九年級數(shù)學(xué)下冊同步學(xué)與練（浙教版）-第02講 銳角三角函數(shù)的計算（11類題型）（解析版）

第02講銳角三角函數(shù)的計算（11類題型）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.銳角三角函數(shù)的計算；1.掌握特殊角的三角函數(shù)值及其計算；知識點1：特殊銳角三角比的值1.特殊銳角的三角比的值30°45°1160°3.通過觀察上面的表格，可以總結(jié)出：當(dāng)090，的正弦值隨著角度的增大而增大，的余弦值隨著角度的增大而減??；的正切值隨著角度的增大而增大，的余切值隨著角度的增大而減?。炯磳W(xué)即練1】1．（2023上·山西臨汾·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）下列計算不正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．直接利用特殊角的三角函數(shù)值分別代入，進而結(jié)合二次根式的乘法運算法則計算得出答案．【詳解】解：，故A正確，不符合題意；，故B正確，不符合題意；，故C錯誤，符合題意；，故D正確，不符合題意；故選：C．【即學(xué)即練2】2．（2023上·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）若是銳角，，則的值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】本題考查了特殊角三角函數(shù)的函數(shù)值，根據(jù)是銳角，，得到，即可求的值．【詳解】解：是銳角，，，，故選：B．【即學(xué)即練3】3．（2023上·安徽亳州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）觀察下列各式：①；②（是銳角）；③，其中成立的有(

)A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性、特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)銳角三角函數(shù)的增減性、特殊角的三角函數(shù)值逐項判斷即可得出答案，熟練掌握以上知識點是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由正弦值隨著角度的增大而增大可知，故①正確，符合題意；是銳角，，故②正確，符合題意；，故③錯誤，不符合題意；綜上所述，成立的有①②，共2個，故選：C．【即學(xué)即練4】4．（2023上·安徽六安·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）若銳角滿足，則銳角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，以及余弦的性質(zhì)，根據(jù)余弦值隨著銳角度數(shù)的增大而減小，進行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴；故選C．【即學(xué)即練5】5．（2022上·安徽淮北·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，的值是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，特殊角的余弦值，由題意知，，根據(jù)，求解作答即可．【詳解】解：由題意知，，∴，故選：B．【即學(xué)即練6】6．（2023上·北京東城·九年級北京市第一六六中學(xué)?？计谥校┮阎卿J角，，那么的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握角的正切值是是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是銳角，，，故選：D．題型01求特殊角的三角函數(shù)值1．（22·23·杭州·中考真題）如圖，矩形的對角線相交于點．若，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得出，推出則有等邊三角形，即，然后運用余切函數(shù)即可解答．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，故D正確．故選：D．【點睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、余切的定義等知識點，求出是解答本題的關(guān)鍵．2．（22·23下·二模）小明在計算時，先對題目進行了分析，請你根據(jù)他的思路填空：（1）原式中“”可以轉(zhuǎn)化為，的值為.（2）原式中“”的結(jié)果為；（3）原式中“”的結(jié)構(gòu)特征滿足某個乘法公式，該公式為；（4）原式的最終結(jié)果為1.【答案】22【分析】（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算法則，即可求解；（2）根據(jù)求一個數(shù)的立方根，即可求解；（3）根據(jù)完全平方公式進行運算即可；（4）根據(jù)（1）（2）（3）及特殊角的三角函數(shù)值，進行運算，即可解答【詳解】解：（1），故的值為2，故答案為：2；（2），故答案為：2；（3）；（4）【點睛】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算法則，求一個數(shù)的立方根，完全平方公式，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的混合運算，熟練掌握和運用各法則是解決本題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中；．【答案】；【分析】分別化簡代數(shù)式和字母的值，再代入計算．【詳解】原式，∵；，∴原式．【點睛】本題考查分式的化簡求值，分母有理化，特殊角三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是先化簡，然后把給定的值代入求解．題型02特殊角三角函數(shù)值的混合運算1．（22·23上·洛陽·期末）下列計算錯誤的個數(shù)是（

