廣東省清遠市2025屆高三數學上學期期末試題含解析

廣東省清遠市2024屆高三數學上學期期末試題留意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷共150分，考試時間120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數（）A.B.C.D.2.已知集合，，，則（）A.B.C.D.3.已知為定義在上的偶函數，則的解析式可以為（）A.B.C.D.4.古希臘的數學家阿基米德早在2200多年前利用“靠近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.如圖，某種橢圓形鏡子依據實際面積定價，每平方米200元，小張要買的鏡子的外輪廓是長軸長為1.8米且離心率為的橢圓，則小張要買的鏡子的價格約為（）A.1356元B.341元C.339元D.344元5.已知函數的圖象關于點對稱，且在上單調，則的取值集合為（）A.B.C.D.6.在三棱錐中，“三棱錐為正三棱錐”是“且”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7.已知為圓上的兩個動點，點，且，則坐標原點到直線的距離的最大值為（）A.B.C.D.28.如圖，已知是半徑為的扇形，，是弧上的動點，過點作，垂足為，某地區(qū)欲建一個風景區(qū)，該風景區(qū)由和矩形組成，且，則該風景區(qū)面積的最大值為（）A.B.C.D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.某市經濟開發(fā)區(qū)的經濟發(fā)展取得階段性成效，為深化了解該區(qū)的發(fā)展狀況，現(xiàn)對該區(qū)兩企業(yè)進行連續(xù)11個月的調研，得到兩企業(yè)這11個月利潤增長指數折線圖（如下圖所示），下列說法正確的是（）A.這11個月甲企業(yè)月利潤增長指數的平均數超過82%B.這11個月的乙企業(yè)月利潤增長指數的第70百分位數小于82%C.這11個月的甲企業(yè)月利潤增長指數較乙企業(yè)更穩(wěn)定D.在這11個月中任選2個月，則這2個月乙企業(yè)月利潤增長指數都小于82%的概率為10.我國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，問日增幾何？”其大意是：現(xiàn)有一位擅長步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值.關于該問題，下列結論正確的是（）A.B.此人第三天行走了一百二十里C.此人前七天共行走了九百一十里D.此人有連續(xù)的三天共行走了三百九十里11.已知棱長為2的正方體的中心為，用過點的平面去截正方體，則（）A.所得的截面可以是五邊形B.所得的截面可以是六邊形C.該截面的面積可以為D.所得的截面可以是非正方形的菱形12.設，則（）A.B.C.D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在平行四邊形中，是線段的中點，若，則___________.14.的綻開式中常數項為______________.15.已知為雙曲線上異于頂點的隨意一點，直線的斜率分別為，寫出滿意的焦距小于8且的的一個標準方程：_____________.16.設函數,若關于的方程有四個實根且，則_______________，的最小值為_____________________.（本題第一空2分，其次空3分）四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）分別為內角的對邊.已知.（1）求；（2）若，，求的周長.18.（12分）2024年卡塔爾世界杯于北京時間11月20日在卡塔爾正式開賽，該競賽吸引了全世界億萬球迷觀看.為了了解寵愛觀看世界杯是否與性別有關，某體育臺隨機抽取200名觀眾進行統(tǒng)計，得到如下列聯(lián)表.男女合計寵愛看世界杯602080不寵愛看世界杯4080120合計100100200（1）試依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為寵愛觀看世界杯與性別有關聯(lián)？（2）在寵愛觀看世界杯的觀眾中，按性別用分層抽樣的方式抽取8人，再從這8人中隨機抽取2人參與某電視臺的訪談節(jié)目，設參與訪談節(jié)目的女性觀眾與男性觀眾的人數之差為，求的分布列.附：，其中0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819.（12分）在四棱錐中，平面底面，底面是菱形，是的中點，.（1）證明：平面.（2）若四棱錐的體積為，求直線與平面B所成角的正弦值.20.