2023-2024學年北京市門頭溝區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2023-2024學年北京市門頭溝區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（2分）如果，那么的值是（）A． B． C． D．2．（2分）如果將拋物線y＝x2向上平移3個單位長度，向左平移1個單位長度，得到新的拋物線的表達式是（）A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+33．（2分）如圖所示的網(wǎng)格是邊長為1的正方形網(wǎng)格，點A，B，C是網(wǎng)格線交點，則sin∠ABC＝（）A． B． C． D．4．（2分）已知⊙O的半徑為4，如果OP的長為3，則點P在（）A．⊙O內(nèi) B．⊙O上 C．⊙O外 D．不確定5．（2分）若多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則該多邊形是（）邊形．A．5 B．6 C．7 D．86．（2分）若點A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函數(shù)的圖象上，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x27．（2分）一個圓柱形管件，其橫截面如圖所示，管內(nèi)存有一些水（陰影部分），測得水面寬AB為8cm，水的最大深度CD為2cm，則此管件的直徑為（）A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm8．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是一條拋物線，自變量x與函數(shù)y的部分對應(yīng)值如表：x…﹣2﹣10123…y…0﹣2﹣3﹣3﹣20…有如下結(jié)論：①拋物線的開口向上②拋物線的對稱軸是直線③拋物線與y軸的交點坐標為（0，﹣3）④由拋物線可知ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜3其中正確的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2+3的頂點坐標為．10．（2分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AE＝1，EC＝2，則＝．11．（2分）如圖，在⊙O中，AB＝BC，∠BDC＝20°，則∠AOB的度數(shù)是．12．（2分）如圖，是小明設(shè)計的用激光筆測量城墻高度的示意圖，在點P處水平放置一個平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么城墻高度CD＝米．13．（2分）寫出一個二次函數(shù)，其圖象滿足：①開口向上；②對稱軸為直線x＝1，這個二次函數(shù)的表達式可以是．14．（2分）如圖，已知點P是反比例函數(shù)上的一點，則矩形OAPB的面積為．15．（2分）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C都在格點上，過A，B，C三點作一圓弧，則該圓弧的半徑＝．16．（2分）如圖，已知E、F是正方形ABCD的邊BC和CD上的兩點，且AE＝AF，AB＝4，△AEF的面積S與CE的長x滿足函數(shù)關(guān)系，寫出該函數(shù)的表達式．三、解答題（本題共68分，第17～22題每小題5分，第23～26題每個小題6分，第27～28題每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（5分）計算：．18．（5分）如圖，在△ABC中，點D為AB邊上一點，在AC邊上找到一點E，使得△ADE與原三角形相似，請畫出所有滿足條件的圖形，并說明理由．19．（5分）下面是小李設(shè)計的“過圓外一點作圓的一條切線”的尺規(guī)作圖的過程．已知：如圖1，⊙O及圓外一點P．求作：過點P作⊙O的一條切線．作法：①連接OP；②作OP的垂直平分線，交OP于點A；③以A為圓心，OA的長為半徑作弧，交⊙O于點B；④作直線PB．即直線PB為所求作的一條切線．根據(jù)上述尺規(guī)作圖的過程，回答以下問題：（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）該作圖中．可以得到∠OBP＝°；依據(jù)：．20．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3．（1）求此二次函數(shù)圖象的頂點坐標；（2）求此二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標；（3）當y＞0時，直接寫出x的取值范圍．21．（5分）如圖，點P（2，1）是反比例函數(shù)的圖象上的一點．（1）求該反比例函數(shù)的表達式；（2）設(shè)直線y＝kx與雙曲線的兩個交點分別為P和P′，當時，直接寫出x的取值范圍．22．（5分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且．（1）求證：△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．23．（6分）永定樓是門頭溝的標志性建筑，為測得永定樓的高度，小亮同學先站在點C的位置，視線（點B）與塔尖A的仰角是30°，水平向前走了42m到達點E的位置，此時的仰角是45°，已知小亮的眼睛距離地面1.7m，請計算永定樓的高度．（結(jié)果保留根號）24．（6分）如圖，雜技團進行雜技表演，演員要從蹺蹺板右端A處彈跳后恰好落在人梯的頂端B處，其身體（看成一點）的路徑是一條拋物線．現(xiàn)測量出如下的數(shù)據(jù)，設(shè)演員身體距起跳點A水平距離為d米時，距地面的高度為h米．