2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)藝體生高頻考點(diǎn)專用復(fù)習(xí)講義專題24 空間幾何體的表面積與體積【藝體生專供-選擇填空搶分專題】202

【藝體生專供一選擇填空搶分專題】備戰(zhàn)2023年高考高頻考點(diǎn)題型精講+精練（新高考通用）

專題24空間幾何體的表面積和體積

一、考向解讀

考向：通過考查幾何體體積和表面積的計(jì)算，主要考查棱柱、棱錐或不規(guī)則幾何體的特

征及體積與表面積的計(jì)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)

考點(diǎn)：空間幾何體的表面積和體積

導(dǎo)師建議：難點(diǎn)是組合體的表面積，需要對(duì)基本的立體圖形非常熟悉！

二、知識(shí)點(diǎn)匯總

1.棱柱：兩個(gè)面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，

由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.

（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；

（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；

（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；

（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；

（5）直平行/'、面體：側(cè)棱垂直于底面的平行/'、面體；

（6）長(zhǎng)方體：底面是矩形的直平行六面體；

（7）正方體：棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體.

2?棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體

叫做棱錐.

（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心；

（2）正四面體：所有棱長(zhǎng)都相等的三棱錐.

3,棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)，由正棱錐

截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái).

4,圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱.

5.圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾

何體叫做圓錐.

6.圓臺(tái)：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái).

7,球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱為球.

表面積公式

5汽板”=兇+2s欣A7]

柱

S斜加=c7+2slit(c'為直截面周長(zhǎng))

體

S=24/+2乃/7=2^r(r+Z)2"

ntt目匕

\-wi：=g〃H?’+S底

錐

體5=冗戶+7vrl=7ir[r+/)

表iiw通

面

品嶼=：〃（。+"）%+匕+卜

積臺(tái)55

體=水，'+「'+r'l+r/）您3

球S=47TR，

體積公式

4

柱體匕=Sh

體

錐體V,=-Sh

w

積3

匕病7〃

臺(tái)體=g(S++S4F\

目錄一覽

①柱、錐、臺(tái)的表面積

②柱、錐、臺(tái)的體積

③球的表面積和體積

④組合體的表面積和體積

⑤多選題與填空題

高考題精選

題型精練，鞏固基礎(chǔ)

①柱、錐、臺(tái)的表面積

一、單選題

1.在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”，已知某“塹堵”的底面是斜邊長(zhǎng)為2的

等腰直角三角形，而為2,則該“塹堵”的表面積為（〉

A.2&+2B.2叵+3C.4夜+4D.4及+6

【答案】D

【分析】利用柱體的表面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可知，該“塹堵”的表面積為S表=（2a+2）x2+2xgx后x上=4&+6.

故選：D.

2.若六棱柱的底面是邊長(zhǎng)為3的正六邊形，側(cè)面為矩形，側(cè)棱長(zhǎng)為4,則其側(cè)面積等于（）

A.12B.48C.64D.72

【答案】D

【分析】由六棱柱的底面是邊長(zhǎng)為3的正六邊形，求出底面周長(zhǎng)，再由側(cè)棱長(zhǎng)，即棱柱的高為4,代入棱柱

側(cè)面積公式，可得答案.

【詳解】解：六棱柱的底面是邊長(zhǎng)為3的正六邊形,

故底面周長(zhǎng)C=6X3=18,

又側(cè)面是矩形，側(cè)棱長(zhǎng)為4,

故棱柱的高人=4,

???棱柱的側(cè)面積s=a=72,

故選：D

3.某藥廠制造一種藥物膠囊，如圖所示，膠囊的兩端為半球形，半徑,?=忘，中間可視為圓柱，若該種膠

囊的表面積為16乃，則該種膠囊的體積為（）

C.座萬(wàn)、16

D.—n

33

【分析】設(shè)圓柱高為/，左、右兩端半球形半徑為L(zhǎng)其表面積為S,膠囊的體積為丫（「），由圓柱側(cè)面積和

球的表面積公式列出等式，用Sj表示出/,然后由圓柱與球體積公式求得V"）并代入已知可得.

【詳解】設(shè)圓柱高為/,左、右兩端半球形半徑為L(zhǎng)其表面積為S,膠囊的體積為V,依題意,

?f、4321Sr2

4"+2^/7=S=>I=-----,--故=+江廣/=————7rPt將S=16肛r=■代入可得

Inr323

故選：A

4.唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖甲所示，其浮雕臨摹了國(guó)畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝.

它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如圖乙所示.

已知半球的半徑為酒杯內(nèi)壁表面積為6兀則圓柱的高和球的半徑之比為（）

甲乙

A.2:3B.2:1C.3:1D.3:2

【答案】B

【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用圓柱和球的表面積公式求出圓柱的高與球的半徑關(guān)系，即可求解.

