專題4.6 相似三角形的應(yīng)用【十大題型】-2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列（北師大版）

PAGE1專題4.6相似三角形的應(yīng)用【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1建筑物高問題】 1【題型2影長問題】 6【題型3河寬問題】 9【題型4樹高問題】 13【題型5杠桿問題】 17【題型6實驗問題】 22【題型7古文問題】 26【題型8裁剪問題】 30【題型9現(xiàn)實生活相關(guān)問題】 34【題型10三角形內(nèi)接矩形問題】 39【題型1建筑物高問題】【例1】（23-24九年級·山東濰坊·期末）小亮運用《數(shù)書九章》中測量塔高的方法測量一幢樓房的高度．如圖，MN表示樓房的高，AB表示一根直桿頂端B到地面的高，CD表示小亮的眼睛到地面的高，MN,AB,CD在同一平面內(nèi)，點C,A,M在同一條直線上．已知AM=98m，AB=3m，CD=1.6m，CA=2m，小亮從點D遠眺樓頂N，視線恰好經(jīng)過直桿的頂端【答案】樓房的高為71.6【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．過D作DF⊥MN于F，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AE=MF=CD=1.6m，DE=AC=2m，EF=AM=98m【詳解】解：過D作DF⊥MN于F，交AB于E，則AE=MF=CD=1.6m，DE=AC=2m，∴BE=AB?AE=1.4m，DF=DE+EF=100∵BE∥∴△DBE∽△DNF，∴BEFN∴1.4FN∴FN=70，∴MN=FN+FM=70+1.6=71.6(m答：樓房的高為71.6m【變式1-1】（23-24·河南商丘·模擬預(yù)測）圭表是中國古代根據(jù)日影長度變化測定季節(jié)、劃分四季和推算歷法的工具．圖1為圭表示意圖．某同學(xué)受到啟發(fā)，利用一根標桿和一個卷尺輕松測量出學(xué)校旗桿的高度．如圖2，旗桿MN的影長MA在水平地面上，將標桿AB（長度1米）豎直放置在影長的最遠端點A處，此時標桿AB的影長為AD．經(jīng)測量，AD=1.2米，AM=12.1米．(1)根據(jù)以上信息，計算旗桿MN的高度．（結(jié)果保留整數(shù)）(2)若該同學(xué)在操作過程中，測量完AD的長度后，準備測量AM的長度時，發(fā)現(xiàn)卷尺不夠長，又去尋找更長一點的卷尺，半小時后回來測量AM的長度，請問這樣可以準確得到旗桿的高度嗎？簡單說明理由．【答案】(1)旗桿MN的高度約為10米(2)不可以．理由見解析【分析】本題考查了相似三角形的實際應(yīng)用：（1）根據(jù)BD∥AN證明△MNA∽（2）旗桿和標桿的影長隨著時間變化而變化，必須同時測量，才可以準確得到旗桿的高度．【詳解】（1）解：由題意，可知BD∥∴∠NAM=∠D．又∵∠NMA=∠BAD=90°，∴△MNA∽∴MNAB=MA∴MN≈10（米）．答：旗桿MN的高度約為10米．（2）解：不可以．理由如下：旗桿和標桿的影長隨著時間變化而變化，必須同時測量，小明測量標桿影長后半個小時再測旗桿影長，此時旗桿影長已發(fā)生變化，故不可以準確得到旗桿的高度．（理由合理即可）【變式1-2】（23-24·河南·模擬預(yù)測）小明和小亮兩位同學(xué)春節(jié)期間在游覽某景區(qū)時，對景區(qū)內(nèi)一座古塔產(chǎn)生濃厚的興趣，他們想用所學(xué)的知識測量古塔的高度．為了保護古塔，工作人員在古塔底部設(shè)有柵欄，古塔底部不可直接到達．經(jīng)詢問得知柵欄長17米（即FC=17米），小亮在F處利用1米高的柵欄（即FG=1米，且FG⊥FC），在柵欄頂端G處測得塔的頂部A處的仰角為45°，小明同學(xué)在古塔另一側(cè)的C處放置平面鏡（點D，C，B，F(xiàn)四點在一條直線上），當他站在D處時恰好能從平面鏡中看到古塔的塔頂A，已知小明的身高為1.8米（即ED=1.8米，且ED⊥DB），小明到平面鏡的水平距離為0.9米（即DC=0.9米），求古塔AB的高．

【答案】古塔AB的高為12米．【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題、相似三角形的應(yīng)用等知識點，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．如圖：過點G作GH⊥AB，垂足為H，根據(jù)題意可得：GH=BF，GF=BH=1米，然后設(shè)BC=x米，則FB=GH=17?x米，在Rt△AGH中，求出AH的長，從而求出AB的長，再根據(jù)題意可得：∠ACB=∠ECD，AB⊥FD，ED⊥FD，從而可得【詳解】解：如圖：過點G作GH⊥AB，垂足為H，

由題意得：GH=BF，設(shè)BC=x米，∵FC=17米，∴FB=GH=FC?BC=17?x在Rt△AGH中，∠AGH=45°∴AH=17?x∴AB=AH+BH=17?x+1=18?x由題意得：∠ACB=∠ECD，∴∠ABC=∠D=90°，∴△ABC∽∴ABED=BCDC，即：∴18?x=2x,解得：x=6，∴AB=2x=12（米），∴古塔AB的高為12米．【變式1-3】（23-24九年級·山東威?！て谀﹫DⅠ是大拇指廣場示意圖及測量其高度的方案，圖Ⅱ是求大拇指高度AB的示意圖．如圖Ⅱ，在C處放置一根高度為2m且與地平線BF垂直的竹竿IC，點A，I，D在同一直線上，測得CD為3m．將竹竿3m平移5m至E處，點A，G，F(xiàn)在同一直線上，測得EF為【答案】大拇指的高度為7【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．