四川省達州市2025屆高三數(shù)學(xué)第一次診斷測試模擬考試文科試題含解析

四川省達州市2024屆高三數(shù)學(xué)第一次診斷測試模擬考試文科試題總分:150分一單選題（5分*12）1.設(shè)集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別解方程和不等式求出集合和集合，再求并集即可.【詳解】對于集合，由解得或，∴，對于集合，不等式等價于，∵是定義在上的增函數(shù)，∴，∴，∴.故選：A.2.如圖，若向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則表示的復(fù)數(shù)為（）A.1＋3i B.－3－iC.3－i D.3＋i【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)關(guān)系可得z＝1－i，再利用復(fù)數(shù)的運算法則即可得出答案.【詳解】由題圖可得Z（1，－1），即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)與向量之間的對應(yīng)關(guān)系、復(fù)數(shù)的運算法則.3.已知函數(shù)?，則?（）A.? B.1 C.? D.5【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)運算求得.【詳解】，令得.故選：B4.設(shè)條件甲：“事務(wù)A與事務(wù)B是對立事務(wù)”，結(jié)論乙：“概率滿意P（A）＋P（B）＝1”，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】將兩個條件相互推導(dǎo)，依據(jù)能否推導(dǎo)的狀況選出正確答案.【詳解】①若事務(wù)A與事務(wù)B是對立事務(wù)，則A∪B為必定事務(wù)，再由概率的加法公式得P（A）＋P（B）＝1；②投擲一枚硬幣3次，滿意P（A）＋P（B）＝1，但A，B不肯定是對立事務(wù)，如：事務(wù)A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事務(wù)B：“出現(xiàn)3次正面”，則P（A）＝，P（B）＝，滿意P（A）＋P（B）＝1，但A，B不是對立事務(wù).所以甲是乙的充分不必要條件.故選：A【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的推斷，考查對立事務(wù)的理解，屬于基礎(chǔ)題.5.執(zhí)行程序框圖，則輸出的數(shù)值為（）A.31 B.32 C.63 D.64【答案】C【解析】【分析】模擬程序的運行過程，逐步計算即可求出結(jié)果．【詳解】解：模擬程序的運行，，滿意條件，，，滿意條件，，，滿意條件，，，滿意條件，，，滿意條件，，，此時，不滿意條件，退出循環(huán)，輸出S的值為63．故選：C．6.已知平面對量是非零向量，，夾角?，則向量?在向量?方向上的投影為（）A.? B.1 C.? D.2【答案】A【解析】【分析】依據(jù)向量投影概念求解即可.【詳解】向量?在向量?方向上的投影為.故選：A7.已知直線與圓相切，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直線與圓相切可得，然后利用均值不等式可得，從而可求的最大值.【詳解】解：因為直線與圓相切，所以，即，因為，所以，所以，所以的最大值為，故選：D.8.由倫敦聞名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完備結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線??下支的一部分，且此雙曲線的下焦點到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為（）A.? B.?C.? D.?【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)題意得到，再解方程組即可.【詳解】設(shè)雙曲線的一個焦點為，一條漸近線方程為，則焦點到漸近線的距離，所以，即雙曲線方程為：.故選：B9.已知定義在?上的函數(shù)?滿意，當(dāng)?時，??，則?等于（）A.1 B.? C.? D.2【答案】D【解析】【分析】有題目條件，可得周期為4，且圖像關(guān)于對稱，據(jù)此可得.【詳解】因，則圖像關(guān)于對稱又因，則，即周期為4.則，又當(dāng)?時，，則，即.故選：D10.已知函數(shù)在區(qū)間?上單調(diào)遞增，則?的取值范圍為（）A.? B.?C.? D.?【答案】B【解析】【分析】依據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，依據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，建立不等式，即可求解.【詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以由函數(shù)解析式知:在上單調(diào)遞增，則有，解得，所以當(dāng)時，有，故選:B.11.