2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題22二項(xiàng)式定理必刷小題100題教師版

專(zhuān)題22二項(xiàng)式定理必刷小題100題

任務(wù)一:善良模式（基礎(chǔ)）1-30題

一、單選題

1.（工+9）的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.8B.28C.56D.70

【答案】B

【分析】

先得出口+亡）的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，從而得出常數(shù)項(xiàng).

【詳解】

的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為乙=黑產(chǎn)（金）=C；x吟

4

令8—3r=。，得〃=6

所以0+5）的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為以=28

故選：B

2.在卜一卷）的二項(xiàng)展開(kāi)式中，一的系數(shù)為（）

A.40B.20C.-40D.-20

【答案】A

【分析】

由二項(xiàng)式得到展開(kāi)式通項(xiàng)，進(jìn)而確定上的系數(shù).

X

【詳解】

卜仔］的展開(kāi)式的通項(xiàng)J=。；尸.（—2）i=（-2『C產(chǎn),

令5-3r二一1,解得r=2.故1的系數(shù)為（-2）2以=40,

X

故選：A.

3.+”的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）

A.12B.16C.20D.24

【答案】B

【分析】

利用乘法運(yùn)算律進(jìn)行展開(kāi)可得(E+](x+y)6=￡Q+)T+Mx+)，)6,再分別求x、5得

系數(shù)即可得解.

【詳解】

因?yàn)橐?y(x+F),=j(x+y)6+)，(x+y)6,

所以WyS的系數(shù)為(x+)，)6展開(kāi)式中),6,工2),4的系數(shù)之和，

由于4.尸CZ/y,(「=0,1,2，…,6),

對(duì)于三."+),)6項(xiàng)，(彳+),)6需取),6,系數(shù)為C：,

y

對(duì)于)，(i+)，y項(xiàng)，(x+?6需取12寸，系數(shù)為c：,

所以爐爐的系數(shù)為C：+C：=16,

故選：B.

239

4.對(duì)任意實(shí)數(shù)匕，有(2x-3)9=tz0+?1(x-i)+a2(x-l)+a3(x-l)+--4-^(x-l).則下列

結(jié)論不成立的是()

A.=-144B.4=1

C.%+《+&++%=lD.%-《+。2-。3+---佝=-39

【答案】B

【分析】

令―，/(/)=(2/-1)'=q)+卬+%/+?'+…+〃/，利用展開(kāi)式通項(xiàng)可判斷A選項(xiàng)的

正誤，利用賦值法可判斷BCD選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

令r=x-i,則x=，+l,令=《)+卬++生―+…+小〃.

對(duì)于A選項(xiàng)，(21)9的展開(kāi)式通項(xiàng)為J=C；.(2/)91(-l)'=Ci2x.(-iy/1

令9-r=2,可得廠(chǎng)=7,則&=仁?22.(-1)7=-]44,/\對(duì)；

9

對(duì)于B選項(xiàng)，^0=/(0)=(-l)=-l,B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，4+4+4+,?+%=/⑴=(2-1)9=I,C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng),4一。[+。2_/+--^)=/(-I)=(-3)9=-39,D對(duì).

故選：B.

5.已知。＞0,卜一燈的二展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于60,則。=()

2

A.3B.2C.6D.4

【答案】B

【分析】

先寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，然后令x的指數(shù)部分為零，求解出〃的值，則常數(shù)項(xiàng)可求.

【詳解】

展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+i=Q黑./3,，

令6-3r=0,所以r=2,所以常數(shù)項(xiàng)為/=60,

所以1=4,。>0,所以4=2,

故選：B

6.在(17)+(17尸+(17>+(17)4+(17)5的展開(kāi)式中，6的系數(shù)為

()

A.70B.35C.-35D.-70

【答案】D

【分析】

利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可求出丁的系數(shù).

【詳解】

對(duì)于(1-幻"的展開(kāi)式中,通項(xiàng)為：&=C：(-1)M,

則7；=-。)3(〃23),所以/的系數(shù)為：

YYYYY=-7O.

故選：1)

7.若"為正奇數(shù)，則7"4c：7"T+C：7i++C；被9除所得余數(shù)是()

A.0B.3C.-1D.8

【答案】D

【分析】

2nn

7"+C：T+C；?V+.?+C;-i.7+C；=(7+l)=(9-l)利用二項(xiàng)式定理可得結(jié)論.