分別證明△CDI∽△BDA、△GEF∽△ABF可得ICAB=CDBD=CDBC+CD、GE【詳解】解：由題意可得：AB∥∴△CDI∽∴ICAB由題意可得：AB∥∴△GEF∽∴GEAB∵IC=GE，∴CDBC+CD=EFEF+CE+BC，即將BC=7.5代入ICAB=CDBC+CD，得∴大拇指的高度為7m【題型2影長問題】【例2】（23-24九年級·河南鶴壁·開學(xué)考試）如圖1，平直的公路旁有一燈桿AB，在燈光下，小麗從燈桿的底部B處沿直線前進4m到達D點，在D處測得自己的影長DE=1m．小麗身高(1)求燈桿AB的長；(2)若小麗從D處繼續(xù)沿直線前進4m到達G處（如圖2），求此時小麗的影長GH【答案】(1)燈桿AB的高度為6(2)此時小麗的影長GH的長是2【分析】本題考查了中心投影及相似三角形的應(yīng)用，解這道題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，本題只要把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．（1）根據(jù)題意得出AB∥CD，由平行線得出△EAB∽△ECD，得出對應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)果．（2）根據(jù)相似三角形△HGF∽△HBA的對應(yīng)邊成比例列出比例式，代入相關(guān)數(shù)值解答即可．【詳解】（1）解：如圖1，根據(jù)題意得：AB∥CD，BE=1+4=5（米)，∴△EAB∽△ECD，∴ABCD即AB1.2解得：AB=6（米)；答：燈桿AB的高度為6m（2）如圖2，根據(jù)題意得：AB∥FG，BE=1+4=5（米)，∴△HGF∽△HBA，∴ABFG即61.2解得：GH=2（米)；答：此時小麗的影長GH的長是2m【變式2-1】（23-24九年級·山東煙臺·期末）操場上有一根豎直的旗桿AB，它的一部分影子（BC）落在水平地面上，另一部分影子（CD）落在對面的墻壁上，經(jīng)測量，墻壁上的影高為1.2m，地面的影長為2.8m，同時測得一根高為2m的竹竿OM的影長是ON=1.4A．4.5m B．4.7m C．5.2m【答案】C【分析】過點D作DE⊥AB于點E，根據(jù)題意，BC⊥AB,DC⊥BC，得到矩形BCDE,繼而得到BC=DE,BE=DC,∠AED=90°，根據(jù)同一時刻，物高與影長成正比，建立等式計算即可．本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握解矩形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】過點D作DE⊥AB于點E，根據(jù)題意，得BC⊥AB,DC⊥BC，∴四邊形BCDE為矩形，∴BC=DE,BE=DC,∠AED=90°，∵BC=2.8m，DC=1.2∴DE=2.8m根據(jù)同一時刻，物高與影長成正比，∴AEDE=2解得AE=4m∴AB=AE+BE=5.2m故選C．【變式2-2】（23-24九年級·四川成都·期中）如圖，在路燈下，AB表示小明的身高，AC表示他的影子，F(xiàn)G表示小亮的身高，路燈燈泡在線段DE上．(1)請你畫出燈泡的位置，并畫出小亮在燈光下的影子；(2)如果小明的身高AB=1.6m，他的影子AC=1.4m，且他到路燈的距離【答案】(1)見解析(2)4【分析】本題考查了中心投影，相似三角形的應(yīng)用；理解中心投影，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）連接CB，延長CB交DE于點O，點O即為燈泡的位置，連接OG，延長OG交AF與點H，線段FH即為所求；（2）由相似三角形的判定方法得△ABC∽△DOC，由相似三角形的性質(zhì)得【詳解】（1）解：如圖，∴點O為燈泡的位置，F(xiàn)H為小亮在燈光下的影子；（2）解：∵AB∥∴△ABC∽∴AB∴1.6解得：DO=4，∴路燈的高為4m【變式2-3】（23-24九年級·陜西西安·期末）小明和爸爸在公園散步，此時爸爸的影子落在了身后的地面和墻上，如圖1所示．其中，BC段為地上的影子，AC段為墻上的影子．小明想利用所學(xué)知識測量出爸爸的身高．他向工作人員詢問得知：公園地面與墻面所用均為厚度13.5cm，長度65cm的磚塊，小明數(shù)了一下，BC段剛好是4塊地磚的長度，而AC段恰好為4塊地磚的厚度；同一時刻，小明觀察到公園門口指示牌影子的頂端剛好到達保安亭，如圖2所示，其中MN為指示牌的影子．已知爸爸、墻面、指示牌和保安亭均與地面垂直，指示牌高2m【答案】184cm【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，平行投影，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．過點A作AE⊥BD，垂足為E，根據(jù)題意可得：AC=BE=54cm，AE=BC=260cm，然后根據(jù)同一時刻的物高與影長成正比例可得【詳解】解：如圖：過點A作AE⊥BD，垂足為E，由題意得：AC=BE=4×13.5=54(cm)，∵指示牌高2m，指示牌距保安亭4∴DEAE∴DE=1∴BD=DE+BE=130+54=184(cm∴爸爸的身高為184cm【題型3河寬問題】【例3】（23-24九年級·河南許昌·期末）學(xué)完《相似》一章后，某中學(xué)數(shù)學(xué)實踐小組決定利用所學(xué)知識去測量河的寬度．如圖，這條河的兩岸是平行的，小麗站在離南岸20米（即PE=20米）的點P處懶北岸，小軍、小強站在南岸邊，調(diào)整小軍、小強兩人的位置，當小軍、小強兩人分別站在C,D兩點處時，小麗發(fā)現(xiàn)河北岸邊的兩根電線桿恰好被小軍、小強遮擋（即A,C,P三點共線，B,D,P三點共線）．已知電線桿A,B之間的距離為75米，小軍、小強兩人之間的距離CD為30米，求這條河的寬度．【答案】這條河的寬度為30米【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，延長PE交AB于點F，設(shè)這條河的寬度為x米．