2025屆山東省山東師大附中高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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2025屆山東省山東師大附中高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),則方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.2.已知雙曲線的一條漸近線為,圓與相切于點(diǎn),若的面積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3.若干年前,某教師剛退休的月退休金為6000元,月退休金各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的條形圖.該教師退休后加強(qiáng)了體育鍛煉,目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛退休時(shí)少100元,則目前該教師的月退休金為().A.6500元 B.7000元 C.7500元 D.8000元4.為研究某咖啡店每日的熱咖啡銷售量和氣溫之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,統(tǒng)計(jì)該店2017年每周六的銷售量及當(dāng)天氣溫得到如圖所示的散點(diǎn)圖(軸表示氣溫,軸表示銷售量),由散點(diǎn)圖可知與的相關(guān)關(guān)系為()A.正相關(guān),相關(guān)系數(shù)的值為B.負(fù)相關(guān),相關(guān)系數(shù)的值為C.負(fù)相關(guān),相關(guān)系數(shù)的值為D.正相關(guān),相關(guān)負(fù)數(shù)的值為5.已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)根,,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知集合,集合,則等于()A. B.C. D.7.已知菱形的邊長(zhǎng)為2,,則()A.4 B.6 C. D.8.若直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為,則()A.1 B.2 C. D.39.已知函數(shù),且),則“在上是單調(diào)函數(shù)”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知函數(shù),若,則的取值范圍是()A. B. C. D.11.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度12.已知三棱錐的外接球半徑為2,且球心為線段的中點(diǎn),則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)在區(qū)間(-∞,1)上遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____14.在的二項(xiàng)展開式中,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則該二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于_____.15.設(shè)函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),又函數(shù),則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___________.16.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線經(jīng)過原點(diǎn),函數(shù)的最小值為,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的圖象在處的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;(3)當(dāng)時(shí),若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求證:.18.(12分)已知向量,函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在中,三內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn),成等差數(shù)列,且,求a的值.19.(12分)已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)若的圖象在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn),求的值;(2)若不等式恒成立,求正整數(shù)的最小值.20.(12分)如圖,四棱錐中,側(cè)面為等腰直角三角形,平面.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成的角的正弦值.21.(12分)已知函數(shù),(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù),()有幾個(gè)零點(diǎn),并證明你的結(jié)論;(3)設(shè)函數(shù),若函數(shù)在為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知橢圓,左、右焦點(diǎn)為,點(diǎn)為上任意一點(diǎn),若的最大值為3,最小值為1.(1)求橢圓的方程;(2)動(dòng)直線過點(diǎn)與交于兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn),使成立,說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

畫出函數(shù),將方程看作交點(diǎn)個(gè)數(shù),運(yùn)用圖象判斷根的個(gè)數(shù).【詳解】畫出函數(shù)令有兩解,則分別有3個(gè),2個(gè)解,故方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是3+2=5個(gè)故選:D【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運(yùn)用,分類思想的運(yùn)用,數(shù)學(xué)結(jié)合的思想判斷方程的根,難度較大,屬于中檔題.2、D【解析】

由圓與相切可知,圓心到的距離為2,即.又,由此求出的值,利用離心率公式,求出e.【詳解】由題意得,,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),直線與圓相切的性質(zhì),離心率的求法,屬于中檔題.3、D【解析】

設(shè)目前該教師的退休金為x元,利用條形圖和折線圖列出方程,求出結(jié)果即可.【詳解】設(shè)目前該教師的退休金為x元,則由題意得:6000×15%﹣x×10%=1.解得x=2.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問題,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)正負(fù)相關(guān)的概念判斷.【詳解】由散點(diǎn)圖知隨著的增大而減小,因此是負(fù)相關(guān).相關(guān)系數(shù)為負(fù).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查變量的相關(guān)關(guān)系,考查正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的區(qū)別.掌握正負(fù)相關(guān)的定義是解題基礎(chǔ).5、C【解析】

