四川省遂寧市2024-2025學年高三數(shù)學上學期第一次考試開學考試理試題含解析

Page16四川省遂寧2024-2025學年高三上學期第一次考試（開學考試）數(shù)學（理）試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知是虛數(shù)單位，若復數(shù)滿意：，則復數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用計算得，即可得答案【詳解】解：由可得，所以，故選：A2.已知，，且，則的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】利用均值不等式結合指數(shù)冪的運算即可求得答案【詳解】解：因為，所以因為所以，當且僅當即時，取等號，故的最小值為6，故選：C3.在集合和中各取一個數(shù)字組成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)能被4整除的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列舉出全部可能的兩位數(shù)，從中找出能被整除的數(shù)，依據(jù)古典概型概率計算公式，計算出所求的概率.【詳解】在和兩個集合中各取一個數(shù)字組成一個兩位數(shù)的全部事務為13，31，14，41，15，51，23，32，24，42，25，52共12個，其中能被4整除的兩位數(shù)是24，32，52共3個，所求概率為.故選：C.【點睛】本小題主要考查古典概型的概率計算，屬于基礎題.4.已知實數(shù)，，滿意，，，則實數(shù)，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質解答.【詳解】解：，，綜上可得故選：【點睛】本題考查對數(shù)的運算及對數(shù)函數(shù)的性質，屬于基礎題.5.在中，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】依據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義求解作答.【詳解】在中，，則，必有，而，滿意，此時是直角三角形，不是等腰三角形，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B6.月形是一種特別的平面圖形，指有相同的底，且在底的同一側的兩個弓形所圍成的圖形.月形中的一種特別的情形是鐮刀形，即由半圓和弓形所圍成的圖形（如下圖），若半圓的半徑與弓形所在圓的半徑之比為，現(xiàn)向半圓內隨機取一點，則取到鐮刀形中的一點的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先設半圓半徑為，分別計算半圓的面積和弓形的面積，再代入幾何概型公式計算即可.【詳解】如圖所示：設半圓半徑為，半圓面積為，弓形面積為，概率為.故選：B【點睛】本題主要以數(shù)學文化為背景考查幾何概型，同時考查學生的邏輯思維實力，屬于中檔題.7.設是函數(shù)的導函數(shù)，的圖像如圖所示，則的圖像最有可能的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】當時，，當時，，當時，，依據(jù)函數(shù)的單調性即可推斷.【詳解】由導函數(shù)的圖象可得當時，,函數(shù)單調遞增；當時，,函數(shù)單調遞減；當時，,函數(shù)單調遞增.只有C選項的圖象符合.故選:C.8.已知，則的零點個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，可得出，則函數(shù)的零點個數(shù)等于函數(shù)與函數(shù)圖象的交點個數(shù)，利用數(shù)形結合思想可得解.【詳解】令，可得出，則函數(shù)的零點個數(shù)等于函數(shù)與函數(shù)圖象的交點個數(shù)，且當時，.在同始終角坐標系中作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知，兩個函數(shù)共有個公共點，因此，函數(shù)的零點個數(shù)為.故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)零點個數(shù)的求解，一般轉化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，利用數(shù)形結合思想求解，考查數(shù)形結合思想的應用，屬于中等題.9.已知為雙曲線的右焦點，過原點的直線與雙曲線交于，兩點，若且的周長為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設雙曲線的另一個焦點為，則依據(jù)雙曲線的對稱性得為矩形，，由條件可得，由雙曲線的定義，再由勾股定理可解得離心率.【詳解】設雙曲線另一個焦點為，由.依據(jù)雙曲線的對稱性得為矩形，如圖，.又的周長為，則…………①.由雙曲線的定義………………②由①，②得.在直角三角形中,.