北京市通州區(qū)2023-2024學年高一下學期期末數學試卷 含解析

2024北京通州高一（下）期末數學2024年7月本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，請將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.復平面內點所對應復數的虛部為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意，由復數的幾何意義即可得到點對應的復數，從而得到結果.【詳解】復平面內點所對應復數為，其虛部為.故選：B2.樣本數據3，5，7，2，10，2的中位數是（）A.7 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】找中位數要把數據按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數（或兩個數的平均數）為中位數．【詳解】解：先對這組數據按從小到大的順序重新排序：2，2，3，5，7，10．位于最中間的數是3，5，所以這組數中位數是．故選：C．3.已知向量，，那么向量可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得，逐個驗證即可.【詳解】因為，所以，對于A，若，則，所以A正確，對于B，若，則，所以B錯誤，對于C，若，則，所以C錯誤，對于D，若，則，所以D錯誤.故選：A4.在三角形中，角所對的邊分別為，已知，則（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】由得，再由正弦定理計算即可.【詳解】由題意，,因為，所以,由正弦定理得,即，因為,所以或.故選：C.5.已知圓錐的底面半徑是1，高為，則圓錐的側面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意求出圓錐的母線長，再利用圓錐的側面積公式可求得答案.【詳解】因為圓錐底面半徑是1，高為，所以圓錐的母線長為，所以圓錐的側面積為.故選：D6.如圖，在正方體中，則與所成角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接，根據定義，得到即為與所成角，即可求解.【詳解】如圖所示：連接，由正方體的性質可得，，則即為與所成角，又，所以.故選：C.7.在下列關于直線與平面的命題中，真命題是（）A.若，且，則 B.若，且，則C.若，，，則 D.若，且，則【答案】B【解析】【分析】利用線面垂直的判定條件說明、推理判斷AB；利用面面平行的判定說明判斷C,利用線面平行的判定說明判斷D.【詳解】對于A，，當平面的交線為時，滿足，此時，A錯誤；對于B，由，得存在過直線平面，，由于，則平面與平面必相交，令，于是，顯然，而，則，同理，又是平面內的兩條相交直線，因此，B正確；對于C，,,,或異面，C錯誤；對于D，，令，當直線在平面內，且時，滿足，此時不成立，D錯誤.故選：B8.一個口袋內裝有大小、形狀相同紅色、黃色和綠色小球各2個，不放回地逐個取出2個小球，則與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立的事件有（）A.2個小球恰有一個紅球 B.2個小球至多有1個紅球C.2個小球中沒有綠球 D.2個小球至少有1個紅球【答案】A【解析】【分析】根據題意，由互斥事件的定義依次分析選項，即可得到結果.【詳解】2個小球恰有一個紅球包括2個小球1個紅球1個黃球和2個小球1個紅球1個綠球，與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立，符合題意，故A正確；2個小球至多有1個紅球包括2個小球都不是紅球和2個小球恰有1個紅球，則2個小球至多有1個紅球與事件“2個小球都為紅色”是對立事件，故B錯誤；2個小球中沒有綠球包括2個小球都為紅色，2個小球都為黃色和2個小球1個紅球1個黃球，則事件“2個小球都為紅色”是2個小球中沒有綠球的子事件，故C錯誤；2個小球至少有1個紅球包括2個小球都是紅球和2個小球1個紅球1個不是紅球，則事件“2個小球都為紅色”是2個小球至少有1個紅球的子事件，故D錯誤；故選：A9.一個長為，寬為的長方形，取這個長方形的四條邊的中點依次為