d（米）…1.001.502.002.503.003.50…h(huán)（米）…3.404.154.604.754.604.15…請你解決以下問題：（1）在下邊網(wǎng)格中建立適當平面直角坐標系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用平滑曲線連接；（2）結(jié)合表中所給的數(shù)據(jù)或所畫的圖象，直接寫出演員身體距離地面的最大高度；（3）求起跳點A距離地面的高度；（4）在上述的條件下，有一次表演，已知人梯到起跳點A的水平距離是3米，人梯的高度是3.40米．問此次表演是否成功？如果成功，說明理由；如果不成功，說明應(yīng)怎樣調(diào)節(jié)人梯到起跳點A的水平距離才能成功？25．（6分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，點D在⊙O上，過點D作⊙O切線與AC的延長線交于點E，ED∥BC，連接AD交BC于點F．（1）求證：∠BAD＝∠DAE；（2）若AB＝6，AD＝5，求DF的長．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點M（x1，y1），N（x2，y2）為拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點，其中x1＜x2．（1）若拋物線的對稱軸為直線x＝2，當x1、x2為何值時，y1＝y(tǒng)2＝c；（2）設(shè)拋物線的對稱軸為直線x＝t，若對于x1+x2＞4，都有y1＜y2，求t的取值范圍．27．（7分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，過點C在△ABC外作射線CP，且∠ACP＝α，點A關(guān)于CP的對稱點為點D，連接AD，BD，CD，其中AD，BD分別交射線CP于點M，N．（1）依題意補全圖形；（2）當α＝30°時，直接寫出∠CNB的度數(shù)；（3）當0°＜α＜45°時，用等式表示線段BN，CM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．（7分）對于平面直角坐標系xOy中的任意點P（x，y），如果滿足x+y＝a（x≥0，a≥0），那么我們稱這樣的點叫做“關(guān)聯(lián)點”．（1）如果點（2，3）是“關(guān)聯(lián)點”，則a＝；（2）如圖1，當2≤a≤3時，在點A（1，2），B（1，3），C（2.5，0）中，滿足此條件的“關(guān)聯(lián)點”為；（3）如圖2，⊙W的圓心為W（3，2），半徑為1，如⊙W上存在“關(guān)聯(lián)點”，請畫出示意圖，并求出“關(guān)聯(lián)點”的最小值．

2023-2024學年北京市門頭溝區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（2分）如果，那么的值是（）A． B． C． D．【分析】直接利用比例的性質(zhì)假設(shè)出未知數(shù)，進而得出答案．【解答】解：∵＝，設(shè)x＝2a，y＝3a，∴＝＝，故選：A．【點評】此題主要考查了比例式的性質(zhì)，正確用同一未知數(shù)表示各數(shù)是解題關(guān)鍵．2．（2分）如果將拋物線y＝x2向上平移3個單位長度，向左平移1個單位長度，得到新的拋物線的表達式是（）A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律平移則可解題．【解答】解：將拋物線y＝x2向上平移3個單位長度，向左平移1各單位，得到新的拋物線的表達式是y＝（x+1）2+3，故選：B．【點評】本題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減．3．（2分）如圖所示的網(wǎng)格是邊長為1的正方形網(wǎng)格，點A，B，C是網(wǎng)格線交點，則sin∠ABC＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后利用勾股定理可以求得AB的長，從而可以求得sin∠ABC的值．【解答】解：作AD⊥BC交BC的延長線于點D，如圖所示，由圖可知，AD＝3，BD＝4，∠ADB＝90°，∴AB＝＝5，∴sin∠ABC＝＝，故選：C．【點評】本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)的知識解答．4．（2分）已知⊙O的半徑為4，如果OP的長為3，則點P在（）A．⊙O內(nèi) B．⊙O上 C．⊙O外 D．不確定【分析】要確定點與圓的位置關(guān)系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，若點到圓心的距離為d，圓的半徑r，則d＞r時，點在圓外；當d＝r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內(nèi)．【解答】解：∵OP＝3，r＝4，∴OP＜r，∴點P在圓內(nèi)．故選：A．【點評】本題考查了對點與圓的位置關(guān)系的判斷．解決此類題目的關(guān)鍵是首先確定點與圓心的距離，然后與圓的半徑進行比較，進而得出結(jié)論．5．（2分）若多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則該多邊形是（）邊形．A．5 B．6 C．7 D．8【分析】多邊形的外角和是360°，則內(nèi)角和是2×360＝720°．設(shè)這個多邊形是n邊形，內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，這樣就得到一個關(guān)于n的方程，從而求出邊數(shù)n的值．【解答】解：設(shè)這個多邊形是n邊形，根據(jù)題意，得，（n﹣2）×180°＝2×360，解得：n＝6．即這個多邊形為六邊形．