）①；；③；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行運算，即可一一判定．【詳解】解：，，，故①錯誤；，故②正確；，故③錯誤；，，，故④正確；綜上分析可知，錯誤的有2個，故B正確．故選：B．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的相關(guān)運算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵．2．（2020上·萬州·期中）計算：=．【答案】【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值化簡，然后再計算即可．【詳解】解：===．故答案為．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值和實數(shù)的運算，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵．3．（上海市閔行區(qū)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）計算：【答案】【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值，分別代入計算得出答案．【詳解】解：原式．【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．題型03由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀1．（22·23上·盤錦·期末）在中，、均為銳角，且，則是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出與的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出、的值即可．【詳解】解：，，，，，，，，在中，，且，是直角三角形．故選：C．【點睛】本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，并充分利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．2．（2017下·蕪湖·一模）在ABC中，，則ABC一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】結(jié)合題意，根據(jù)乘方和絕對值的性質(zhì)，得，，從而得，，根據(jù)特殊角度三角函數(shù)的性質(zhì)，得，；根據(jù)等腰三角形和三角形內(nèi)角和性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解】解：∵∴，∴，∴，∴，∴，∴ABC一定是等腰直角三角形故選：D．【點睛】本題考查了絕對值、三角函數(shù)、三角形內(nèi)角和、等腰三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對值、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．3．（22·23上·嘉峪關(guān)·期末）在中，，則的形狀是．【答案】等邊三角形【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，，再根據(jù)三角函數(shù)作答．【詳解】∵，∴，，即，，∴，，∴，則一定是等邊三角形，故答案為:等邊三角形．【點睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)，等邊三角形的判定，數(shù)量掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．題型04由計算器求銳角三角函數(shù)值1．（2022·山東東營·模擬預(yù)測）若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計算器進行計算，其按鍵順序及結(jié)果如下：2yx3－16＝，按鍵的結(jié)果為m；2ndF64－2x2＝，按鍵的結(jié)果為n；9ab/c

2

－

cos

60＝，按鍵的結(jié)果為k．下列判斷正確的是（

）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k【答案】C【分析】分別計算出m，n，k的值即可得出答案．【詳解】解：m＝23?＝8?4＝4；n＝?22＝4?4＝0；k＝?cos60°＝?＝4；∴m＝k，故選：C．【點睛】本題考查了計算器的使用，注意二次根式的副功能是立方根．2．（2023秋·九年級課時練習(xí)）請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按第一題計分．A．若正多邊形的一個內(nèi)角等于140°，則這個正多邊形的邊數(shù)是．B．用科學(xué)計算器計算：13××sin14°≈（結(jié)果精確到0.1）【答案】911.3【分析】A、首先根據(jù)求出外角度數(shù)，再利用外角和定理求出邊數(shù)；B、利用科學(xué)計算器計算可得．【詳解】解：A．∵正多邊形的一個內(nèi)角是140°，∴它的外角是：180°-140°=40°，則這個正多邊形的邊數(shù)為：360°÷40°=9．故答案為：9．B.13××sin14°≈13×3.61×0.24≈11.3，故答案為：11.3．【點睛】此題主要考查了多邊形的外角與內(nèi)角和計算器的使用，做此類題目，首先求出正多邊形的外角度數(shù)，再利用外角和定理求出求邊數(shù)．3．（2023秋·九年級課時練習(xí)）用計算器求下列各式的值（精確到0.0001）：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)0.7314(2)0.2164(3)0.9041(4)【分析】利用計算器求出結(jié)果，根據(jù)有效數(shù)字的概念用四舍五入法取近似數(shù)即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點睛】本題考查計算銳角三角函數(shù)值，熟練使用計算器是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)】1．（22·23上·西安·階段練習(xí)）如圖，點A為反比例函數(shù)圖像上一點，B、C分別在x、y軸上，連接AB與y軸相交于點D，已知，且的面積為2，則k的值為（

）

A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】先根據(jù)，得，根據(jù)同底等高可以得到，即可求得k的值．【詳解】解：連結(jié)