【詳解】設(shè)圓柱的高為3因?yàn)楹雎员诤穸龋跃票瓋?nèi)壁表面積為半球的表面積與圓柱的側(cè)面積之和,

即;乂4九&+2兀/??力=6兀叱，解得力=2R,所以圓柱的高和球的半徑的比為2:1.

故選：B

5.棱長(zhǎng)都是1的三棱錐的表面積為（）

A.8B.2+C.3>/3D.4x/3

【答案】A

【分析】棱長(zhǎng)都是1的三棱錐，四個(gè)面是全等的正三角形，求出一個(gè)面積即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)樗膫€(gè)面是全等的正三角形，

s底而積=5xixix《一:7'

則表面積S=4x^=6

4

故選：A.

6.已知正四楂錐P-A8co的底面正方形的中心為。，若高尸0"NPAO=45。，則該四棱錐的表面積

是（）

A.4十20B.4+4>/2C.4+28D.4+4力

【答案】D

【分析】先在正四棱錐中由高P0=&,/E4O=45。，求出底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱的長(zhǎng)，然后再求表面積.

【詳解】依題意，正四棱錐的高P。人底面ABC。，且NE4O=45。，知.小。為等腰直角三角形，則側(cè)棱

P0

PA=2,且AO=PO=&，

sinZPAOsin45°

則底面正方形A8CO的對(duì)角線AC=2A0=272=0AB，得正方形的邊長(zhǎng)A8=2,

從而知正四棱錐的4個(gè)側(cè)面均是邊長(zhǎng)為2的正三角形;

所以底面積為：|陰2=4；側(cè)面積為：4SMB=4xlx2x2xsin60°=4V3

故正四棱錐的表面積為：4+46.故選：D

7.已知某圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，該圓錐的體積為9班冗，則該圓錐的表面積為（）

A.27nB.206nC.18血兀D.167r

【答案】A

【分析】根據(jù)條件先算出母線長(zhǎng)與底面半徑的關(guān)系，再根據(jù)體積計(jì)算出底面半徑即可.

【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為r,母線長(zhǎng)為1,則2“=兀/,所以/=2/，所以圓錐的高為爐下=百?gòu)S，

所以［X］，?6廠=9\/54，解得r=3,故其表面積5'=4/+乃”=9乃+184=27萬(wàn)；故選：A.

8.如圖是某燈具廠生產(chǎn)的一批不倒翁型臺(tái)燈外形，它由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組合而成，圓錐口勺高是0.4m,

底面直徑和球的直徑都是0.6m,現(xiàn)對(duì)這個(gè)臺(tái)燈表面涂膠，如果每平方米需要涂200克，則共需涂膠（）

克（精確到個(gè)位數(shù)）

A.176B.207C.239D.270

【答案】B

【分析】求出圓錐的母線長(zhǎng)，再由臺(tái)燈是由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組成可求得臺(tái)燈表面積5=口/+2仃2的值,

進(jìn)而求得涂膠的克數(shù).

【詳解】由已知得圓錐的母線長(zhǎng)/=J0.32+0.42=0.5,

2

所以臺(tái)燈表面積為S=nrl+27rr=7rx()3x()5+21rx0.3=033TT.

需要涂膠的重量為0.33兀x200=66?！?6x3.14=207.24^207（克）,

故選：B.

9.若某正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為3,9,側(cè)棱長(zhǎng)是6,則它的表面積為（）

A.90+72^B.90+27V3C.90+720D.90+27石

【答案】A

【分析】利用正棱臺(tái)的側(cè)面是等腰梯形，根據(jù)已知條件計(jì)算斜高，然后根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算側(cè)面積,

進(jìn)而求得表面積.

【詳解】由題意可得，上底面的面積為9,下底面的面積為81,

側(cè)面的高為-3,=3#，

所以該正四棱臺(tái)的表面積為9+81+4、包歸趙=90+726.

2

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正棱臺(tái)的表面積，關(guān)鍵在于利用正棱臺(tái)側(cè)面是等腰梯形，根據(jù)已知條件，利用等

腰梯形的性質(zhì)計(jì)算斜高，屬于基礎(chǔ)題.

10.正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為1cm,3cm,側(cè)棱長(zhǎng)為2cm,則棱臺(tái)的側(cè)面積為（）

A.4cm:B.8cm2

C.45/3cm2D.8\/3cm:

【答案】D

【分析】利用已知條件求出斜高，然后求解棱臺(tái)的側(cè)面積即可.

【詳解】正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為1cm,3cm,側(cè)棱長(zhǎng)為2cm,

所以棱臺(tái)的斜高為：52一（號(hào)2=6.

所以棱臺(tái)的側(cè)面積是：4XTX6=86.

故選：D.