先利用三角恒等變換將題中的方程化簡(jiǎn),構(gòu)造新的函數(shù),將方程的解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,畫出函數(shù)圖象,再結(jié)合,解得的取值范圍.【詳解】由題化簡(jiǎn)得,,作出的圖象,又由易知.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,方程的根的問題,利用數(shù)形結(jié)合法,求得范圍.屬于中檔題.6、B【解析】

求出中不等式的解集確定出集合,之后求得.【詳解】由,所以,故選:B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有一元二次不等式的解法,集合的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題目.7、B【解析】

根據(jù)菱形中的邊角關(guān)系,利用余弦定理和數(shù)量積公式,即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示,菱形形的邊長(zhǎng)為2,,∴,∴,∴,且,∴,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積和余弦定理的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題..8、A【解析】

將圓的方程化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)方程,再根據(jù)垂徑定理求解即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,圓心坐標(biāo)為,半徑為,因?yàn)橹本€與圓相交所得弦長(zhǎng)為,所以直線過圓心,得,即.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

先求出復(fù)合函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)的充要條件,再看其和的包含關(guān)系,利用集合間包含關(guān)系與充要條件之間的關(guān)系,判斷正確答案.【詳解】,且),由得或,即的定義域?yàn)榛颍ㄇ遥┝睿湓趩握{(diào)遞減,單調(diào)遞增,在上是單調(diào)函數(shù),其充要條件為即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問題,充要條件的判斷,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

對(duì)分類討論,代入解析式求出,解不等式,即可求解.【詳解】函數(shù),由得或解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)性質(zhì)解不等式,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

先將化為,根據(jù)函數(shù)圖像的平移原則,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以只需將的圖象向右平移個(gè)單位.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移,熟記函數(shù)平移原則即可,屬于基礎(chǔ)題型.12、C【解析】

由題可推斷出和都是直角三角形,設(shè)球心為,要使三棱錐的體積最大,則需滿足,結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形,由球心到各點(diǎn)距離相等可得,,故是直角三角形,設(shè),則有,又,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值4,要使三棱錐體積最大,則需使高,此時(shí),故選:C【點(diǎn)睛】本題考查由三棱錐外接球半徑,半徑與球心位置求解錐體體積最值問題,屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域列不等式組,解不等式求得的取值范圍.【詳解】由二次函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】

由題意可得,再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,求得二項(xiàng)展開式常數(shù)項(xiàng)的值.【詳解】的二項(xiàng)展開式的中,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,,通項(xiàng)公式為,令,求得,可得二項(xiàng)展開式常數(shù)項(xiàng)等于,故答案為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.15、1【解析】

判斷函數(shù)為偶函數(shù),周期為2,判斷為偶函數(shù),計(jì)算,,畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像到答案.【詳解】知,函數(shù)為偶函數(shù),,函數(shù)關(guān)于對(duì)稱。,故函數(shù)為周期為2的周期函數(shù),且。為偶函數(shù),,,當(dāng)時(shí),,,函數(shù)先增后減。當(dāng)時(shí),,,函數(shù)先增后減。在同一坐標(biāo)系下作出兩函數(shù)在上的圖像,發(fā)現(xiàn)在內(nèi)圖像共有1個(gè)公共點(diǎn),則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題,確定函數(shù)的奇偶性,對(duì)稱性,周期性,畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.16、0【解析】

求出,求出切線點(diǎn)斜式方程,原點(diǎn)坐標(biāo)代入,求出的值,求,求出單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求出極小值最小值,即可求解.【詳解】,,,切線的方程:,又過原點(diǎn),所以,,,.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.故函數(shù)的最小值,所以.故答案為:0.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值最值,屬于中檔題..三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù);當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù);(3)證明見解析.【解析】

