2023年廣東省河源市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考模擬考試(含答案)

2023年廣東省河源市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考

模擬考試(含答案)

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題(30題)

1.

.若當(dāng)/-*0時(shí)，&'+2.產(chǎn)+3犬與工是等價(jià)無窮小?則常數(shù)A=(>

A.OB.1

C.2D.3

2.

若F%)=/⑴冽胸然中,戰(zhàn)的一個(gè)是(

_=/(])

A.J

d[/(jr)djr]=f(x)

B.”

c

F'DcLr=/(J7)

■

c.

d[/(JT)CIJT]=/(JT)+C

D.」

3.

設(shè)4S為事件，且P(A)=0.6,尸(5)=0.4,尸(A5)=02則P(AB)=()

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

4.

-sin'/40.

設(shè)/(1)=v"§要使/(￡)在(一8,十8)上連續(xù)?則“=()

a/=0.

A.OB.1C.JD.3

5.

設(shè)/(i)為奇函數(shù)?則FQ)=-c~)為()

A.專函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.無法確定

6.

ro00、3

100=()

、010,

’000>’000、00)(Q00、

A.000B.100C.000D.000

、010)

J00；、000；1000;

7.

函數(shù)/(%)=—=+ln(x-l)的定義域是()

V4-x2

A.(1,2)B.(1,2]C.[-2,2]D.(l,+oo)

8.

/+2..rV0.

設(shè)函數(shù)八］)=J1..r=0.則下列結(jié)論正確的是

24-3.r..r>0?

A.lim/(.r)=1B.lim/'(x)=2

C.lim/(.r)=3D.不存在

,r?<1

9.

定積分『~一的值是

dz()

Jo1+x

A.21n-iB.In2-1C.jln2D.1ln2

J

10.

.設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)?則/(x)dr=()

J0

A.cos.r/(sinx)d.rB.sin.r/(cos.r)da,

Joo

「與?f

C.|cos.r/(cos.i)d.rD.sin.rf(sin.z)d.r

11.

,設(shè)函數(shù)y=n—1sirw.則取=()

Zax

2

A.1—[cosyB.1—^-cosx?

C2—c。”D2cosx

12.

當(dāng)XfO時(shí)，下列無窮小髭中，比X高階的無窮小量是()

2

A.sinxB,x+xC.4xD.1-COSX

0(x)=.sinZ2drr則，(x)=()

13.

A.sinx4B.2xsinx4C.cosx4D.2xcosx4

14.

若不定積分［/（?"=5+c,則/⑴=（）

A.in|x|B.-C.-XD.4

x_r'_rJ

15.

曲線中的垂宜漸近線市（）

r"-1

A.0條B.1條C.2條D.3條

對(duì)于函數(shù)y=上"-二9-，以下結(jié)論正確的是（）

x-2x-3

A.x=3是第一類間斷點(diǎn)，％=-1是第一類間斷點(diǎn)

B.x=3是第一類間斷點(diǎn)，4=-1是第二類間斷點(diǎn)

C.彳=3是第二類間斷點(diǎn)，％=-1是第一類間斷點(diǎn)

16D.x=3是第二類間斷點(diǎn)，x=-l是第二類間斷點(diǎn)

17.

離散型隨機(jī)變量X的分布律為PCX=k）=ak（k=1,2?3?1）.則。=（）

A.0.IB.0.05C.0.2IX0.25

18.

設(shè)e，=1—i,則Irru=）

A-AB.2kn

,44

C三D.2版+r

,44

19.

下列各函數(shù)是同一函數(shù)的是()

A./(%)=111，與8(%)=2111XB./卜)=%與義(%)=7?

c./(x)=p^-^g(x)=x2-lD.y(x)=|x|與g(x)=/F

20.

下列四個(gè)結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)/(x,y)在點(diǎn)(xj)可微分，則/(x,y)在該點(diǎn)一定連續(xù)

B.函數(shù)/(x,y)在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，則/(x,y)在該點(diǎn)一定可微分

C.函數(shù)/(x,?)在點(diǎn)(xj)的偏導(dǎo)數(shù)名及絲均存在，則/(x,y)在該點(diǎn)一定連續(xù)

dxdy

D.函數(shù)/(xj)在點(diǎn)(再內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)警及警均存在，則/(x,y)在該點(diǎn)一定可微分

dxdy

21.

