山東省泰安第十九中學(xué)2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

山東省泰安第十九中學(xué)2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，若，則的大小為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在的圖像上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．甲乙丙丁四人中，甲說(shuō)：我年紀(jì)最大，乙說(shuō)：我年紀(jì)最大，丙說(shuō)：乙年紀(jì)最大，丁說(shuō)：我不是年紀(jì)最大的，若這四人中只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，則年紀(jì)最大的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．5．若的內(nèi)角滿足，則的值為（）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，令．有以下6個(gè)論斷：①是奇函數(shù)時(shí)，是奇函數(shù)；②是偶函數(shù)時(shí)，是奇函數(shù)；③是偶函數(shù)時(shí)，是偶函數(shù)；④是奇函數(shù)時(shí)，是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù)；⑥對(duì)任意的實(shí)數(shù)，．那么正確論斷的編號(hào)是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤7．已知甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用共享單車(chē)一次（假定費(fèi)用只可能為、、元）．甲、乙租車(chē)費(fèi)用為元的概率分別是、，甲、乙租車(chē)費(fèi)用為元的概率分別是、，則甲、乙兩人所扣租車(chē)費(fèi)用相同的概率為（）A． B． C． D．8．是正四面體的面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，為棱中點(diǎn)，記與平面成角為定值，若點(diǎn)的軌跡為一段拋物線，則（）A． B． C． D．9．函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知橢圓內(nèi)有一條以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，則直線的方程為()A． B．C． D．11．在中，D為的中點(diǎn)，E為上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，且，相交于點(diǎn)P，則（）A． B．C． D．12．設(shè)直線的方程為，圓的方程為，若直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則實(shí)數(shù)的取值為A．或11 B．或11 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知不等式的解集不是空集,則實(shí)數(shù)的取值范圍是；若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___14．如圖，在平面四邊形中，點(diǎn)，是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，，記和的面積分別為，，則______.15．若的展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和是________．16．若函數(shù)，則使得不等式成立的的取值范圍為_(kāi)________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.（1）求的大小；（2）若，且為的重心，且，求的面積.18．（12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，公差，、、成等比數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）已知函數(shù).（1）若曲線存在與軸垂直的切線，求的取值范圍.（2）當(dāng)時(shí)，證明：.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平行于x軸的動(dòng)直線l交拋物線C：于點(diǎn)P，點(diǎn)F為C的焦點(diǎn)．圓心不在y軸上的圓M與直線l，PF，x軸都相切，設(shè)M的軌跡為曲線E．（1）求曲線E的方程；（2）若直線與曲線E相切于點(diǎn)，過(guò)Q且垂直于的直線為，直線，分別與y軸相交于點(diǎn)A，當(dāng)線段AB的長(zhǎng)度最小時(shí)，求s的值．21．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域；（Ⅱ）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知中，角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，且（1）求角的大?。唬?）求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)橢圓的定義可得，，再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，，，又，則，由余弦定理可得.故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，考查余弦定理，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線，再分別討論兩函數(shù)的增減性，結(jié)合函數(shù)圖像，分析臨界點(diǎn)，進(jìn)一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線為，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單減，當(dāng)時(shí)，，單增；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，,當(dāng)時(shí)，單減，當(dāng)時(shí)，單增；根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)大致圖像，如圖：當(dāng)與（）相切時(shí)，得，解得；當(dāng)與（）相切時(shí)，滿足，解得，結(jié)合圖像可知，即，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性，找準(zhǔn)臨界是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題3、C【解析】