某顧客在2024年1月1日采納分期付款方式購買一輛價值2萬元的家電，在購買一個月后2月1日第一次還款，且以后每個月1日等額還款一次，假如一年內(nèi)還清全部貸款（12月1日最終一次還款），月利率為0.5％.按復(fù)利計算，則該顧客每個月應(yīng)還款多少元？（精確到1元，參考值，）（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)每月還款元，每月還款按得利計算，11次還款的本利和等于銀行貸款按復(fù)利計算的本利和，由此可得．【詳解】設(shè)每月還款元，共還款11個月，所以，．故選：A．12.如圖所示，設(shè)正方體的棱長為，點是棱上一點，且，過，，的平面交平面于，在直線上，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】連接，由面面平行性質(zhì)定理，可以證出，所以，，利用相像比即可求出.【詳解】在正方體中，，，∴四邊形平行四邊形，∴，又∵在正方體中，平面平面，平面平面，平面平面，∴，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵正方體的棱長為，∴，，，∴.故選：A.二填空題（5分*4）13.設(shè)變量滿意約束條件：，則目標函數(shù)的最大值為__________.【答案】##4.5【解析】【分析】依據(jù)不等式組作出可行域，再結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義求最值.【詳解】依據(jù)不等式組作出可行域，如圖所示當(dāng)目標函數(shù)經(jīng)過點時，取最大值為故答案為：##4.514.已知數(shù)列?滿意，，?，則?等于__________.【答案】7【解析】【分析】首先依據(jù)題意得到是等差數(shù)列，再依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為，所以是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)可得，解得.，解得.所以.故答案為：715.已知點M(－3，2)是坐標平面內(nèi)肯定點，若拋物線y2＝2x的焦點為F，點Q是該拋物線上的一動點，則|MQ|－|QF|的最小值是___．【答案】【解析】【分析】當(dāng)MQ∥x軸時，|MQ|－|QF|取得最小值，此時點Q的縱坐標y＝2，代入計算橫坐標，最終計算最小值.【詳解】拋物線的準線方程為，當(dāng)MQ∥x軸時，|MQ|－|QF|取得最小值，此時點Q的縱坐標y＝2，代入拋物線方程y2＝2x得Q的橫坐標x＝2，則.故答案為【點睛】本題考查了距離的最小值，推斷當(dāng)MQ∥x軸時，|MQ|－|QF|取得最小值是解題的關(guān)鍵.16.已知當(dāng)時，不等式恒成立，則正實數(shù)a的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，設(shè)，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出，令（），利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，從而可求出實數(shù)a的取值范圍，進而可求得正實數(shù)a的最小值【詳解】由題意得，原不等式可變形為，即，設(shè)，則當(dāng)時，恒成立，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，，所以，，因為在上單調(diào)遞增，所以要使，只要，兩邊取對數(shù)得，，因為，所以，令（），則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以正實數(shù)a的最小值為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解題的關(guān)鍵是將原不等式轉(zhuǎn)化為，發(fā)覺兩邊形式相同，所以構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，恒成立，再由函數(shù)的單調(diào)性可得，再轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)求出其最小值即可，屬于較難題三解答題17.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（I）求A；（Ⅱ）設(shè)D是線段的中點，若，，求a．【答案】（I）；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）先由正弦定理，將所給條件化為，再由余弦定理，即可得出結(jié)果；（Ⅱ）依據(jù)題中條件，得到，推出，再由余弦定理得到，兩式聯(lián)立求出，進而可求出.【詳解】（I）依據(jù)正弦定理，由可得，即，由余弦定理可得，，因為為三角形內(nèi)角，所以；（Ⅱ）因為D是線段的中點，，，所以，則，所以，即，整理得；又，所以，解得或（舍），因此，所以【點睛】思路點睛：求解三角形中的邊長或面積等問題時，一般須要依據(jù)正弦定理，或余弦定理，將題中條件進行轉(zhuǎn)化，得出對應(yīng)的方程求解即可.18.第24屆冬季奧林匹克運動會于2024年2月在中國北京實行.