，軸，故選C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點為的拋物線經(jīng)過點和軸正半軸上的點，．

(1)求這條拋物線的表達(dá)式；(2)聯(lián)結(jié)，求的度數(shù)；(3)聯(lián)結(jié)、、，若在坐標(biāo)軸上存在一點，使，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)已知條件求出點的坐標(biāo)，將，的坐標(biāo)代入，即可求得、，從而求得拋物線的表達(dá)式.（2）應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出點的坐標(biāo)，從而求得，進而求得的大小.（3）根據(jù)（2）的結(jié)論得出，進而分類討論，即可求解．【詳解】（1）解：∵∴，∵∴，則將，代入得：，解得，∴這條拋物線的表達(dá)式為；（2）過點作軸于點，過點作軸于點，∵∴，∴，則∵

∵∴，即，∴，∴.∴.（3）解：∵,∴∵∴，∴，∵∴軸或如圖所示，

當(dāng)軸時，，當(dāng)時，，則是等邊三角形，∴，∴，綜上所述，或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，已知特殊角的三角函數(shù)值求角度，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型05根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)1．（2019上·淮北·階段練習(xí)）已知，那么銳角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)當(dāng)α=45°時sinα=cosα和正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的增減性即可得出答案．【詳解】解：∵α=45°時sinα=cosα，當(dāng)α是銳角時sinα隨α的增大而增大，cosα隨α的增大而減小，∴45°＜α＜90°．故選D．【點睛】考查了銳角三角函數(shù)的增減性，當(dāng)角度在0°～90°間變化時，正弦值隨著角度的增大而增大，余弦值隨著角度的增大而減小．2．（2022上·邵陽·期末）下列說法中正確的是（

