廣東省梅州市大埔縣2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次教學(xué)質(zhì)量檢測試題

本試卷共4頁，22小題，滿分150分；考試時間120分鐘.留意事項：1．答題前，考生務(wù)必用黑色筆跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考號填寫在答題卷上.2．選擇題要用2B鉛筆把答題卷上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.非選擇題必需用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必需寫在答題卷各題指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；不準運用鉛筆和涂改液.不按要求作答的答案無效.參考公式：一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，再依據(jù)集合的交集運算求得答案.【詳解】由題意可知：，，所以，故選：C.2.若復(fù)數(shù)z滿意，則（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】【分析】干脆對原式兩邊求模，再依據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式求解即可.【詳解】因為，所以，所以，即.，故選：B.3.若函數(shù)為冪函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則實數(shù)m的值為（）A.0 B.1或2 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)列式，結(jié)合單調(diào)性求得的值．【詳解】由于函數(shù)為冪函數(shù)，所以，解得或，時，，在上遞減，符合題意，時，，在上遞增，不符合題意．故選：C4.古代將圓臺稱為“圓亭”，九章算術(shù)中“今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，問積幾何”即一圓臺形建筑物，下底周長丈，上底周長丈，高丈，則它的體積為（）A.立方丈 B.立方丈 C.立方丈 D.立方丈【答案】B【解析】【分析】利用圓臺的體積公式求體積即可.【詳解】通過題目可知，圓臺上底周長丈，則上底半徑為丈同理，下底周長丈，下底半徑為丈依據(jù)圓臺體積公式得（立方丈）.故選：B．5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，先推斷函數(shù)的奇偶性，解除，再求出、的值，解除，即可得答案．【詳解】解：依據(jù)題意，，其定義域為，有，即函數(shù)為奇函數(shù)，解除，又由，，所以，有，函數(shù)在不會是減函數(shù)，解除，故選：．6.設(shè)，.若是與的等比中項，則的最小值為（）A. B. C. D.8【答案】C【解析】【分析】先依據(jù)等比中項的性質(zhì)求得的值，利用“1”的變換得，綻開后利用基本不等式求最小值.【詳解】由條件可知，即，所以，當(dāng)時，即時，等號成立.故選：C【點睛】思路點睛：本題考查基本不等式求最值，基本不等式求最值時留意“一正，二定，三相等”，尤其是不要忽視驗證相等的條件.7.已知直三棱柱的各頂點都在同一球面上，且該棱柱的體積為，，，，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，棱柱的體積為，，，，求出，再求出外接圓的半徑，即可求得球的半徑，從而可求球的表面積.【詳解】∵三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，棱柱的體積為，，，，∴，∴∵，∴.設(shè)外接圓的半徑為R，則，∴.∴外接球的半徑為，∴球的表面積等于.故選：C.【點睛】本小題主要考查依據(jù)柱體體積求棱長，考查幾何體外接球有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.8.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最小值為（）.A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)區(qū)間關(guān)于函數(shù)的圖象對稱軸對稱時，取得最小值，不妨設(shè)y取得最大值，求得，再代入求得函數(shù)的最小值，由此可得答案.【詳解】解：因為函數(shù)，所以其最小正周期為，而區(qū)間的區(qū)間長度是該函數(shù)的最小正周期的，因為函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，所以當(dāng)區(qū)間關(guān)于它的圖象對稱軸對稱時，取得最小值，對稱軸為，此時函數(shù)有最值，不妨設(shè)y取得最大值，則有，所以，解得，得，所以，所以的最小值為，故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列命題正確的是（）A.“，”的否定是“，”B.“”是“”的充分不必要條件C.“”是“”的充分不必要條件D.“且”是“”的必要不充分條件【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)含量詞的否定推斷A；由等價于或推斷B；由能推出，而當(dāng)時也有推斷C；由不等式的性質(zhì)推斷D．【詳解】A．依據(jù)命題的否定可知：“，”的否定是“，”，本選項不符合題意；B．等價于或，所以“”是“”的充分不必要條件，本選項符合題意；C．由能推出，而當(dāng)時也有，所以“”是“”充分不必要條件，本選項符合題意；D．依據(jù)不等式的性質(zhì)可知：由且能推出，所以“且”是“”的充分條件，本選項不符合題意．故選：BC．10.已知平面對量，，則下列說法正確的是（）A B.C.向量與的夾角為 D.向量在上的投影向量為【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)向量模長的坐標計算即可推斷A，依據(jù)數(shù)量積的坐標運算可推斷B,由夾角公式可推斷C，由投影向量的求解公式可推斷D.【詳解】，所以，故A錯誤；，故B正確；，，，，故C錯誤；向量在上的投影向量為，故D正確．故選：BD11.若函數(shù)同時滿意：①對于定義域上的隨意x，恒有；②對于定義域上的隨意，當(dāng)時，恒有，則稱函數(shù)為“志向函數(shù)”．下列四個函數(shù)中，能被稱為“志向函數(shù)”的有（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】由①得出函數(shù)為奇函數(shù)，②得到函數(shù)為減函數(shù)，依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由①對于定義域上的隨意x，恒有，可得函數(shù)為奇函數(shù)；②對于隨意，當(dāng)時，恒有，可得函數(shù)為減函數(shù)，對于A中，的定義域為上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意；對于B中，在定義域上單調(diào)遞增，不符合題意；對于C中，由，滿意，又由在定義域上單調(diào)遞減，符合題意；對于D中，的圖象關(guān)于原點對稱，滿意，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得在定義域上單調(diào)遞減，符合題意.故選：CD.12.如圖，在矩形中,E為的中點，將沿翻折到的位置,平面,為的中點,則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是A.恒有平面B.B與M兩點間距離恒為定值C.三棱錐的體積的最大值為D.存在某個位置，使得平面⊥平面【答案】ABC【解析】【分析】對每一個選項逐一分析探討得解.【詳解】取的中點,連結(jié)，，可得四邊形是平行四邊形，所以，所以平面，故A正確；（也可以延長交于,可證明,從而證明平面）因為，，，依據(jù)余弦定理得，得，因為，故，故B正確;因為為中點，所以三棱錐的體積是三棱錐的體積的兩倍，故三棱錐的體積，其中表示究竟面的距離，當(dāng)平面平面時，達到最大值，此時取到最大值，所以三棱錐體積的最大值為，故C正確；考察D選項，假設(shè)平面平面，平面平面，，故平面，所以，則在中，，，所以.