(1)當(dāng)時(shí),,求得其導(dǎo)函數(shù),,可求得函數(shù)的圖象在處的切線方程;(2)由已知得,得出導(dǎo)函數(shù),并得出導(dǎo)函數(shù)取得正負(fù)的區(qū)間,可得出函數(shù)的單調(diào)性;(3)當(dāng)時(shí),,,由(2)得的單調(diào)區(qū)間,以當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,不妨設(shè),且有,,構(gòu)造函數(shù),分析其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)性,得出其最值,所證的不等式可得證.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,所以,,所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為,即;(2)由已知得,,令,得,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上是減函數(shù),在上是增函數(shù);(3)當(dāng)時(shí),,,由(2)得在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以,且時(shí),,當(dāng)時(shí),,,所以當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,不妨設(shè),且有,,構(gòu)造函數(shù),則,當(dāng)時(shí),所以,在上單調(diào)遞減,且,,由,在上單調(diào)遞增,.所以.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在某點(diǎn)的切線方程,討論函數(shù)的單調(diào)性,以及證明不等式,關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),得出其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性,屬于難度題.18、(1),(2)【解析】

(1)利用向量的數(shù)量積和二倍角公式化簡(jiǎn)得,故可求其周期與單調(diào)性;(2)根據(jù)圖像過得到,故可求得的大小,再根據(jù)數(shù)量積得到的乘積,最后結(jié)合余弦定理和構(gòu)建關(guān)于的方程即可.【詳解】(1),最小正周期:,由得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由可得:,所以.又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列,所以而,.19、(1)e;(2)2.【解析】

(1)根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì),得出,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出曲線在點(diǎn)處的切線為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性,即可得出的值;(2)設(shè),求導(dǎo),求出的單調(diào)性,從而得出最大值為,結(jié)合恒成立的性質(zhì),得出正整數(shù)的最小值.【詳解】(1)根據(jù)題意,與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以函數(shù)的圖象與互為反函數(shù),則,,設(shè)點(diǎn),,又,當(dāng)時(shí),,曲線在點(diǎn)處的切線為,即,代入點(diǎn),得,即,構(gòu)造函數(shù),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,且,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,而,故存在唯一的實(shí)數(shù)根.(2)由于不等式恒成立,可設(shè),所以,令,得.所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,因此函數(shù)在是增函數(shù),在是減函數(shù).故函數(shù)的最大值為.令,因?yàn)?,,又因?yàn)樵谑菧p函數(shù).所以當(dāng)時(shí),.所以正整數(shù)的最小值為2.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題,涉及到單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)法等,考查函數(shù)思想和計(jì)算能力.20、(1)見解析(2)【解析】

(1)根據(jù)平面,利用線面垂直的定義可得,再由,根據(jù)線面垂直的判定定理即可證出.(2)取的中點(diǎn),連接,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為正半軸建立空間直角坐標(biāo)系求出平面的一個(gè)法向量,利用空間向量法即可求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?,所以由為等腰直角三角形,所以又,故平?取的中點(diǎn),連接,因?yàn)?,所以因?yàn)槠矫?,所以平面所以平面如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為正半軸建立空間直角坐標(biāo)系則,又,所以且于是設(shè)平面的法向量為,則令得平面的一個(gè)法向量設(shè)直線與平面所成的角為,則【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的定義、判定定理以及空間向量法求線面角,屬于中檔題.21、(1)單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間為,;(2)有2個(gè)零點(diǎn),證明見解析;(3)【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理即可證明;記函數(shù),求導(dǎo)后利用單調(diào)性求得,由零點(diǎn)存在性定理及單調(diào)性知存在唯一的,使,求得為分段函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論:①當(dāng)時(shí),利用函數(shù)的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為的問題;②當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),在上恒成立,從而求得的取值范圍.【詳解】(1)由題意知,,列表如下:020極小值極大值所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,.(2)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).證明如下:因?yàn)闀r(shí),所以,因?yàn)?所以在恒成立,在上單調(diào)遞增,由,,且在上單調(diào)遞增且連續(xù)知,函數(shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn),由(1)可得時(shí),,即,故時(shí),,所以,由得,平方得,所以,因?yàn)?,所以在上恒成?所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,因?yàn)?所以,由,,且在上單調(diào)遞減且連續(xù)得在上僅有一個(gè)零點(diǎn),綜上可知:函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).(3)記函數(shù),下面考察的符號(hào).求導(dǎo)得.

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