48的“遠軸點”；

綜上所述：，＜0或/＞26時尸為線段N3的“遠軸點”,

【點評】本題考查坐標與圖形，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)是解題

的關鍵.

9.(2020秋?南沙區(qū)期末)新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟

三角形

(1)如圖①中，若A45C和AADE互為“兄弟三角形"，AB=AC,4D=AE.寫出/BAD,

ZBAC和ZBAE之間的數(shù)量關系，并證明.

(2)如圖②，zUBC和AXDE互為“兄弟三角形"，AB=AC,AD=AE,點、D、點、E均

在A43C外，連接3D、CE交于點M,連接4W,求證：AM平分NBME.

(3)如圖③，若48=/C,ABAC=AADC=60°,試探究和NC的數(shù)量關系，并說明

理由.

圖①圖②圖③

【考點】三角形綜合題

【分析】(1)根據(jù)“兄弟三角形”的定義得到=進而得至UNC/E=，

得到答案；

(2)過點N作NG_LDM于G,AH工EM于H,證明=根據(jù)全等三角形的

對應高相等得到=，根據(jù)角平分線的判定定理證明結(jié)論；

(3)延長DC至點尸，使DP=4D,證明A84D=AC4尸，得到Z8=N/CP,根據(jù)鄰補角

的定義證明即可.

【解答】(1)解：NBAD+NB4C=NBAE,

理由如下：:AABC和AADE互為“兄弟三角形”，

ABAC=NDAE,

ABAC-ADAC=NDAE-ZDAC,即ACAE=/BAD,

ABAD+ABAC=NCAE+ZBAC=NBAE；

(2)證明：如圖②，過點/作/G_LDM于G,4H上EM于H,

A48C和A4DE互為“兄弟三角形”，

ABAC=ZDAE,

ZBAC+ZDAC=ZDAE+ZDAC,即ZCAE=ABAD,

在\BAD和\CAE中，

NAB=AC

</BAD=ZCAE,

AD=AE

ABAD=ACAE(SAS),

AG1DM,AHLEM,

AG=AH,

vAGLDM,AH1EM,

AM平分/BME.

(3)Z5+ZC=180°,

理由如下：如圖③，延長。。至點F,使DP=4D,

ZADP=60°,

：，A4QP為等邊三角形，

/.AD=AP,ZDAP=60°,

?.?ABAC=60°,

ABAD=/CAP,

在A5AD和AC/P中，

AB=AC

<ABAD=ZCAP,

AD=AP

ABAD=ACAP(SAS),

AB=/ACP,

?：ZACD+ZACP=1^0°,

圖③

圖②

【點評】本題考查的是“兄弟三角形”的定義、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判

定和性質(zhì)，正確理解“兄弟三角形”的定義是解題的關鍵.

10.(2021秋?余姚市月考)定義：若兩個三角形有一對公共邊，且另有一組對應邊和一對

對應角分別對應相等，那么這兩個三角形稱為鄰等三角形.

例如：如圖1,AA8C中，AD=AD,AB=AC,ZB=ZC,則AA8D與A4c。是鄰等三

角形.

(1)如圖2,。。中，點D是數(shù)的中點，那么請判斷ZUAD與A4co是否為鄰等三角形,

并說明理由.

(2)如圖3,以點4(2,2)為圓心，為半徑的04交x軸于點8(4,0),AO2C是0/的內(nèi)

接三角形，ZCOB=30°.

①求ZC的度數(shù)和OC的長；

②點P在O/上，若與AO2C是鄰等三角形時，請直接寫出點P的坐標.