11.已知圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為R,r,若R=2r=2,高/?=G，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（）

A.9兀B.11乃C.6萬(wàn)D.34

【答案】C

【分析】構(gòu)造三角形求出母線長(zhǎng)，再代入％臺(tái)0產(chǎn)開（4+4）/可得結(jié)果.

【詳解】如圖所示，過A作AC垂直于QB于點(diǎn)C,則8c=1,AC=6

4、------?（）,

二在直角AACB中，//明二/+小尸=2???5園自例=4（氏+力/=乃乂（2+1“2=6萬(wàn)

故選：C.

12.已知圓臺(tái)下底面半徑是上底面半徑的2倍，若從該圓臺(tái)中挖掉一個(gè)圓錐，圓錐的底面是圓臺(tái)的上底面,

圓錐的頂點(diǎn)是圓臺(tái)下底面的圓心，則圓錐的側(cè)面積是圓臺(tái)側(cè)面積的（）

A.!B.—C.-D.—

2346

【答案】B

【詳解】設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為r,則圓臺(tái)下底面半徑為2r,圓錐的底面半徑為r,

設(shè)圓臺(tái)的高為h,則圓錐的的高為h

則圓臺(tái)母線長(zhǎng)為巧花二"=廬"，圓錐的母線長(zhǎng)為〃

則圓錐的側(cè)面積為九/〃2+產(chǎn)

圓臺(tái)側(cè)面積為冗（廠+2廠）\/"+/=3兀八/胃+產(chǎn),則圓錐的側(cè)面積是圓臺(tái)側(cè)面積的g

故選：B

②柱、錐、臺(tái)的體積

13.《九章算術(shù)?商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解鉆堵，其一為陽(yáng)馬，一為整嚅,不易力率也.”我

們可以翻譯為：取一長(zhǎng)方體，分成兩個(gè)一模一樣的直三棱柱，稱為塹堵.再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開,

得一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐，這個(gè)四棱錐稱為陽(yáng)馬，這個(gè)三棱錐稱為鱉㈱.現(xiàn)已知某個(gè)鱉膈的體積是I,則

原長(zhǎng)方體的體積是（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)柱體和錐體體積公式求得正確答案.

【詳解】如圖所示，原長(zhǎng)方體ABC。-A4GA,

設(shè)矩形3CG4的面積為S,CR=h,

鱉腐A-BCC的體積為1,

即4x（弓Sx/?=1,所以S〃=6,

）IZz

即原長(zhǎng)方體的體積是6.

14.陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)

圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示,其中&C分別是上、下底面圓的圓心，且AC=3A3=6,底面圓的半

徑為2,則該陀螺的體積是（）

c567r

C.20萬(wàn)D.——

3

【答案】D

【分析】根據(jù)圓錐與圓柱的體積公式.可得答案.

【詳解】已知底面圓的半徑/*=2,由AC=3A6=6,則A6=2,8C=4,

故該陀螺的體積V=8。++?也儲(chǔ)=乎;r.

33

故選：D.

15.已知正三棱柱ABC-A8C的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為石，則三棱錐A-BQC的體積為（）

A.；B.更C.1D.6

22

【答案】C

【分析】根據(jù)三棱錐的體積與三棱柱體積的關(guān)系求解.

【詳解】正三棱柱ABC-的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為G，

棱柱的底面面積為：$2x亞丁=6.

棱柱的體積為：S〃=Gx百=3.

由三棱錐的體積的推導(dǎo)過程可知：

三棱錐A-q8C的體積為：=1x3=1.

故選：C.

16.已知正四棱錐的高為3,底面邊長(zhǎng)為友,則該棱錐的體枳為（）

A.6B.3五C.2D.72

【答案】C

【分析】直接利用棱錐的體積公式計(jì)算即可.

【詳解】根據(jù)棱錐的體積公式得該棱錐的體積為:x正x&x3=2

故選：C.

17.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個(gè)半徑為1的半圓，則該圓錐的體積為（）

A.儲(chǔ)B.立冗C.儲(chǔ)D.立江

241262

【答案】A

【分析】根據(jù)圓錐底面圓周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)，求得底面圓半徑，根據(jù)勾股定理求出圓錐的高，結(jié)

合圓錐體積公式計(jì)算即可求解.

【詳解】母線長(zhǎng)為1,設(shè)底面圓半徑為，，

則271T=兀,.,?「=；,/.h=_（；）?=W,

故圓錐的體積為丫=：a=/（327r.乎=粵，

故選：A.