【詳解】

解：因?yàn)椤ㄊ钦鏀?shù)，則7"+。［7"7+或71+…+。尸7+。：

n，n

=(7+1/=(9-l)=9"-C：9'"+C；9"-2+…++c；-'.9(-ir+C；；9°-(-l)

又〃正奇數(shù)，

???倒數(shù)第一項(xiàng)而從第一項(xiàng)到倒數(shù)第二項(xiàng)，每項(xiàng)都能被9整除，

7"+C：7~+盤(pán)7”2+…+禺被9除所得余數(shù)是8.

3

故選：D.

8.二項(xiàng)式（x+a）的展開(kāi)式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)：耍為有理項(xiàng)，則1。-"1，-為整數(shù)即可.

【詳解】

由題可得：展開(kāi)式的通項(xiàng)為配產(chǎn)，=C02r

3

要為有理項(xiàng)，則IO-5,一為整數(shù)，故廣可?。ǎ?2,4,6,8,10共有6項(xiàng)有理數(shù).

故選:B.

9.若（2x+白）的展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)和為81,則該展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.10B.8C.6D.4

【答案】B

【分析】

由給定條件求出基指數(shù)〃值，再求出展開(kāi)式的通項(xiàng)即可作答.

【詳解】

在（2.r+?）"的二項(xiàng)展開(kāi)式中，令x=l得所有項(xiàng)的系數(shù)和為3"=81，解得〃=4,

于是得（2人+5）4展開(kāi)式的通項(xiàng)為*=C：（2工廣.（七）=2j.C；:T,rGN,T4,

令4—￥二°，得，~3,常數(shù)項(xiàng)為2c=8.

故選：B

10.已知正整數(shù)〃27,若的展開(kāi)式中不含/的項(xiàng)，則）的值為（）

X

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】

結(jié)合二項(xiàng)式的展開(kāi)式，求出V的項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)題意建立方程，解方程即可求出結(jié)果.

【詳解】

（1-幻”的二項(xiàng)展開(kāi)式中第*1項(xiàng)為7；」=&（投/

4

又因?yàn)?X—3(1—x)"=x(l—幻”一!(1—X)”的展開(kāi)式不含爐的項(xiàng)

XX

所以xC；(-l)4/--d以琰%6=0

X

cy-c>5=o

即G：=G；

所以〃=10,

故選:D.

2

11.(W-x)”展開(kāi)式中的冬二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024,則父的系數(shù)是()

x

A.-210B.-960C.960D.210

【答案】B

【分析】

由二項(xiàng)式系數(shù)和等于2”，求得〃的值，寫(xiě)出通項(xiàng)公式，再按指定項(xiàng)計(jì)算可得.

【詳解】

依題意得：2"=1024,解得〃=10,

/O\10?

于是得--x\展開(kāi)式的通項(xiàng)為卻=禺)(句F(T『=(-l)J2HC，T，eMY10,

U)x

由210=4,解得r=7,從而有(-1)工*7右=-960,

所以/的系數(shù)是-960.

故選：B

已知(2信+1」號(hào)一「

12.的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為0,則該展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是()

A.-10B.-7C.9D.10

【答案】C

【分析】

根據(jù)(2/+1的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為0,令x=l可得參數(shù)。，再根據(jù)通項(xiàng)公式

可求解.

的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為().

令x=l得=0,能得a=l.

5

（\\5（I\5-r

則之一1展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：乙尸品』（-i）r=（-iyc；x2r-10

z

則（2/+1）（十1]=（29+1）9—1]展開(kāi)式的常數(shù)滿(mǎn)足：

則r=4或r=5,

則該展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是2＞：（-1）4￡+（-1）5優(yōu)=9.

故選：C.

13.已知（1+6/=。+從石（a,方為有理數(shù)），則a=（）

A.0B.2C.66D.76

【答案】D

【分析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理將（1+省『展開(kāi)，根據(jù)a，方為有.理數(shù)對(duì)應(yīng)相等求得a的值.

【詳解】

因?yàn)椋╥+G『=c；（G）"+c；（可+c；（6j+c；（可'+c；（@4+c；（⑹,,

所以（1+6）’=1+56+30+306+45+96=76+44力，

因?yàn)椋?+G），且a，0為有理數(shù)，所以a=76,

故選：D

14.（4+2呀a）5的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為1024,則石的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

賦值X=1即可.

【詳解】

賦值法：令戶(hù)1可知道展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為（療1）5=1024,所以北3.

故選：C

44

15.（1+x）=a｛）+a]x++a3x）+a4x,貝！|%—％—%+%=（）

A.5B.3C.0D.-3

【答案】C

【分析】

根據(jù)展開(kāi)式，利用賦值法取x=-l求值即可.

【詳解】

6

4

令x=一］,-a］+a2-a?+a4=(1-l)=0.