由相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比得到PFPE【詳解】解：延長PE交AB于點F，如解圖所示．∵PE⊥CD,AB∥CD,∴PF⊥AB依題意，CD=30米，AB=75米．設(shè)這條河的寬度為x米．∵AB∥CD，∴△PBA∽△PDC．∴PF即20+x20解得x=30．答：這條河的寬度為30米．【變式3-1】（23-24·陜西·中考真題）周末，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量家門前小河的寬．測量時，他們選擇了河對岸邊的一棵大樹，將其底部作為點A，在他們所在的岸邊選擇了點B，使得AB與河岸垂直，并在B點豎起標桿BC，再在AB的延長線上選擇點D豎起標桿DE，使得點E與點C、A共線．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，測得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．測量示意圖如圖所示．請根據(jù)相關(guān)測量信息，求河寬AB．【答案】河寬為17米．【分析】由題意先證明?ABC∽?ADE，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得AB的長．【詳解】解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠CBA＝∠EDA＝90°，∵∠CAB＝∠EAD，∴?ABC∽?ADE，∴ADAB又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5，∴AB+8.5AB∴AB＝17，即河寬為17m．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（23-24九年級·陜西咸陽·期末）如圖，為了測量某河段的寬度，某校數(shù)學(xué)課外活動小組在河對岸選定一個目標點A，在近岸取點B和C，使點A、B、C共線且直線AB與河岸b垂直，接著在過點C且與AB垂直的直線a上選擇適當?shù)狞cD，點A、D與河岸b上的點E在一條直線上．測得BC=12m，CD＝16m，【答案】20m【分析】本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，證明△ABE~△ACD，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列式求解即可．【詳解】解：由題意得∠ABE=∠ACD=90°，∠A=∠A，∴△ABE~△ACD，∴ABAC=BE∵BC=12m，BE=10m，∴ABAB+12解得AB=20m答：河寬AB大約是20m．【變式3-3】（23-24九年級·北京·期末）如圖，為了測量平靜的河面的寬度，即EP的長，在離河岸D點3.2米遠的B點，立一根長為1.6米的標桿AB，在河對岸的岸邊有一根長為4.5米的電線桿MF，電線桿的頂端M在河里的倒影為點N，即PM=PN，兩岸均高出水平面0.75米，即DE=FP=0.75米，經(jīng)測量此時A、D、N三點在同一直線上，并且點M、F、P、N共線，點B、D、F共線，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河寬EP是多少米？【答案】12米【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，延長AB交EP的反向延長線于點H，由△ABD∽△AHO求得OH，再由△AHO∽△NPO求得OP，便可解決問題．【詳解】解：延長AB交EP的反向延長線于點H，則四邊形BDEH是矩形，∴BH=DE=0.75，BD∥∴AH=AB+BH=AB+DE=1.6+0.75=2.35，∵BD∥∴△ABD∽△AHO，∴BDHO∴3.2HO∴HO=4.7，∵PM=PN，MF=4.5米，F(xiàn)P=0.75米，∴PN=MF+FP=5.25米，∵AH⊥EP，PN⊥EP，∴AH∥∴△AHO∽△NPO，∴AHNP∴2.355.25∴PO=10.5，∴PE=PO+OE=10.5+(4.7?3.2)=12，答：河寬EP是12米．【題型4樹高問題】【例4】（23-24九年級·河南洛陽·期中）《周髀算經(jīng)》中記載了“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環(huán)矩以為圓，合矩以為方”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的DEF）．小南利用“矩”可測量大樹AB的高度．如圖，通過不斷調(diào)整自己的姿勢和“矩”的擺放位置，使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知“矩”的兩邊長分別為EF=0.2m，DE=0.3m，小南的眼睛到地面的距離DM為1.6m，測得AM=21【答案】樹高AB為15.6【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用舉例，據(jù)題意可得∠DEF=∠BCD=90°，∠EDF=∠CDB，即可得出△DEF∽△DCB，由相似三角形的性質(zhì)可得出EFDE=BCCD，即可得出【詳解】解：據(jù)題意可得∠DEF=∠BCD=90°，∠EDF=∠CDB，∴△DEF∽△DCB，∴EF∵EF=0.2m，DE=0.3m，∴0.2∴BC=14m∴AB=AC+BC=1.6+14=15.6(m答：樹高AB為15.6m【變式4-1】（23-24九年級·云南紅河·期末）如圖，直立在B處的標桿AB=2.9米，小愛站在F處，眼睛E處看到標桿頂A，樹頂C在同一條直線上(人，標桿和樹在同一平面內(nèi)，且點F，B，D在同一條直線上)．