新教材2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何4向量在立體幾何中的應(yīng)用4.3用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系分層作業(yè)北師大版選擇性必修第一冊(cè)

第三章4.3用向量方法探討立體幾何中的度量關(guān)系第1課時(shí)空間中的角A級(jí)必備學(xué)問(wèn)基礎(chǔ)練1.若兩異面直線(xiàn)l1與l2的一個(gè)方向向量分別是n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1),則直線(xiàn)l1與l2的夾角為()A.30° B.60° C.120° D.150°2.[2024福建廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期末]將正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折起,使得平面ABD⊥平面CBD,則異面直線(xiàn)AB與CD所成角的余弦值為()A.12 B.22 C.-123.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,則AA1與平面AB1C1所成角的大小為()A.30° B.45°C.60° D.90°4.已知正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,則平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的平面角為()A.30° B.45° C.60° D.90°5.(多選題)如圖,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AE=BC=2,AB=AD=1,CF=87,則(A.BD⊥ECB.BF∥平面ADEC.二面角E-BD-F的平面角的余弦值為1D.直線(xiàn)CE與平面BDE所成角的正弦值為56.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,則異面直線(xiàn)A1B與B1C所成角的余弦值為.

7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的平面角的余弦值為.

8.[2024江蘇寶應(yīng)高二期中]如圖,已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA,OB,OC兩兩垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中點(diǎn).(1)求異面直線(xiàn)BE與AC所成角的余弦值;(2)求二面角A-BE-C的平面角的正弦值.B級(jí)關(guān)鍵實(shí)力提升練9.如圖,在三棱錐C-OAB中,OA⊥OB,OC⊥平面OAB,OA=6,OB=OC=8,CE=14CB,D,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則異面直線(xiàn)DF與OE所成角的余弦值為(A.1010 B.6C.3030 D.10.[2024湖北高二階段練習(xí)]在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0,z0),且法向量為m=(A,B,C)的平面方程為A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0,z0)且一個(gè)方向向量為n=(μ,v,ω)(μvω≠0)的直線(xiàn)l的方程為x-x0μ=y-y0v=z-z0ω,依據(jù)上面的材料解決下面的問(wèn)題:現(xiàn)給出平面α的方程為A.60° B.120° C.30° D.150°11.(多選題)[2024湖北石首第一中學(xué)高二階段練習(xí)]如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°,則()A.點(diǎn)C1到平面A1B1C的距離為1B.點(diǎn)C1到平面A1B1C的距離為3C.直線(xiàn)A1C1與平面A1B1C所成角的正弦值為22D.直線(xiàn)A1C1與平面A1B1C所成角的正弦值為312.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在A1B1上,且滿(mǎn)意A1P=λA1B1,當(dāng)直線(xiàn)PN與平面ABCA.12 B.22 C.313.[2024重慶長(zhǎng)壽高二期末]《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的探討比西方早一千多年,書(shū)中將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑.如圖,四面體PABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=AB=BC=1,則二面角A-PC-B的平面角的余弦值為.

14.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=AA1,且C1D與底面A1B1C1D1所成角為60°,則直線(xiàn)C1D與平面CB1D1所成角的正弦值為.

