幾何體體積求法

幾何體體積常見求法2021/6/271二、等體積轉(zhuǎn)化法：從不同的角度看待原幾何體，通過改變頂點(diǎn)和底面，利用體積不變的原理，求原幾何體的體積。三、割補(bǔ)法不但是立體幾何中求角、距離的常用方法，而且也是求幾何體體積的常用方法．它包括把規(guī)則的幾何體割補(bǔ)成易求體積的幾何體，也包括把不規(guī)則的幾何體割補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，以便求體積．一、直接法2021/6/272CPAB解法一：易知AO是PA的射影，且AO是∠BAC的平分線。故VP-ABC=O例1由三余弦定理而,2021/6/273解法二（換底法）PABCD2021/6/274

（割體法）取AB、AC的中點(diǎn)M、N，解法三：連接PM、PN、MN，則P-AMN是一個(gè)棱長為1的正四面體。明顯地，VP-ABC=4VP-AMN故VP-ABC=MNPABC2021/6/275PABCOQ解法四：

明顯地，P-ABC是棱長為2的正四面體，所以，VP-ABC=1/2VQ-ABC

（補(bǔ)體法）延長AP至點(diǎn)Q，連接BQ、CQ，2021/6/276ABCDE練習(xí)1：

正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，將它沿EC、ED折起，使A、B重合為點(diǎn)P，求三棱錐P-ECD的體積。PECD2021/6/277例2.已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為a,求三棱錐B1—AD1C的體積。ABCDA1B1C1D12021/6/278變式，四面體S-ABC的三組對(duì)棱分別相等，且依次為，求該四體的體積。分析：由三條對(duì)棱相等，易聯(lián)想到長方體的三組相對(duì)的面上的對(duì)角線相等，因此可將四面體補(bǔ)成一個(gè)長方體來解。2021/6/279SBDC2021/6/2710例3.如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF//AB，EF垂直AE，EF=3/2，EF與面AC的距離為2，求該多面體的體積()。ABCDEF2021/6/2711法一：分別取AB、CD的中點(diǎn)G、H連EG，GH，EH，把該多面體分割成一個(gè)四棱錐與一個(gè)三棱柱，可求得四棱錐的體積為3，三棱柱的體積，整個(gè)多面體的體積為．故選D．ABCDEFGH2021/6/2712法三.由已知條件可知，EF∥平面ABCD，則F到平面ABCD的距離為2，將幾何體變形如圖，使得EG=AB，三棱錐F-BCG的體積為：

原幾何體的體積為：

ABCDEFG2021/6/2713解：法三：如下圖所示，連接BE、CE則四棱錐E-ABCD的體積VE-ABCD=3×3×3×2=6，又∵整個(gè)幾何體大于四棱錐E-ABCD的體積，∴所求幾何體的體積V求＞VE-ABCD，ABCDEF2021/6/2714例4.三棱錐P--ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=a，ED⊥PA，ED⊥BC,ED=h,求三棱錐的體積。PABCED2021/6/2715求體積的常用方法所給的是非規(guī)范(或條件比較分散的規(guī)范的)幾何體時(shí),通過對(duì)圖象的割補(bǔ)或體積變換,化為與已知條件直接聯(lián)系的規(guī)范幾何體,并作體積的加、減法。小結(jié)當(dāng)按所給圖象的方位不便計(jì)算時(shí),可選擇條件較集中的面作底面,