）A． B．若為銳角，則C．對于銳角，必有 D．若為銳角，則【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義及性質(zhì)、特殊角三角函數(shù)逐項判斷即可．【詳解】A、，故說法不正確；B、對于任一銳角，這個角的正弦等于它的余角的余弦，即若為銳角，則，故說法正確；C、當(dāng)β=60°時，，則，故說法不正確；D、當(dāng)α=45°時，，故說法不正確；故選：B【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)等知識，掌握它們是關(guān)鍵．題型06已知角度比較三角函數(shù)值的大小1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，則銳角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，，，再由余弦函數(shù)值在銳角范圍內(nèi)，隨角度增大而減小即可得到答案【詳解】解：，，由可得，在銳角范圍內(nèi)，余弦函數(shù)值隨著角度的增大而減小，，故選：D．【點睛】本題考查利用特殊角的三角函數(shù)值及余弦函數(shù)的性質(zhì)比較角度大小，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．題型07根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，則銳角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，，，再由余弦函數(shù)值在銳角范圍內(nèi)，隨角度增大而減小即可得到答案【詳解】解：，，由可得，在銳角范圍內(nèi)，余弦函數(shù)值隨著角度的增大而減小，，故選：D．【點睛】本題考查利用特殊角的三角函數(shù)值及余弦函數(shù)的性質(zhì)比較角度大小，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．2．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，O是對角線AC的中點，E為AD上一點，若，則AB的最大值為．【答案】4【分析】設(shè)，則，根據(jù)，，根據(jù)正弦的增減性可得，當(dāng)最大值，取得最大值，進而即可求解．【詳解】設(shè)，則，則過點，則，當(dāng)點與點重合時，取得最大值，此時最大，則最大，即取得最大值，此時，的最大值為故答案為：4【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正弦的增減性，掌握三角函數(shù)的關(guān)系，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型08利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值1．（22·23·婁底·中考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給出了這樣的一個結(jié)論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題利用三角函數(shù)間的關(guān)系和面積相等進行變形解題即可．【詳解】解：∵，，∴即，，，故選：A．【點睛】本題考查等式利用等式的性質(zhì)解題化簡，熟悉是解題的關(guān)鍵．2．（2022下·專題練習(xí)）已知，關(guān)于角的三角函數(shù)的命題有：①，②，③，④，其中是真命題的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的計算法則以及余弦函數(shù)、正弦函數(shù)和正切函數(shù)的增減性即可作答．【詳解】解：由，得，故①正確；，故②錯誤；由可得，與矛盾，故③錯誤；，故④正確；故選：B．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的計算，掌握相應(yīng)的考點知識是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022·湖南湘潭·?？家荒＃┩瑢W(xué)們，在我們進入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：，；，．例：．(1)試仿照例題，求出的值；(2)若已知銳角α滿足條件，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把化為直接代入三角函數(shù)公式計算即可；（2）把化為直接代入三角函數(shù)公式計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，，α為銳角，解得，∴．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于新題型，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給信息結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值來求解．題型09求證同角三角函數(shù)關(guān)系式1．（2021春·九年級課時練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記作cotA＝.則下列關(guān)系式中不成立的是()A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosAC．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1【答案】D【分析】可根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系：平方關(guān)系；正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）；正切之間的關(guān)系進行解答．【詳解】解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，得A.tanA?cotA==1，關(guān)系式成立；B.sinA=，tanA?cosA==，關(guān)系式成立；C.cosA=，cotA?sinA==，關(guān)系式成立；D.tan2A+cot2A=≠1，關(guān)系式不成立．故選D．【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系解題關(guān)鍵是明確三角函數(shù)的意義，準(zhǔn)確進行推理證明．2．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）下列結(jié)論中（其中，均為銳角），正確的是．（填序號）①；②；③當(dāng)時，；④．【答案】①③④【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系及銳角三角函數(shù)的增減性進行判斷即可．【詳解】解：①如圖，在中，∵，，∴，故①正確；②若，則，，∴∴，故②錯誤；③當(dāng)時，，∴越大，對邊越大，且越接近斜邊，∴越大，∴當(dāng)時，，故③正確；④∵，，，∴，故④正確．故答案為：①③④．【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系及銳角三角函數(shù)的增減性，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．題型10互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系1．（2022秋·廣西百色·九年級?？计谀┫铝惺阶又?，不成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值的運算以及互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系對各選項進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，A中式子成立，故不符合題意；如圖，∵，∴∴B中式子成立，故不符合題意；∵，∴∴C中式子成立，故不符合題意；∵，∴，D中式子不成立，故符合題意；故選D．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與正確的計算．2．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）同學(xué)們，在我們進入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：，，，．例：．若已知銳角滿足條件，則．【答案】【分析】先根據(jù)求出，把變?yōu)?，然后根?jù)計算即可．【詳解】解：如圖，在中，

∵，∴．∵，∴．∵為銳角，∴．∵∴．故答案為：．【點睛】本題考查了三角函數(shù)的運算，正確理解所給計算公式是解答本題的關(guān)鍵．題型11三角函數(shù)綜合1．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形紙片中，E為的中點，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長為（

）

A．3 B． C． D．【答案】D【分析】連接，交于點G，，根據(jù)對稱的性質(zhì)，可得垂直平分，，，根據(jù)E為中點，可證，通過等邊對等角可證明，利用勾股定理求出，再利用三角函數(shù)求出，則根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：連接，交于點G，如圖所示，