已知BD=6米，F(xiàn)B=2米，EF=1.7米，求樹高CD．【答案】6.5米【分析】過E作EH⊥CD交CD于H點，交AB于點G，則EH⊥AB，證明四邊形EFDH為矩形，可得HD的長，再根據(jù)△AEG∽△CEH，故可求得CH的長，所以樹高CD的長即可知．【詳解】解：過E作EH⊥CD交CD于H點，交AB于點G，則EH⊥AB，如下圖所示：由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴四邊形EFDH為矩形，∴EF＝GB＝DH＝1.7米，EG＝FB＝2米，GH＝BD＝6米，∴AG＝AB?GB＝2.9?1.7＝1.2（米），∵AG∥CH，∴△AEG∽△CEH，∴AGCH∴1.2CH∴CH＝4.8，∴CD＝CH＋DH＝4.8＋1.7＝6.5（米）．答：樹高CD為6.5米．【點睛】本題考查了相似三角形在實際問題中的運用，關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形．【變式4-2】（23-24九年級·山東聊城·階段練習(xí)）小明利用剛學(xué)過的測量知識來測量學(xué)校內(nèi)一棵古樹的高度.一天下午，他和學(xué)習(xí)小組的同學(xué)帶著測量工具來到這棵古樹前，由于有圍欄保護，他們無法到達古樹的底部B，如圖所示.于是他們先在古樹周圍的空地上選擇一點D，并在點D處安裝了測量器CD，測得∠ACD=135°；再在BD的延長線上確定一點G，使DG=5米，并在G處的地面上水平放置了一個小平面鏡，小明沿著BG方向移動，當移動到點F時，他剛好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的像，此時，測得FG=2米，小明眼睛與地面的距離EF=1.6米，測量器的高度CD=0.5米.已知點F、G、D、B在同一水平直線上，且EF、CD、AB均垂直于【答案】18m【分析】過點C作CH⊥AB于點H，則CH=BD，BH?CD=0.5，解Rt△ACH，得出AH=CH=BD，那么AB【詳解】如圖，過點C作CH⊥AB于點H，則CH=BD，在Rt△ACH中，∠ACH=45∴AH=∴AB=∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG由反射角等于入射角得∠EGF=∴△EFG∽△ABG,∴EFAB=FG解得BD∴AB=17.5+0.5=18m∴這棵樹高18米.【點睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.【變式4-3】（23-24九年級·陜西咸陽·期中）小軍想用鏡子測量一棵古松樹的高度，但因樹旁有一條小河，不能測量鏡子與樹之間的距離，于是他利用鏡子進行兩次測量，如圖，第一次他把鏡子放在點C處，他在點F處正好在鏡中看到樹尖A的像；第二次他把鏡子放在點C′處，他在點F′處正好在鏡中看到樹尖A的像．已知AB⊥BF′，EF⊥BF′，E′F′【答案】8.5m【分析】先證明△ABC∽△EFC，得出EFAB=CFBC，再證明△ABC∽△E′F′C′，得出E′【詳解】解：∵∠ABC=∠EFC=90°，∠ACB=∠ECF，∴△ABC∽△EFC，∴EFAB∵∠ABC′=∠∴△ABC∽△E∴E′∵EF=E∴CFBC∵CC′=12m，∴1.8BC解得：BC=9，∴1.7AB解得：AB=8.5，答：這棵古松樹的高度為8.5m．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型5杠桿問題】【例5】（23-24九年級·山西大同·期末）阿基米德曾說過：“給我一個支點和一根足夠長的桿子，我就能撬起整個地球．”這句話的意思是利用物理學(xué)中的杠桿原理，只要有合適的支點和合適的工具，就可以把地球輕松搬動．如圖1，這是用杠桿撬石頭的示意圖，當用力壓杠桿時，杠桿繞著支點轉(zhuǎn)動，另一端會向上翹起，石頭就被翹動了．在圖2中，杠桿的D端被向上翹起的距離BD=7cm，動力臂OA與阻力臂OB滿足OA=3OB（AB與CD相交于點O），則AC的長為

【答案】21【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用，正確地構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形△AOC∽△BOD，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得AC的長度．【詳解】解：由題意得，AC∥BD，∴△AOC∽△BOD，∴AC∵OA=3OB，∴AC∴AC=3BD=21cm．故答案為：21．【變式5-1】（23-24九年級·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，EF是一個杠桿，可繞支點O自由轉(zhuǎn)動，當EF處于圖中的位置時，點O到點E的水平距離OM=2，點O到點F的水平距離ON=4，若已知杠桿的OE段長為2.5，則杠桿的OF段長為．【答案】5【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，從實際問題中抽離出數(shù)學(xué)圖形是解題的關(guān)鍵．證明△MOE∽△NOF，從而得到MENF【詳解】解：∵∠MOE=∠NOF，∠M=∠ONF，∴△MOE∽△NOF，∴OEOF∵OM=2，ON=4，OE段長為2.5，∴2.5OF∴OF=5．故答案為：5．【變式5-2】（23-24九年級·河南南陽·期末）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，點C是支點，當用力壓杠桿的A端時，杠桿繞C點轉(zhuǎn)動，另一端B向上翹起，石頭就被撬動．