又因為，，所以，故,,三點共線，所以，得平面，與題干條件平面沖突，故D不正確；故選A,B,C.【點睛】本題主要考查空間幾何元素位置關(guān)系的證明，考查空間兩點間的距離的求法和體積的最值的求法，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實力，屬于中檔題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知點在終邊上，則______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.【詳解】點在終邊上，，，=故答案為：14.已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，則___________.【答案】55【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可求得，化簡，即可求得答案.【詳解】由題意知數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，，則，即，所以，故答案為：5515.正方形邊長為，點在線段上運動，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】以為坐標原點建立平面直角坐標系，設(shè)出點坐標，求出各點及的坐標，代入所求表達式，化簡后可求得取值范圍.【詳解】以，為，軸建立直角坐標系則，，，，，設(shè)，則，，，，當(dāng)時，函數(shù)有最大值為，當(dāng)時，函數(shù)有最小值為，的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本小題主要考查平面對量的坐標運算，解題的關(guān)鍵點是建立平面直角坐標系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.16.已知函數(shù)，若方程有四個不等的實根，，，，則的取值范圍是______.【答案】（10，12）【解析】【分析】作出函數(shù)的圖像，設(shè)，可得，，且，則，得出答案.【詳解】作出函數(shù)的圖像，設(shè)，如圖.方程有四個不等的實根，則所以為在上與的兩個交點的橫坐標.由，即，所以，即，所以為在上與的兩個交點的橫坐標.所以當(dāng)時的兩個實數(shù)根為，則則，且所以故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查利用數(shù)形結(jié)合解決方程的根的個數(shù)的相關(guān)問題，解答本題的關(guān)鍵是由，即，得到，以及，屬于中檔題.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）依據(jù)正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）依據(jù)三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長.試題解析：（1）由已知可得（2）又，的周長為考點：正余弦定理解三角形.18.已知函數(shù)的最小正周期為．（1）求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值，并求取最大值時的的值．【答案】（1），，；（2）最大值，此時.【解析】【分析】（1）化簡解析式，依據(jù)最小正周期求得，利用整體代入法求得單調(diào)遞增區(qū)間.（2）求得的表達式，利用三角函數(shù)最值的求法求得正確結(jié)論.【詳解】（1）.由可得，由解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）.由于，所以，所以當(dāng)時，取得最大值.19.若數(shù)列的前項和滿意，等差數(shù)列滿意．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）由可求得，代入可求得；（2）由（1）得，再利用錯位相減法求數(shù)列的和．【詳解】解：（1）∵，∴當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，∴，即，∴，∴數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，∴，∴，又，，∴，，∴數(shù)列的公差，∴，綜上：，；（2）由（1）得，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查遞推數(shù)列求通項公式，考查錯位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題．20.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為PA，BC的中點．（1）證明：EF∥平面PCD（2）若PD⊥平面ABCD，，且，求直線AF與平面DEF所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取PD的中點G，連接CG，EG，則由三角形中位線定理可得，再結(jié)合底面四邊形為菱形，可得四邊形EGCF為平行四邊形，從而得然后由線面平行的判定定理可證得結(jié)論，（2）由已知可得兩兩垂直，所以以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系D—xyz，然后利用空間向量求解即可【小問1詳解】證明：取PD的中點G，連接CG，EG，因為E，F(xiàn)分別為PA，BC的中點，所以，又底面ABCD為菱形，所以，所以，所以四邊形EGCF為平行四邊形，所以又平面PCD．平面PCD，所以EF//平面PCD．【小問2詳解】解：連接，因為PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，因四邊形ABCD為菱形，，所以為等邊三角形，因為F為BC的中點，所以，因為∥，所以，所以兩兩垂直，所以以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系D—xyz．因為，所以D（0，0，0），F(xiàn)(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），則．設(shè)平面DEF的法向量，則，令，得．設(shè)直線AF與平面DEF所成的角為θ，則，所以直線AF與平面DEF所成角的正弦值為21.已知函數(shù).（1）推斷函數(shù)的零點個數(shù)；（2）設(shè)，若，是函數(shù)的兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）有且僅有1個零點；（2）.【解析】【分析】（1）先推斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合，即可知零點個數(shù)；（2）由題意知，是方程在內(nèi)的兩個不同的實數(shù)解，也是方程在內(nèi)的兩個不同的實數(shù)解，再依據(jù)實根分布學(xué)問即可解出．【詳解】（1）由題知函數(shù)的定義域為，對隨意恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.又，所以函數(shù)有且僅有1個零點.（2）因為，所以.由題意知，是方程在內(nèi)的兩個不同的實數(shù)解.令，又，且函數(shù)圖象的對稱軸為，所以只需解得，即實數(shù)的取值范圍為.22.已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時，求證：；（Ⅲ）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為M（a），當(dāng)M（a）最小時，求a的值．【答案】（Ⅰ）和.（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.【解析】【分析】(Ⅰ)首先求解導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)求得切點的橫坐標，據(jù)此求得切點坐標即可確定切線方程；(Ⅱ)由題意分別證得和即