J-+"VO.

若"要使/3)在(一a.+co)連續(xù).則a=()

a+2上,_r20.

A.0B.1

C.jD.2

22.

設(shè)在［0J］上/'(!?)>0,則r(0)./(l)和八1)一/(0)或“0)—/(D幾個(gè)數(shù)的大

小順序?yàn)?)

A./(I)>/'(0)>/(1)-/(0)B./(1)>/(1)-/(0)>/(0)

C./(1)-/(0)>/(1)>/(0)D./(I)>/(0)-/(1)>/(0)

23.

8

若級(jí)數(shù)E>.均發(fā)放,則必有)

En-l

g8

A.十九）發(fā)散B.Z(&?十九I)發(fā)散

Jf-l11-1

oooo

C.Z（a：+比）發(fā)散D.發(fā)散

3=1n=l

微分方程位=

e?r的通解為（）

dx

A.eJ>=CB.e2x--ey=C

2

C.-e2x-e^=CD.e2x+ey=C

24.2

25.

1；亍2j

6.交換I-J。力R/（xj）。0J；力,/（xj）dx的積分次序，則下列各項(xiàng)正確的

是（）

A」時(shí);力B?J；電"（“M力

c「呵;/（"）由D11囪;“%回辦

26.

在0,1.2,3,4五個(gè)數(shù)中任意取3個(gè)數(shù)，則這三個(gè)數(shù)中不含0的概率為（）

A.0.4B.0.5C.0.6D.0.8

27.

若函數(shù)/Q)=(In.r)'(1>1),則/'(1)=()

A.(ln^)r1B.(liu),+(liu)rln(lnx)

C.(ln.t),ln(hu)D./(liu)'

28.

極限liniG（J工+a—&）=1?則a的值是（）

，.8

A.1C——D.2

B-72

29.

.若，（/）連續(xù).則下.列等式正確的是（）

A.d/Q）=/（J）B.d/（j）d.r=/（①）

V-?

*n

2

C.r（x）d.r=fXx）D.d/'（J2）dj-=f\x）d^,

30.

./'（心）一o是曲線/（”）的圖形在“一”0處有拐點(diǎn)的（）

A.充分必要條件B.充分條件非必要條件

C.必要條件非充分條件D.既非必要條件也非充分條件

二、填空題（20題）

?arctan.r.

31/"I

32.

設(shè)函數(shù)/⑴、g⑴均可微，且同為臬一函數(shù)的原函數(shù)，/⑴=3/1）=1,則

/⑴一g⑴=.

33.

已知曲線y=M+N2上點(diǎn)M處的切線平行于直線y=5^—1,則點(diǎn)M的

坐標(biāo)為

級(jí)數(shù)'（二#1）的收斂區(qū)間為

34.

內(nèi)設(shè)函數(shù)/（①）=1皿，則df設(shè)）=

1

(210)3

1

36.

a

設(shè)函數(shù)z=f(u.v).u=xytv=yf其中/具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則卷二

37.為

dz

dy

38.

OO

幕級(jí)數(shù)z受產(chǎn)的收斂半徑為

39.?=i

設(shè)A，3為三階方陣.IA1=4AB=E?則|3|=

40.

Iini(1+3J■尸=

41.…

42.

若向量a={0.1U}-ft={1.0.1},c={1.1.0},則(aXb)?c=

LarctanX,

--dx=

43.九人尸

設(shè)平面區(qū)域D：f+丁(依，則二重積分JJ/Rz-M-Jclrdj，=

44.D

45.

設(shè)F(z)是/(/)的一個(gè)原函數(shù)，C為任意實(shí)數(shù)，則f(2N)dz=

心in一>0.

設(shè)/（x）=I在I=0處連續(xù)，則a

a+/?]W0

46.

1.I）0.

設(shè)/（X）=V則/L/<e'）]=

士V0,

已知e，一了y=e,則？〃(0)=

48.

才+2」

x2+41+87

49.

arctanw

50J可了

三、計(jì)算題(15題)

51.

已知函數(shù)n=/(1，?)由方程xz—yz-x+y—0所確定，求全微分dz.

計(jì)算不定積分I=[J1ln(；~r)d^.

52.

求極限lini（1H---\e~x.

l+81xI

53.

計(jì)算不定積分f

2?r十3

54.