由翻折性質(zhì)可得：垂直平分，∴，，∵E為的中點，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了折疊對稱的性質(zhì)、解直角三角形，熟練運用對稱性質(zhì)證明相關(guān)線段相等是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）如圖，點在正方形的邊上，的平分線交邊于點，連接，如果正方形的面積為12，且，那么的值為．【答案】【分析】過點E作交于點G，證明，根據(jù)正方形的面積求出，然后求出結(jié)果即可．【詳解】解：過點E作交于點G，如圖所示：∵四邊形為正方形，∴，，∵，∴，∴，，∴，∵正方形的面積為12，∴，∵，∴．答案：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角函數(shù)的計算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，求出．A夯實基礎(chǔ)1．（2023上·河北邢臺·九年級邢臺市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列三角函數(shù)的值是的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答．【詳解】解：，，，，觀察四個選項，選項A符合題意，故選：A．【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確掌握常見的特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．2．（2022上·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若（為銳角），則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】由即可求解．【詳解】解：，為銳角，；故選：B．【點睛】本題考查了特殊角的三角形函數(shù)值，掌握特殊角的三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·上海寶山·九年級統(tǒng)考期中）計算：.【答案】【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值運算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式，故答案為．4．（2023下·山東臨沂·九年級?？计谀┰谥?，，，則的值為．【答案】【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值得出，的值，進而得出答案．【詳解】解：在中，，，，則．故答案為：．【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．5．（2023上·山東東營·九年級東營市東營區(qū)實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）計算：(1)；(2)．【答案】(1)3(2)【分析】（1）先算開方，三角函數(shù)值，零指數(shù)冪和絕對值，再算乘法，最后計算加減法；（2）將特殊角的三角函數(shù)值代入，再計算．【詳解】（1）解：；（2）【點睛】本題主要考查了實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式、絕對值，特殊三角函數(shù)值等考點的運算．6．（2023上·山東泰安·九年級肥城市實驗中學(xué)?？计谥校?）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算即可；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算即可．【詳解】解：（1）（2）【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值及實數(shù)的混合運算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵．B能力提升1．（2023上·山東濰坊·九年級?？茧A段練習(xí)）在中，，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用直角三角形的面積可得，再結(jié)合銳角的正切可得答案．【詳解】解：如圖，∵，即，∵，∴，∴，∴，∴，故選A【點睛】本題考查的是利用銳角的正切求解銳角的大小，熟記銳角的正切的含義是解本題的關(guān)鍵．2．（2023上·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期中）已知的半徑，弦、的長分別是、，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理逆定理及特殊角三角函數(shù)．分兩種情況考慮，根據(jù)垂徑定理及特殊角三角函數(shù)即可求解．【詳解】解：當(dāng)弦、在半徑的同側(cè)時，如圖，過O作于D，則，，∵，∴，∴；∵，∴，∴；當(dāng)弦、在半徑的異側(cè)時，如圖，同理可求得，，則，即的度數(shù)為或；故選：C．3．（2023上·黑龍江大慶·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，若，則的度數(shù)為．【答案】/75度【分析】由題意知，，，解得，，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：∵，∴，，解得，，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了絕對值的非負(fù)性，正弦，余弦，三角形內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．4．（2022上·江西撫州·九年級?？计谥校┒x一種運算：，，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)題意可得：，然后求解即可．【詳解】解：由題意可得：．故答案為：．【點睛】此題考查了三角函數(shù)值的計算，解題的關(guān)鍵是理解題意，得到．5．（2023上·山東東營·九年級統(tǒng)考期中）計算(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查了二次根式的運算法則，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，以及特殊角的三角函數(shù)值：（1）先代入特殊角的三角函數(shù)值，再按照二次根式的運算法則計算；（2）代入特殊角的三角函數(shù)值，化簡負(fù)指數(shù)冪和絕對值，再按照二次根式的運算法則計算；【詳解】（1）解：（1）原式（2）解：原式6．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)校考階段練習(xí)）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．【答案】，【分析】運用乘法公式對分式進行化簡，再運用特殊值的三角函數(shù)計算出的值，代入求解并進行分母有理化即可．【詳解】解：，∵，∴原式，∴當(dāng)時，原式．【點睛】本題主要考查運用乘法公式進行分式的化簡，求特殊值的三角形函數(shù)，代入求值，掌握以上知識的運算方法是解題的關(guān)鍵．C綜合素養(yǎng)1．（2023上·四川廣元·九年級校考階段練習(xí)）在中，，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，設(shè)，根據(jù)正切的定義，即可得答案．【詳解】解：由題意，得，故設(shè)則，故選：B．【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及勾股定理，設(shè)是解題關(guān)鍵．2．（2023·吉林長春·吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點為坐標(biāo)原點，邊在軸正半軸上，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，且交菱形對角線于點D，軸于點，則長為（

）

A．1 B．3