故選：B．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟記內(nèi)角和公式和外角和定理并列出方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理，求邊數(shù)的問題就可以轉(zhuǎn)化為解方程的問題來解決．6．（2分）若點A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函數(shù)的圖象上，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷出x1，x2，x3的大小關(guān)系，本題得以解決．【解答】解：∵k＝﹣6＜0，∴反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，且在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，∵點A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函數(shù)的圖象上，∴點A（x1，﹣1）在第四象限，B（x2，2），C（x3，3）在第二象限，∴x1＞0，x2＜x3＜0，∴x2＜x3＜x1，故選：C．【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．7．（2分）一個圓柱形管件，其橫截面如圖所示，管內(nèi)存有一些水（陰影部分），測得水面寬AB為8cm，水的最大深度CD為2cm，則此管件的直徑為（）A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm【分析】連接OB，先由垂徑定理求出BC的長，再根據(jù)勾股定理求出OB的長，即可得到答案．【解答】解：連接OB，如圖所示：由題意知，AB＝8cm，CD＝2cm，則BC＝AB＝4cm，設(shè)⊙O的半徑為Rcm，則OB＝OD＝R，OC＝（R﹣2）cm，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+BC2，∴R2＝（R﹣2）2+42，解得R＝5cm，∴此管件的直徑為10cm，故選：C．【點評】本題考查了垂徑定理、勾股定理等知識，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．8．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是一條拋物線，自變量x與函數(shù)y的部分對應(yīng)值如表：x…﹣2﹣10123…y…0﹣2﹣3﹣3﹣20…有如下結(jié)論：①拋物線的開口向上②拋物線的對稱軸是直線③拋物線與y軸的交點坐標為（0，﹣3）④由拋物線可知ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜3其中正確的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項中的結(jié)論是否正確，本題得以解決．【解答】解：由表格可知，該函數(shù)的對稱軸是直線x＝＝，∵x＞1時，y隨x的增大而增大，∴拋物線的開口向上，故選項①②正確；∵當x＝0時，y＝3，∴拋物線與y軸的交點坐標為（0，3），故選項③正確；∵x＝﹣2和x＝3時，y＝0，∴當﹣2＜x＜3，y＜0，∴ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜3，故選項④正確，故選：D．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2+3的頂點坐標為（1，3）．【分析】直接根據(jù)頂點式解析式寫出頂點坐標即可．【解答】解：y＝2（x﹣1）2+3的頂點坐標為（1，3），故答案為：（1，3）．【點評】本題考查了拋物線的頂點坐標，牢記y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的頂點為（h，k）是解題關(guān)鍵．10．（2分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AE＝1，EC＝2，則＝．【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)計算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝＝．故答案為：．【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用定理，找準對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．（2分）如圖，在⊙O中，AB＝BC，∠BDC＝20°，則∠AOB的度數(shù)是40°．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系以及圓周角定理即可求解．【解答】解：∵AB＝BC，∴＝，∴∠AOB＝2∠BDC，∵∠BDC＝20°，∴∠AOB＝40°，故答案為：40°．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，理解定理是關(guān)鍵．12．（2分）如圖，是小明設(shè)計的用激光筆測量城墻高度的示意圖，在點P處水平放置一個平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么城墻高度CD＝8米．【分析】根據(jù)入射角與反射角的關(guān)系得到∠APB＝∠CPD，則可證明Rt△ABP∽Rt△CDP，然后利用相似比可計算出CD．【解答】解：根據(jù)題意得∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴＝，即＝，∴CD＝8m．故答案為：8．