故選：C

16.(x+y)(3x-)，)s的展開(kāi)式中W的系數(shù)為()

A.-80B.-180C.180D.80

【答案】C

【分析】

先求得(3x-)，)5展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，分別令攵=2和4=3,計(jì)算整埋，即可得答案.

【詳解】

(3?展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為:%=C(3%廣(-?=C^5-k(-\)k^-kyk,

令〃=2,得7；=C；33(—1)53),2,

令4=3,得n=C；32(T)J2y3,

所以原式展開(kāi)中含的系數(shù)為CR3(-1)2Xl+C；32(-1)3x1=180

故選：C.

17.(上-近］的展開(kāi)式中，的系數(shù)為()

A.15B.-15C.10D.-10

【答案】D

【分析】

根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式逝］=(T)'C"K產(chǎn)"解方程，35=L

.⑴I#卜-21

即可得解.

【詳解】

T,,、=喏,［-用=(T)'C聲

4r=,

令，3解得r=3,

5-2r=-l,

所以展開(kāi)式中，的系數(shù)為(—I?C：=-10.

xy

故選：D.

18.在多項(xiàng)式(x-l)(2x+l)4的展開(kāi)式中，含/項(xiàng)的系數(shù)為()

A.-32B.32C.-16D.16

7

【答案】C

【分析】

求出（2X+1尸中X和/的系數(shù)，然后由多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算可得.

【詳解】

（2x+1）4=（1+2x）4,展開(kāi)式通項(xiàng)為加=c；（2x）r,

所求/的系數(shù)為CX2—C；X22=—16.

故選：C.

二、多選題

19.已知二項(xiàng)式（爾-｛）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若a=2,則展開(kāi)式的常數(shù)為60

B.展開(kāi)式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為3

C.若展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則“=3

D.展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大為第4項(xiàng)

【答案】AD

【分析】

寫(xiě)出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，對(duì)4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析

【詳解】

A選項(xiàng):當(dāng)a=2時(shí),&|=C：（2x廣工其中「為整數(shù),且

\Z

0<r<6,令6-解得：r=4,此時(shí)=15x4=60,故常數(shù)項(xiàng)為60：A

正確；

B選項(xiàng)：卻=。：（依廠(chǎng)-xQ=（T）rC/616等，其中〃為整數(shù)，且0WY6,

當(dāng)r=0時(shí),6-1r=6,當(dāng)r=2時(shí)，6-冊(cè)=3,,當(dāng)r=4時(shí)，6—%=0,,當(dāng)r=6時(shí),

222

6-］「=-3,滿(mǎn)足有理項(xiàng)要求，故有4項(xiàng)，故B錯(cuò)誤；

2

C選項(xiàng)：令奴-9）中的x=l得：（。-1）6=64,所以。=3或〃=-1,故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：展開(kāi)式共有7項(xiàng)，最中間一項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，而最中間為第4項(xiàng)，所以展開(kāi)式

中二項(xiàng)式系數(shù)最大為第4項(xiàng)，D正確

故選：AD

8

~^=\的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,下列說(shuō)法正確的是（）

20.已知

A.2,n,10成等差數(shù)列

B.各項(xiàng)系數(shù)之和為64

C.展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)

D.展開(kāi)式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)

【答案】ABD

【分析】

先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和求出〃的值，再令x=l可求系數(shù)和，根據(jù)展開(kāi)式的總項(xiàng)數(shù)可得二項(xiàng)

式系數(shù)最大項(xiàng)，利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求第5項(xiàng).

【詳解】

由,子）

的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"=64,得n=6得2,6,10成等差數(shù)列，A正確:

,（5工一打=2唯64,則5%-9）的各項(xiàng)系數(shù)之和為64,B正確;

令x=l

怖）的展開(kāi)式共有7項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，C不正確;

\5x-

卜x-白）的展開(kāi)式中的第5項(xiàng)為C：（5x）

=15x25x81為常數(shù)項(xiàng)，D正確.

故選:ABD

21.已知（2x+亡）的二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為54,則下列結(jié)論正確的是（

)

A.二項(xiàng)展開(kāi)式中無(wú)常數(shù)項(xiàng)

B.二項(xiàng)展開(kāi)式中第3項(xiàng)為240./

C.二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為3，

D.二項(xiàng)展開(kāi)式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

【答案】BCD

【分析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式驗(yàn)證選項(xiàng)即可得出答案.