【分析】(1)由點。是數(shù)的中點，得BD=CD,ABAD=ZCAD,且/。是公共邊，可證

明結(jié)論；

(2)①作,連接NO,AB,由題意可知AO45是等腰直角三角形，從而得NC=45。，

作3K_LOC,在RtABOK中，05=4,NBOK=30。，可得：BK=2,OK=，在RtABKC

中，ZC=45°,可得：CK=2,BC=2叵,即可求得。。=2+26；

②分類討論：第一種情況：如圖3,連接。4,耳/，過點耳作耳。，。3于點。，AOCPX=30°,

作8M_LOC,PtN±OC,貝|3M=MC=2,P、N=ON=2,在OQ上截取OK=^K,則

/KAO=/qOB=15。,設6Q=x,則OK=6K=2x,KQ=43x,利用勾股定理建立方程

求解即可；

第二種情況，如圖4,過點心作軸，ZCOP2=30°,利用解直角三角形即可；

第三種情況，如圖5,ZOCP3=30°,先求得C(VJ+3,1+若)，再根據(jù)圓的對稱性即可求

得答案；

第四種情況，如圖6,/OCR=NOCB=45。,求出。/交y軸的交點即可；

第五種情況，如圖7,ZCOPS=ZOCB=45°,過點人作心河,〉軸于〃，在上取點N,

使ON=PK,連接AN,T§：P5M=a,則=2a=ON,運用勾股定理即可求得答案.

【解答】解：(1)與A4CD是鄰等三角形，理由如下：

?.?點。是數(shù)的中點，

BD=CD,ABAD=ACAD,

■：AD=AD,

NABD與KACD是鄰等三角形.

(2)①如圖2,作N//_LO3,連接NO,AB,

■：OA=OB,

OH=BH,

:點、4的坐標是(2,2),

AH=OH=BH=2,

NOAB=90°,

:.ZC=-ZOAB=45°,

2

作3K_LOC,在RtABOK中，03=4,ZBOK=30°,

BK=2,OK=26,

在RtABKC中，ZC=45°,

:.CK=2,BC=2A/2,

OC=2+273；

②第一種情況：如圖3,連接。4,PXA,過點片作耳。，。3于點。，AOCPX=30°,

則AO"與AOBC是鄰等三角形，且A。/=\COB,

作BMLOC,P\NLOC,

則3M=MC=2,PXN=ON=2,

?：ZOAPt=2AOCPX=60°,AO=APl,

△APfl是等邊三角形，

：.OPI=BC=2五,N：OB=15°,

在OQ上截取OK=P、K,則NKPQ=ZPtOB=15°,

2P\KQ=NKRO+NROB=30°,

OK=P、K=2耳。,

設<Q=x,則OK=<K=2x,KQ=A,

OQ=OK+KQ=(2+0)x,

12

在放中，OQ+PXQ=OP^,

.-.[(2+V3)X]2+X2=(2A^)2,

,/x>0,

X—A/3—1f

百+1,1-73)；

第二種情況，如圖4,過點￡作軸，ZCOP2=30°,

則NOCP2與NOBC是鄰等三角形,

???AOCP2=NBOC=30°,

ZP2OB=60°,ZP2OH=30°,

■：OP2=OC=2+2V3,

.?/〃=。小出30。=1+5OH=OP2-cos30°=yj3+3,

.?/(l+G，百+3)；

第三種情況，如圖5,ZOCP3=30°,

則CP3HOB,

■：C(V3+3,1+G),

，根據(jù)圓的對稱性可得：鳥(1-百，1+6);

第四種情況，如圖6,/OCR=NOCB=45。,

則NOCP4與NOBC是鄰等三角形，

此時，04交y軸于點心，

；/(0,4);

第五種情況，如圖7,ZCOP5=ZOCB=45°,

則ZOP5C=180°-ZOBC=75°,

ZOCP5=60°,

作A77_LOC于〃，

???ZCOP5=45°,

OH=PSH,

■：ZOCP5=60°,

ZCP5H=30°,

2CH=CP5,

由勾股定理可得：CH-+P5H~=P5C~,

222

:.CH+P5H=(2CH),

PSH=乖1cH,

OH+CH=2+7.yl3,

CH=2,

:.OH=26

OP5=2^6,

過點月作月軸于在OM上取點N,使ON=PK,連接月N,

則NOAN=NAON=15。，ZP5NM=30°,

設P5M=a,貝!JAN=2a=ON,

MN=43a,OM=ON+MN=(2+V3)a,

22

在用△月OM中，OM+P5M^OPl,

[(2+V3)a]2+a2=(2A/6)2,

a=3—V3,

二月(3-6，3+V3)；

綜上所述，AOCP與AO3C是鄰等三角形時，點尸的坐標分別是：4(6+1,1-5,

￡(1+56+3),^(1-73,1+V3),且(0,4),月(3-6，3+5.