則，即，所以.故選：D【點睛】本題考查雙曲線的對稱性和定義，求雙曲線的離心率，屬于難題.10.已知拋物線焦點為，點為其準線與軸的交點，過點的直線與C相交于兩點，則△ABD的面積的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設，，直線AB的方程為，將直線方程代入拋物線方程中消去，整理后利用根與系數(shù)的關系，再表示出，從而可表示出的面積，進而可求出其取值范圍【詳解】拋物線焦點為,所以易得,過點的直線:,設，代入整理得：，，則的面積的取值范圍為.故選：B.11.已知對，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值是（）A. B.1C D.【答案】C【解析】【分析】設函數(shù)，其中，作出函數(shù)圖象結合導數(shù)的幾何意義即可求得答案.【詳解】設函數(shù)，其中，作出函數(shù)，的圖象如圖，當函數(shù)，的圖象始終在，的圖象下方（切點除外）時符合題意，對于，，則在x=0處的切線斜率為，由圖結合題意可知，即a得最大值為，故選：C12.橢圓有一條光學性質：從橢圓一個焦點動身的光線，經(jīng)過橢圓反射后，肯定經(jīng)過另一個焦點.假設光線沿直線傳播且在傳播過程中不會衰減，橢圓的方程為，則光線從橢圓一個焦點動身，到首次回到該焦點所經(jīng)過的路程不行能為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】先依據(jù)橢圓的標準方程求出,,再依據(jù)光線路徑分三種狀況探討即可得出結果.【詳解】解:由題意可得,,,所以,.①若光線從橢圓一個焦點沿軸方向動身到長軸端點(較近的)再反射,則所經(jīng)過的路程為,②若光線從橢圓一個焦點沿軸方向動身到長軸端點(較遠的)再反射,則所經(jīng)過的路程為.③若光線從橢圓一個焦點沿非軸方向動身,則所經(jīng)過的路程為故選:B【點睛】本題考查橢圓的基本性質,考查橢圓的反光鏡問題,考查長半軸與半焦距之間的基本關系,屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.曲線在點處的切線方程為__________．【答案】【解析】【詳解】,,切線方程為,即.故答案為：14.已知圓：與直線：相交于、兩點，且，則實數(shù)______.【答案】-7或-1【解析】【分析】將圓的一般方程化為標準方程,結合垂徑定理和勾股定理表示出圓心到弦的距離,再由點到直線的距離公式表示出圓心到弦的距離.解方程即可求得的值.【詳解】將圓的方程化為標準方程可得圓心為,半徑圓C與直線相交于、兩點,且由垂徑定理和勾股定理可求得圓心到直線的距離為由點到直線距離公式可知所以,化簡可得解得或故答案為:或【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系,直線與圓相交時的弦長問題,垂徑定理及點到直線距離公式的應用,屬于基礎題.15.若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當時，，則不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】由題意，當時，單調遞增，當時，單調遞增，則等價于或，求解即可．【詳解】由題意，當時，單調遞增，當時，單調遞增，則等價于或即或或解得或．故不等式的解集為．故答案為：．【點睛】本題考查不等式求解，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調性與單調區(qū)間，考查運算化簡的實力，屬于中檔題．16.已知x，，滿意，給出下列四個結論：①；②；③；④．其中肯定成立的結論是______（寫出全部成立結論的編號）．【答案】①④【解析】【分析】依據(jù)基本不等式，結合特別值法逐一推斷即可.【詳解】①：因為，所以有，故本結論肯定成立；②：當時，明顯成立，但是不成立，故本結論不肯定成立；③：當時，明顯成立，但是不成立，故本結論不肯定成立；④：因為，所以，由①可知：，所以，因此本結論肯定成立，故答案為：①④三、解答題：本題共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設命題：函數(shù)在區(qū)間上單調遞減；命題：對恒成立．假如命題“且”為假命題，求的取值范圍．【答案】【解析】【分析】分別求出為真命題，為真命題時，的范圍，再依據(jù)“且”為假命題，可得，至少有一假，即可求出答案【詳解】解：因為命題：函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，所以當為真，對稱軸，因為命題：對恒成立，所以當為真，，解得，因為命題“且”為假命題，所以，至少有一假，若假假，則，解得或，若真假，則，解得，若假真，則，解得，綜上所述，故的取值范圍為18.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線，其中.（1）說明是哪種曲線，并將的方程化為極坐標方程；（2）設曲線和曲線交于兩點，求.【答案】（1）是以為圓心，5為半徑的圓；；（2）.