【詳解】

由題意可知，2”=64,解得〃=6,所以二項(xiàng)展開(kāi)式的通式為

&=C；（2x）6-（/=2?，C；.J十,

3

當(dāng)6-1r=O時(shí)，解得尸=4,所以展開(kāi)式的第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤:

9

二項(xiàng)展開(kāi)式中第3項(xiàng)為7；=26-2?C：?KJ=240x3,選項(xiàng)B正確；

令x=l,則(2+1)"=36,即二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為3%選項(xiàng)C正確；

〃=6,則二項(xiàng)展開(kāi)式中笫4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

2()2232020

22.(1-2X)°=a0+a[x+a2x+a3x+??■+o^^x(xsR),貝!I()

A.4=1

320207

B?4+4+&+?-+42019=~-

3202。+i

c.%+%+/+-+*=—5—

na\.a2.^3,,^2020_I

D?5+夢(mèng)+聲+…+尹-7

【答案】ACD

【分析】

設(shè)/(力=(1-2"2儂=/+41+%/+0/+—+/020/20,利用賦值法可判斷各選項(xiàng)的工

誤.

【詳解】

2<)2232020

設(shè)/(x)=(1—2X)°=/+4/+a2x+a3x+???+^^x,

2020

對(duì)于A選項(xiàng)，?0=/(0)=1=1,A對(duì)；

J"l)―/+/+%+%+???+%020T

、入'I/(-1)=^0-+,-1+?2O2O=32020f

所以，q+…+一*:嗎但L字，

%+4+4+”.+限=川)；"7)=3；1,B錯(cuò),C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，幺+之+與+…+黑?=4+幺+*+冬+…+蜜—%

2222^2*^u2222^2”)“)。

=/^-/(0)=0-1=-1,D對(duì).

故選：ACD.

2n

23.已知(3x-l)"=%+a1x+a2x+...+anx,設(shè)(3%-1)”的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為Sn,

7；=%+%+...+%,則下列說(shuō)法正確的是()

A.勺=1

nn

B.Tn=2-[-\)

10

C.〃為奇數(shù)時(shí)，J<卻〃為偶數(shù)時(shí)，Sn>Tn.

D.Sn=Tn

【答案】BC

【分析】

根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和公式，結(jié)合賦值法進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

設(shè)(3xT)〃的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為S”，所以有：5“=2”，

在(3x—1)"=4+即￥+生/+.+勺/中，令工=0,得％=(一1)"，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，4=1,

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，4=T,所以A說(shuō)法不正確；

2n

在(3x-1)"=a0+atx+a2x+...+anx中，令x=1,所以有4+q+a2+...+an=2",

而％=(-D"，所以因此選項(xiàng)B說(shuō)法正確；

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),7；=2"-1<2\即S.>(,當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，(=2"+1>2",即邑<卻

因此選項(xiàng)C說(shuō)法正確，選項(xiàng)D說(shuō)法不正確，

故選：BC

24.已知(1一24)，=旬+仆.生/+…+4/，則()

A.4=1

B.%=-280

C.q+出---F%=—2

D.4+24+…+7%=-7

【答案】ABC

【分析】

令x=0即可求得即可判斷選項(xiàng)A；令x=1,求得/+4+%+-+外,進(jìn)而求得

卬+生++%可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)二項(xiàng)式定理寫(xiě)出該二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，即可得出可判斷

選項(xiàng)氏利用導(dǎo)數(shù)即可得4+2出+…+7%,可判斷選項(xiàng)D,進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【詳解】

727

因?yàn)?I-2.r)=4+U\K+a,.rH---1-?7.r

令X=0,得1=4，故選項(xiàng)A正確；

令X=l,得T=%+q+出+…+外,

所以q+%+…+%=-2,故選項(xiàng)C正確；

易知該二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)&=C；L(-2x)r=(-2)5,所以為=(-2尸C=-28O,故選項(xiàng)B正

確；

對(duì)(1-2x)7=?(,+4刀+&/+…+%F兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得一14(]-2"=4+2?/+…+7%工6,

11

令x=l,得4+26+…+7叼=74,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：：ABC

第II卷(非選擇題)

三、填空題

25.已知(,?l)3"+a)2(aeZ)的展開(kāi)式中x的系數(shù)等于8,則a等于.

【答案】2

【分析】

把和(x+afmwZ)展開(kāi)，根據(jù)展開(kāi)式中X的系數(shù)等于8,求出，的值.

【詳解】

解：,.-(x-1)'(x+a)2=(F-3.V2+3A-1)(A2+2ax+?2),

4

所以展開(kāi)式中x的系數(shù)等于%2-2a=8,解得。=2或a=-針

因?yàn)閍eZ,所以a=2.

故答案為：2.