18.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其形狀可視為一個(gè)底面周長(zhǎng)恰為高的27t倍的E四棱錐，現(xiàn)

將一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體銅塊，熔化鑄造一些高為4的胡夫金字塔模型，則該銅塊最多能鑄造出（）個(gè)該

金字塔模型（不計(jì)損耗）？

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【詳解】在正四棱錐P-ABC力中，令4c「8。=。，連接P。，則正四棱錐P-的高為|尸。=4

設(shè)正四棱錐P-A8C。的底面邊長(zhǎng)為a,貝IJ4。=2兀怛0|=8兀，即a=2兀

???正四棱錐P-ABCD的體積為匕“8=3（2?！簒4=殍

則可得Ax峋匚K61則心2。4.1

32五“

該銅塊最多能鑄造出4個(gè)該金字塔模型

故選：B.

19.圓臺(tái)上、下底面半徑分別是12,高為G，這個(gè)圓臺(tái)的體積是（）

A.逋兀B.2扇C.[&tD.巫式

33

【答案】A

【分析】運(yùn)用圓臺(tái)體積公式直接計(jì)算.

【詳解】由圓臺(tái)體積公式知：V=\/z（/?2+r2+/?r）=^x>/3x（P+22+lx2）=^n;

故選：A.

20.圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5,則該圓臺(tái)的

體積為（）

A.6171B.627tC.63冗D.64兀

【答案】A

【分析】先求得圓臺(tái)的高，然后根據(jù)圓臺(tái)的體積公式求得正確答案.

【詳解】求得直徑為10,半徑為5,

圓臺(tái)的下底面半徑為5,所以圓臺(tái)的高為廬不=3，

所以圓臺(tái)的體積為1X(42+4X5+52)X3=6E.

故選：A

21.某款廚房用具中的香料收納罐的實(shí)物圖如圖1所示，該幾何體為上、下底面周長(zhǎng)分別為32cm,24cm的

正四棱臺(tái)，若棱臺(tái)的高為3cm,忽略收納罐的厚度，則該香料收納罐的容積為()

C.148cm1D.298cm1

【答案】C

【分析】利用臺(tái)體的體積公式直接計(jì)算即可.

【詳解】由題意可知，該四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為8cm,6cm,

故該香料收納罐的容積為：x3x(82+62+8x6)=148cm'.故選：C.

22.如圖，是某種型號(hào)的家用燃?xì)馄?，其盛氣部分近似可以看作由一個(gè)半球和一個(gè)圓柱體組成，設(shè)球的半

徑為R,圓柱體的高為力，若要保持圓柱體的容積為定值V=3兀立方米，則為使制造這種燃?xì)馄克貌牧献?/p>

R

省(溫馨提示：即由半球和圓柱體組成的幾何體表面積最小)，此時(shí)廠()

A.—B.JC.-D.-

2234

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，先求出表面積的表達(dá)式，利用V=3兀為定值求出萬(wàn)與R的關(guān)系，再利用基本不等式求解

即可.

【詳解】依題意.

nR-h=3兀，R%=3,所以S=2冗片+nR2+2nRh=n(3R2+2Rh)

當(dāng)時(shí)取等,所以,1斤3,故沁

23.圓柱的高等于球的直徑，圓柱的側(cè)面積等于球的表面積，設(shè)球的體積為匕則圓柱的體積為（）

3314

A.-VB.-VC.-VD.-V

2423

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合球與圓柱的體積和表面積公式計(jì)算即可求解.

【詳解】由題意知，設(shè)球的半徑為R,圓柱底面圓的半徑為r,

~4

對(duì)于球，表面積S球"4萬(wàn)/^匕長(zhǎng)二鼻切?、

對(duì)于圓柱，側(cè)面積鼠柱=2W2R=4仃R,%柱=乃，,2R=2M2R,

因?yàn)閳A柱的側(cè)面積等于球的表面積，所以4乃此=4仃R,

得,=k，則%拄=2切?3,

3333

又農(nóng)配=2%，所以%柱=2qL=］唳=］憶

故選：A.

③球的表面積和體積

24.在正四楂臺(tái)ABC。-A4GA中，AB=2AA］=2AlBt=2y/2,且各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球體的表

面積為（）

A.207rB.5后itC.10nD.5兀

【答案】A

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由圖構(gòu)造直角三角形，即可求得心，由求得表面積公式求得球體的表面積.

【詳解】如圖所示的正四棱臺(tái)A8CQ-A4GA,A8=2M=2A4=2&,取上下兩個(gè)底面的中心”,N,

連接MN,AM,AN,過點(diǎn)A作底面的垂線與4N相交于點(diǎn)巴

因?yàn)樗睦馀_(tái)A8C。-AMGA為正四棱臺(tái)，所以外接球的球心一定在上，在MN上取一點(diǎn)。為球心，連

接0AoA,則04==A,設(shè)ON=h,

因?yàn)锳8=2A4,=2A4=2JL所以4N=2，AM=1,

MN==^AA^-AE2=^AA；-(AN-EN^=^AA.2-(AN-A.M)2=1,

在HOW中，OA1=AN2+ON2,BP/?2=22+/r,

在放/XOAM中，0A2=。知2+4知2,gp7?2=(l-/2)2+l2,

解得W=5,所以S球=4冗&2=2的，

故選：A.