為迎接此次冬奧會，北京市組織高校生開展冬奧會志愿者的培訓(xùn)活動，并在培訓(xùn)結(jié)束后統(tǒng)一進行了一次考核.為了了解本次培訓(xùn)活動的效果，從A，B兩所高校各隨機抽取10名學(xué)生的考核成果，并作出如圖所示的莖葉圖.（1）計算A，B兩所高校學(xué)生的考核成果的平均值；（2）將學(xué)生的考核成果分為兩個等級，如下表所示.現(xiàn)從樣本考核等級為優(yōu)秀的學(xué)生中任取2人，求2人來自同一所高校的概率.考核成果考核等級合格優(yōu)秀【答案】（1）?，?.（2）?.【解析】【分析】（1）依據(jù)平均數(shù)計算方法求得平均數(shù).（2）利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式求得所求概率.【小問1詳解】?，?.【小問2詳解】記事務(wù)?為“從樣本考核等級為優(yōu)秀的學(xué)生中任取2人，2人來自同一所高?！?樣本中，??？己说燃墳閮?yōu)秀的學(xué)生共有3人，分別記為?，??？己说燃墳閮?yōu)秀的學(xué)生共有3人，分別記為?，從這6人中任取2人，全部的基本領(lǐng)件為：?，?共15個，而事務(wù)?包含的基本領(lǐng)件是?，共6個，因此?.19.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，側(cè)面為等邊三角形.（1）求證：；（2）若平面平面，點為的中點，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）本題可取的中點，連接、、，然后依據(jù)為等邊三角形、底面是菱形得出、，最終依據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）可通過平面平面得出平面，然后依據(jù)即可得出結(jié)果.【詳解】（1）如圖，取的中點，連接、、，因為為等邊三角形，是的中點，所以，因為底面是菱形，，所以是等邊三角形，，因為，所以平面，因為平面，所以.（2）因為底面是邊長為的菱形，為等邊三角形，所以，，底面的面積為，因為平面平面，平面平面，，所以平面，因為為的中點，所以.20.平面直角坐標系?中，已知橢圓?，橢圓?.設(shè)點?為橢圓?上隨意一點，過點?的直線?交橢圓?于?兩點，射線?交橢圓?于點?.（1）求證:?;（2）求?面積的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）?.【解析】【分析】(1)設(shè)，可以求出，代入可求解.(2)?面積為?，設(shè)出方程，與橢圓聯(lián)立找尋韋達定理，把的面積表示為的關(guān)系，然后換元解決.【小問1詳解】設(shè)?，由題意知?因為?，又?，即?，所以?，即?.【小問2詳解】由（1）知，?面積為?，設(shè)?.將?代入橢圓?的方程，可得?，由?，可得?，①則有?.所以?.因為直線?與?軸交點的坐標為?，所以?的面積??.設(shè)?，將?代入橢圓?的方程，可得?，由?，可得?，②由（1）（2）可知?，因此?，故?，當(dāng)且僅當(dāng)?，即?時取得最大值?.所以?面積的最大值為?.21.已知函數(shù)，其中為常數(shù)．（1）當(dāng)時，推斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；（2）若對隨意，都有，求的取值范圍．【答案】（1）推斷見解析（2）【解析】【分析】小問1：當(dāng)時，求出導(dǎo)數(shù)，推斷導(dǎo)數(shù)在上的正負，即可確定在上的單調(diào)性；小問2：由得，令，將參數(shù)區(qū)分為，，三種狀況，分別探討的單調(diào)性，求出最值，即可得到的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，得，故，當(dāng)時，恒成立，故在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù).【小問2詳解】當(dāng)時，，故，即，即.令①當(dāng)時，因為，故，即，又，故在上恒成立，故；②當(dāng)時，，，故在上恒成立，在上單調(diào)遞增，故，即上單調(diào)遞增，故，故；③當(dāng)時，由②可知在上單調(diào)遞增，設(shè)時的根為，則在時為單調(diào)遞減；在時為單調(diào)遞增又，故，舍去；綜上：【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，及利用恒成立問題，求參數(shù)的取值范圍的問題，對參數(shù)做到不重不漏的探討，是解題的關(guān)鍵.22.在平面直角坐標系xOy中，曲線的方程為：.以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線，的極坐標方程分別為：，.（1）若曲線，相交于異于極點的點Q，求點Q的直角坐標；（2）若直線與，相交于異于極點的A，B兩點，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分別求出、的直徑坐標方程，進而聯(lián)立兩個直角坐標方程，可求出點Q的直角坐標；（2）求出的極坐標方程，設(shè)，，從而可得，利用三角函數(shù)求最值即可.【詳解】（1）由，得，將代入，可得的直角坐標方程為；由，得，將代入，可得的直角坐標方