26.楊輝三角在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中被記載.如圖

所示的楊輝三角中，第15行第15個(gè)數(shù)是.(用數(shù)字作答)

第4-

01T

第Z-

1TT

第-

2T

第4-

31T3

第z-

4fT

第5/-15

fT1010

【答案】15

【分析】

根據(jù)楊輝三角得到規(guī)律是第〃行，第r(l4,W〃+l)個(gè)數(shù)為Cl求解.

【詳解】

由楊輝三角知：

第1行：C；，C；，

第2行:c：c；c>

第3行:c；，c：c：c；，

第4行：c：，Uc：，c：，c：，

由此可得第〃行，第二(1少4〃+1)個(gè)數(shù)為仁\

所以第15行第15個(gè)數(shù)是C：；=C；5=I5，

故答案為：15

12

27.若［+的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為0,則該展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為

【答案】-120

【分析】

根據(jù)卜+寤2一￡|5的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為0,令x=l求得a,再利用通項(xiàng)公式求解.

【詳解】

因?yàn)?+.）（2x-￡|5的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為0,

令X=1得1+4=0,

解得〃=-1,

所以卜-J（2x—）5的常數(shù)項(xiàng)為xc；（2xMTj_gc（2x）［Tj=—120.

故答案為:-120

28.如果1+2。：+22亡+…+2"C；=2187,貝|JC：+￡；+…+￡：=.

【答案】127

【分析】

依題意可得（1+2）”=2187,計(jì)算〃，然后計(jì)算2"-1即可.

【詳解】

由題可知：1+2。：+2N：+…+2"。：=。+2）"=2187,所以〃=7

所以C：+C；+…+C：=2"-1,由〃=7,所以結(jié)果為127

故答案為：127

29.二項(xiàng)式（1+.J的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為（用數(shù)字表示結(jié)果）.

【答案】16

【分析】

根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式，分別令x=I和4=-1,兩式相加，即可求解.

【詳解】

由題意，二項(xiàng)式的展開(kāi)式為（1+x），=4）+4%+%*2+4/+。4/+火爐

令x=1,則為+%+%+6+4+6=2,=32,

令匯=-1,貝1」4_4］+生=0，

兩式相加，可得2（4）+%+%）=32,所以4+42+%=16.

故答案為：16.

13

30.已知(1+x)=%+4ij—+%(1—x)---^4()(1—*)，則的=

【答案】180

【分析】

將(1+x嚴(yán)改寫(xiě)成[2-(1-力丁，利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?1+x)‘°=[2一(1一x)r,

其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為C；)2-[-(-1)'(17)’，

令廠(chǎng)=8,則4=4C%=180,

故答案為為：180.

任務(wù)二:中立模式(中檔)1-40題

一、單選題

1.已知隨機(jī)變量X~N(1,/)，且P(XvO)=P(X2a),貝IJ卜2+〃)(x—[j的展開(kāi)式中的

常數(shù)項(xiàng)為()

A.25B.-25C.5D.-5

【答案】B

【分析】

14

先由正態(tài)分布的概率情況求出。=2,然后由二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得答案

【詳解】

由隨機(jī)變量X~N(l,b2),且尸(XvO)=P(XNa),則4=2

則12+—j+2L1Y

由的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為:6-2r,0<r<6,re^

令6-2r二一2,解得廠(chǎng)=4,令6-2r=0,解得廠(chǎng)=3

所以(f+2)卜卜―]6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為：2資=—25

故選：B.

2.(3.1-5)2。-1)7的展開(kāi)式中f項(xiàng)的系數(shù)為()

A.140B.-1120C.-140D.1120

【答案】B

【分析】

利用二項(xiàng)式定理求(x-U的展開(kāi)式中犬，f和f項(xiàng)的系數(shù)，從而可求(3x-5)20-1)7的展

開(kāi)式中f項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】

(3x-5)2(x-1)7=(9X2-30X+25)(X-1)7,

(x-1)?的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為CRT(-l)r,r=0,l,-,7,

令7-r=4,得r=3,所以=_35_?；

令7f=5,得r=2,所以*“T)2=21。;

令7—=6,得r=1,所以C56(_i)=_7f,

所以(3x-5)23-l)7的展開(kāi)式中1項(xiàng)的系數(shù)一35x9+21x(-30)+25x(—7)=7120.

故選：B.

/1X1729

3.若二項(xiàng)式--x的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值的和為則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系

(2)64

數(shù)最大的項(xiàng)為()

A.一B.亍工4C.-20x3D.15x4

24

【答案】A

【分析】

令工=-1,根據(jù)展開(kāi)式中系數(shù)的絕對(duì)值的和得到〃=6.冉判斷二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4

15

項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.