求極限嗎（就后一外

55.

56.

1彳

設(shè)/（JT）=（2）十一,求名⑺.

求不宗積分1dr

57.」、E

力求曲線e^+y+cosx-luO在x=0處的切線方程.

58.

設(shè)^=?-?111%,求y”.

59.

求，（2工+y）ck?其中區(qū)域D由直線y=jr.y=2z,y=2用成.

60.0

61.

設(shè)函數(shù)y=y（］）是微分方程，+J—2y=0的解?且在1=0處八］）取得極值3,

求

八求二階線性常系數(shù)非齊次微分方程/-63=cosx的通解.

62.

計(jì)算JxsiYxdx.

63.

%-x2+3X3=1,

已知線性方程組卜】一2X2+4X3=2,

2xj-x+ax=fe.

64.23

（1）問為何值時(shí)，線性方程組有唯一解、無解、有無窮多解?

（2）當(dāng)方程組有無窮多解時(shí)，用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示其通解.

65.

計(jì)算二重積分『In/T+fd/dy,其中D={Cx,y>|1<4>.

四、證明題（10題）

66.

證明：若/（彳〉?#（T）在上連續(xù)?在（”?〃）內(nèi)可導(dǎo)?且/（?>—/（/八=0,乂（］）w0,

則至少存一點(diǎn)36（“,〃）?使/=o.

67.

證明：當(dāng)才〉0時(shí)鄉(xiāng):〉ln（1+才）.

/TT7

68.

設(shè)函數(shù)/（l）在［0,1］上連續(xù)，在（0.D內(nèi)可導(dǎo)，且/（I）=1,證明，在在」）內(nèi)至少存在

一點(diǎn)久使得+"'%）-2g=0成立.

證明不等式e兄〉兀二

69.

證明：當(dāng)0V上V1時(shí).（1一2）1“（1一公＞2r

70.

71.

設(shè)在［-aw］上連續(xù)（。＞0.為常數(shù)）.證明「/（i）da=「［/（］）+/（-

、一aJ0

并計(jì)算「上.

J-于1+e?

72.

證明：sini）dr=?f（sin.r）di,并計(jì)算丁‘，""，-"

Jo2Jo，Jo1+cosF

73.

設(shè)/（1）在［一。，。］上連續(xù)（。＞0，為常數(shù)），證明「/（外心=「［/（1）+/（一幻］日,

Jr0

并計(jì)算「Wd才.

J-f1+e”

74.

已知方程x"一/一13+￡=0有一正根.r-1,證明方程llx10-7x*-3r24-1=0

必有一個(gè)小于1的正根.

75.

證明不等式:比＜?。?+3其中i＞。.

五、應(yīng)用題（10題）

76.

求曲線y=Ini在區(qū)間（2.6）內(nèi)的一點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線與直線才=2口=6以及

,￥=ln.r所圍成的平面圖形面積最小.

77.

欲做一個(gè)容積為的無蓋圓柱形儲(chǔ)糧桶，底用裙制加壁用木板制,已知每平方米

錯(cuò)價(jià)是標(biāo)價(jià)的5倍，睚靴才能使費(fèi)用最少.

78.

某工廠需要圍建一個(gè)面積為64平方米的長(zhǎng)方形堆料場(chǎng).一邊可利用原來的墻壁，而現(xiàn)

有的存磚只夠砌24米長(zhǎng)的墻壁?問這些存磚是否足夠圍建此堆料場(chǎng)？

79.

求曲線段丁=/（o41）上一點(diǎn)處的切線，使該切線與直線）=0,I=1和曲線

?=/所圍成圖形的面積最小.

求乎=＞I二（2.4）處切線與v=一＞+4.r+1所用圖形面積.

80.

81.

設(shè)D是曲線y=x?以及該曲線在（1,1）處的切線利y軸所闈成的平面區(qū)域。求：（1）

平面區(qū)域D的面積S；（2）D繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積V。

82.

某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品時(shí)，口總成本為C元，其中固定成本為50元，每多生產(chǎn)一單位產(chǎn)

品，成本增加2元，該產(chǎn)品的需求函數(shù)為Q=50—5p,求。為多少時(shí)，工廠日總利潤(rùn)L

最大？最大利潤(rùn)是多少？

83.

