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黑龍江寶清第一高中2025屆高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)a,b∈(0,1)∪(1,+∞),則"a=b"是"logA.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.若雙曲線(xiàn)的離心率為,則雙曲線(xiàn)的焦距為()A. B. C.6 D.83.設(shè)函數(shù)在定義城內(nèi)可導(dǎo),的圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.4.已知中,,則()A.1 B. C. D.5.若,則,,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.6.要排出高三某班一天中,語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)各節(jié),自習(xí)課節(jié)的功課表,其中上午節(jié),下午節(jié),若要求節(jié)語(yǔ)文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰(注意:上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),則不同的排法種數(shù)是()A. B. C. D.7.如圖,正三棱柱各條棱的長(zhǎng)度均相等,為的中點(diǎn),分別是線(xiàn)段和線(xiàn)段的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),且滿(mǎn)足,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí),下列結(jié)論中不正確的是A.在內(nèi)總存在與平面平行的線(xiàn)段B.平面平面C.三棱錐的體積為定值D.可能為直角三角形8.劉徽(約公元225年-295年),魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家,中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一他在割圓術(shù)中提出的,“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無(wú)所失矣”,這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作,割圓術(shù)的核心思想是將一個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形等分成n個(gè)等腰三角形(如圖所示),當(dāng)n變得很大時(shí),這n個(gè)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,運(yùn)用割圓術(shù)的思想,得到的近似值為()A. B. C. D.9.已知為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),點(diǎn)在上,若直線(xiàn)與的另一個(gè)交點(diǎn)為,則()A. B. C. D.10.為了進(jìn)一步提升駕駛?cè)私煌ò踩拿饕庾R(shí),駕考新規(guī)要求駕校學(xué)員必須到街道路口執(zhí)勤站崗,協(xié)助交警勸導(dǎo)交通.現(xiàn)有甲、乙等5名駕校學(xué)員按要求分配到三個(gè)不同的路口站崗,每個(gè)路口至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種11.已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)右頂點(diǎn)A且與x軸垂直的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)于M點(diǎn),MF的中點(diǎn)恰好在雙曲線(xiàn)C上,則C的離心率為()A. B. C. D.12.的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為()A. B.60 C.70 D.80二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)是偶函數(shù),直線(xiàn)與函數(shù)的圖象自左向右依次交于四個(gè)不同點(diǎn)A,B,C,D.若AB=BC,則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)________.14.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足,其中i是虛數(shù)單位,則z的模是______.15.某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:℃)依次為8,,,0,2,則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)______.16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),其圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),當(dāng)時(shí),(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若,則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在斜三棱柱中,平面平面,,,,均為正三角形,E為AB的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:平面;(Ⅱ)求斜三棱柱截去三棱錐后剩余部分的體積.18.(12分)已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若的周長(zhǎng)是否有最大值?如果有,求出這個(gè)最大值,如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.19.(12分)已知數(shù)列中,,前項(xiàng)和為,若對(duì)任意的,均有(是常數(shù),且)成立,則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”.(1)若數(shù)列為“數(shù)列”,求數(shù)列的前項(xiàng)和;(2)若數(shù)列為“數(shù)列”,且為整數(shù),試問(wèn):是否存在數(shù)列,使得對(duì)任意,成立?如果存在,求出這樣數(shù)列的的所有可能值,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.20.(12分)已知實(shí)數(shù)x,y,z滿(mǎn)足,證明:.21.(12分)設(shè)不等式的解集為M,.(1)證明:;(2)比較與的大小,并說(shuō)明理由.22.(10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)P為曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)P到直線(xiàn)l距離的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)題意得到充分性,驗(yàn)證a=2,b=1【詳解】a,b∈0,1∪1,+∞,當(dāng)"a=b當(dāng)logab=log故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和推斷能力.2、A【解析】