，，，

，依次沿

，，，，折疊，使得這個長方形的四個頂點都重合而得到的四面體，稱為“薩默維爾四面體”，如下圖，則這個四面體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意，由線面垂直的判定定理可得平面，再由錐體的體積公式代入計算，即可得到結果.【詳解】由題意可得，，，取中點，連接，又，所以，且，，則，所以，且，平面，所以平面，則.故選：B10.達芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，把六片這樣的達·芬奇方磚拼成下圖的組合，這個組合再轉換成幾何體，則需要10個正方體疊落而成，若一個小球從圖中陰影小正方體出發(fā)，等概率向相鄰小正方體（具有接觸面）移動一步，則經過兩步移動后小球又回到陰影小正方體的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】，根據題意，由全概率公式代入計算，即可得到結果.【詳解】由題意可得，一個小球從圖中陰影小正方體出發(fā)，可以向上，向下或水平移動，設小球向上移動為事件，小球水平移動為事件，小球向下移動為事件，小球回到陰影為事件，則，則.故選：D第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.設復數滿足（為虛數單位），則的模為________．【答案】【解析】【分析】由復數的除法、乘法運算以及模的計算公式即可得解.【詳解】.故答案為：.12.從寫有數字的5張卡片中有放回的抽取兩次，兩次抽取的卡片數字和為5的概率是________．【答案】【解析】【分析】根據條件，求出樣本空間及事件包含的樣本點，再利用古典概率公式，即可求出結果..【詳解】用中的表示第一次取到的卡片數字，表示第一次取到的卡片數字，由題知，樣本空間為，共25個，記事件：兩次抽取的卡片數字和為5，事件包含的樣本點為，共個，所以兩次抽取的卡片數字和為5的概率是，故答案為：.13.已知分別是的角的對邊，若，，，則=______，的面積為______．【答案】①.②.【解析】【分析】根據給定條件，利用向量夾角公式計算即得，再利用三角形面積公式求出面積.【詳解】依題意，，在中，，所以；的面積.故答案為：；14.在正方形中，是邊上一點，且，點為的延長線上一點，寫出可以使得成立的，的一組數據為________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據向量的線性運算表示出，再結合向量的共線即可求得答案.【詳解】由題意知，而，故,則，又點為的延長線上一點，故,可取，則，故使得成立的的一組數據為，故答案為：.15.如圖，正方體的棱長為1，為的中點，為線段上的動點，過點，，的平面截該正方體所得截面記為，則下列命題正確的是________．①直線與直線相交；②當時，為四邊形；③當為的中點時，平面截正方體所得的截面面積為；④當時，截面與，分別交于，則．【答案】②③④【解析】【分析】①，由平面，可知直線與直線不可能相交，即可判斷；②，由可得截面S與正方體的另一個交點落在線段上，即可判斷；③，由為的中點，為的中點，可得截面為等腰梯形，求出等腰梯形的上、下底和高，即可求得截面面積，即可判斷；④，當時，延長至，使，連接交于，連接交于連接，取的中點，上一點，使，連接，可求得，再利用勾股定理求出，即可判斷.【詳解】①，因為為線段上的動點，所以平面，由正方體可知平面，所以直線與直線不可能相交，故①錯誤；②，當時，截面S與正方體的另一個交點落在線段上，如圖所示：所以截面為四邊形；又面，故//面，故②正確；③，連接，如下所示：