【詳解】

令x=T,可得展開(kāi)式中系數(shù)的絕對(duì)值的和為(3]=—,解得〃=6.

???展開(kāi)式有7項(xiàng)，

???二項(xiàng)式(g-xj展開(kāi)式口二項(xiàng)式系數(shù)最大的為第4項(xiàng)，7；=C^lj

故選A.

4.設(shè)(2工-肉6=q)+qx++/X6，貝9(41+%+%)—3)+々2+々4+46)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】

分別令x為1和T得到兩個(gè)等式，進(jìn)而將(4+/+6)2-(%+弓+4+%『因式分解即可解

出答案.

【詳解】

令x=l得(2—G)6=(2—、6)6=q)+q+O,+a3+a4+a5+a6，

令x=—1得(—2—\/5)6=q)—q+6—Oy+a4一%+/，

，(q+%+%『-(4)+%+4+%)2

=-(4+4+&+/+%+%+綜)(4-4+%—%+卬一6+心)

=-(2-X/3)6-(-2-V3)6=-1.

故選：A.

3

在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為且

5.忑M,N,

M-/V=992,則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為()

A.90B.18()C.360D.540

【答案】A

【分析】

令l=1得到4"=M，再結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得到2"=N，利用M-N=992”以求出〃的

值，進(jìn)而結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果.

【詳解】

16

而G；+c：+c；+C；=2"=N,

由M-N=992,則4"—2"=992,令2”=r>0,則**992=0,解得f=32,即2"=32,

故〃=5,

的二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為與］

K=C；35-3下

令r=3,則展開(kāi)式中含/項(xiàng)的系數(shù)為C；3i=10x9=90,

故選：A.

6.在弓-七丫的展開(kāi)式中，只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)是()

C.-28

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意可得：〃=12,求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，要先寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0,則

為常數(shù)項(xiàng)，求出廠(chǎng)的值代人展開(kāi)式，可以求得常數(shù)項(xiàng)的值

【詳解】

展開(kāi)式中，只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可得展開(kāi)式有13項(xiàng)，所以〃=12,展開(kāi)式為通

項(xiàng)為：”不￡「｛-七］=品(-嗯);吟，若為常數(shù)項(xiàng)，則口-*。，所

以，〃=9,得常數(shù)項(xiàng)為：工°=4(7”『“皇號(hào)

故選：B

7.(4+5-2］的展開(kāi)式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】

先化簡(jiǎn)原二項(xiàng)式為(《+5-2j,再由二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得選項(xiàng).

【詳解】

x-2〃+l(6-1)8

4x

又(4-1)8的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tfi=C；x4(T)r，所以冬=C；㈠).

當(dāng)x的指數(shù)是整數(shù)時(shí)，該項(xiàng)為有理項(xiàng)，所以當(dāng)，?=()，2,4,6,8時(shí)，該項(xiàng)為有理項(xiàng)，即有

17

理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為5.

故選：C.

8.已知（Z-xf02'=4,+4（*+1）+生（工+1）2++々2021（x+11”，貝！1

同+同+同+…+|臉|=（）

A.24a*2B.1C.2202'D.0

【答案】A

【分析】

令，=x+l,可得x可得出（3-。2閆=%+卬+%/+…202ro2、利用展開(kāi)式通項(xiàng)

可知當(dāng)「為奇數(shù)時(shí)，，，＜Q,當(dāng)尸為偶數(shù)時(shí)，3＞0,然后令/=-1可得出

kl+kl+kl+,?,+l%l的值.

【詳解】

令r=x+l,可得x=f-l,則［2-（，-1）了⑼=（3T［⑵=4+卬+生產(chǎn)+?，+?皿產(chǎn)I,

二項(xiàng)式（37）海的展開(kāi)式通項(xiàng)為=。嬴1⑼一?（—，）'，則a,=0砍??（-1）'.

當(dāng)「為奇數(shù)時(shí)，?＜（），當(dāng)「為偶數(shù)時(shí)，可＞（）,

因此，|%|+同+|同+…+|?202||=%-4+電-----=（3+1嚴(yán)=2叱

故選：A.

9.（2x-y）（x+3y）4的展開(kāi)式中Fy’項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.96B.-96C.120D.-120

【答案】A

【分析】

題意（x+3y），通項(xiàng)公式為匕|二《工』（3'），二3七）4-?二接著討論當(dāng)4一〃=2時(shí)；當(dāng)4f=3

時(shí)，求出相應(yīng)的，即可求出對(duì)應(yīng)系數(shù).