25.某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個(gè)球被

一個(gè)棱長(zhǎng)為46的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個(gè)截面圓的

周長(zhǎng)為4兀，則該球的體積是（）

【答案】A

【分析】求出球心到截面圓所在平面的距離以及截面圓的半徑，利用勾股定理可求得球的半徑，再利用球

的體積公式即可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可得，球心到截面圓所在的平面的距離1=拽=26,

2

設(shè)截面圓的半徑為「，球的半徑為R,則2"=4兀，解得r=2,

所以R=d戶+d2=4,

所以該球的體積為^兀2=￥，

故選：A

26.用與球心距離為行的平面去截球，截面面積為兀，則球的體積為（）

A.學(xué)B.與C.8缶D.9

J13

【答案】A

【分析】根據(jù)截面面積求得截面半徑r,進(jìn)而求得球的半徑R,再利用球的體積公式求解即可.

【詳解】設(shè)截面半徑r,球的半徑R,截面與球心距離為1二百，

由題意得，截面面積$=冗產(chǎn)=兀，解得尸=1,

因?yàn)??2=，+/=1+3=4,所以R=2,

AQO

所以球的體積V=m兀八=羊兀.故選：A.

27.已知圓錐的底面半徑為2,高為4及，則該圓錐內(nèi)切球的體積為（）

A.8兀B.16兀C.—D.成￡

33

【答案】D

【分析】根據(jù)圓錐與內(nèi)切球的軸截面圖，列出等量關(guān)系，即可求解.

【詳解】如圖，圓錐與內(nèi)切球的軸截面圖，點(diǎn)。為球心，內(nèi)切球的半徑為「，DE為切點(diǎn)，設(shè)。。=?！?>

即BE=BD=2,

由條件可知，A8=44甸F?=6,

在中，AO2=AD2+DO2?即（4&_/j=（6-2『+產(chǎn)，解得：

所以圓錐內(nèi)切球的體積丫=電匚=蟲況.

33

④多面體的表面積和體積

28.如圖，“蘑菇”形狀的幾何體是由半個(gè)球體和一個(gè)圓柱體組成，球的半徑為2,圓柱的底面半徑為1,高

為3,則該幾何體的表面積為（）

A.267rB.2（）萬(wàn)C.19乃D.187r

【答案】D

【分析】由題意可知該幾何體的體積是由半球的表面積加上圓柱的側(cè)面積，再加上圓的面積即可.

【詳解】解：由題意得，球的半徑R=2,圓柱的底面半徑r=1,高〃=3,

則該幾何體的表面積為S=2TTR2+R2+2jrrh=8萬(wàn)+4%+2乃*1*3=18乃.

故選：D.

29.金剛石的成分為純碳，是自然界中天然存在的最堅(jiān)硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個(gè)等邊三角形組成的如圖

所示的正八面體.若某金剛石的校長(zhǎng)為2,則它的表面積為（）

A.8B.8aC.8&D.16x/3

【答案】C

【分析】求出一個(gè)等邊三角形的面積求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等邊三角形的高為M所以/2=疹了=百，

所以每個(gè)邊長(zhǎng)為2等邊三角形的面積為：1x2x73=73,

所以正八面體的表面積為：8G.

故答案為；C.

30.如圖，在多面體ABCDE/中：已知A8C。是邊長(zhǎng)為1的正方形，且.4OE,以才均為正三角形,

EFHAB、EF=2,則該多面體的表面積為（）

A.1+2出B.2GC.1+獨(dú)D.1+V3

3

【答案】A

【分析】先證明EF//C。，結(jié)合梯形面積公式求得正確答案.

【詳解】由于E尸〃A&AB//CD,所以EF//CD.

依題意，ADE*BCF均為正三角形，

所以四邊形⑷S莊和四邊形CD正是等腰梯形，

兩個(gè)等腰梯形的高為卜_（?]=與.

所以多面體的表面積為：/+@xi2x2+li2x且X2=1+2X/L

422

故選；A

31.何尊是我國(guó)西周早期的青銅禮器，其造形渾厚，工藝精美，尊內(nèi)底鑄銘文中的“宅茲中國(guó)''為“中國(guó)”一詞

的最早文字記載.何尊的形狀可以近似地看作是圓臺(tái)與圓柱的組合體，高約為40cm,上口直徑約為28cm,

下端圓柱的直徑約為18cm.經(jīng)測(cè)量知圓柱的高約為24cm,則估計(jì)該何尊可以裝酒（不計(jì)何尊的厚度，

403兀^1266,194471^6107)()

A.12750cm3B.12800cm3

C.12850cm3D.12900cm3

【答案】C

【分析】根據(jù)圓柱和圓臺(tái)的體積公式計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】下端圓柱的體積為：24兀=1944兀k6107cm3,

上端圓臺(tái)的體積為：1xl6n(142+14x9+92)=^yx403?yxl266=6752cm\

所以該何尊的體積估計(jì)為6107+6752=12859cm3.