圖7

圖2

圖1

【點評】本題主要考查了含30。直角三角形、等腰直角三角形性質(zhì)和圓的性質(zhì)，圓周角定理

等，利用分類討論和理解鄰等三角形的定義是解答此題的關鍵.

11.(2021秋?岳麓區(qū)校級月考)定義:如果一個三角形中有兩個內(nèi)角a,。滿足a+2〃=90。，

那我們稱這個三角形為“近直角三角形”.

(1)若AA8C是“近直角三角形”，Z5>90°,ZC=50°,則//=20是

(2)如圖1,在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4.若8。是NNBC的平分線，

①求證：A5OC是“近直角三角形”；

②在邊ZC上是否存在點E(異于點。)，使得A5CE也是“近直角三角形”？若存在，請

求出CE的長；若不存在，請說明理由.

(3)如圖2,在RtAABC中，NR4C=90。，點。為/C邊上一點，以5〃為直徑的圓交8c

于點E,連結(jié)/E交BD于點尸，若ASCO為''近直角三角形"，且NB=5,AF=3,求4D

的長.

圖1圖2

【考點】三角形綜合題

【分析】(1)不可能是a或￡,當乙4=a時，ZC=/?=50°,a+2/3=90°,不成立;

故ZCa，a+2夕=90°,則夕=20。,答案為20；

(2)①如圖1,T5Z=ABDZDBC=/?,ZC=a,則c+2￡=90。，故A5DC是“近直角

三角形”;

ARAC44Q

②NABE=NC,則即W_=—,即/_=一，解得：AE=~,即可求解;

AEABAE34

AT7DFAD

如圖所示，當。=時,通過證明。尸尸，可得—=—=—,

（3）①2N/5NJD8C=6A/^sA54

BFAFAB

即可求解；

②如圖3所示，當ZABD=NC=￡時，4F:斯=NG:DE=3:2,則DE=2左，則ZG=3左=尺

（圓的半徑）=BG,點〃是BE的中點，則=4,在ABGH中，

BH7BG2-G〃2=J982一）2=2m,由銳角三角函數(shù)可求tan//&）=0^=交，即可

AH2

求解.