分別假設(shè)甲乙丙丁說(shuō)的是真話，結(jié)合其他人的說(shuō)法，看是否只有一個(gè)說(shuō)的是真話，即可求得年紀(jì)最大者，即可求得答案.【詳解】①假設(shè)甲說(shuō)的是真話，則年紀(jì)最大的是甲，那么乙說(shuō)謊，丙也說(shuō)謊，而丁說(shuō)的是真話，而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，故甲說(shuō)的不是真話，年紀(jì)最大的不是甲；②假設(shè)乙說(shuō)的是真話，則年紀(jì)最大的是乙，那么甲說(shuō)謊，丙說(shuō)真話，丁也說(shuō)真話，而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，故乙說(shuō)謊，年紀(jì)最大的也不是乙；③假設(shè)丙說(shuō)的是真話，則年紀(jì)最大的是乙，所以乙說(shuō)真話，甲說(shuō)謊，丁說(shuō)的是真話，而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，故丙在說(shuō)謊，年紀(jì)最大的也不是乙；④假設(shè)丁說(shuō)的是真話，則年紀(jì)最大的不是丁，而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，那么甲也說(shuō)謊，說(shuō)明甲也不是年紀(jì)最大的，同時(shí)乙也說(shuō)謊，說(shuō)明乙也不是年紀(jì)最大的，年紀(jì)最大的只有一人，所以只有丙才是年紀(jì)最大的，故假設(shè)成立，年紀(jì)最大的是丙.綜上所述，年紀(jì)最大的是丙故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理，解題時(shí)可從一種情形出發(fā)，推理出矛盾的結(jié)論，說(shuō)明這種情形不會(huì)發(fā)生，考查了分析能力和推理能力，屬于中檔題.4、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)定義得到，故，再利用和差公式得到答案.【詳解】∵角的終邊過(guò)點(diǎn)，∴，.∴.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)定義，和差公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5、A【解析】

由，得到，得出，再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由題意，角滿足，則，又由角A是三角形的內(nèi)角，所以，所以，因?yàn)?，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦的倍角公式的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題，著重考查了推理與計(jì)算能力.6、A【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當(dāng)是偶函數(shù)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)為非奇非偶函數(shù)時(shí)，例如：，則，，此時(shí)，故⑥錯(cuò)誤；故③④正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

甲、乙兩人所扣租車(chē)費(fèi)用相同即同為1元，或同為2元，或同為3元，由獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得．【詳解】由題意甲、乙租車(chē)費(fèi)用為3元的概率分別是，∴甲、乙兩人所扣租車(chē)費(fèi)用相同的概率為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性事件的概率．掌握獨(dú)立事件的概率乘法公式是解題基礎(chǔ)．8、B【解析】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出面的法向量，設(shè)的坐標(biāo)，求出向量，求出線面所成角的正弦值，再由角的范圍，結(jié)合為定值，得出為定值，且的軌跡為一段拋物線，所以求出坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而求出正切值．【詳解】由題意設(shè)四面體的棱長(zhǎng)為，設(shè)為的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，過(guò)垂直于面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則可得，，取的三等分點(diǎn)、如圖，則，，，，所以、、、、，由題意設(shè)，，和都是等邊三角形，為的中點(diǎn)，，，，平面，為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)榕c平面所成角為定值，則，由題意可得，因?yàn)榈能壽E為一段拋物線且為定值，則也為定值，，可得，此時(shí)，則，.故選：B.【點(diǎn)睛】考查線面所成的角的求法，及正切值為定值時(shí)的情況，屬于中等題．9、C【解析】

顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),由的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),因?yàn)榈囊粋€(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),所以,即,解得,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

設(shè)，，則，，相減得到，解得答案.【詳解】設(shè)，，設(shè)直線斜率為，則，，相減得到：，的中點(diǎn)為，即，故，直線的方程為：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)點(diǎn)差法求直線方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.11、B【解析】

設(shè)，則，，由B，P，D三點(diǎn)共線，C，P，E三點(diǎn)共線,可知，,解得即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，，因?yàn)锽，P，D三點(diǎn)共線，C，P，E三點(diǎn)共線，所以，，所以，.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理和向量共線定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