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：利用影長測量物體的高度；利用相似測量河的寬度（測量距離）；借助標桿或直尺測量物體的高度．13．（2分）寫出一個二次函數(shù)，其圖象滿足：①開口向上；②對稱軸為直線x＝1，這個二次函數(shù)的表達式可以是y＝2x2﹣4x（答案不唯一）．【分析】由拋物線開口向上可得y＝ax2+bx+c中a＞0，對稱軸為直線x＝1，進而求解．【解答】解：∵對稱軸為直線x＝1，開口向上，∴拋物線解析式為y＝2（x﹣1）2﹣2＝2x2﹣4x，故答案為：y＝2x2﹣4x（答案不唯一）．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．14．（2分）如圖，已知點P是反比例函數(shù)上的一點，則矩形OAPB的面積為3．【分析】根據(jù)矩形OAPB的面積與反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)點P的坐標為（a，b），∵點P在反比例函數(shù)的圖象上，∴ab＝3，∴矩形OAPB的面積為3．故答案為：3．【點評】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，熟練掌握“在反比例函數(shù)y＝圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|”是解題的關(guān)鍵．15．（2分）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C都在格點上，過A，B，C三點作一圓弧，則該圓弧的半徑＝．【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．【解答】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．如圖所示，連接OA，∴OA＝＝，故答案為：．【點評】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是熟知垂徑定理，即“垂直于弦的直徑平分弦”．16．（2分）如圖，已知E、F是正方形ABCD的邊BC和CD上的兩點，且AE＝AF，AB＝4，△AEF的面積S與CE的長x滿足函數(shù)關(guān)系，寫出該函數(shù)的表達式S＝﹣x2+4x．【分析】證明Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），得出BE＝DF＝4﹣x，由S＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△CEF可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠D＝90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF＝4﹣x，∴S＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△CEF，∴S＝42﹣×4×（4﹣x）﹣×4（4﹣﹣x）﹣x2＝﹣x2+4x．故答案為：S＝﹣x2+4x．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共68分，第17～22題每小題5分，第23～26題每個小題6分，第27～28題每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（5分）計算：．【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值分別化簡，進而得出答案．【解答】解：原式＝﹣3﹣2×+1＝﹣3﹣+1＝﹣2．【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．18．（5分）如圖，在△ABC中，點D為AB邊上一點，在AC邊上找到一點E，使得△ADE與原三角形相似，請畫出所有滿足條件的圖形，并說明理由．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理作出圖形即可．【解答】解：①過點D作DE∥BC交AC于點E，∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC；②作∠ADE'＝∠C，∵∠A＝∠A，∠ADE'＝∠C∴△AE'D∽△ABC．【點評】本題考查了作圖﹣相似變換，相似三角形的判定，熟記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．19．（5分）下面是小李設(shè)計的“過圓外一點作圓的一條切線”的尺規(guī)作圖的過程．已知：如圖1，⊙O及圓外一點P．求作：過點P作⊙O的一條切線．作法：①連接OP；②作OP的垂直平分線，交OP于點A；③以A為圓心，OA的長為半徑作弧，交⊙O于點B；④作直線PB．即直線PB為所求作的一條切線．根據(jù)上述尺規(guī)作圖的過程，回答以下問題：（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）該作圖中．可以得到∠OBP＝90°；依據(jù)：直徑所對的圓周角等于90°．【分析】（1）按尺規(guī)作圖的要求補全圖形即可；（2）由直徑所對的圓周角等于90°，OP為⊙A的直徑，得∠OBP＝90°，于是得到問題的答案．【解答】解：（1）如圖，補全圖形.理由：連接OB，∵OA＝PA，且OA為⊙A的半徑，∴OP為⊙A的直徑，∴∠OBP＝90°，∵OB是⊙O的半徑，且PB⊥OB，∴直線PB為⊙O的切線．（2）∵直徑所對的圓周角等于90°，OP為⊙A的直徑，∴∠OBP＝90°，故答案為：90，直徑所對的圓周角等于90°．【點評】此題重點考查尺規(guī)作圖、基本作圖“作線段的垂直平分線”、切線的判定與性質(zhì)、直徑所對的圓周角等于90°等知識，按尺規(guī)作圖的要求正確地作出圖形是解題的關(guān)鍵．