因?yàn)?2850最接近12859,

所以估計(jì)該何尊可以裝酒12850cn?.

故選：C

32.如圖，該幾何體是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，若正方體的棱長(zhǎng)為I,則該幾何體的體積為

()

【答案】D

【分析】由已知求得正方體的體積，減去八個(gè)正三棱錐的體積得答案.

【詳解】由題意可知，截去的八個(gè)四面體是全等的正三棱錐，^M8xlxlxlxlxl=l；

3Z222O

正方體的體積為1x1x1=1；

則所求體積是

66

故選：D.

33.西施壺是紫砂壺器眾多款式中最經(jīng)典的壺型之一，是一款非常實(shí)用的泡茶工具（如圖I）.西施能的壺

身可近似看成一個(gè)球體截去上下兩個(gè)相同的球缺的幾何體.球缺的體積丫=63'16、（R為球缺所在球

的半徑，/?為球缺的高）.若一個(gè)西施壺的壺身高為8cm,壺口直徑為6cm（如圖2）,則該壺壺身的容積

A.494mlB.506mlC.509mlD.516ml

【答案】A

【分析】依題意作出幾何體的軸截面圖，即可求出對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)，進(jìn)而求出球的半徑和球缺的高，再根據(jù)

球的體積公式和球缺的體積求解即可.

【詳解】如圖作出幾何體的軸截面如下面所示，

依題意，A8=6cm,。為球心，。為壺口所在圓的圓心，所以人力二村二女!!!，

因?yàn)椤！?8cm,所以8=。￡=4,且ODJ.AB,013=yf^+41=5>

所以球的半徑R=5cm,所以球缺的高/z=5-l=4cm,

所以球缺的體積if2=兀（3x57）-=如，

333

所以該壺壺身的容積約為：V=^7r-53-2x-^=手x494ml.

故選：A.

34.盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商準(zhǔn)備將棱長(zhǎng)為8cm的正四面體的魔方放入正方體盲

盒內(nèi)，為節(jié)約成本，使得魔方能夠放入盲盒且盲盒棱長(zhǎng)最小時(shí)，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為（）

A64叵鼻口128夜③「256夜3512a

A.-------cmB.---------cmC.---------cmDn.---------cm3

3333

【答案】C

【分析】棱長(zhǎng)為8的正四面體放入正方體.使正方體面對(duì)角線長(zhǎng)等于正四面體棱長(zhǎng)，然后求出體積作答.

【詳解】依題意，要使棱長(zhǎng)為8cm的正四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，且盲盒棱長(zhǎng)最小,

則當(dāng)且僅當(dāng)正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)等于正四面體的棱長(zhǎng)，即它們有相同的外接球，

如圖，正四面體ABC。的棱長(zhǎng)為8cm,該正四面體的所有棱均為正方體對(duì)應(yīng)的面對(duì)角線，

所以該正方體棱長(zhǎng)為4技m，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為43*后4區(qū)4③苧明）.

故選：C

⑤多選題和填空題

二、多選題

35.圓柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)4cm,寬2cm的矩形，則這個(gè)圓柱的體積可能是（）

8

A.87tcm3B.—cm3

兀

Cc.—16cm3Dn.4-cm3

兀兀

【答案】BD

【分析】由已知中圓柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)4cm,寬2cm的矩形，我們可以分圓柱的底面周長(zhǎng)為4cm,高為

2cm的和圓柱的底面周長(zhǎng)為2cm,高為4cm,兩種情況分別由體積公式即可求解.

【詳解】?,?側(cè)面展開圖是長(zhǎng)4cm,寬2cm的矩形，

若圓柱的底面周長(zhǎng)為4cm,則底面半徑R=-cm,h=2cm,

兀

Q

此時(shí)圓柱的體積v=成，=-cm5

7T

若圓柱的底面周長(zhǎng)為2cm,則底面半徑R='cm,/?=4cm,

7C

此時(shí)圓柱的體積V=成4=-cm1

n

故選：BD

36.如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2A相等，下列結(jié)論正確的是（）

A.圓柱的側(cè)面積為4兀/?2B.圓錐的側(cè)面積為石兀W

C.圓柱的側(cè)面積與球面面積相等D.三個(gè)幾何體的表面積中，球的表面積最小

【答案】ABC

【分析】根據(jù)球、圓錐、圓柱的表面積公式一一計(jì)算可得；

【詳解】解：依題意球的表面積為4兀六，

圓柱的側(cè)面積為27txRx2R=47rR：,所以AC選項(xiàng)正確.