某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品力和3,出售單價(jià)分別為10元與9元，生產(chǎn)x件產(chǎn)品4與生產(chǎn)y

件產(chǎn)品A的總成本是：C（x,?）=0.01（3/+盯+3y2）+2x+3y+400（元）.求兩種產(chǎn)

品的產(chǎn)量分別為多少時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大？

84.

某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租?當(dāng)月租金定為2000元時(shí)?公寓會(huì)全部租出去.當(dāng)月

租金每增加loo元時(shí),就會(huì)多一套公寓租不出去?而租出去的公寓每月需花費(fèi)20（）元的維修

費(fèi).試問租金定為多少可獲得最大收入？最大收入是多少？

85.

求平面5+4+二=1和柱面產(chǎn)+，=1的交線上與.Qy平面距離最短的點(diǎn).

o43

六、綜合題（2題）

O,該曲線的方程：

60.

87.

已知曲線y=a>0）與曲線y=In6在點(diǎn)（Jj>,以）處布■公切線,試求:

（1）常數(shù)。和切點(diǎn)（Z），山）；

（2）兩曲線與1軸用成的平面圖形的面積S.

參考合案

1.B

lim廉+2、廠+3-=|k+4x+9.d_

imk=1.故應(yīng)選B.

1

2.A

[md[/⑴如打⑴也依選項(xiàng)B和選項(xiàng)陰不忍肌『⑴d[二F⑴+C,

3.A

解：P(A5)=P(J+5)=1-+5)=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]=0.2

4.C

【精析】吧3nf=y-7-f=%。）=。?根據(jù)連續(xù)的定義可知a1

5.B

【精析】因?yàn)镕(-.r)=/(-j)(e-z-ez)=/(6(c，-I')=FQ),所以F(a)為

偶函數(shù)?故應(yīng)選B.

D

000'000〕000000

【評(píng)注】

0010000000

01001001.0100

000000000'000

100000100000

01000010000

6.D

7.A【評(píng)注】由題意：4-/>0及x-l>0,解得:l<x<2,所以選A.

8.B

【精析】lim/(x)=lim(i+2)=2.lim/(x)=l:m(2H-3x)=2,于是lim/Q)=

lim/(J)=2,所以=2,故應(yīng)選B.

，…

9.D

【精析】1-En(l+1)]=1—ln2.

Co

10.A

［答案］A

＞三「三

22,i

【精析】cosw/(siru)dw=/(sinj')d(sinj*)/(/)dz.

oJoo

ll.B

【精析】半=Cr-Jsim)--ycosa'，故應(yīng)選B.

da'LJ

D

【評(píng)注】lim吧=1,lim把二=1，lim1=8，所以選D.

12.DX…XXT°xnrx

【評(píng)注】因?yàn)椤?x)=sinx4,2%=2心山/,故選B.

13.oB

14.D

【精析】上⑺心7+c,兩邊求導(dǎo)得…―-

15.B

田由及+3.r+2(,r+l)(T+2)

【精析】因?yàn)閗M—1

(1+1)(/—1)

lim/Cr)=-4，lim/Cr)=8,所以只有］=1這一條垂直漸近線，故應(yīng)選B.

L-lL;r~*l

16.B

B

【評(píng)注】本題考查函數(shù)的間斷點(diǎn).當(dāng)x=3及x=-l時(shí)函數(shù)沒有定義，故x=3及

2

［曰4c上f-9..(X-3YX+3)31.x-9

x=-l是間斷點(diǎn)，又hm-^-------=lim-7---弋---r=-,lun---------=?

J3X2-2X-37(X-3)(X+1)2<->->x2-2x-3

所以選B.

17.A

【精析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)知￡成=1.即〃+2a+3a+4“=1,故

A-1

a=0.1.

［答案1B

【精析】、—Lnc"=Ln(1—i)

=In42+iArg（1—i）

=ln&+“2-7r一片?）（￡為整數(shù)）,

18.B1L

所以Imz=2kn--7-.

4

19.C

A

久）A【評(píng)注】本題考查的是二元函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)及可微的關(guān)系.

ZU.A

21.B

［答案］B

【精析】觀察可知函數(shù)/（I）在除.，=0外的各點(diǎn)處均連續(xù).根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充

要條件可得Um/（I）=lini1/'（,r）=1/（O）.HPlirn（a4-2a）=a=lini（JJ+1）=1?故

/*0/2.r*（1.r

u=i.

