廣東署山市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

Page19廣東省佛山市2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別解二次不等式，一次不等式得集合，再由集合交集運(yùn)算得.【詳解】，，，故選：A.2.已知復(fù)數(shù)，若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】依據(jù)給定條件，求出a值，即可求出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)作答.【詳解】依題意，，即，又，因此，解得，則有，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C3.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)奇偶性以及函數(shù)值的正負(fù)可得答案．【詳解】因?yàn)?，，所以為奇函?shù)，得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，解除AD，當(dāng)時(shí)，，解除C.故選：B．4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)兩個(gè)條件之間的推出關(guān)系可得正確的選項(xiàng).【詳解】若，則，但當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)不肯定成立，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A.5.某數(shù)學(xué)愛好小組的學(xué)生為了了解會(huì)議用水的飲用狀況，對(duì)某單位的某次會(huì)議所用礦泉水飲用狀況進(jìn)行調(diào)查，會(huì)議前每人發(fā)一瓶500ml的礦泉水，會(huì)議后了解到所發(fā)的礦泉水飲用狀況主要有四種：A．全部喝完；B．喝剩約；C．喝剩約一半；D．其他狀況．該數(shù)學(xué)愛好小組的學(xué)生將收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，并繪制成所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．依據(jù)圖中信息，本次調(diào)查中會(huì)議所發(fā)礦泉水全部喝完的人數(shù)是（）A.40 B.30 C.22 D.14【答案】C【解析】【分析】由兩幅統(tǒng)計(jì)圖可得喝剩約的人有40人，所占可得參與該會(huì)議人數(shù)，再由喝剩約一半的百分比、其他狀況的人數(shù)可得答案.【詳解】由兩幅統(tǒng)計(jì)圖可得喝剩約的人有40人，所以該會(huì)議共有人，所以喝剩約一半的有人，而其他狀況共有8人，所以本次調(diào)查中會(huì)議所發(fā)礦泉水全部喝完的人數(shù)是人.故選：C.6.在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，，，分別是棱，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求線線角的余弦作答.【詳解】在四棱錐中，平面，四邊形正方形，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，而分別是棱的中點(diǎn)，則，由得：，則，,所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A7.當(dāng)光線入射玻璃時(shí)，表現(xiàn)有反射、汲取和透射三種性質(zhì)．光線透過玻璃的性質(zhì)，稱為“透射”，以透光率表示．已知某玻璃的透光率為90%（即光線強(qiáng)度減弱10%）．若光線強(qiáng)度要減弱到原來的以下，則至少要通過這樣的玻璃的數(shù)量是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.30塊 B.31塊 C.32塊 D.33塊【答案】B【解析】【分析】依據(jù)給定條件，列出不等式，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式作答.【詳解】令光線原有強(qiáng)度為1，經(jīng)過n塊玻璃后光線強(qiáng)度變?yōu)樵瓉淼?，依題意，，兩邊取對(duì)數(shù)得：，即有，而，則，所以至少要通過這樣的玻璃的數(shù)量是31塊.故選：B8.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期是 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.在上有4個(gè)極值點(diǎn) D.在上單調(diào)遞減【答案】D【解析】【分析】依據(jù)給定條件，利用函數(shù)周期性、對(duì)稱性定義推斷A，B；求導(dǎo)并探討導(dǎo)數(shù)在上的正負(fù)狀況推斷C；探討函數(shù)在上單調(diào)性推斷D作答.【詳解】函數(shù)，對(duì)于A，，即不是的周期，A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，而，明顯函數(shù)圖象上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)不在的圖象上，B不正確；對(duì)于C，當(dāng)或時(shí)，，，此時(shí)或，當(dāng)或，即或時(shí)，函數(shù)取得最值，因此在或取極值，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)或，即或時(shí)，函數(shù)取得最值，因此在或取極值，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)是定義域R上的連續(xù)函數(shù)，則是函數(shù)的一個(gè)微小值點(diǎn)，所以函數(shù)在上的極值點(diǎn)至少有5個(gè)，C不正確；對(duì)于D，因?yàn)椋瑒t是函數(shù)的一個(gè)周期，當(dāng)時(shí)，，由選項(xiàng)C知函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知點(diǎn)、、、，則（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用平面對(duì)量共線的坐標(biāo)表示可推斷A選項(xiàng)；利用平面對(duì)量的模長公式可推斷B選項(xiàng)；利用平面對(duì)量垂直的坐標(biāo)表示可推斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，則，故，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，則，D錯(cuò).