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動，杠桿的B端必須向上翹起5cm，已知AB:BC=10:1，要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的A端向下壓cm【答案】45【分析】如圖：AM、BN都與水平線的垂直，M，N是垂足，則AM∥BN，即【詳解】解：如圖，AM、BN都與水平線的垂直，M，N是垂足，則∵AM∥BN，∴△ACM∽△BCN，∴ACBC∵AB:BC=10:1，∴ACBC=AM∴當BN≥5cm時，AM≥45故要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的A端向下壓45cm故答案為：45．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用，正確作出輔助線、構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（23-24九年級·浙江溫州·期中）如圖1所示的是古代一種可以遠程攻擊的投石車，圖2是投石車投石過程中某時刻的示意圖，GP是杠桿，彈袋掛在點G，重錘掛在點P，點A為支點，點D是水平底板BC上的一點，AD=AC=3米，CD=3.6米．（1）投石車準備時，點G恰好與點B重合，此時AG和AC垂直，則BD=米（2）投石車投石過程中，AP的延長線交線段DC于點E，若DE：CE=5：1，則點G距地面為米．【答案】1.412+8【分析】（1）直接利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)進行求解即可；（2）先求出CE的長，再利用勾股定理和銳角三角函數(shù)進行求解即可．【詳解】（1）如圖，連接AB，過A點作AF⊥BC于F，∵AD=AC=3米，CD=3.6米，∴CF=DF=1.8米，∴AF=A∵∠B+∠ACB=90°，∠CAF+∠ACB=90°，∴∠B=∠CAF，∵∠AFB=∠AFC=90°，∴△AFB∽△CFA，∴AFCF∴BF=2.4∴BD=BF?DF=1.4（米），故答案為：1.4．（2）由（1）可知：AB=過點G作GN⊥BC交BC于點N，∵DE:CE=5:1，∴3.6?CE:CE=5:1∴CE=0.6，∴EF=FC?CE=1.8?0.6=1.2，∴在Rt△AEF中，AE=sin∠AEF=∴EG=4+6∴GN=ME·sin故點G距離底面的高度為12+85故答案為：12+85【點睛】本題解直角三角形的應(yīng)用綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理和銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形和相似三角形．【題型6實驗問題】【例6】（23-24九年級·浙江·專題練習(xí)）如圖，嘉嘉同學(xué)正在使用手電筒進行物理光學(xué)實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處，點E到地面的高度DE=3.5m，點F到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，墻到木板的水平距離為CD=4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點A、B、C、D在同一水平面上．(1)求BC的長．(2)求燈泡到地面的高度．【答案】(1)3m(2)1.2m【分析】（1）直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出BC的長；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程進而求出AG的長．【詳解】（1）解：由題意可得：FC∥DE，則△BFC∽故BCBD即BCBC+4解得：BC=3，經(jīng)檢驗，BC=3是上述分式方程的解，∴BC的長為3m（2）∵AC=5.4m∴AB=5.4?3=2.4（m），∵光在鏡面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC=∠GBA，又∵∠FCB=∠GAB，∴△BGA∽∴AGAB∴AG2.4解得：AG=1.2（m），∴燈泡到地面的高度AG為1.2m【點睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出相似三角形是解題關(guān)鍵．【變式6-1】（23-24·廣東汕頭·三模）約在兩千五百年前，如圖（1），墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗，并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖（2）所示的小孔成像實驗中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm，則蠟燭火焰的高度是【答案】4【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，設(shè)蠟燭火焰的高度是xcm，由相似三角形的性質(zhì)得1015【詳解】解：設(shè)蠟燭火焰的高度是xcm，由相似三角形的性質(zhì)得，101515x=60，解得x=4，故答案為：4．【變式6-2】（23-24九年級·云南文山·期中）如圖，佳佳同學(xué)正在使用手電筒進行物理光學(xué)實驗，水平地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處，點E到地面的高度DE=3.5m，點F到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，木板到平面鏡的水平距離BC=3【答案】燈泡到地面的高度AG為1.2m．【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，證明△BGA∽△BFC，得到AGAB=FC【詳解】解：由題意和圖可知：∠FBC=∠GBA,∠FCB=∠GAB=90°，∴△BGA∽△BFC，∴AGAB∵AC=5.4m，BC=3∴AB=AC?BC=2.4m∴AG2.4解得：AG=1.2m答：燈泡到地面的高度AG為1.2m．