22.B

【精析】由拉格朗日中值定理知/（D—/（0）=/（"，其中￡6（0,1）.由于

則/U）單調(diào)增加，故/（o）＜/＜e）＜/（1）.即/（o）＜/（1）-/（o）＜/（1）.故

應(yīng)選B.

23.B

C

【評(píng)注】本題考查的是變量可分離的微分方程的通解.

■?

解：由題意畫出積分區(qū)域如圖:故選B.

O1x

L答案」A

【精析】P=W=上=d4?故應(yīng)選A.

26.A

27.B

［答案］B

【精析】/(/)=(ln.r)r=erln(,ar,.

rlndn用'=(顯尸卜―]?土

=(lnj)r1+(Ini)'ln(Inz)?

故應(yīng)選B.

28.D

【精析】lim77(，4+r—6)=lim—°"~—=+=1,故a=2.選擇D.

一+8，―-s/x+a+〃4

29.D

jd/(.r)=/Q)+C,A錯(cuò).d"(z)clr=/(i)cU.B錯(cuò).|/(,r)dr=fix)+C,C借?

D正確.

30.D

【精析】曲線的拐點(diǎn)只能是二階導(dǎo)數(shù)為零或者不存在的點(diǎn),所以r(ao)=0不是曲

線/(Z)的圖形?、?20處有拐點(diǎn)的必要條件.反之,/“(、門)=0?此時(shí)/(/)在1=10

處不一定有拐點(diǎn)，故應(yīng)選D.

31.

?arctan1」「、

~~；—7-d.z、=arctan.rdJz(arctan.r)

J1+.

—(arctan.r)2+C=《(arctaru、)？+C.

乙Z

32.2

【精析】由函數(shù)/hr),gQ)均可微,且同為某函數(shù)的原函數(shù).因此可設(shè)該函數(shù)為

"?T)?則^(.r)d.r=/(w)+C,jq(.r)d.r=*(］)+C?,

則/(a)—g(x)=4(7)cb—C1—(J^(-C2)=C2—G=C,

即/(x)與g(x)相差一個(gè)固定的常數(shù)，又因/(I)=3,g(l)=1.

則f(x)-g(a-)=/(l)-g(l)=3-1=2.C

33.

(2,4)

34.

(一4,2)

【精析】這是缺項(xiàng)的某級(jí)數(shù)如“寧廣?（告廣＜葭得4

VzV2.故收斂區(qū)間為（一4,2）.

35.

secGe^gd了

【精析】d(e場(chǎng)政)=?(3ni)'di=sec2^e13^do：.

［答案］(5)

1

【精析】(210)3=1X2+3X14-1X0=(5).

36.⑸1

37.

疼du，①du4dv

38.

arctanex+C

arctanex+C【評(píng)注】利用湊微分的方法解題?

【精析】P=lim：1yL故收斂半徑為2.

392-(?+1)?22

40.

\_

T

【精析】?則I1=1?即4IB|=1.故|

A5=EA||8E|8|=4

［答案1

【精析】linMl+3.r)==lim(1+3.r聲y

r-?h?

=1+3-rM］n芯=e

aXb=011={1.1,—1)?

(aXb)?c={14,-1}?{1,1,0}=2.

43.

8

44.

【精析】如圖所示，由被積函數(shù)及積分區(qū)域可知.該積分利用

極坐標(biāo)計(jì)算較為簡(jiǎn)便，在極坐標(biāo)系下.積分區(qū)域可表示為o&

6&2冗.0&「忘我，所以

z

|\/R'—JC2—ycLrdj?

=R3由

45.

)F(2z)+C

乙

C1C1

【精析】/(2.r)d.r=—/'(2.z)d(2.r)=—F(2.r)+C.

46.0

【精析】limf(.r)=lima'sin—=0.lim/'(.r)=lim(.r2Ia)=a,|||函數(shù)/(.?)在

.r=0處連續(xù).則a=0.

［答案］1

【精析】因?yàn)閑'>0?所以/(e)=l./［/(e*)］=/(l)=1.