故選：ABC.10.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)可推斷B的正確，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可推斷D的正誤，利用反例可推斷BC的正誤.【詳解】因?yàn)椋?，由基本不等式可得，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A成立.,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確.對(duì)于B，取，則，故B錯(cuò)誤.對(duì)于D，因?yàn)?，故，而，故，故，故D成立，故選：ACD.11.數(shù)學(xué)中有很多形態(tài)美麗，寓意獨(dú)特的幾何體，如圖1所示的禮品包裝盒就是其中之一.該禮品包裝盒可以看成是一個(gè)十面體，其中上、下底面為全等的正方形，全部的側(cè)面是全等的等腰三角形.將長方體的上底面圍著其中心旋轉(zhuǎn)45°得到如圖2所示的十面體.已知，則（）A.十面體的上、下底面之間的距離是B.十面體的表面積是C.十面體外接球球心到平面ABE的距離是D.十面體外接球的表面積是【答案】ABD【解析】【分析】利用勾股定理求得的長即可推斷選項(xiàng)A；由幾何體的結(jié)構(gòu)特征將側(cè)面積和底面積加起來即可得出其表面積推斷B；易知長方體的外接球就是十面體的外接球可求得外接球半徑，計(jì)算可得外接球表面積從而推斷D；依據(jù)十面體外接球球心與外接圓圓心之間的位置關(guān)系，利用勾股定理即可求得其距離，進(jìn)而推斷選項(xiàng)C.【詳解】由圖2可知，上底面的平面圖如下所示：連接交于點(diǎn)，易知，由勾股定理可得，又因?yàn)殚L方體中，平面，平面，所以，所以，解得，即，所以十面體的上、下底面之間的距離是，即A正確；由，可知的面積為，下底面面積，所以十面體的表面積是，故B正確；因?yàn)槭骟w是將長方體的上底面圍著其中心旋轉(zhuǎn)45°得到的，所以長方體的外接球就是十面體的外接球；設(shè)十面體的外接球半徑為，則即，所以十面體外接球的表面積是，故D正確；由于，所以；設(shè)的外接圓半徑為，則，即，由外接球與平面外接圓之間的關(guān)系可知，十面體外接球球心到平面ABE的距離是，即C錯(cuò)誤；故選：ABD12.已知函數(shù)的定義域均為R，且.若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且，則（）A. B.的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.是周期函數(shù)，且最小正周期為8 D.【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)性質(zhì)得最小正周期為4，且圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，再結(jié)合選項(xiàng)理解辨析.【詳解】令，則，又，故，故A正確；因?yàn)閯t，即①又，②①+②得：，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且故B正確；的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則，則，則，又，兩式相減得，故，故最小正周期為4，故C錯(cuò)誤；最小正周期為4，且圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，，因?yàn)椋?，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知拋物線焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在拋物線C上，若點(diǎn)A到x軸的距離是，則_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，計(jì)算可得，從而可求的值.【詳解】由拋物線的方程可得，設(shè)，則，則,故，故，故答案為：4.14.寫出一個(gè)同時(shí)滿意下列條件①②的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：_______.①焦點(diǎn)在軸上；②離心率為.【答案】(答案不唯一).【解析】【分析】利用雙曲線的離心率公式及焦點(diǎn)在軸上即可求解.【詳解】由于雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為.因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，解得.所以寫出一個(gè)同時(shí)滿意下列條件①②雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為.故答案為：(答案不唯一).15.某班派甲、乙等五人參與跳高、跳遠(yuǎn)、米短跑這三個(gè)項(xiàng)目，要求每人只參與一個(gè)項(xiàng)目，且每個(gè)項(xiàng)目都要有人參與，則甲、乙參與同一個(gè)項(xiàng)目的概率是______．【答案】##【解析】【分析】計(jì)算出將三個(gè)項(xiàng)目都有人參與的支配方法種數(shù)，以及甲、乙參與同一個(gè)項(xiàng)目的安排方法種數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事務(wù)的概率.