【變式6-3】（23-24九年級·山西太原·期末）小彬做了探究物體投影規(guī)律的實驗，并提出了一些數(shù)學(xué)問題請你解答：(1)如圖1，白天在陽光下，小彬?qū)⒛緱UAB水平放置，此時木桿在水平地面上的影子為線段A′①若木桿AB的長為2m，則其影子A′B②在同一時刻同一地點，將另一根木桿CD直立于地面，請畫出表示此時木桿CD在地面上影子的線段DM：(2)如圖2，夜晚在路燈下，小桃將木桿EF水平放置，此時木桿在水平地面上的影子為線段E′①請在圖中畫出表示路燈燈泡位置的點P；②若木桿EF的長為2m，經(jīng)測量木桿EF距離地面2m，其影子E′F′的長為3【答案】(1)①2；②見解析；(2)①見解析；②6【分析】（1）①根據(jù)題意證得四邊形AA②根據(jù)平行投影的特點作圖：過木桿的頂點作太陽光線的平行線；（2）①分別過影子的端點及其線段的相應(yīng)的端點作射線，兩條射線的交點即為光源的位置；②根據(jù)EF∥E′F′【詳解】（1）①根據(jù)題意：AA′∥BB′，AB∴四邊形AA∴A′②如圖所示，線段DM即為所求；（2）①如圖所示，點P即為所求；②過點P作PH⊥E′F′分別交EF、E∵EF∥E∴△PEF∽△P∴EF:∵EF=2，E′F∴2:3=PG:解得：PG=4，∴PH=6∴路燈P距離地面的高度為6米.【點睛】本題考查平行投影問題以及相似三角形的判定和性質(zhì)，平行光線得到的影子是平行光線經(jīng)過物體的頂端得到的影子，利用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比是解決本題的關(guān)鍵．【題型7古文問題】【例7】（23-24九年級·山東煙臺·期末）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有這樣一個問題：“今有邑方不知大小，各中開門，出北門一百步立一表，出西門二百二十五步適可見之，問邑方幾何？”它的意思是：如圖，M，N分別是正方形ABCD的邊AD，AB的中點，ME⊥AD，NF⊥AB，EF過點A，且ME=100步，NF=225步，那么該正方形城邑邊長AD約為（

）步．A．300 B．250 C．225 D．150【答案】A【分析】本題考查相似三角形解實際應(yīng)用題，讀懂題意，熟練應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．由題意可知△AME∽△FNA，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得到FNAN=AMEM，設(shè)AD=2a，由M、N分別是正方形ABCD的邊AD、AB的中點可知AM=AN=a，則225a【詳解】解：∵ME⊥AD，NF⊥AB，∴∠FNA=∠AME=90°，∵正方形ABCD中，∠MAN=90°，EF過點A，∴FN∥AM，則∠F=∠EAM，∴△AME∽△FNA，∴FNAN∵M、N分別是正方形ABCD的邊AD、AB的中點，設(shè)AD=2a，∴AM=AN=a，∵ME=100步，NF=225步，∴225a=a100，即∴正方形城邑邊長AD=2a=300步，故選：A．【變式7-1】（23-24九年級·湖南邵陽·學(xué)業(yè)考試）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有井徑5尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸．問井深幾何？”意思是：如圖，井徑BE=5尺，立木高AB=5尺，BD=4寸=0.4尺，則井深x為尺．

【答案】57.5【分析】根據(jù)題意可知△ABD∽△AFC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求AC，進一步求解即可得到井深．【詳解】解：依題意可得△ABD∽△AFC，∴AB：AC=BD：FC，即5：AC=0.4：5，解得AC=62.5，x=BC=AC-AB=62.5-5=57.5尺．故答案為：57.5．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得到△ABD∽△AFC，利用相似比進行分析．【變式7-2】（23-24·廣西南寧·二模）《九章算術(shù)》是我國數(shù)學(xué)經(jīng)典，上面記載：“今有邑方不知大小，各中開門．出北門三十步有木，出西門七百五十步見木．問邑方幾何？”其意思是：如圖，已知正方形小城ABCD，點E，G分別為CD，AD的中點，EF⊥CD，GH⊥AD，點F，D，H在一條直線上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的邊長是（）A．150步 B．200步 C．250步 D．300步【答案】D【分析】根據(jù)題意可知Rt△DFE～Rt△HDG，從而可以得到對應(yīng)邊的比相等，從而可以求解；【詳解】∵點E，G分別為CD，AD的中點，∴DG=12AD∴DG=DE，又題意可得∠FDE=∠H，∠FED=∠DGH=90°，∴Rt△DFE～Rt△HDG，∴EFDG而EF＝30步，GH＝750步，即DE×DG=EF×HG，∴DE解得：DE=150，∴CD=2DE=300步；【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，準確計算是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（23-24·河南安陽·一模）“度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望．觸類而長之，則雖幽遐詭伏，靡所不入．”就是說，使用多次測量傳遞的方法，就可以測量出各點之間的距離和高度差．——劉徽《九章算術(shù)注·序》．某市科研考察隊為了求出某海島上的山峰AB的高度，如圖，在同一海平面的D處和F處分別樹立標桿CD和EF，標桿的高都是5.5米，DF兩處相隔80米，從標桿CD向后退11米的G處，可以看到頂峰A和標桿頂端C在一條直線上；從標桿EF向后退13米的H處，可以看到頂峰A和標桿頂端E在一條直線上．求山峰AB的高度及它和標桿CD的水平距離．注：圖中各點都在一個平面內(nèi)．