15.[2024河南信陽(yáng)高二期末]如圖1,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)D,E分別為邊AB,AC上的動(dòng)點(diǎn)且滿(mǎn)意DE∥BC,記DEBC=λ.將△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB,連接MB,MC得到圖2,點(diǎn)N為MC的中點(diǎn)圖1圖2(1)當(dāng)EN∥平面MBD時(shí),求λ的值;(2)摸索究:隨著λ值的變更,二面角B-MD-E的平面角的大小是否變更?假如變更,請(qǐng)說(shuō)明理由;假如不變更,懇求出二面角B-MD-E的平面角的正弦值大小.C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2,BC=22,PA=2.(1)取PC的中點(diǎn)N,求證:DN∥平面PAB.(2)求直線(xiàn)AC與PD所成角的余弦值.(3)在線(xiàn)段PD上,是否存在一點(diǎn)M,使得平面MAC與平面ACD所成銳二面角的平面角為45°?假如存在,求出BM與平面MAC所成角的大小;假如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案4.3用向量方法探討立體幾何中的度量關(guān)系第1課時(shí)空間中的角1.B由題意,兩異面直線(xiàn)l1與l2的一個(gè)方向向量分別是n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1),可得|n1|=2,|n2|=2,n1·n2=-1,設(shè)異面直線(xiàn)l1與l2所成的角為θ,則cosθ=|cos<n1,n2>|=|n1·n2||n1||n2|=2.A取BD中點(diǎn)為O,連接AO,CO,所以AO⊥BD,CO⊥BD,又因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面CBD且交線(xiàn)為BD,AO?平面ABD,所以AO⊥平面CBD,OC?平面CBD,則AO⊥CO,設(shè)正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度為2,如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),所以AB=(1,0,-1),CD=(-1,-1,0),cos<AB,CD>=AB所以異面直線(xiàn)AB與CD所成角的余弦值為1故選A.3.A4.B5.BC以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AE所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2),F1,2,87,所以BD=(-1,1,0),EC=(1,2,-2),因?yàn)锽D·EC=1≠0,則BD與EC不垂直,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;因?yàn)锳B=(1,0,0)為平面ADE的法向量,又因?yàn)锽F=0,2,87,則BF·AB=0,因?yàn)橹本€(xiàn)BF?平面ADE,所以BF∥平面ADE,故選項(xiàng)B正確;由題意,BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,-2,2),設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為m=(a,b,c),則m·BD=0,m·BF=0,即-a+b=0,2b+87c=0,令b=1,則a=1,c=-74,故m=1,1,-74,設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n·BD=0,n·BE=0,即-6.925如圖,以D1為坐標(biāo)原點(diǎn),D1A1,D1C1,D1D所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z由已知得A1(4,0,0),B(4,4,3),B1(4,4,0),C(0,4,3).∴A1B=(0,4,3),B1C=(-4,0,3),∴7.8.解(1)以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OA分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則有A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0).所以EB=(2,0,0)-(0,1,0)=(2,-1,0),AC=(0,2,-1).所以cos<EB,AC>=-25×5=-2(2)AB=(2,0,-1),AE=(0,1,-1).設(shè)平面ABE的法向量為n1=(x,y,z),則由n1⊥AB,n1⊥AE,得2x-z=0由題意可得,平面BEC一個(gè)法向量為n2=(0,0,1),cos<n1,n2>=n1則sin<n1,n2>=1-即二面角A-BE-C的平面角正弦值為59.B10.C由題知,平面α的法向量m=(1,-1,2),直線(xiàn)l的方向向量n=(-3,5,2),設(shè)直線(xiàn)l與平面α所成的角為θ,所以sinθ=|cos<m,n>|=|-所以θ=30°.故選C.11.BD以C1為原點(diǎn),C1A1,C1B1,C則A1(2,0,0),B1(0,2,0),C(0,0,3),所以A1B1=(-2,2,0),A1C設(shè)平面A1B1C的法向量為n,則n令x=3,得n=(3,3,2).因?yàn)锳1C1=(-2,0,0),所以點(diǎn)C1到平面A1B1C直線(xiàn)A1C1與平面A1B1C所成角的正弦值為|A112.A如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC,AA1所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則N12,12,∴PN易得平面ABC的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),設(shè)直線(xiàn)PN與平面ABC所成的角為θ,則sinθ=|cos<PN,n>|=|∴當(dāng)λ=12時(shí),sinθ=255,此時(shí)角θ最大13.12依據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),所以AC=(1,1,0),AP=(0,0,1),BC=(0,1,0),PB=(1,0,-設(shè)平面APC的法向量為n1=(x1,y1,z1),則n不妨設(shè)y1=1,則x1=-1,n1=(-1,1,0),設(shè)平面PBC的法向量為n2=(x2,y2,z2),則n2·BC=0,n2·PB=0,∴y2=0,x2-z2=0,不妨設(shè)x2=1,則z2=1,y14.155由題意得∠DC1D1即為C1D與底面A1B1C1D1所成的角,∴∠DC1D1=∵AB=C1D1=1,∴DD1=3以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則D(0,0,0),C1(0,1,3),C(0,1,0),B1(3,1,3),D1(0,0,3),則DC1=(0,1,3),CB1=(3,0,3),CD1設(shè)平面CB1D1的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n令x=1,則y=-3,z=-1,即n=(1,-3,-1),設(shè)直線(xiàn)C1D與平面CB1D1所成的角為θ,則sinθ=|cos<DC1,n>|=|DC1·n||DC15.解(1)取MB的中點(diǎn)為P,連接DP,PN,因?yàn)镸N=CN,MP=BP,所以NP∥BC.又因?yàn)镈E∥BC,所以NP∥DE,即N,E,D,P四點(diǎn)共面,又因?yàn)镋N∥平面BMD,EN?平面NEDP,平面NEDP∩平面MBD=DP,所以EN∥PD,即四邊形NEDP為平行四邊形,所以NP=DE,則DE=12BC,即λ=(2)取DE的中點(diǎn)O,連接MO,則MO⊥DE,因?yàn)槠矫鍹DE⊥平面DECB,平面MDE∩平面DECB=DE,且MO⊥DE,所以MO⊥平面DECB,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,不妨設(shè)BC=2,則M(0,0,3λ),D(λ,0,0),B(1,3(1-λ),0),所以MD=(λ,0,-3λ),DB=(1-λ,3(1設(shè)平面BMD的法向量為m=(x,y,z),則MD令x=3,即m=(3,-1,1).又因?yàn)槠矫鍱MD的法向量n=(0,1,0),所以cos<m,n>=m·n|m||n|=-15=-55,即隨著λ值的變更,二面角16.(1)證明取BC的中點(diǎn)E,連接DE,交AC于點(diǎn)O,連接ON,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,-1,2).∵點(diǎn)N為PC的中點(diǎn),∴N(0,0,1),∴DN=(1,0,1)設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),由AP=(0,0,2),AB=(2,0,0),可得n=(0,1,0),∴DN·n=又DN?平面PAB,∴DN∥平面PAB.(2)解由(1)知AC=(0,2,0),PD=(-1,1,-2).設(shè)直線(xiàn)AC與PD所成的角為θ,則cosθ=cos<AC,PD(3)解存在.設(shè)M(x