【詳解】

解:依題意“+3?的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為加=C；x4-r（3y）r=3P=，

當(dāng)4一廠(chǎng)=2時(shí)，得〃=2；當(dāng)4-/-3時(shí)，得，=1,

故可得展開(kāi)式中含；6,的項(xiàng)為2r32。&2）,2+（_）＞30*勺=96,亡尸，

即展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為96.

故選:A

Ia

10.設(shè)隨機(jī)變量x~8（〃,〃），若二項(xiàng)式（x+〃）”=%+5+《］,則（）

A.E（X）=3,Q（X）=2B.￡（X）=4,O（X）=2

18

C.E(x)=2,￡)(X)=lD.E(x)=3,￡>(X)=1

【答案】C

【分析】

利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，建立方程組，解出〃，〃，代入公式得到結(jié)果.

【詳解】

二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為加=CKL'p''e{0.1,,〃},

又（%+〃）“=旬+氐+^

f+??

Iq

???加川=中T?_2+l=C；*pl=#,

,解得：（yp=n-\,

1比時(shí).〃一1V6,

經(jīng)檢驗(yàn)可得，〃=4,〃=g,

:?E（X）=np=2,D（X）=〃p（l-p）=l,

故選：C

11.已知（1+奴）”=。0+毋+。2X2+…wN'），當(dāng)〃=5時(shí)，

4+%+43+4+4=242,則當(dāng)〃=6時(shí)，4+3%+5%的值為（）

A.-1452B.1452C.-726D.726

【答案】B

【分析】

本題首先可令x=。，求;h4=l,然后令x=l,〃=5,通過(guò)4+%+%+。4+6=242求出

a=2,最后通過(guò)二項(xiàng)展開(kāi)式求出a=12、6=160、%=192,即可求出結(jié)果.

【詳解】

2n

（1十（XV）”—%十+a2xH---1-anxeN）,

令x=0,則4=1；

令x=l,〃=5,則（1+。7=%+q+%■1---1■生，

因?yàn)?+a,+/+&+6=242,

M2

所以（1+〃）'=243=3,,a=2,（1+2x）=a（t+axx+a2x+???+anx^,

當(dāng)〃=6時(shí)，

19

（1+2x）6=或X（2力。+C；x（2x）i+C：x（2x『十或x（2x）’+C：x（2x）4+C：x（2x）5+屋x（2x）6

=l+12x+60x2+160x3+24Gx"+192.?+64.?，

則q=12,a,=160,a5=192,ax+3%+5%=1452,

故選：B.

10

12.設(shè)（2工一1）2=%+6%+//++a10x,則4+/+%+—+%的值為（）

【答案】B

【分析】

設(shè)/(司=(2工-11，計(jì)算可得4+%+%+%+〃9=,⑴2”即可得解.

【詳解】

設(shè)/(x)=(2x-l)'0,則/⑴=%+4+4+43+，＜?+45+4+%+4+佝+40=］，

/(_1)=%_%+白2_%+,_々S++為―%+%0=(—3),)=3"),

所以,…+…+%=萼91=展

故選：B.

13.在1+：_1；的展開(kāi)式中，除常數(shù)項(xiàng)外，其余各項(xiàng)系數(shù)的和為()

A.32B.-32C.33D.-33

【答案】D

【分析】

令x=l求出各項(xiàng)系數(shù)和，然后利用展開(kāi)式通項(xiàng)求出常數(shù)項(xiàng)，兩者相減可得結(jié)果.

【詳解】

在J+2—i］的展開(kāi)式中.令工=1,可得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為(1+2-1)"=2“=16,

的展開(kāi)式通項(xiàng)為4“=c：.㈠廠(chǎng)

1+：J的展開(kāi)式通項(xiàng)為穌“=ayJ=a2匕一”，

所以，+的展開(kāi)式通項(xiàng)可表示為

\X)

&31=CC(T)?2叮內(nèi)(o4心”4,r,keN)，

20

r=0'*=2r=4

令r-2攵=0,可得匕八或＜1或匕

、k=0k=Ik、=2

所以，展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為C；+C瀉t+cawudg,

因此，展開(kāi)式中除常數(shù)項(xiàng)外，其余各項(xiàng)系數(shù)的和為16-49=-33.

故選：D.

14.在（2x+（-lj的展開(kāi)式中，除一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)的系數(shù)之和為（）

A.230B.231C.232D.233

【答案】C

【分析】

令x=l,求得Qx+l-lY的展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)之和，然后求得（2x+1-l『的通項(xiàng)公式

kx）\x）

0+]=Cf(2x+，)(-l)5-r?再分r=0,r=I,r=2?

r=3,r=4,/。=5求解.

