廣西“邕衡教育·名校聯(lián)盟”2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁廣西“邕衡教育·名校聯(lián)盟”2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合U=0,1,2,3,4,5，A=x∈N3x∈NA.0,1,3,5 B.1,3,5 C.0,2,4,5 D.2,4,52.若f(x)=?(x),x>0x3+1,x<0是奇函數(shù)，則A.?7 B.7 C.?9 D.93.已知雙曲線C：x2m+1+y2m?1=1的離心率A.m=0 B.m=?2 C.m=12 4.將函數(shù)y=cosx的圖象向右平移φ(0<φ<2π)個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，“則y=g(x)是奇函數(shù)”是“φ=π2”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知a為單位向量，向量b在向量a上的投影向量是12a，且(a+λb)⊥A.2 B.0 C.?2 D.?16.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+lnx，滿足f(a)ff(c)>0(0<a<b<c).若函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)x0，則A.x0<a B.x0>a C.7.計(jì)算sin215°+cosA.34 B.45 C.568.?t∈R，?x∈[a，+∞)，使得xex?tx2A.0 B.1 C.2 D.3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(x,2)在C上，|AF|=52，則pA.1 B.2 C.4 D.810.如圖正方體ABCD?A1B1C1D1，M，A.直線A1D與直線D1B垂直，直線MN//平面ABCD

B.直線A1D與直線D1B相交，直線MN//平面ABCD

C.直線BC1與D11.已知函數(shù)f(x)=?x3?xA.若f(x)max=f(1)，則a=5

B.若a=?3，則f(x)在(1,3)上單調(diào)遞增

C.若a=1，則f(x)在0,13上單調(diào)遞減

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.二項(xiàng)式1x?x10的展開式中x2的系數(shù)為__________13.已知復(fù)數(shù)z滿足①z2+i∈R；②z?z>25.寫出一個(gè)同時(shí)滿足①②14.已知數(shù)列{cn}滿足cn+1?cn=1或3，其中c1=2，設(shè){cn}的前n項(xiàng)和為Tn，則c3四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知函數(shù)f(x)=ln(1)當(dāng)a=2時(shí)，求f(x)在區(qū)間1e(2)若?x∈(0,+∞)，有f(x)<0，求a的取值范圍．16.(本小題15分)2024年10月，“2024環(huán)廣西世巡賽”成功舉行，志愿者的服務(wù)工作是世巡賽成功舉辦的重要保障，某單位承辦了志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了200名候選者的面試成績，并分成五組：第一組[45,55)，第二組[55,65)，第三組[65,75)，第四組[75,85)，第五組[85,95]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．(1)求a、b的值；(2)若面試成績前68名為優(yōu)秀，請(qǐng)估計(jì)優(yōu)秀成績的最低分；(3)現(xiàn)從以上各組中用分層抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本次宣傳者．若本次宣傳者中第二組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為62和30，第四組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為80和40，據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有面試者的方差．(注：若將總體劃分為若干層，隨機(jī)抽取兩層，通過分層隨機(jī)抽樣，每層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：m，x，s12；n，y，s22.記這兩層總的樣本平均數(shù)為ω17.(本小題15分)已知三棱錐A?BCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，BC=BD=CD=2，E、F分別為BC、AD中點(diǎn)．(1)現(xiàn)有如下兩個(gè)條件：條件①AB=AC；條件②∠BDF=∠CDF請(qǐng)從上述二個(gè)條件中選擇一個(gè)條件，能使BC⊥EF成立，并寫出證明過程．(2)若∠BAC=90°，求三棱錐A—BCD體積最大時(shí)，二角面B?AD?E的正弦值．18.(本小題17分)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，(1)若△ABC為銳角三角形，對(duì)任意內(nèi)角A，B，若f(x)=sinx，f′(x)(2)若△ABC為銳角三角形，且角A，B，C滿足tanAtanBtanC≤[tanA]+[tanB]+[(3)在△ABC中，當(dāng)c=2，1tanA+119.(本小題17分)已知橢圓ω：x2a2+y(1)求橢圓ω的方程；(2)點(diǎn)P1為橢圓ω外的一點(diǎn)，過P1作兩條直線與橢圓ω相切，且這兩條直線互相垂直，求點(diǎn)P1(3)過平面上一點(diǎn)P2作(2)中的軌跡ω1的兩條切線且這兩條切線互相垂直，設(shè)點(diǎn)P2的軌跡方程為ω2.依此類推，過平面上一點(diǎn)Pn作軌跡ωn?1的兩條切線且這兩條切線互相垂直，設(shè)點(diǎn)Pn的軌跡方程為ωn.在每條軌跡方程ωn上任取三個(gè)點(diǎn)An、Bn、C參考答案1.C