【精析】由e，一處=e,令才=0得》=1,兩邊對(duì)N求導(dǎo)得七，一丁一工/=0,將(0,1)

代人得，(。)=e、進(jìn)一步對(duì)e3》'一了一xyf=0求導(dǎo)得+e?〃—3/—y—

xy'=0,將y(0)=1?j\0)=eI代入得了"(0)=e\

InQ心+47+8+C

【精析】原式=5d(T-+4z+8)

V+4.r+8+4/+8

=-^-ln(.r~+4,r+8)+C=In{.F+(_r+8+C.

［答案1-1-(arctan.r)z+C

乙

【精析】:rclan］業(yè)_arctanad(arctanz)

J1+J

【精析】令FQ”，N)=xz—yr—w+y,

則Fi=之——1?F\=——之+1,F：=1——y,

他Cz__Fj_1-z衛(wèi)___之一1

JiFz/-y'%Fzw-y

因此dz=-----dx+-----djr.

w—5x-y

52.

【精析】I=jyda+楨「）心

k

ln(1—x)d(-5)

=In|JC——ln(1—a*)—In|JCI+ln(1—x)+C

y)ln(l-x)-C.

53.

2

],2,n,1lim[xln(ll7)-x]1

【精析】limfl+-小=limezh(1+7)-e-=，令/=匕則

JrIls.r

rln(I+f)-fjHr'

Im2nm-―1'?2(iTt)_i_

=+=e?

原式=&*o+1=&T+

54.

【精析】令，則

原式=J治山=jW山=j(i—$)dr

=%/2^rF2arctan—-+C.

55.

1-----/1;

［精析］原式=|im=lim壬一零則7=］加_旺三

x-oxarcsirktl。x3k

56.

1?

因?yàn)?(/)=(了)+產(chǎn)=「所以有

fQ)=-e-rla,(1+Ini)+2e2dn,(l+Inj)

=(1+Inz)2#

57.

【精析】—th、

Jv^F+Ttt~-i

9

-Ddz=京3—2f+C

=4"(、石二下1)3—2與不i+c

J

58.

解：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，A(e^+v+cosx-l)=0＞即電=也出..

dxv7dxx戶+1

當(dāng)?shù)?/p>

x=Oj=-l,xuo=L所以切線方程為x-y=l.

59.

【評(píng)注】解：y'=e~x(-x)rsinx+e-Tcosx=e-T(cosx-sinx),

yn=-e-x(cosx-sinx)+e-x(-sinx-cosx)

=-e-x(cosx-sinx+sinx+cosx)=-2e-xcosx.

60.

【精析】由題意可知,如圖所示,積分區(qū)域。為0&y42,9&

X4丁，則

r

故通解為：y=Ge2”IGe"S=—2(；e2*1C2e.

由題意知：(0)—0.^(0)—3.

v<0).c,y)(',.3.「?

x-0I(1-1?

即n]

Vr(())=(-2(;e”?(；2)=—2(\I(\-().(2―2?

z-0

故V—e-2ri2ez.

62.

【精析】原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為產(chǎn)|r—6=0?得口=-3,七=2,所

以對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解為V-Ge->+Qe”，

3=i不是特征方程的根?故設(shè)原方程的特解為y*=Asin.r*Bcosi.則

(V*y=-Bsinx-Accs?r.(y*)“=-Asinjr—Bcosjr.

代人原方程得

—Asinj—BCOSJ-Bsinj-rACOSJ?—6(Asinz+BCOSJ)=COSH,

則八=春1=一擊，故特解為”=Qin"—梟"

原方程的通解為y=Y丁*=Gc3r+Q6"+需sinl—參os/.

63.

原式=卜12^^&=1]匕_：卜8$2xdx=^---^jxdsin2x

解:

-一[(rsin2x-Jsin2xdx)=亍-(xsin2x+；cos2x)+C.

64.

31、

-1-1-

a-5b—

a/5時(shí)，有唯一解；a=5,bxl時(shí)，無解；a=5,b=l時(shí)，有無窮多解.

"1020、

(2)當(dāng)a=5,6=1時(shí)，01-1-1

&00O/

再=-2毛,

同解方程組為:.X=k&+n（%為任意常數(shù)）.

天=蒼—1

65.

【精析】該二重積分適合選擇極坐標(biāo)系下進(jìn)行計(jì)算,Q：0<e《2n.l4「W2,

故「InMx二十/d.rdy=d°[rlnrdr

D

=jInrdr

2「2.1

=■R^r2,?Inr—r'?—dr)

=兀(41n2--i-r2J

=7t(41n2-4)

=(4ln2-yU.