【解析】【分析】（1）消去參數(shù)得到的一般方程，再利用極坐標公式得到答案.（2）依據(jù)韋達定理得到，，依據(jù)計算得到答案.【詳解】（1）消去參數(shù)得到的一般方程為，是以為圓心，5為半徑的圓，將，代人的一般方程中，得到，化簡整理得到：.（2）設兩點所對應的極徑分別為，，將曲線的極坐標方程代人曲線的極坐標方程，得.于是，，.由，得，兩邊平方整理得，所以.【點睛】本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程，求弦長，意在考查學生的計算實力和轉化實力.19.已知函數(shù)．（1）若是的一個極值點，求值及的單調區(qū)間；（2）當時，求在區(qū)間上的最值．【答案】（1），單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導，由極值點導數(shù)值為求出值，進一步得出的單調區(qū)間；（2）當代入，得函數(shù)并求導，得出其單調性，利用單調性可求出其最值．【小問1詳解】由題設，且定義域，由是的一個極值點得，解得，此時．所以，當時；當時，即在單調遞增；在單調遞減．所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.【小問2詳解】因為，所以，則．所以，當或時；當時．所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和；單調遞減區(qū)間為，又，所以在遞減，在遞增，所以的最小值，又，及，所以的最大值為.20.“生命重于泰山，疫情就是吩咐，防控就是責任”.面對疫情，為切實做好防控，落實“停課不停學”，某校高三年級啟動線上公益學習活動，助“戰(zhàn)”高考.為了解學生的學習效果，李華老師在任教的甲、乙兩個班中各隨機抽取20名學生進行一次檢測，依據(jù)他們取得的成果（單位：分，滿分100分）繪制了如下莖葉圖，記成果不低于70分者為“成果優(yōu)良”.（1）分別估計甲、乙兩個班“成果優(yōu)良”的概率；（2）依據(jù)莖葉圖推斷哪個班的學習效果更好？并從兩個角度來說明理由.【答案】（1）甲班“成果優(yōu)良”的概率為，乙班“成果優(yōu)良”的概率為（2）乙班學習的效果更好，理由見解析【解析】【分析】（1）通過莖葉圖的數(shù)據(jù)分析可得甲班“成果優(yōu)良”的概率為，乙兩個班“成果優(yōu)良”的概率為.（2）乙班學習的效果更好，可以從三個不現(xiàn)角度回答.【詳解】（1）從莖葉圖中，知甲班學生成果不低于70分的人數(shù)共有10人，乙班學生成果不低于70分的人數(shù)共有16人，且成果不低于70分者為“成果優(yōu)良”.因此可估計甲班“成果優(yōu)良”的概率為，乙兩個班“成果優(yōu)良”的概率為.（2）乙班學習的效果更好.理由l：乙班樣本成果大多在70分以上，甲班樣本成果70分以下的明顯更多.理由2：甲班樣本成果的平均分為70.2；乙班樣本成果的平均分為79.05.理由3：甲班樣本成果的中位數(shù)為，班樣本成果的中位數(shù)為.【點睛】本題考查統(tǒng)計中的莖葉圖及其數(shù)據(jù)特征分析，考查數(shù)據(jù)處理實力，屬于基礎題.21.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在區(qū)間上遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：．【答案】（1）.（2）證明見詳解.【解析】【分析】（1）把問題轉化為函數(shù)恒成立問題，再利用分別參數(shù)法、導數(shù)進行處理.（2）利用（1）中結論、累加法、裂項相消法以及對數(shù)的運算性質證明不等式．【詳解】（1）函數(shù)的定義域為．由題有：在區(qū)間上恒成立，所以，，又在區(qū)間上遞減，所以，即實數(shù)a的取值范圍為．（2）取，由(1)有區(qū)間上遞增，所以，當時，即，因為，所以，即，所以，，，，…，，，所以，，即，得證．請考生在第22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分．22.已知平面直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)，），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為銳角）；以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，．（1）求曲線的極坐標方程以及直線的一般方程；（2）記直線與、軸的交點分別為，，點在曲線上，直線AP的傾斜角為，若，求的值．【答案】（1），，，（2）【解析】【分析】（1）將直線的參數(shù)方程整理為，用比值消去參數(shù)t化簡可得一般方程；曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)，）化為一般方程后，再化為極坐標方程，留意取值范圍.（2）將點到直線MN的距離為與的長度都用表示出來，然后利用求解得出.【小問1詳解】解：依題意，直