【答案】山峰的高度AB為225.5米，它和標桿CD的水平距離BD是440米【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得：AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，從而可得∠ABH=∠CDH=∠EFH=90°，然后證明A字模型相似△CDG∽△ABG，△EHF∽△AHB，從而利用相似三角形的性質(zhì)進行計算，即可解答．【詳解】解：由題意得：AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴∠ABH=∠CDH=∠EFH=90°，∵∠CGD=∠AGB，∴△CDG∽△ABG，∴CDAB∴5.5AB∵∠H=∠H，∴△EHF∽△AHB，∴EFAB∴5.5AB∴1111+BD解得：BD=440，∴5.5AB解得：AB=225.5，∴山峰的高度AB為225.5米，它和標桿CD的水平距離BD是440米．【題型8裁剪問題】【例8】（23-24九年級·浙江溫州·期末）有一等腰三角形紙片ABC，AB＝AC，裁剪方式及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則得到的甲、乙、丙、丁四張紙片中，面積最大的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得甲的面積和丙的面積，進一步求得乙和丁的面積，比較即可求得．【詳解】解：如圖：∵AD⊥BC，AB＝AC，∴BD＝CD＝5+2＝7，∵AD＝2+1＝3，∴S△ABD＝S△ACD＝12×7×3∵EF∥AD，∴△EBF∽△ABD，∴S甲S△ABD＝（57）∴S甲＝7514∴S乙＝212同理S丙SΔACD＝（23）∴S丙＝143∴S?。?12﹣143＝∵356∴面積最大的是丁，故選：D．【點睛】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，相似三角形面積的比等于相似比的平方．解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)進行解題.【變式8-1】（23-24·浙江湖州·一模）三八婦女節(jié)，同學(xué)們準備送小禮物給媽媽，首先利用正方形紙板，制作一個正方體禮品盒（如圖所示裁剪）．已知正方形紙板邊長為52分米，則這個禮品盒的體積分米3【答案】8【分析】設(shè)EF=x，判斷出△AEF和△DEG為等腰直角三角形，證明△AEF∽△DEG，得到AEDE=EF【詳解】解：如圖，在正方形ABCD中，AD=52設(shè)EF=x，由此裁剪可得：△AEF和△DEG為等腰直角三角形，∴△AEF∽△DEG，∴AEDE=EF解得：AE=2∴EF=2∴正方體禮品盒的棱長為2，∴體積為2×2×2=8立方分米，故答案為：8．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂裁剪的方法，找到相似三角形．【變式8-2】（23-24九年級·浙江金華·期末）在綜合實踐課中，小慧將一張長方形卡紙如圖1所示裁剪開，無縫隙不重疊的拼成如圖2所示的“L”形狀，且成軸對稱圖形.裁剪過程中卡紙的消耗忽略不計，若已知AB=9，BC=16，F(xiàn)G⊥AD.求（1）線段AF與EC的差值是___（2）FG的長度.【答案】96【分析】如圖1，延長FG交BC于H，設(shè)CE＝x，則E'H'＝CE＝x，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得：D'E'＝DC＝E'F'＝9，表示GH，EH，BE的長，證明△EGH∽△EAB，則GHAB即可求出線段AF、EC及FG的長，故可求解.【詳解】(1)如圖1，延長FG交BC于H，設(shè)CE＝x，則E'H'＝CE＝x，由軸對稱的性質(zhì)得：D'E'＝DC＝E'F'＝9，∴H'F'＝AF＝9＋x，∵AD＝BC＝16，∴DF＝16?（9＋x）＝7?x，即C'D'＝DF＝7?x＝F'G'，∴FG＝7?x，∴GH＝9?（7?x）＝2＋x，EH＝16?x?（9＋x）＝7?2x，∴EH∥AB，∴△EGH∽△EAB，∴GHAB∴2+x9解得x＝1或31（舍），AF、EC及FG∴AF=9+x=10，EC=1，故AF-EC=9故答案為：9;(2)由（1）得FG＝7?x=7-1=6.【點睛】本題考查了圖形的拼剪，軸對稱的性質(zhì)，矩形、直角三角形、相似三角形等相關(guān)知識，積累了將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題經(jīng)驗，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法在現(xiàn)實問題中的應(yīng)用價值．【變式8-3】（23-24九年級·四川遂寧·期中）一個小風箏與一個大風等形狀完全相同，它們的形狀如圖所示，其中對角線AC⊥BD．已知它們的對應(yīng)邊之比為1：3，小風箏兩條對角線的長分別為12cm和14cm．（1）小風箏的面積是多少？（2）如果在大風箏內(nèi)裝設(shè)一個連接對角頂點的十字交叉形的支撐架，那么至少需用多長的材料？（不記損耗）（3）大風箏要用彩色紙覆蓋，而彩色紙是從一張剛好覆蓋整個風箏的矩形彩色紙（如圖中虛線所示）裁剪下來的，那么從四個角裁剪下來廢棄不用的彩色紙的面積是多少？