【詳解】將甲、乙等五人參與跳高、跳遠(yuǎn)、米短跑這三個(gè)項(xiàng)目，每人只參與一個(gè)項(xiàng)目，且每個(gè)項(xiàng)目都要有人參與，可將這五人分為組，每組人數(shù)分別為、、或、、，則不同的支配方法種數(shù)為種；若甲、乙支配在同一個(gè)項(xiàng)目，分以下兩種狀況探討：①甲、乙所支配的項(xiàng)目只有人參與，此時(shí)，不同的支配方法種數(shù)為；②甲、乙所支配的項(xiàng)目有人參與，此時(shí)，不同的支配方法種數(shù)為.綜上所述，甲、乙參與同一個(gè)項(xiàng)目的概率是.故答案為：.16.已知是定義在上的奇函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則不等式的解集是________.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用條件求出的單調(diào)性，再依據(jù)函數(shù)的奇偶性求解.【詳解】設(shè)，則，在時(shí)是單調(diào)遞增的，，時(shí)，時(shí)，，，；設(shè)，則，是偶函數(shù)，時(shí)，的解是；故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿意，、、成等比數(shù)列．（1）求的前項(xiàng)和；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，依據(jù)題意可得出關(guān)于的方程，求出的值，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的求和公式可求得；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法可求得.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，，由題意可得，即，解得，所以，，所以，.【小問2詳解】解：，所以，.18.某商場在周年慶實(shí)行了一場抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)箱中全部乒乓球都是質(zhì)地勻稱，大小與顏色相同的，且每個(gè)小球上標(biāo)有1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，每個(gè)號(hào)都有若干個(gè)乒乓球．顧客有放回地從抽獎(jiǎng)箱中抽取小球，用表示取出的小球上的數(shù)字，當(dāng)時(shí)，該顧客積分為3分，當(dāng)時(shí)，該顧客積分為2分，當(dāng)時(shí)，該顧客積分為1分．以下是用電腦模擬的抽獎(jiǎng)，得到的30組數(shù)據(jù)如下：131163341241253126316121225345（1）以此樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)顧客的抽獎(jiǎng)狀況，分別估計(jì)某顧客抽獎(jiǎng)一次，積分為3分和2分的概率；（2）某顧客從上述30個(gè)樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，若該顧客總積分是幾分，商場就讓利幾折（如該顧客積分為，商場就給該顧客的全部購物打折），記該顧客最終購物打X折，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）估計(jì)積分為3分的概率為，積分為2分的概率為（2）分布列見解析；【解析】【分析】（1）由樣本數(shù)據(jù)分別計(jì)算積分為3分和2分的頻率，由此估計(jì)概率即可；（2）先確定X的可能取值，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，由數(shù)學(xué)期望公式求解即可．【小問1詳解】由題意可知某顧客抽獎(jiǎng)一次，積分為3分的頻率是，則估計(jì)某顧客抽獎(jiǎng)一次，積分為3分的概率為．某顧客抽獎(jiǎng)一次，積分為2分的頻率是，則估計(jì)某顧客抽獎(jiǎng)一次，積分為2分的概率為．【小問2詳解】由題意可知的可能取值為4，5，6，7，8..則的分布列為87654故．19.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且.（1）求A的大小；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)二倍角公式將化簡可得即可求得A的大?。唬?）分別在和中利用余弦定理聯(lián)立方程組可解得即可求得的面積.【小問1詳解】由得，即，解得或（舍去）因?yàn)椋?，則.所以A大小.【小問2詳解】設(shè)，則，在中，由余弦定理可知，在中，由余弦定理可知；即聯(lián)立解得；所以故的面積為.20.如圖，在正三棱柱中，，，分別是棱，的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面．（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)法向量垂直，即可求證，（2）依據(jù)平面法向量的夾角即可求解面面角.【小問1詳解】設(shè)，分別是，的中點(diǎn)，連接，，，則，是等邊三角形，，又依據(jù)題意可得：平面平面，且交線為，又平面，平面，又平面，．又依據(jù)正三棱柱的性質(zhì)可知：平面，平面，，平面，，，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，，設(shè)平面，平面的法向量分別為，所以取，則，取，則，所以，故，所以平面平面．【小問2詳解】設(shè)平面的法向量分別為,則，取，則，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，故平面與平面所成銳二面角的余弦值為21.已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）已知，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若直線、的斜率之和為，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）的面積是否存在最大值，且最大值為【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，依據(jù)求出的值，利用三角形的面積公式以及基本不等式可求得面積的最大值.【小問1詳解】解：由已知可得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，，