圓錐的側(cè)面積為TTXRX西+（2肝=&R-所以B選項(xiàng)正確.

圓錐的表面積為兀&+石油2=（1+石）兀2<4斌2,

圓柱的表面積為4幾/?2+2兀配=6油2,所以D選項(xiàng)不正確.

故選：ABC

37.正三棱錐底面邊長(zhǎng)為3,側(cè)棱長(zhǎng)為2石，則下列敘述正確的是（）

B,正三棱錐的斜高為叵

A.正三棱錐高為3

2

C.正三楂錐的體積為出D.正三楂錐的側(cè)面積為觀

44

【答案】ABD

【分析】先求出正三棱錐的高和斜高，從而可判斷AB的正誤，再計(jì)算出體積和側(cè)面積，從而可判斷CD

的正誤.

【詳解】

設(shè)七為等邊三角形ADC的中心，”為CD的中點(diǎn)，連接PEE/

則PE為正三棱錐的高，。尸為斜高，

又PF=^|=與'￡F=|xy=4,故叫杼一?=3,

故AB正確.

而正三棱錐的體積為』x3x正x9=%巨，側(cè)面積為3xLx3xY亙=%叵，

344224

故C錯(cuò)誤，D正確.

故選：ABD.

38.有一個(gè)三棱錐，其中一個(gè)面為邊長(zhǎng)為2的正三角形，有兩個(gè)面為等腰直用三角形，則該幾何體的體積

可能是()

A.皂B.立C,也DM

3333

【答案】BCD

【分析】分三種情況討論，作出圖形，確定三棱錐中每條棱的長(zhǎng)度，即可求出其體積.

【詳解】如圖所示：

①若平面8C。，△3C。為邊長(zhǎng)為2的正三角形，A8=2,AABD,a3c都是等腰直角三角形，滿

足題目條件，故其體積V=-x2x-x2x2xsin60°=:

323

②若平面8。，AC。為邊長(zhǎng)為2的正三角形，=一A8C都是等腰直角三角形，滿

足題目條件，故其體積l/=』x夜x'x正乂夜=走；

323

③若△BCD為邊長(zhǎng)為2的正三角形，AABD,工8c都是等腰直角三角形，AB=BC=CD=AI)=2t

AC=2近，滿足題目條件，取4C中點(diǎn)E,因?yàn)樘?AC,WBE2+DE2=RD2，所以占即有BE1.

平面AC￡),故其體積為V=1x&x』x2x2=

323

故選：BCD

39.“塹堵，，，，陽(yáng)凸，，和，，鱉晡，，是我國(guó)古代對(duì)一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術(shù)?商功》有如下敘述：“斜解立

力，得兩蟹堵，斜解望堵.其i為陽(yáng)馬，其i為鱉膝怠思是說：將一個(gè)長(zhǎng)方體沿對(duì)角面斜截（圖I）,

得到一模一樣的兩個(gè)塹堵（圖2）,再沿一個(gè)塹堵的一個(gè)頂點(diǎn)和相對(duì)的棱斜截（圖2）,得一個(gè)四棱錐稱為

陽(yáng)馬（圖3）,一個(gè)三棱錐稱為鱉脯（圖4）.

圖1圖2圖3圖4

若長(zhǎng)方體的體枳為匕由該長(zhǎng)方體斜截所得到的塹堵?、陽(yáng)馬和鱉嚅的體積分別為KMM，則下列選項(xiàng)不氐

聊的是（）

V

A.匕+匕+乂=丫B.匕=2%C.匕=2乂D.匕二一

6

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意確定塹堵、陽(yáng)馬和鱉膈的體積與長(zhǎng)方體的體積丫的數(shù)量關(guān)系，即可得答案.

yV1V

【詳解】解：由題意，塹堵的體積M==，陽(yáng)馬的體積匕鱉胎的體積匕=：匕=：,

2336

所以乂+匕+匕=丫，2匕=3匕，6V3=3V2=V,即匕=2匕，

V

所以K-K=K="，

6

所以，ACD選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ACD

40.已知圓錐的表面枳等于12nm,其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則以下結(jié)論正確的是（）

A.圓錐底面圓的半徑為2cm

B.該圓錐的內(nèi)接圓柱（圓柱的卜底面在圓錐的底面上，上底面在圓錐的側(cè)面上）的側(cè)面枳的最大值為2居

該圓錐的內(nèi)接圓柱的體積的最大值時(shí)，圓柱的底面圓的半徑與圓柱的高的比為集

C.

14/T

D.該圓錐的內(nèi)切球的表面積為手

【答案】ABC

【分析】利用圓錐的軸截面結(jié)合圖形可求解.