【答案】(1)84（cm）2;(2)78cm;(3)756（cm）2【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到A′C′=3AC=42cm，同理B′D′=3BD=36cm，于是得到結(jié)論；（3）根據(jù)矩形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AC⊥BD，∴小風箏的面積S＝12AC?BD＝12×12×14＝84（cm）（2）∵小風箏與大風箏形狀完全相同，∴假設(shè)大風箏的四個頂點為A′，B′，C′，D′，∴△ABCD∽△A′B′C′D′，∵它們的對應(yīng)邊之比為1：3，∴A′C′＝3AC＝42cm，同理B′D′＝3BD＝36cm，∴至少需用42+36＝78cm的材料；（3）從四個角裁剪下來廢棄不用的彩色紙的面積＝矩形的面積﹣大風箏的面積＝42×36﹣9×84＝756（cm2）．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型9現(xiàn)實生活相關(guān)問題】【例9】（23-24·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖是一個常見的鐵夾的剖面圖，OA，OB表示鐵夾的剖面的兩條邊，點C是轉(zhuǎn)動軸的位置，CD⊥OA，垂足為D，DA=15mm，DO=24mm，DC=10mm，且鐵夾的剖面圖是軸對稱圖形，則A，BA．30mm B．32.5mm C．60mm【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，連接AB，延長OC交AB于H，由勾股定理得出OC=26mm，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出CH⊥AB，AH=BH，證明△OCD∽△OAH【詳解】解：如圖，連接AB，延長OC交AB于H，，在Rt△OCD中，OC=∵鐵夾的剖面圖是軸對稱圖形，∴CH⊥AB，AH=BH，∴∠AHC=∠CDO=90°∵∠DOC=∠HOA，∴△OCD∽△OAH，∴CDAH=OC解得：AH=15mm∴AB=2AH=30mm故選：A．【變式9-1】（23-24·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，已知箱子沿著斜面向上運動，箱高AB=1.2m．當BC=2.5m時，點B到地面的距離BE=1.5m，則點A到地面的距離ADA．2.6m B．2.5m C．2.46m【答案】C【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用．利用相似三角形的判定與性質(zhì)進而求出DF、AF的長即可得出的長．【詳解】解：由題意可得：AD∥EB，則∴△CDF∽△CEB，∵∠ABF=∠CEB=90°，∴△CBE∽△AFB，∴BEFB∵BC=2.5m，BE=1.5∴EC=2.5即1.5FB=2.5∵△CDF∽△CEB，∴DFBE=CFCB，即∴AD=AF+DF=1.5+0.96=2.46m故選C．【變式9-2】（23-24·吉林長春·二模）如圖①，是生活中常見的人字梯，也稱折梯，因其使用時，左右的梯桿及地面構(gòu)成一個等腰三角形，因而把它形象的稱為“人字梯”．如圖②，是其工作示意圖，拉桿EF∥BC，AE=13BE【答案】1.6【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．熟練掌握相似三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．證明△AEF∽△ABC，則EFBC=AE【詳解】解：∵EF∥∴△AEF∽△ABC，∴EFBC=AE解得，BC=1.6，故答案為：1.6．【變式9-3】（23-24·遼寧沈陽·三模）如圖是一個矩形足球球場，AB為球門，CD⊥AB于點D，AB=a米．某球員沿CD帶球向球門AB進攻，在Q處準備射門，已知BD=3a米，QD=3a米，對方門將伸開雙臂后，可成功防守的范圍大約為0.25a米；此時門將站在張角∠AQB內(nèi)，雙臂伸開MN且垂直于AQ進行防守，MN中點與AB距離米時，剛好能成功防守．【答案】3720a【分析】過點B作BE⊥AQ，證明△AEB∽△ADQ，作MK∥AD，HG∥【詳解】解：過點B作BE⊥AQ，∵BE⊥AQ，∴∠AEB=∠ADQ=90°，又∵∠EAB=∠DAQ，∴△AEB∽△ADQ，∴AB∵AD=AB+BD=a+3a=4a，∴AQ=A∴a∴BE=3a∴EQ=B如圖，作MK∥∵BE⊥AQ，∴BE∥∴△BEQ∽△NMQ，∵MN=0.25a=a∴BE∴MQ=EQ∵MK∥∴△ABQ∽△MKQ，∴AQ∴KQ=21∴NK=NQ?KQ=5∵MK∥∴MK∥∴△HNG∽△MNK，∴HN∵HN=1∴NG=1∵BN=BQ?NQ=32∴BG=BN+NG=7∵BD=3a，QD=3a，CD⊥AB，∴∠QBD=∠BQD=45°，∵GF⊥AD，∴FG=BG?sin故答案為：3720【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，通過添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．【題型10三角形內(nèi)接矩形問題】【例10】（23-24春·河北石家莊·九年級石家莊二十三中?？茧A段練習(xí)）有一塊銳角三角形余料△ABC，邊BC為15cm，BC邊上的高為12cm，現(xiàn)要把它分割成若干個鄰邊長分別為5cm和2cm的小長方形零件，分割方式如圖所示（分割線的耗料不計），使最底層的小方形的長為5cm【答案】6【分析】利用△ABC∽△AEF求得AG=4，然后求得DG=AD?AG=8，這樣就可以計算得小長方形一共有4層，然后再次利用相似比，可求得每層可分割幾個小長方形，最后確定小長方形的總數(shù)即可.【詳解】如圖：當最上層的小長方形的一邊與AB、AC交于點E、F時，EF∴△ABC∽△