20．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3．（1）求此二次函數(shù)圖象的頂點坐標；（2）求此二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標；（3）當y＞0時，直接寫出x的取值范圍．【分析】（1）把一般式配成頂點式可得到拋物線的頂點坐標；（2）解方程x2+2x﹣3＝0可得到拋物線與x軸的交點坐標；（3）畫出二次函數(shù)圖象，利用函數(shù)圖象寫出函數(shù)圖象在x軸上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴拋物線的頂點坐標（﹣1，﹣4）；（2）當y＝0時，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1∴拋物線與x軸的交點坐標為（﹣3，0）、（1，0）；（3）結(jié)合函數(shù)圖象得x＜﹣3或x＞1時，y＞0．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．21．（5分）如圖，點P（2，1）是反比例函數(shù)的圖象上的一點．（1）求該反比例函數(shù)的表達式；（2）設(shè)直線y＝kx與雙曲線的兩個交點分別為P和P′，當時，直接寫出x的取值范圍．【分析】（1）直接把P點坐標代入y＝，可求出m的值．從而確定反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)反比例函數(shù)以及正比例函數(shù)的對稱性求得P′的坐標，然后根據(jù)圖象即可求得．【解答】解：（1）∵點P（2，1）是反比例函數(shù)圖象上的一點，∴1＝，解得，m＝2，∴反比例函數(shù)表達式為y＝；（2）∵直線y＝kx與雙曲線y＝的兩個交點分別為P和P′，P（2，1），∴P′的坐標為（﹣2，﹣1），當＞kx時，x的取值范圍為x＜﹣2或0＜x＜2．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點坐標滿足兩個函數(shù)的解析式，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．22．（5分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且．（1）求證：△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．【分析】（1）根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似解答即可；（2）根據(jù)已知易證△ACD∽△CBD，然后進行解答即可．【解答】（1）證明：∵＝，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠BDC，∵∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴＝，∴CD＝．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似是解題的關(guān)鍵．23．（6分）永定樓是門頭溝的標志性建筑，為測得永定樓的高度，小亮同學先站在點C的位置，視線（點B）與塔尖A的仰角是30°，水平向前走了42m到達點E的位置，此時的仰角是45°，已知小亮的眼睛距離地面1.7m，請計算永定樓的高度．（結(jié)果保留根號）【分析】連接BD，作DH⊥AF于點H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到DH＝AH，根據(jù)正切的定義得到BH＝AH，根據(jù)列出列出方程，解方程求出AH，進而求出AF．【解答】解：連接BD，作DH⊥AF于點H，由題意可知：點B、D、H在同一條直線上，在Rt△ADH中，∠ADH＝45°，則DH＝AH，在Rt△ABH中，∠ABH＝30°，∵tan∠ABH＝，∴BH＝＝＝AH，∵BD＝42m，∴AH﹣AH＝42，解得：AH＝＝21+21，則AF＝AH+HF＝21+21+1.7＝（21+22.7）答：永定樓的高度為（21+22.7）m．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．24．（6分）如圖，雜技團進行雜技表演，演員要從蹺蹺板右端A處彈跳后恰好落在人梯的頂端B處，其身體（看成一點）的路徑是一條拋物線．現(xiàn)測量出如下的數(shù)據(jù)，設(shè)演員身體距起跳點A水平距離為d米時，距地面的高度為h米．d（米）…1.001.502.002.503.003.50…h(huán)（米）…3.404.154.604.754.604.15…請你解決以下問題：（1）在下邊網(wǎng)格中建立適當平面直角坐標系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用平滑曲線連接；（2）結(jié)合表中所給的數(shù)據(jù)或所畫的圖象，直接寫出演員身體距離地面的最大高度；（3）求起跳點A距離地面的高度；（4）在上述的條件下，有一次表演，已知人梯到起跳點A的水平距離是3米，人梯的高度是3.40米．問此次表演是否成功？如果成功，說明理由；如果不成功，說明應(yīng)怎樣調(diào)節(jié)人梯到起跳點A的水平距離才能成功？【分析】（1）建立適當坐標系，用描點、連線做出函數(shù)圖象；（2）結(jié)合表中數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象直接得出結(jié)論；（3）先用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再令d＝0，即可得出結(jié)論；（4）先把d＝3時代入函數(shù)解析式求出h＝4.60≠3.40，得出此次表演不成功；再把h＝3.4代入函數(shù)解析式求出d的值即可．