依題意可得,再根據(jù)離心率求出,即可求出,從而得解;【詳解】解:∵雙曲線(xiàn)的離心率為,所以,∴,∴,雙曲線(xiàn)的焦距為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性,從而得到在相應(yīng)范圍上的符號(hào)和極值點(diǎn),據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知,在上為增函數(shù),且在上存在正數(shù),使得在上為增函數(shù),在為減函數(shù),故在有兩個(gè)不同的零點(diǎn),且在這兩個(gè)零點(diǎn)的附近,有變化,故排除A,B.由在上為增函數(shù)可得在上恒成立,故排除C.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象的識(shí)別,此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來(lái)考慮導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與零點(diǎn)情況,本題屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
以為基底,將用基底表示,根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律,即可求解.【詳解】,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算以及向量的基本定理,考查向量數(shù)量積運(yùn)算,屬于中檔題.5、D【解析】因?yàn)?,所以,因?yàn)椋?,所?.綜上;故選D.6、C【解析】
根據(jù)題意,分兩種情況進(jìn)行討論:①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都安排在上午;②語(yǔ)文和數(shù)學(xué)一個(gè)安排在上午,一個(gè)安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目,由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】根據(jù)題意,分兩種情況進(jìn)行討論:①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都安排在上午,要求節(jié)語(yǔ)文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰,將節(jié)語(yǔ)文課和節(jié)數(shù)學(xué)課分別捆綁,然后在剩余節(jié)課中選節(jié)到上午,由于節(jié)英語(yǔ)課不加以區(qū)分,此時(shí),排法種數(shù)為種;②語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都一個(gè)安排在上午,一個(gè)安排在下午.語(yǔ)文和數(shù)學(xué)一個(gè)安排在上午,一個(gè)安排在下午,但節(jié)語(yǔ)文課不加以區(qū)分,節(jié)數(shù)學(xué)課不加以區(qū)分,節(jié)英語(yǔ)課也不加以區(qū)分,此時(shí),排法種數(shù)為種.綜上所述,共有種不同的排法.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,屬于中等題.7、D【解析】
A項(xiàng)用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交,則交線(xiàn)與平面ABC平行;B項(xiàng)利用線(xiàn)面垂直的判定定理;C項(xiàng)三棱錐與三棱錐體積相等,三棱錐的底面積是定值,高也是定值,則體積是定值;D項(xiàng)用反證法說(shuō)明三角形DMN不可能是直角三角形.【詳解】A項(xiàng),用平行于平面ABC的平面截平面MND,則交線(xiàn)平行于平面ABC,故正確;B項(xiàng),如圖:當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),若滿(mǎn)足BM=CN,則線(xiàn)段MN必過(guò)正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面,故正確;C項(xiàng),當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),△A1DM的面積不變,N到平面A1DM的距離不變,所以棱錐N-A1DM的體積不變,即三棱錐A1-DMN的體積為定值,故正確;D項(xiàng),若△DMN為直角三角形,則必是以∠MDN為直角的直角三角形,但MN的最大值為BC1,而此時(shí)DM,DN的長(zhǎng)大于BB1,所以△DMN不可能為直角三角形,故錯(cuò)誤.故選D【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假判斷、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間想象力和思維能力,意在考查對(duì)線(xiàn)面、面面平行、垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用,是中檔題.8、A【解析】
設(shè)圓的半徑為,每個(gè)等腰三角形的頂角為,則每個(gè)等腰三角形的面積為,由割圓術(shù)可得圓的面積為,整理可得,當(dāng)時(shí)即可為所求.【詳解】由割圓術(shù)可知當(dāng)n變得很大時(shí),這n個(gè)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設(shè)圓的半徑為,每個(gè)等腰三角形的頂角為,所以每個(gè)等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當(dāng)時(shí),可得,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式的應(yīng)用,考查閱讀分析能力.9、C【解析】
求得點(diǎn)坐標(biāo),由此求得直線(xiàn)的方程,聯(lián)立直線(xiàn)的方程和拋物線(xiàn)的方程,求得點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得【詳解】拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為,令,,解得,不妨設(shè),則直線(xiàn)的方程為,由,解得,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線(xiàn)的弦長(zhǎng)的求法,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
先將甲、乙兩人看作一個(gè)整體,當(dāng)作一個(gè)元素,再將這四個(gè)元素分成3個(gè)部分,每一個(gè)部分至少一個(gè),再將這3部分分配到3個(gè)不同的路口,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得選項(xiàng).【詳解】把甲、乙兩名交警看作一個(gè)整體,個(gè)人變成了4個(gè)元素,再把這4個(gè)元素分成3部分,每部分至少有1個(gè)人,共有種方法,再把這3部分分到3個(gè)不同的路口,有種方法,由分步計(jì)數(shù)原理,共有種方案。故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查排列與組合,常常運(yùn)用捆綁法,插空法,先分組后分配等一些基本思想和方法解決問(wèn)題,屬于中檔題.11、A【解析】