【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，，母線長(zhǎng)為/,

依題意得2"=gx2*所以/=2”

根據(jù)圓錐的表面積為兀，+^x2nn=12K,解得r=2cm,

所以A正確;

c

如圖為圓錐和內(nèi)接圓柱體的軸截面，由題可知,

AB=2r=4,CA=CB=l=4'CO=26,

設(shè)EV=2x,0cx<2

Ap/)廠2—xDF

由相似關(guān)系得笠=無(wú)，即F-=不后，解得。E=2\/5-6%,

AOCO22V3

則內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于2?！?2石-VL)=2GM3+2*，

當(dāng)工=1時(shí)側(cè)面積最大，等于2仃兀，所以B正確;

內(nèi)接圓柱的體積等于V(x)=兀/中6―瓜)=6兀(—/+2巧,

V*(x)=\/3n(-3x2+4x)=-\/3TLX(3.X-4),

44

令V(x)>0,解得0</<］，令V'")<0,解得］<x<2,

JJ

所以V(x)在［(《J單調(diào)遞增，件21單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=2時(shí)圓柱體積最大，此時(shí)圓柱的高為。E=M

33

4

圓柱的底面圓的半徑與圓柱的高的比為擊=耳2，

亍

所以C正確;

設(shè)..ABC內(nèi)切圓的圓心為。I半徑為(,

=

因?yàn)镾ABCSO,AB+SolBc+SqAc,

即S=：A8?7;+g8CF+gAC

所以12s,一AB.J*

'AB+BC+ACAB+BC+AC3

因?yàn)閳A錐的內(nèi)切球的半徑等于［,

所以內(nèi)切球的體積等于4叫2=罟，所以D錯(cuò)誤.

故選:ABC.

三、填空題

41.已知某一個(gè)圓錐的側(cè)面積為20兀，底面積為16兀，則這個(gè)圓錐的體積為.

【答案】16兀

【分析】求出圓錐的底面半徑，底面周長(zhǎng)，結(jié)合圓錐側(cè)面積，列出方程，求出圓錐的母線長(zhǎng)，由勾股定理

求出圓錐的高，得到圓錐的體積.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為「，則口2=16兀，解得：r=4,

則圓錐底面周長(zhǎng)為2b=8兀，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,

則：/x8%二20兀，解得：/=5,

由勾股定理得：h=y]l2-r2=725-16=3>

故圓錐的體積為gx16兀x3=16兀.

故答案為：16兀.

42.已知一個(gè)圓柱的高不變，它的體積擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，則它的側(cè)面積擴(kuò)大為原來(lái)的倍.

【答案】2

【分析】求出底面半徑擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，從而得到側(cè)面積擴(kuò)大為原來(lái)的2倍.

【詳解】設(shè)圓柱的高為〃，底面半徑為「，則體積為a?/?,體積擴(kuò)大為原來(lái)的4倍,則擴(kuò)大后的體積為,

因?yàn)楦卟蛔?，故體積4兀,〃=兀(2〃)%,即底面半徑擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，原來(lái)側(cè)面積為2"〃，擴(kuò)大后的圓柱

側(cè)面積為2兀?2吒=4兀功,故側(cè)面積擴(kuò)大為原來(lái)的2倍.

故答案為：2

43.市面上出現(xiàn)某種如圖所示的以激凌，它的下方可以看作一個(gè)圓臺(tái)，上方可以看作一個(gè)圓錯(cuò)，對(duì)該組合

體進(jìn)行測(cè)量，圓臺(tái)下底面半徑為4cm,上底面半徑為2cm,高為6cm,上方的圓錐高為8cm,則此冰激凌

的體積為cm'.

200乃

【答案】

—

【分析】先計(jì)算圓臺(tái)的體積，再計(jì)算圓錐的體積，二者相加即可.

【詳解】圓臺(tái)的體積7；=：萬(wàn)x6x(4?+2x4+22)=56%,

1

圓錐的體積4=22?><8=爭(zhēng)，

總體積為7=1+(=孚，

200萬(wàn)

故答案為:

44.一個(gè)正四棱錐的高為7,底面邊長(zhǎng)為10,若正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)恰好在一個(gè)球面上，則該球的半徑為

99I

【答案】--##7—.

1414

【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，結(jié)合球的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)該正四棱錐為P-A8CZ),

由正四棱錐和球的性質(zhì)可知球的球心在高上，設(shè)球心為。，底面中心為E,

因?yàn)榈酌媸钦叫危?。?；府前=5拒,

222

在直角三角形ODE中，OD=OE+DEt設(shè)球的半徑為廣,

所以有,=(7—廠)2+50=>r二2，

14

99

故答案為：77

14

45.設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面半徑分別為2,3,體積分別為匕，匕，若它們的側(cè)面積相等，則J的值是.

【答案】；##2：3

【分析】利用圓柱體的側(cè)面積和體積公式求解即可.

【詳解】設(shè)甲的高為4