【解答】解：（1）NB不可能是夕或。，

當NN=a時，NC=￡=50。，a+2/3=90°,不成立；

故,ZC=a,a+2/3=90°,則￡=20。，

故答案為20；

（2）①如圖1,設N4BD=NDBC=。,AC=a,

圖1

則c+2￡=90。，故A5DC是“近直角三角形”；

②存在，理由：

在邊NC上是否存在點E（異于點0,使得A3CE是“近直角三角形”,

48=3,AC=4,貝!|5C=5,

貝|N/8E=NC,則

即理=江，即已_=

解得：AE=~,

AEABAE34

97

貝!JCE=4—3=L；

44

（3）①如圖2所示，連接。E,

D

圖2

當N/C8+24DBC=90°時,

又；NACB+NABC=90°,

ZABD=NDBC=/3,

AD=DE,

?.?助是直徑,

/BAD=/BED=90°,

/ADB=NBDE,

AB=BE,

.?.8。垂直平分

:.BF7AB2-AF?=J25—9=4,

???NDAE=ZDBE=/ABD,/AFD=ZAFB=90°,

?.AADF^ABAF,

AF_DF_AD

BF~~AF~AB

3_AD

?“與

②如圖3所示，當2NC+NDBC=90。時,

又???ZDBC+ZC+ZABD=90°,

ZABD=NC=￡,

A

圖3

過點、A作4H工BE交BE于點H,交3。于點G,則點G是圓的圓心（3E的中垂線與直徑

的交點），

ZAEB=ZDAE+ZC=a+P=NABC,

/.AE=AB=5,

:.EF=AE-AF=5-3=2,

?/DEIBC,AH工BC,

ED//AH,則4尸：所=4G:QE=3:2,

則。內(nèi)=2左，貝l」4G=3左=R（圓的半徑）=3G,點H是的中點，貝I」G"=LQ￡=左，

2

在中，BH=>JBG2-GH2=y/9k2-k2=242k,

,;AG=3k,GH=k,

/.AH=4k,

-ZC+ZABC=90°,NABC+/BAH=90。,

ZC=/BAH,

RHM

/.tanC=tanNBAH=tan/ABD=——二—,

AH2

AD42

AB2

5也

..A.D------,

2

綜上所述：的長為”或逑.

42

【點評】本題是三角形綜合題，考查了圓的有關知識，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理,

直角三角形的性質(zhì)等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關鍵.

12.（2021秋?荔城區(qū)校級期中）概念學習

規(guī)定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形互為

”等角三角形”.

從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把

這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角開中一個為等腰三角形，另一個與

原來三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”.

理解概念：

(1)如圖1,在RtAABC中，ZACB=90°,CDLAB,請寫出圖中兩對“等角三角形”.

概念應用：

(2)如圖2,在ZUBC中，CD為角平分線，44=40。，48=60。.求證：CO為A4BC的

等角分割線.

動手操作：

(3)在AA8C中，若N/=50。，CD是A43c的等角分割線，請求出所有可能的NNC8的

度數(shù).

【考點】三角形綜合題

【分析】(1)根據(jù)”等角三角形”的定義解答；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出ZACB,根據(jù)角平分線的定義得到

ZACD=ZDCB=-ZACB=40°,根據(jù)“等角三角形”的定義證明；

2

(3)分A4c。是等腰三角形，DA=DC,ZX4=/C和A5CD是等腰三角形，DB=BC、

=四種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算.

【解答】解：(1)AABC與"CD,AABC與MCD,A4CO與ASCO是"等角三角形”；

(2)在AA8C中，NN=40。，ZB=60°

ZACB=180°-一NB=80°

???CO為角平分線，

ZACD=ZDCB=-ZACB=40°,

2

ZACD=N4,ZDCB=/A,

/.CD=DA,

在ADBC中，ZDCB=40°,ZB=60°,

ZBDC=180°-NDCB-ZB=80°,

/BDC=NACB,

?/CD=DA,NBDC=NACB,NDCB=NA,/B=/B,

??.CD為AABC的等角分割線；

(3)當A4CQ是等腰三角形，如圖2,。時，ZACD=ZA=50°,

/ACB=ZBDC=50°+50°=100°,

當A4C。是等腰三角形，如圖3,=時，ZACD=ZADC=65°,/BCDN4=50°,

../4。5=50。+65。=115。，

當A4C。是等腰三角形，CO=/C的情況不存在,

_1QA'130。

當ASCD是等腰三角形，如圖4,時，ZACD=/BCD=NB=—

~T~

260。

NACB=

-I-

當A3CO是等腰三角形，如圖5,=時，NBDC=NBCD,

設ZBDC=ZBCD=x,

則/3=180。一2x,

則N/CD=N8=180°-2x,

由題意得，180。一2》+50。=》,

冷刀汨230°

解得，x=------

3

OQO

:.ZACD=1S00-2x=——

3

310°

/ACB=——

3

綜上所述：乙4c5的度數(shù)為100?；?15?；蚪?jīng)￡-310。

或------?

33

DB

【點評】本題是三角形綜合題，考查了“等角三角形”的定義、等腰三角形的性質(zhì)、三角形

內(nèi)角和定理，靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵.

13.（2021秋?金安區(qū)校級期中）概念學習：已知AA8C,點P為其內(nèi)部一點，連接