設(shè),則MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為,代入雙曲線(xiàn)的方程可得的關(guān)系,再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的齊次方程,求出的值,即可得答案.【詳解】雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,M所在直線(xiàn)為,不妨設(shè),∴MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為.代入方程可得,∴,∴,∴(負(fù)值舍去).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的離心率,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意構(gòu)造的齊次方程.12、B【解析】
展開(kāi)式中含的項(xiàng)是由的展開(kāi)式中含和的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)相乘得到,由二項(xiàng)式的通項(xiàng),可得解【詳解】由題意,展開(kāi)式中含的項(xiàng)是由的展開(kāi)式中含和的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)相乘得到,所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的求解,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由是偶函數(shù)可得時(shí)恒有,根據(jù)該恒等式即可求得,,的值,從而得到,令,可解得,,三點(diǎn)的橫坐標(biāo),根據(jù)可列關(guān)于的方程,解出即可.【詳解】解:因?yàn)槭桥己瘮?shù),所以時(shí)恒有,即,所以,所以,解得,,;所以;由,即,解得;故,.由,即,解得.故,.因?yàn)?,所以,即,解得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象、性質(zhì),考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬中檔題.14、【解析】
先求得復(fù)數(shù),再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即得.【詳解】,,則.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和求復(fù)數(shù)的模,是基礎(chǔ)題.15、【解析】
先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),再求出這組數(shù)據(jù)的方差,由此能求出該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.【詳解】解:某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:依次為8,,,0,2,平均數(shù)為:,該組數(shù)據(jù)的方差為:,該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的求法,考查平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
先推導(dǎo)出函數(shù)的周期為,可得出,代值計(jì)算,即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),則,又該函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),則,所以,,則,所以,函數(shù)是周期為的周期函數(shù),所以,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性計(jì)算函數(shù)值,解題的關(guān)鍵就是結(jié)合函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)軸推導(dǎo)出函數(shù)的周期,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)要證明線(xiàn)面平行,需先證明線(xiàn)線(xiàn)平行,所以連接,交于點(diǎn)M,連接ME,證明;(Ⅱ)由題意可知點(diǎn)到平面ABC的距離等于點(diǎn)到平面ABC的距離,根據(jù)體積公式剩余部分的體積是.【詳解】(Ⅰ)如圖,連接,交于點(diǎn)M,連接ME,則.因?yàn)槠矫?,平面,所以平面.(Ⅱ)因?yàn)槠矫鍭BC,所以點(diǎn)到平面ABC的距離等于點(diǎn)到平面ABC的距離.如圖,設(shè)O是AC的中點(diǎn),連接,OB.因?yàn)闉檎切?,所以,又平面平面,平面平面,所以平面ABC.所以點(diǎn)到平面ABC的距離,故三棱錐的體積為.而斜三棱柱的體積為.所以剩余部分的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查證明線(xiàn)面平行,計(jì)算體積,意在考查推理證明,空間想象能力,計(jì)算能力,屬于中檔題型,一般證明線(xiàn)面平行的方法1.證明線(xiàn)線(xiàn)平行,則線(xiàn)面平行,2.證明面面平行,則線(xiàn)面平行,關(guān)鍵是證明線(xiàn)線(xiàn)平行,一般構(gòu)造平行四邊形,則對(duì)邊平行,或是構(gòu)造三角形中位線(xiàn).18、(Ⅰ);(Ⅱ)有最大值,最大值為3.【解析】
(Ⅰ)利用正弦定理將角化邊,再由余弦定理計(jì)算可得;(Ⅱ)由正弦定理可得,則,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得;【詳解】(Ⅰ)由得再由正弦定理得因此,又因?yàn)?,所?(Ⅱ)當(dāng)時(shí),的周長(zhǎng)有最大值,且最大值為3,理由如下:由正弦定理得,所以,所以.因?yàn)椋?,所以?dāng)即時(shí),取到最大值2,所以的周長(zhǎng)有最大值,最大值為3.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.19、(1)(2)存在,【解析】
由數(shù)列為“數(shù)列”可得,,,兩式相減得,又,利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求出,進(jìn)而求出;由題意得,,,兩式相減得,,據(jù)此可得,當(dāng)時(shí),,進(jìn)而可得,即數(shù)列為常數(shù)列,進(jìn)而可得,結(jié)合,得到關(guān)于的不等式,再由時(shí),且為整數(shù)即可求出符合題意的的所有值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為“數(shù)列”,所以,故,兩式相減得,在中令,則可得,故所以,所以數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,所以,因?yàn)?,所?(2)由題意得,故,兩式相減得所以,當(dāng)時(shí),又因?yàn)樗援?dāng)時(shí),所以成立,所以當(dāng)時(shí),數(shù)列是常數(shù)列,所以因?yàn)楫?dāng)時(shí),成立,所以,所以在中令,因?yàn)?,所以可得,所以,由時(shí),且為整數(shù),可得,把分別代入不等式可得,,所以存在數(shù)列符合題意,的所有值為.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義、等比
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