圓的圓心坐標(biāo)為（1，1），該圓心到直線的距離，結(jié)合弦長(zhǎng)公式得，解得或，故選A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用絕對(duì)值的幾何意義，確定出的最小值，然后根據(jù)題意即可得到的取值范圍化簡(jiǎn)不等式，求出的最大值，然后求出結(jié)果【詳解】的最小值為，則要使不等式的解集不是空集，則有化簡(jiǎn)不等式有，即而當(dāng)時(shí)滿足題意，解得或所以答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查的是函數(shù)恒成立的問(wèn)題和絕對(duì)值不等式，要注意到絕對(duì)值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合來(lái)解答本題，注意去絕對(duì)值時(shí)的分類討論化簡(jiǎn)14、【解析】

依題意易得A、B、C、D四點(diǎn)共圓且圓心在x軸上，然后設(shè)出圓心，由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到B的橫坐標(biāo)，進(jìn)一步得到D橫坐標(biāo)，再由計(jì)算比值即可.【詳解】因?yàn)?，所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓，直徑為，又A、C關(guān)于x軸對(duì)稱，所以圓心E在x軸上，設(shè)圓心E為，則圓的方程為，聯(lián)立橢圓方程消y得，解得，故B的橫坐標(biāo)為，又B、D中點(diǎn)是E，所以D的橫坐標(biāo)為，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中的四點(diǎn)共圓及三角形面積之比的問(wèn)題，考查學(xué)生基本計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想，本題關(guān)鍵是求出B、D橫坐標(biāo)，是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.15、【解析】

由題意得出展開(kāi)式中共有11項(xiàng)，；再令求得展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和．【詳解】由的展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開(kāi)式中共有11項(xiàng)，所以；令，可求得展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和是：．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查二項(xiàng)式展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和的求法，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

分，兩種情況代入討論即可求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，符合；當(dāng)時(shí)，，不滿足.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的計(jì)算，考查了分類討論的思想.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為，分析運(yùn)算即得解；（2）由為的重心，得到，平方可得解c,由面積公式即得解.【詳解】（1）由，由正弦定理得C，即∴∵∴，又∵∴（2）由于為的重心故，∴解得或舍∴的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.18、（1），（）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)是等差數(shù)列，，、、成等比數(shù)列，列兩個(gè)方程即可求出，從而求得，代入化簡(jiǎn)即可求得；（2）化簡(jiǎn)后求和為裂項(xiàng)相消求和，分組求和即可，注意討論公比是否為1.【詳解】（1）由題意知，，，由得，解得.又，得，解得或（舍）.，.又（），（）.（2），①當(dāng)時(shí)，.②當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】此題等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，裂項(xiàng)相消求和等知識(shí)點(diǎn)，考查了化歸和轉(zhuǎn)化思想，屬于一般性題目.19、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）在上有解，，設(shè)，求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值，得到答案.（2）證明，只需證，記，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最小值，得到證明.【詳解】（1）由題可得，在上有解，則，令，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以是的最大值點(diǎn)，所以.（2）由，所以，要證明，只需證，即證.記在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以是的最小值點(diǎn)，，則，故.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線問(wèn)題，證明不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和轉(zhuǎn)化能力.20、（1），（2）．【解析】

根據(jù)題意設(shè)，可得PF的方程，根據(jù)距離即可求出；點(diǎn)Q處的切線的斜率存在，由對(duì)稱性不妨設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和斜率公式，求，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值．【詳解】因?yàn)閽佄锞€C的方程為，所以F的坐標(biāo)為，設(shè)，因?yàn)閳AM與x軸、直線l都相切，l平行于x軸，所以圓M的半徑為，點(diǎn)，則直線PF的方程為，即，所以，又m，，所以，即，所以E的方程為，，設(shè)，，，由知，點(diǎn)Q處的切線的斜率存在，由對(duì)稱性不妨設(shè)，由，所以，，所以，，所以，．令，，則，由得，由得，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值也是最小值，即AB取得最小值此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的關(guān)系，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）把代入，可得，令，求出其在上的值域，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.（Ⅱ）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，再利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得解不等式組即可求解.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為.最大值為，故函數(shù)在上的值域?yàn)?；（Ⅱ?/p>