高中數(shù)學復習專題06 利用導數(shù)研究函數(shù)的最值解析版

專題06利用導數(shù)研究函數(shù)的最值一、單選題1．函數(shù)在上的最小值為（）A． B．4 C． D．【解析】，所以時，，遞減，時，，遞增，所以是在上的唯一極值點，極小值也是最小值．．故選：D．2．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（）A． B．C． D．【解析】因為，，則，令得，所以，當，，單調(diào)遞增；當，，單調(diào)遞減，所以，當時，有最大值.故選：D.3．一邊長為的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個邊長為的小正方形，然后做成一個無蓋方盒.當方盒的容積最大時，（）A．2 B．3 C．4 D．6【解析】由題意可得：無蓋方盒的底面是邊長為的正方形，高為，則無蓋方盒的容積，，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故時，方盒的容積最大，故選：B..4．設函數(shù)，若有成立，則實數(shù)取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】由，得，令，得或，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，因為，，所以由有成立，可得，所以，故選：A5．若函數(shù)在上有最大值，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】由題知，，，由得，，由得或.所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，上遞減，若函數(shù)在上有最大值，則，解得.故選：A．6．已知函數(shù)，對定義域內(nèi)任意x都有，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】因為，對定義域內(nèi)任意x都有，則對恒成立，令，則，令，解得：，令，解得：，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的最小值是，故．選項A正確，選項BCD錯誤.故選:A.7．直線分別與曲線，相交于、兩點，則的最小值為（）A． B． C．2 D．【解析】令，其中，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故，易知點，，故，因此，的最小值為.故選：C.8．若關于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】由，得，又關于的不等式在上有解，所以在上有解，即，令，，則，設，，則，即在上單調(diào)遞增，則，于是有，從而得在上單調(diào)遞增，因此，，則，所以的取值范圍是.故選：D二、多選題9．已知函數(shù)，則（）A．在上單調(diào)遞增B．是的極大值點C．有三個零點D．在上最大值是【解析】因為，所以，令，解得或，與隨的變化情況如下表：200極大值極小值因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故錯誤；是的極大值點，故正確；因為，，，，由函數(shù)的單調(diào)性及零點存在性定理可知有三個零點，故正確；當?shù)亩x域為時，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，又，，所以在，上的最大值是4，故正確．故選：．10．已知函數(shù)，下列說法中正確的有（）A．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為B．函數(shù)的極大值為，極小值為C．當時，函數(shù)的最大值為，最小值為D．曲線在點處的切線方程為【解析】由可得，對于A：由即，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，故選項A正確；對于B：由即，解得：；由即，解得：或；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為，的極小值為，故選項B正確；對于C：由選項B知：在單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)的最大值為，最小值為，故選項C不正確；對于D：由導數(shù)的幾何意義可得在點處切線的斜率曲線在點處的切線方程為即，故選項D正確；故選：ABD.11．設的最大值為，則（）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，【解析】對于選項A，當時，則，，在區(qū)間上，所以在區(qū)間上遞減，所以，故選項A正確.對于選項B，當時，，則，在區(qū)間上遞增，即，故選項B正確.對于選項C，當時，當時，恒成立，所以，所以，故選項C錯誤.對于選項D，當時，，則，在區(qū)間上遞增，，故選項D錯誤.故選：AB.12．已知不等式恒成立，則實數(shù)的取值可以是（）A． B． C． D．【解析】不等式，而或，則當時，令，，時，，顯然在單調(diào)遞減，而，使得，時，時，在上遞增，在上遞減，又，從而得，最小值1不能取到，即恒成立，所以，則當時，令，，同理可得恒成立，所以，綜上：不等式恒成立的實數(shù)滿足，則選項A，B符合.故選：AB三、填空題13．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是________．【解析】，令，則，所以時，，函數(shù)單調(diào)遞增；時，，函數(shù)單調(diào)遞減；所以函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，因此14．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是____________.【解析】因為，則，令，可得；令，可得或.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，，令，即，即，解得，如下圖所示：

由題意可得，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.15．已知函數(shù)，若存在成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．【解析】由題意，函數(shù)，可得，設，可得，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，又由，所以函數(shù)在上只有一個零點，設為，即，即，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值，其中最小值為，要使得存在成立，所以，即實數(shù)a的取值范圍是.16．已知，若關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________．【解析】依題意，知，即對任意恒成立，從而，因此由原不等式，得恒成立．令，則．令，得．當時，．函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故實數(shù)的取值范圍是．四、解答題17．已知在時有極值0.（1）求常數(shù)，的值；（2）求在區(qū)間上的最值.【解析】（1），由題知：聯(lián)立（1）?（2）有(舍)或.當時在定義域上單調(diào)遞增，故舍去；所以，，經(jīng)檢驗，符合題意（2）當，時，故方程有根或由，得或由得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：，，減區(qū)間為：.函數(shù)在取得極大值，在取極小值；經(jīng)計算，，，，所以最小值為0，最大值為4.18．設函數(shù)（為常數(shù)），.曲線在點處的切線與軸平行（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；【解析】（1），，因為曲線在點處的切線與軸平行，所以，所以.（2），定義域為，令得，當變化時，和的變化如下表：1－0＋增0減由上表可知的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為.19．已知函數(shù)（1）設是的導函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，求函數(shù)在上的最小值.【解析】（1）由已知，設，，當時，在上恒成立，在上遞增，當時，令得，得，在上遞減，在上遞增，綜上所述：當時，是上的增函數(shù)，當時，在是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，（2）由（1）知，①當時，在上遞增，又，時，時，，則在上遞減，在上遞增，，當時，，由（1）知在上遞增，又，則在上遞減，在上遞增，，當時，由（1）知，在上遞減，在上遞增，且，時，時，，在上遞減，在在遞增，則，綜上所述：函數(shù)在上的最小值為.20．已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線方程為，求的解析式；（2）當時，若在區(qū)間上的最大值為，求a的值.【解析】（1）.由導數(shù)的幾何意義得.∵切點在直線上，∴，∴，∴函數(shù)的解析式為.（2）當時，.①若，∵，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，，∴，舍去；②若，為減函數(shù)，∴，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，，∴，舍去；③若，當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，當時，在區(qū)間上為減函數(shù)，，∴.綜上，.21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值(參考數(shù)據(jù)：)；（2）若不等式有解，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）求導得：，令可得，令可得，于是函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，于是當時，取最大值為，又，，于是當時，取最小值為綜上：當時，取最大值為，當時，取最小值為（2）原不等式即為：，可化簡為記，則原不等式有解可轉(zhuǎn)化為的最大值求導得：，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減于是：，于是，解得：.22．已知函數(shù).（1）當時，求過坐標原點且與函數(shù)的圖像相切的直線方程；（2）當