因為為的中點，為的中點，則，故面即為平面截正方體所得截面；在和中，又，故該截面為等腰梯形，又，，故截面面積，故③正確；④，當時，延長至，使，連接交于，連接交于連接，取的中點，上一點，使，連接，如圖所示：因為且，且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，則，由，，所以，則為中點，則，所以，又，可得，所以，則在中，故④正確；故答案為：②③④.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知向量，．（1）求；（2）若，，，求證：，，三點共線．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）結合向量的坐標運算，以及向量模公式，即可求解；（2）結合向量共線的性質，即可求解．【小問1詳解】解：，，則，故；【小問2詳解】證明：，，則；，所以，所以，，三點共線．17.在中小學生體質健康測試中，甲、乙兩人各自測試通過的概率分別是0.6和0.8，且測試結果相互獨立，求：（1）兩人都通過體質健康測試的概率；（2）恰有一人通過體質健康測試的概率；（3）至少有一人通過體質健康測試的概率．【答案】（1）0.48（2）0.44（3）0.92【解析】【分析】根據題意，由相互獨立事件的概率乘法公式，代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】根據題意，記甲通過體能測試為事件，乙通過體能測試為事件，且事件與事件相互獨立，則兩人都通過體能測試的概率.【小問2詳解】由事件與事件相互獨立，則恰有一人通過體能測試的概率為.【小問3詳解】由事件與事件相互獨立，則至少有一人通過體能測試的概率為.18.如圖，在棱長為2的正方體中，點E，F分別是棱的中點．求證：（1）平面；（2）平面；（3）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）先證明四邊形為平行四邊形，得出，再根據線面平行的判定定理即可得證；（2）根據線面垂直的判定與性質定理即可得證；（3）利用到平面距離為三棱錐的高，結合等體積法求解即可．【小問1詳解】證明：，分別為，的中點，，，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，不在平面，平面；【小問2詳解】證明：四邊形為正方形，，，，平面，平面，，，，又，，平面，平面；【小問3詳解】到平面距離為三棱錐的高，，故三棱錐的體積．19.某地區(qū)高考實行新方案，規(guī)定：語文、數學和英語是考生的必考科目，考生還要從物理、化學、生物、歷史、地理和政治六個科目中選取三個科目作為選考科目．為了解某校學生選科情況，現從高一、高二、高三學生中各隨機選取了100名學生作為樣本進行調查，調查數據如下表，用頻率估計概率．選考情況第1門第2門第3門第4門第5門第6門物理化學生物歷史地理政治高一選科人數807035203560高二選科人數604555404060高三選科人數504060404070（1）已知該校高一年級有400人，估計該學校高一年級學生中選考歷史的人數；（2）現采用分層抽樣的方式從樣本中隨機抽取三個年級中選擇歷史學科的5名學生組成興趣小組，再從這5人中隨機抽取2名同學參加知識問答比賽，求這2名參賽同學來自不同年級的概率；（3）假設三個年級選擇選考科目是相互獨立的．為了解不同年級學生對各科目的選擇傾向，現從高一、高二、高三樣本中各隨機選取1名學生進行調查，設這3名學生均選擇了第k門科目的概率為，當取得最大值時，寫出k的值．（結論不要求證明）【答案】（1）80人（2）（3）6【解析】【分析】（1）樣本中高一學生共有100人，其中選擇歷史學科的學生有20人，由此能估計高一年級選歷史學科的學生人數．（2）應從樣本中三個年級選歷史的學生中分別抽取人數為1，2，2，編號為，，，，，從這5名運動員中隨機抽取2名參加比賽，利用列舉法能求出事件“這2名參賽同學來自相同年級”的概率．（3）利用相互獨立事件概率乘法公式求解．【小問1詳解】解：由題意知，樣本中高一學生共有人，其中選擇歷史學科的學生有人，故估計高一年級選歷史學科的學生有人．【小問2詳解】解：應從樣本中三個年級選歷史的學生中分別抽取人數為1，2，2，編號為，，，，，從這5名運動員中隨機抽取2名參加比賽，所有可能的結果為，，，，，，，，，，共10種，設為事件“這2名參賽同學來自不同年級”，則為事件“這2名參賽同學來自相同年級”有，，，共2種，所以事件發(fā)生的概率．【小問3詳解】解：，，，，，，當取得最大值時，．20.在△中，角所對的邊為，△的面積為S，且．（1）求角；（2）若，試判斷△的形狀，并說明理由．【答案】（1）（2）等腰直角三角形，理由見解析【解析】【分析】（1）應用面積公式及余弦定理得出正切進而得出角；（2）先應用正弦定理及兩角和差的正弦公式化簡得出，結合判斷三角形形狀即可.【小問1詳解】在中，因，則，整理得，且，所以.【小問2詳解】由正弦定理得,,,,于是,又，故，所以或，因此（舍去）或，所以.是等腰直角三角形.21.如圖，七面體中，菱形所在平面與矩形交于，平面與平面交于直線．（1）求證：；（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知條件，試求當為何值時，平面平面？并證明你的結論．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由于平面，由線面平行的性質定理可證；（2）若選①，設，取的中點，連結如圖所示，由平面平面，可得平面，從而，進一步由，得，假設平面平面，可得，，從而；若選②，可得平面，可得平面，從而，進一步由，得，假設平面平面，可得，，從而.【小問1詳解】菱形中，，又平面，平面，平面，又平面，平面平面.；【小問2詳解】若選①當時，平面平面，設，取的中點，連結如圖所示，

平面平面，平面平面，矩形中，平面，平面，，同