66.

【證明】設(shè)F（i）=

因?yàn)榫冢踑?〃］上連續(xù).在（4?份內(nèi)可導(dǎo).

所以F（以在0,口上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo).

乂/（a）=f（b）=0?則F（a）=F（b）=0.

則由羅爾定理知,在（〃?〃）內(nèi)至少存在一點(diǎn)豈

使F'（E）=0?即“9?2/（f）*（W）=o?

又因?yàn)閄⑺W0.所以g（?）半0.兩邊同除以以9.

得/“%）?%）+2/（f/（W）=0.

67.

【證明】原不等式即為^^—ln(l+i)〉0,令八］)=—=一1(1+外,則

/iTF4T7

/T+7----------------------------

zx2"1+1_1_T+2-2/I+-

1I=1+^—干=2(1+I)"7

(/FF7-1產(chǎn)

>0(T>0),

2(1+jj，1+z

故/（］）在［0,+8）上單調(diào)增加，則/（T）>/（0）=0（T>0）,

即當(dāng)1>0時(shí)——ln（l+l）>C成立，故原不等式成立.

68.

【證明】設(shè)FO）=xf（x）—x2,

因?yàn)?（彳）在10,口上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導(dǎo),

所以F（x）在［0,1］上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，

乂/（1）=1,

F（0）=0?/（0）-02=0,F（l）=1?/（I）-I2=0,

即F（o）=F⑴,

故由羅爾定理知在（0,1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)S使F'（f）=0,

即/（￡）十&,（￡）—2￡=0成立.

69.

【證明】?jī)蛇吶?duì)數(shù)，并將冗換為得輔助函數(shù).

設(shè)/(1)=elm—JT)=——1.

當(dāng);r>e時(shí)<0.則f(x)在[e,+8)時(shí)單調(diào)減小,

J'(JC)</(e)=0,取1=兀>e,/(7T)V0.

即T<e\

70.

【證明】令/(a=(12)ln(l2x./(x)=In(lx)1

/(Jr)=-^+7-當(dāng)0VzV1時(shí)?/'G)>O?

所以f'Cr)在0<才V1內(nèi)單調(diào)遞增?又/(O)=0.所以>0.

故/(才)單調(diào)遞增,又因?yàn)?(0)=。?所以當(dāng)0V/V1時(shí)?/(1)>0.

即當(dāng)OVzVl時(shí)，(12)ln(l6>2].

71.

【證明】因/(x)=春[/(/)+/(—1)1+4[/(/)一/(一/力?

而是奇函數(shù).JU（H）+/（—1門是偶函數(shù).

)[/(N?)一/(—x)]dx=0,

乙

所以jf(.r)ckr=24r[/(7)+/(—=|[/(/)+/(—/)]d.r；

J-uJoZJo

(X，

4COSNTpcos>r.cos(—^)-Tpccos.rcos>r-

01+c~+1+Cz

-f]+「01+c，1+?

7cosTdr=sin①

0：=4

72.

【證明】令冗一，?d,r=—d/.當(dāng),r=0時(shí)t=7：.當(dāng)父=木時(shí)t=0.

1ro

、r/(sini)d、r=(穴—f)/[sin(?！?)](—dr)

031c

一](7t—z)f(sinr)dr

(K-/)/(sin/)dr

o

=K/(sin/)d/—r/(sin/)df.

Jo'Jo'

又定積分與積分變量無關(guān)，即「又定inZ)dr=.r/(sin.r)d.r.

J00

整理得.r/(sin.r)d.r=-y|/(sinr)di.

o4Jo

jsin.ri7Tsnrr」

iJoi^?7d'r

f￡rr京do

=--^arctan(cos.r)

乙4

73.

【證明】因"工)=1E/(X)+/(-]+1L/(X)-/(-

乙u

而:［/（N）—/（一/）］是奇函數(shù),4［/（工）+/（一二）［是偶函數(shù),

乙乙

故（J［/（N）—/（—N）］（lr=0,

所以1f(x)clJ'="1

h[/(i)+/(—i)]clr=[/(])卜/(—a)]di;

?0乙0

ICOS(-x)寸re7COSJ,.

cosw?I「COS。'COSN'-|d.jr

TTP-1+e"J

-f1+?二0l+e-