【解答】解：（1）建立適當平面直角坐標系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用平滑曲線連接，如圖：（2）結(jié)合表中所給的數(shù)據(jù)或所畫的圖象可知：當d＝2.50時，h取得最大值4.75，即演員身體距離地面的最大高度為4.75米；（3）結(jié)合表中所給的數(shù)據(jù)或所畫的圖象可知：此拋物線的對稱軸是d＝2.50，頂點坐標為（2.50，4.75），∴設(shè)此拋物線為h＝a（d﹣2.50）2+4.75（a≠O），把（1.00，3.40）代入，得：3.40＝a（1.00﹣2.50）2+4.75，解得：a＝﹣0.60，∴此拋物線為h＝﹣0.60（d﹣2.50）2+4.75，當d＝0時，h＝﹣0.60×（0﹣2.50）2+4.75＝1.00，即起跳點A距離地面的高度為1.00米；（4）在一次表演中，已知人梯到起跳點A的水平距離是3米，人梯的高度是3.40米，由已知表格中的對應(yīng)數(shù)據(jù)可知：d＝3.00時，h＝4.60≠3.40，∴此次表演不成功，當h＝3.40時，3.40＝﹣0.60（d﹣2.50）2+4.75，解得：d1＝1.00，d2＝4.00，∴要調(diào)節(jié)人梯到起跳點A的水平距離為1.00米或4.00米才能成功．【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式．25．（6分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，點D在⊙O上，過點D作⊙O切線與AC的延長線交于點E，ED∥BC，連接AD交BC于點F．（1）求證：∠BAD＝∠DAE；（2）若AB＝6，AD＝5，求DF的長．【分析】（1）連接OD，由ED為⊙O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥ED，由AB為⊙O的直徑，得到∠ACB＝90°，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)得到角之間的關(guān)系，又因為OA＝OD，得到∠BAD＝∠ADO，推出結(jié)論∠BAD＝∠DAE；（2）連接BD，得到∠ADB＝90°，由勾股定理得到BD＝，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到tan∠CBD＝tan∠BAD＝，由DF＝BD?tan∠CBD＝．【解答】解：（1）連接OD，∵ED為⊙O的切線，∴OD⊥ED，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵BC∥ED，∴∠ACB＝∠E＝∠EDO，∴AE∥OD，∴∠DAE＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠BAD＝∠DAE；（2）連接BD，∴∠ADB＝90°，∵AB＝6，AD＝5，∴BD＝，∵∠BAD＝∠DAE＝∠CBD，∴tan∠CBD＝tan∠BAD＝，在Rt△BDF中，∴DF＝BD?tan∠CBD＝．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，勾股定理，銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點M（x1，y1），N（x2，y2）為拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點，其中x1＜x2．（1）若拋物線的對稱軸為直線x＝2，當x1、x2為何值時，y1＝y(tǒng)2＝c；（2）設(shè)拋物線的對稱軸為直線x＝t，若對于x1+x2＞4，都有y1＜y2，求t的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱性解決問題即可．（2）由題意點（x1，0），（x2，0）連線的中垂線與x軸的交點的坐標大于2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：（1）由題意y1＝y(tǒng)2＝c，∴x1＝0，∵對稱軸為直線x＝2，∴M，N關(guān)于x＝2對稱，∴x2＝4，∴x1＝0，x2＝4時，y1＝y(tǒng)2＝c．（2）①當x1≥t時，恒成立．②當x1＜x2≤t時，恒不成立．③當x1＜t，x2＞t時，∵拋物線的對稱軸為直線x＝t，若對于x1+x2＞4，都有y1＜y2，當x1+x2＝4，且y1＝y(tǒng)2時，對稱軸為直線x＝2，∴滿足條件的值為：t≤2．方法二：（1）∵ax2+bx+c＝c，∴ax2+bx＝0，∴x（ax+b）＝0，∴x＝0或，∵，∴，∵x1＜x2，∴x1＝0，x2＝4；（2）由題意可得：ax2+bx+c＜ax2+bx1+c，，ax2﹣ax2+bx﹣bx2＜0，a（x1﹣x2）（x1+x2）+b（x1﹣x2）＜0，（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＜0，∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，∴a（x1+x2）+b＞0，∴x1+x2＞﹣，∵x1+x2＞4，∴，∴．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的對稱性等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．27．（7分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，過點C在△ABC外作射線CP，且∠ACP＝α，點A關(guān)于CP的對稱點為點D，連接AD，BD，CD，其中AD，BD分別交射線CP于點M，N．（1）依題意補全圖形；（2）當α＝30°時，直接寫出∠CNB的度數(shù)；（3）當0