【詳解】

令x=l,則的展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)之和為2'，

2'+'-1）的通項(xiàng)公式為：7；+]=_嚴(yán)

當(dāng)r=0時(shí)，7j=（-l）5,無(wú)/項(xiàng)出現(xiàn),

爐無(wú)/項(xiàng)出現(xiàn),

當(dāng)廠(chǎng)=1時(shí)，T2=

、2

（-1）3=C：C：2"/"2（_I）3,當(dāng)時(shí),項(xiàng)的系數(shù)為

當(dāng)/=2時(shí)，T3=1=2“2

。七產(chǎn)(—1)3=70,

當(dāng)“3時(shí)，7i=G(2x+￡f

=c；G2f,無(wú)小項(xiàng)出現(xiàn),

C；（2x+J=當(dāng)$=3時(shí)，V項(xiàng)的系數(shù)為

當(dāng)〃=4時(shí)，4=

-C；C：23=T60,

"=C；（2.r+（j=。2?5,無(wú)產(chǎn)項(xiàng)出現(xiàn),

當(dāng)，?=5時(shí),

所以除Y項(xiàng)外，其余各項(xiàng)的系數(shù)之和為32-（-40-160）=232,

21

故選：c

n2n

15.已知(1+X+/)"=7>7>+7>2++T；xt〃eV其中(：為(1+x+V)"展開(kāi)式中廣

項(xiàng)的系數(shù)，i=0J2,…,2“，則下列說(shuō)法不正確的有()

A.小,,i=0J2,,.,16B.以+甯+44=端

C.窗+疫++看6=靖+看++&D.T：是T；,T；&,球中的最大項(xiàng)

【答案】C

【分析】

依題意〃=8,寫(xiě)出(l+x+V『的展開(kāi)式，再一一判斷即可；

【詳解】

解：依題意〃=8

所以(1+工+/)8=[(1+*)+近

=屐(1+.以+C；(l+x)7A-2+C；(l+X)6X4+C；(l+x)5x6+q；(l+x)4x8+C；(l+x)3x10+Cj(l+x)2^12+C；(1+x)x14+Cfx'6

=l+8.v+36f+112x+266x4+504V+784/+10169+1107f+】0167+lMx'v+5O4.r"+266x"+112xM+36M-+&F,+xlb

由上式可知，選項(xiàng)A,。正確；

74

(1+X+/)9=((1+X)+V『展開(kāi)式中《。+幻9,Cl(1+幻味2,c：(]+A-)X的/4的系數(shù)和為：

4=CC：+C；G+C；G'=414,而年+7^+7；=36+112+266=414,

故方+甯+容=7；4,故3正確；

由式子可得，堞+年+…+琛>媼+靖+…+以，故選項(xiàng)C不正確.

故選：C.

16.若。-2尸=4)+。/+生/+…+4”，xwR則下列結(jié)論正確的是()

A.?0=-1024B.q+%+…+4O=T

C.同+同+同+…+|4o|=3">D.4+2%+3%+…+9%=10

【答案】C

【分析】

A.令x=0可計(jì)算出旬的道；

B.令x=l結(jié)合x(chóng)=0的結(jié)果可計(jì)算出4+%+…+%的值;

C.分別令x=±l,然后根據(jù)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式判斷取值的正負(fù)即可計(jì)算出

|%|+同+聞+…+|%|的值;

D.將原式求導(dǎo)，然后令x=l即可得4+2%+3%+…+9%+10q0的值，再根據(jù)展開(kāi)式的通

項(xiàng)公式即可求解出須的值，則%+2a2+3%+…+9%的值可求.

【詳解】

22

A.令x=0,所以%=（-21=2|。=1024,故錯(cuò)誤；

B.令x=l,所以%+q+生+...+%）=1,所以4+%+???+%（）=-1。23,故錯(cuò)誤;

C.令x=—1,所以%—q+出—…+4（）=（-3）i°=3n,又%+4+%+...+%o=1,

所以2（4+生+4+?“+4O）=3"'+1,2（“+。3+/+…+%）=1-39，

又因?yàn)椋▁-21的展開(kāi)式通項(xiàng)為所以當(dāng)r為奇數(shù)時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，

所以⑷+圖+|%|+…+同=^^+|‘^-卜'"，故正確：

D.因?yàn)椋?一2）"）=%+%工+4%2+…+4oM”,所以求導(dǎo)可得：

99

10（x-2）=aI+26人+3。/2+...+1