高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題14 構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)問題解析版

專題14構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)問題一、單選題1．函數(shù)的定義域?yàn)?，，對任意，，則的解集為()A． B． C． D．【解析】令，因?yàn)閷θ我猓?，所以，即在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?，由，可得，即，所以，即不等式的解集為．故選：A．2．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.若對任意實(shí)數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．【解析】設(shè)，則，因?yàn)椋?，為定義在上的減函數(shù)，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，，，，即，，，故選：C.3．設(shè)是奇函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，．當(dāng)時(shí)，，則使得成立的x的取值范圍是（）A． B．C． D．【解析】令，所以，當(dāng)當(dāng)時(shí)，，所以，所以可知的在的單調(diào)遞增，又是奇函數(shù)且，所以，則，由，所以函數(shù)為的偶函數(shù)且在單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，的解集為，當(dāng)時(shí)，的解集為，綜上所述：的解集為：，故選：D4．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，，其中為導(dǎo)函數(shù)，則滿足不等式的解集為（）A． B． C． D．【解析】設(shè)，則，故在上單調(diào)增，又，所以的解為，則不等式的解集，故答案為：A5．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【解析】令，則，因?yàn)?，所以，所以在上為增函?shù)，因?yàn)椋?，由（），得，所以，所以且，所以，所以不等式的解集為，故選：B6．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，則不等式解集為（）A． B． C． D．【解析】由得,即，令,則，因?yàn)?即,且,所以,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,由,故，即的解集是.故選：C.7．設(shè)是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A． B．C． D．【解析】設(shè)函數(shù)，，因?yàn)椋?，函?shù)單調(diào)遞增，，所以，即，不等式的解集是.故選：D8．設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【解析】因?yàn)椋坏仁匠闪?，即成立，即，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，則不等式恒成立等價(jià)于恒成立，即恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：B.二、多選題9．已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則使不等式成立的的值不可能為（）A． B． C． D．【解析】設(shè)，則.，，，即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減.，，不等式等價(jià)于，即，解得.故不等式的解集為.故選：.10．已知定義在上的奇函數(shù)連續(xù)且可導(dǎo)，若（為的導(dǎo)函數(shù)），則（）A． B．C． D．【解析】是定義在上的奇函數(shù)，.在中，令，得，即，A正確；是定義在上的奇函數(shù)，，即，，，，B錯(cuò)誤；在中，令，得，又，，C正確；構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，，，，D正確.故選：ACD11．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對恒成立，則下列不等式中，一定成立的是（）A． B．C． D．【解析】設(shè)，，，則，.因?yàn)閷愠闪ⅲ?，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，，即，即.故選：BD.12．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，，則下列判斷中正確的是（）A． B．C． D．【解析】令，，因?yàn)椋瑒t，故在，上單調(diào)遞減，因?yàn)椋瑒t，結(jié)合選項(xiàng)可知，，從而有，即，故錯(cuò)誤，因?yàn)?，結(jié)合在在，上單調(diào)遞減可知，從而有，由可得，故錯(cuò)誤；，從而有，且，即．故正確；，從而有即．故正確．故選：．三、填空題13．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?若對任意，，則的解集為____【解析】令，則，因?yàn)閷θ我猓?，所以，所以在上為增函?shù)，又，所以，所以時(shí)，即，，可得，所以的解集為14．已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f（1）＝3，且f(x)的導(dǎo)數(shù)在R上恒有<2(x∈R)，則不等式f(x)<2x＋1的解集為______.【解析】令g(x)＝f(x)－2x－1，則g（1）＝f（1）－2－1＝0.所以原不等式可化為.因?yàn)?，所以g(x)在R上為減函數(shù).由解得：x>1.故答案為：.15．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，當(dāng)時(shí)，．若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．【解析】令，則，當(dāng)時(shí)，，∴在上遞減，而，，所以，所以是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，若，則，所以∴，即．16．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，對于，有成立，則不等式：的解集為___________.【解析】令，則，，，，在R單調(diào)遞增，，，即，即，又在R單調(diào)遞增，，不等式的解集為.四、解答題17．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，對任意，，當(dāng)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，，解得a=1，則，所以，令，解得，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（2）當(dāng)a=1，，不等式，即變形為，令，則，（x>0），不等式可化為，因?yàn)閷θ我鈁1，10]，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則可知在[1，10]上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以在[1，10]上恒成立，則在[1，10]上恒成立，即令，則，所以在[1，10]上單調(diào)遞減，所以，所以，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.18．已知函數(shù)，，其中是的導(dǎo)函數(shù).（1）求函數(shù)（為常數(shù)）的單調(diào)區(qū)間；（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）∵，.∴（），∴.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由，得，時(shí)，.時(shí)，.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，僅當(dāng)，時(shí)，等號成立；在上遞增；∴；恒成立；當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，有，即使，綜上所述，的取值范圍是.19．設(shè)函數(shù)，.（1）判斷的單調(diào)性，并求極值；（2）若不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍.【解析】（1），令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值.（2）因?yàn)椴坏仁綄θ我鈱?shí)數(shù)恒成立，所以，對任意實(shí)數(shù)恒成立，即對任意實(shí)數(shù)恒成立，令，則，因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞減，所以，即，則.20．已知函數(shù)，.（1）證明：；（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）求的最小值.【解析】（1）∵，∴證明即證明即證明.設(shè)，∴，∴時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減.∴，∴即成立.（2）時(shí)，即，由（1）知，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，顯然時(shí)不成立，綜上，.（3）.設(shè)，，∴在上單調(diào)遞增，∵，，∴存在使，且時(shí)即，遞減；時(shí)即，遞增，∴，∵，∴，∴，∴，∵在是單調(diào)遞增，∴，∴，∴.21．已知函數(shù)，.（1）若，求的極值；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）時(shí)，，函數(shù)的定義域是，，令，解得，令，解得，令，解得，故在遞減，在遞增，故的極小值是，無極大值；（2）存在，使得成立，等價(jià)于，成立，設(shè)，則，令，解得（舍），；①當(dāng)，在遞減，∴，令，解得；②當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增，∴與矛盾，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.22．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，若存在正數(shù)，使不等式成立，求的取值范