（12分）已知數列的前項和為，，是公比為的等比數列.（1）求的通項公式；（2）記，求數列的前項和.21.（12分）已知拋物線，為拋物線的焦點，且直線與拋物線交于兩點.（1）若直線的方程為，求的面積；（2）設線段的中點為，已知點是不同于的一點，若，，且均在拋物線上，證明：直線垂直于軸.22.（12分）已知函數的圖象在點處的切線斜率為0.（1）求在上的單調區(qū)間；（2）設是的導函數，函數，若對恒成立，求的取值范圍.清遠市2024-2025學年第一學期中學期末教學質量檢測高三數學參考答案1.D.2.B因為，，所以，所以.3.A因為是奇函數，為偶函數，所以為奇函數，四個選項中，只有A滿意題意，故選A.4.C設鏡子的外輪廓對應的橢圓的長半軸長與短半軸長分別為米，米，則，解得，故小張要買的鏡子的價格為元.5.C由題意得，即，因為在上單調，所以，可得，故或8.6.A當三棱錐為正三棱錐時，取的中點（圖略），連接，則，，因為AE，所以平面，從而得，同理可得.當時，易得，過作，垂足為，若，則可得平面，則，此時，三棱錐不是正三棱錐，故“三棱錐為正三棱錐”是“且”的充分不必要條件.7.C設的中點為，由，得，設點的坐標為，由，得，即，即，可知點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，則點到直線的距離的最大值為.8.A記，則，所以矩形的面積，又，所以風景區(qū)面積，當時，有最大值.9.AC由圖表可視察出A正確.由，可知這11個月乙企業(yè)的數據的第70百分位數是從小到大排列的第8個數，為第7天的數據，應當大于82%，B錯誤.由圖表可視察出C正確.這11天，乙企業(yè)月利潤增長指數小于82%的有6天，大于82%的有5天，所求概率為，D錯誤.10.BCD由題意設此人第一天走里，第天走里，是等差數列，，由，可得，則，，所以，所以A錯誤，B，C正確.因為，所以D正確.11.BCD一個平面去截正方體，考慮從正方體的上底面起先截人，不妨設上底面與截面的交線為線段，截取有兩種狀況，第一種是兩點分別在兩對邊上或兩相鄰邊上.第一種狀況，如圖1，直線與相交于點，直線與相交于點，易知所得截面為平行四邊形；其次種狀況，如圖2，直線與相交于點，直線與相交于點，直線與相交于點，與相交于點，直線與相交于點，與相交于點，易知所得截面為六邊形.A錯誤，B正確.當截面為正六邊形時，正六邊形的邊長為，它的面積為，C正確.若分別為，的中點，則截面為非正方形的菱形，D正確.12.ACD設，則，易知在上單調遞增，所以，即.記，則，易知在上單調遞減，所以，即，綜上，，故A正確.對于B選項，記，則，易知在上單調遞增，所以，即，整理得，故B錯誤.記，則，當時，，可得，則在上單調遞增.所以有，得，即，所以，故D正確.由前面可知，所以，故C正確.13.-3因為是線段的中點，所以，所以，故.14.60的綻開式中常數項為.15.（本題答案不唯一，只要的標準方程滿意（且）即可，設，則，則.又的焦距小于8，所以，即.16.-15；15作出的大致圖象，如圖所示.，其中因為，即，則，其中，所以，當且僅當時，等號成立，此時，又因為，當且僅當，時，等號成立，此時，所以的最小值是15.17.解：（1）因為，所以，即，又，所以，故（2）因為，，所以，整理得，解是（負根舍去），所以.所以的周長為16.18..解：（1）零假設為：.寵愛觀看世界杯與性別無關聯(lián).依據列表中的數據，經計算得到，依據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為寵愛觀看世界杯與性別有關聯(lián).（2）依據分層抽樣的方式抽取8人，其中男觀眾6人，女觀眾2人，，，，所以的分布列為-20219.（1）證明：連接交于點，連接，因為底面是菱形，所以是的中點，又是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）解：取的中點，連接，則，因為平面平面，且平面平面，所以平面.設，則，得.因為底面是菱形，，所以，且.以為坐標原點，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，.設平面的法向量為，則，令，得，則，故直線與平面所成角的正弦值為.20.解：（1）由及是公比為2的等比數列，得，則，則，可得，即，可得，故是首項為2，公比為2的等比數列，故的通項公式為.（2）由（1）可知，則，故21.（1）解：（方法一）設，由題知拋物線的焦點為，直線與軸交于點，聯(lián)立，消去，得，所以所以的面積.（方法二）設，由題知拋物線的焦點為，直線與軸交于點，聯(lián)立，得，所以，所以，點到直線的距離，所以的面積.（（2）證明：設，設，因為，所以，解得，同理可得，因為均在拋物線上，所以，可得為方程的兩個不同實根，即為方程的兩個不同實根，所以，則得線段的中點的縱坐標為，又因為點的縱坐標也為，所以直線垂直于軸.22.解：（1