山西省晉中市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末調(diào)研理試題

Page202024~2024學(xué)年第一學(xué)期高三期末考試數(shù)學(xué)試題（理科）（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）留意事項(xiàng)1.答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校?姓名?班級(jí)?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡相應(yīng)的位置.2.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案用0.5毫米及以上黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上.4.考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回.一?選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則等于（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則等于（）A.0B.C.1D.3.下列命題中，真命題有（）①；②；③若命題是真命題，則是真命題；④是奇函數(shù).A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)4.已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則的值為（）A.B.C.或D.5.下午活動(dòng)時(shí)間，全校進(jìn)行大掃除，某班衛(wèi)生委員將包括甲?乙在內(nèi)的6位同學(xué)平均分成3組，分別派到3塊班級(jí)管轄區(qū)域清理衛(wèi)生，問甲?乙被分到同一個(gè)管轄區(qū)域的概率為（）A.B.C.D.6.中國(guó)的技術(shù)領(lǐng)先世界，技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是聞名的香農(nóng)公式：.它表示：在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號(hào)的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)里面的1可以忽視不計(jì).依據(jù)香農(nóng)公式，若帶寬增大到原來的倍，信噪比從1000提升到16000，則比原來大約增加了（）（附：）A.B.C.D.7.已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，則等于（）A.27B.25C.20D.108.已知的綻開式中的系數(shù)為5，則等于（）A.B.C.D.9.已知是奇函數(shù)并且是上的單調(diào)函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.10.若點(diǎn)是圓上任一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最大值為（）A.5B.6C.D.11.如圖，已知拋物線，圓，過點(diǎn)的直線與拋物線和圓依次交于，則等于（）A.1B.2C.4D.812.已知三棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影為的垂心，若的面積為的面積為的面積為，滿意，當(dāng)?shù)拿娣e之和的最大值為8時(shí)，則三棱錐外接球的體積為（）A.B.C.D.二?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，則向量與向量的夾角為__________.14.若直線是函數(shù)的圖象在某點(diǎn)處的切線，則實(shí)數(shù)__________.15.已知函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則滿意條件的的最大值為__________.16.若數(shù)列滿意，令，則__________.三?解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟，第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都應(yīng)當(dāng)作答.第22?23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17.（本小題滿分12分）在中，角的對(duì)邊分別是，且.（1）求角的大?。唬?）若為邊上的一點(diǎn)，，且__________，求的面積.①是的平分線；②為線段的中點(diǎn).（從①，②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上并作答）.18.（本小題滿分12分）如圖所示，點(diǎn)在圓柱的上底面圓周上，四邊形為圓柱下底面的內(nèi)接四邊形，且為圓柱下底面的直徑，為圓柱的母線，且，圓柱的底面半徑為1.（1）證明：；（2）為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，記，求二面角的余弦值.19.（本小題滿分12分）在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對(duì)機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或起先呈現(xiàn)該疾病對(duì)應(yīng)的相關(guān)癥狀時(shí)止的這一階段稱為潛藏期.一探討團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：潛藏期（單位：天）人數(shù)501502003002006040（1）求這1000名患者的潛藏期的樣本平均數(shù)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，結(jié)果四舍五入為整數(shù)）；（2）該傳染病的潛藏期受諸多因素的影響，為探討潛藏期與患者年齡的關(guān)系，以潛藏期是否超過8天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表，請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)列聯(lián)表推斷，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為潛藏期與患者年齡有關(guān)；潛藏期8天潛藏期天總計(jì)50歲以上（含50）10050歲以下65總計(jì)200（3）以這1000名患者的潛藏期超過8天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛藏期超過8天的概率，每名患者的潛藏期是否超過8天相互獨(dú)立.為了深化探討，該探討團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了20名患者，其中潛藏期超過8天的人數(shù)最有可能（即概率最大）是多少？附：，其中.20.（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率，橢圓上的點(diǎn)與左?右頂點(diǎn)所構(gòu)成三角形面積的最大值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)的直線的斜率分別為，滿意交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，線段與的中點(diǎn)分別為.推斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)求出該定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)隨意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑.22.（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出的一般方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).23.（本小題滿分10分）已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）若，且的最小值為，求證：.2024~2024學(xué)年第一學(xué)期高三期末考試數(shù)學(xué)答案（理科）1.B，，故選B.2.C，則，故選C.3.B對(duì)于①，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即，所以①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，所以成立，所以②正確；對(duì)于③，若命題是真命題，則至少有一個(gè)為真命題，所以真假不能推斷，所以③錯(cuò)誤；對(duì)于④，令，定義域?yàn)椋瑒t，所以是奇函數(shù)，所以④正確，故選B.4.B依題意，雙曲線的漸近線方程為，因兩條漸近線的夾角為，于是得直線的傾斜角是或，即或，解得或，而，則，故選B.5.B6位同學(xué)平均分成3組，并派到3塊班級(jí)管轄區(qū)域的狀況有（種）.其中甲乙被分到同一個(gè)管轄區(qū)域的狀況有（種），所以所求概率，故選B.6.D由題意，所以比原來大約增加了，故選D.7.A設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)樗越獾脛t，故選A.8.D由題意知：，解得，故選D.9.C是奇函數(shù)并且是上的單調(diào)函數(shù)，等價(jià)于方程在上有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；且，的取值范圍為，故選C10.C由題知，直線過定點(diǎn)（0，-1），所以圓心到定點(diǎn)的距離為所以點(diǎn)到直線距離的最大值為，故選C.11.A圓，點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，設(shè)，所以，，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立消，得.綜上，，故選A12.D連接交千點(diǎn)，連接（圖略）.因?yàn)闉榈拇剐?，所以，因?yàn)槠矫?，所以，所以平面，所以，可得，因?yàn)椋?，所以，所以，所以平面，所以平面，所以，同理可知，且，所以平面，所以，因此兩兩垂?設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，所以，解得.所以三棱錐外接球的體積為.故選D.13.解析設(shè)向量與向量的夾角為.，，，.14.解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則所以.15.解析由，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為由題知，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.16.解析：列舉法，，，，，，，，即，又，，，，，，，17.解（1）由正弦定理知，，，代入上式得，，（2）若選①：由平分得，，，即.在中，由余弦定理得，又，聯(lián)立，得，解得舍去，.若選②：得，，得，在中，由余弦定理得，即，聯(lián)立可得，.18.（1）證明為直徑，點(diǎn)在圓上且不同于點(diǎn)，，又為母線，平面，又平面，從而，又，平面，又平面，（2）解，圓柱的底面直徑為2，即，又為的中點(diǎn)，，即四邊形為正方形，兩兩相互垂直，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，令，易知平面的一個(gè)法向量為，.又由題知二面角為銳二面角，所求的余弦值為.19.解（1）（天）.（2）由題設(shè)知：潛藏期天數(shù)在的頻率為，潛藏期天數(shù)在的頻率為，故200人中潛藏期在上有140人，在上有60人.列聯(lián)表如下：潛藏期8天潛藏期8天總計(jì)50歲以上（含50）752510050歲以下6535100總計(jì)14060200，故在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，不能認(rèn)為潛藏期與患者年齡有關(guān).（3）由題知，一名患者潛藏期超過8天的概率為，設(shè)20名患者中潛藏期超過8天的人數(shù)為，則，且，由題意得，即化簡(jiǎn)得解得，即潛藏期超過8天的人數(shù)最有可能是6.20.解（1）設(shè)右焦點(diǎn)，由題知求得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）方法一：設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程得消去得，由根與系數(shù)的關(guān)系知，則，代入直線的方程得，所以，同理得.①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線，得易知為方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，由題知，所以，得，所以直線，所以直線過定點(diǎn).②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，即，所以，且.不妨設(shè)，所以，即直線，滿意過定點(diǎn).綜上，直線過定點(diǎn).方法二：設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程消去得，.由根與系數(shù)的關(guān)系知，，，代入直線的方程得，所以，同理得.①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，即.，（上式結(jié)合化簡(jiǎn)），直線，由橢圓的對(duì)稱性可知，若定點(diǎn)存在，則必在軸上，所以令，得，所以直線過定點(diǎn).②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，即，所以.不妨設(shè)，所以，即直線，滿意過定點(diǎn).綜上，直線過定點(diǎn).21.解（1），①當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時(shí)，令，即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）方法一：對(duì)隨意的，恒成立，即，今，旦，，且，今，，且由題意得，，即.下面證明對(duì)于隨意的，恒成立.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即.即在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，0，即得證.故說明，滿意條件.方法二：令，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)?增，，在上恒成立.對(duì)隨意的恒成立.即恒成立，等價(jià)于恒成立，等價(jià)于恒成立.