2.B

3.A

4.B

5.C

6.C

7.A

8.B

9.AC

10.ACD

11.AD

12.45

13.答案不唯一，滿足b>5或b<?514.4，6，8；29

15.解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=lnx?2x+1，(x>0)

因此f′(x)=1x?2=1?2xx，

因此當(dāng)0<x<12時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>12時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，

因此，在區(qū)間1e,1，f(x)在[1e,12]上遞增，在(12,1]上遞減，

由于f1e=?2e，f(1)=?1，f12=ln12=?ln2，

因此f(x)的值域是[?1,?ln2]．

(2)由題意知lnx?ax+1<0，即a>lnx+116.解：(1)由題意可知，10a+10b=0.3,10×(0.045+0.020+a)=0.7,

解得a=0.005b=0.025;

(2)由(1)可知每組的頻率依次為0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，

因?yàn)?8200=0.34，故優(yōu)秀成績的最低分x∈[65,75)，

所以0.2+0.05+(75?x)×0.045=0.34，

可得x=73，所以優(yōu)秀成績的最低分為73分;

(3)設(shè)第二組、第四組的平均數(shù)分別為x1，x2，方差分別為s12，s22，

且各組頻率之比為：(0.005×10):(0.025×10):(0.045×10):(0.02×10):(0.005×10)=1:5:9:4:1，

所以用分層抽樣的方法抽取第二組面試者51+5+9+4+1×20=5人，第四組面試者17.解：(1)選擇條件?①AB=AC，

連接AE，DE，

∵AB=AC，E是BC中點(diǎn)，∴AE⊥BC，

又∵BD=CD，∴DE⊥BC，

∵AE∩DE=E，AE、DE?面ADE，

∴BC⊥面ADE，

又∵EF?面ADE，

∴EF⊥BC．

選擇條件?②∠BDF=∠CDF，

連接BF，CF，

∵∠BDF=∠CDF，BD=CD，DF=DF，

∴ΔBDF≌ΔCDF，

∴BF=CF，

∵E是BC中點(diǎn)，

∴EF⊥BC．

(2)在三角形ABC中，∠BAC=90°，E是BC中點(diǎn)，所以AE=1．

所以，當(dāng)AE⊥面BCD時(shí)，點(diǎn)A到面BCD距離的最大，

連接ED、EA，

∵AE⊥面BCD，AE?面ABC，

∴面ABC⊥面BCD，

∵DE⊥BC，面ABC∩面BCD=BC，DE?面BCD，

∴DE⊥面ABC，

建立以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC、ED、EA分別x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系E?xyz，

在等腰直角三角形ABC中，AE=1，

故相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)如下：E(0,0,0)，A(0,0,1)，B(?1,0,0)，C(1,0,0)，D(0,3,0)，

AB=?1,0,?1,BD=1,3,0,

設(shè)面ABD的法向量n1=(x,y,z)，

則n1?AB=0n1?BD=0，即?x?z=0x+3y=0，

令z=1，則x=?1，18.解：(1)由題意可知，A，B∈(0,π2)，A+B>π2，π2>A>π2?B>0，所以sinA>cosB，f,x=cosx，所以f(A)>f′(B)

(2)由tanC=tan(π?(A+B))=?tan(A+B)=?tanA+tanB1?tanAtanB，得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

記x=tanC，y=tanB，z=tanA，由條件得x+y+z≤[x]+[y]+[z]，

因?yàn)閇t]≤t，所以[x]+[y]+[z]≤x+y+z≤[x]+[y]+[z]所以x+y+z=[x]+[y]+[z]，所以x，y，z必為整數(shù)

由A≤B≤C，得0<A≤π3，所以tanA≤3，又tanA∈Z，所以tanA=1，A=π4，19.解：(1)由于橢圓C:x2a2+y2b2=1的短軸長為23，所以有b=3

又由于橢圓過點(diǎn)A(2,62)，所以有2a2+32b2=1，所以有a=2，

所以有橢圓C的方程為x24+y23=1;

(2)當(dāng)過P1作兩條直線與橢圓C相切的直線中有一條直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(±2,±3)

當(dāng)過P1作兩條直線與橢圓C相切的直線中兩條直線的斜率均存在時(shí)，可設(shè)這兩條直線的斜率為k1，k2．

設(shè)