《自動控制原理及其應用》第3章 習題及參考答案

3-8-1已知一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)今欲采用圖3-8-1所示負反饋的辦法將過渡過程時間減小為原來的，并保證總的放大倍數(shù)不變，試選擇和的值。圖3-8-1解一階系統(tǒng)的調節(jié)時間與時間常數(shù)成正比，則根據要求可知總的傳遞函數(shù)為由圖可知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為比較系數(shù)有解得3-8-2設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求開環(huán)增益分別為和時系統(tǒng)的阻尼比、無阻尼自振頻率、單位階躍響應的超調量和峰值時間，并討論的大小對系統(tǒng)的動態(tài)性能的影響。解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為根據典型的二階系統(tǒng)有，故當時，，由欠阻尼單位階躍響應的性能指標計算公式有當時，，由欠阻尼單位階躍響應的性能指標計算公式有可以看出，隨著開環(huán)增益的增大，系統(tǒng)的阻尼比減小，無阻尼自然頻率增大，而對應的超調量增大，到達峰值的峰值時間減小。3-8-3系統(tǒng)的結構圖和單位階躍響應曲線如圖3-8-2所示，試確定和的值。圖3-8-2解由圖可知又系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為由終值定理有根據欠阻尼單位階躍響應性能指標計算公式有可反解反解則。3-8-4設系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為1）試求時對應的單位階躍響應的超調量和調節(jié)時間(取誤差帶)。2）試求時單位階躍響應的超調量和調節(jié)時間。3）討論和與過渡過程性能指標的關系。解1）由系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)為典型的二階系統(tǒng)，那么根據欠阻尼單位階躍性能指標公式有，故當時，，當時，，當時，，2）當時，，3）通過上面的計算可以看出，系統(tǒng)單位階躍響應的超調量只與阻尼比有關，并且，隨著阻尼比的增加而減小，而調節(jié)時間與阻尼比和自然頻率都有關，當阻尼比固定時，調節(jié)時間隨自然頻率的增加而減小，當自然頻率固定時，調節(jié)時間隨著阻尼比的增加而減小。3-8-5典型二階系統(tǒng)單位階躍響應超調量，峰值時間，試求系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。解根據欠阻尼單位階躍性能指標公式有可反解，可反解那么系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為3-8-6設二階系統(tǒng)如圖3-8-3所示，欲加負反饋使系統(tǒng)阻尼比由原來的提高到，且放大系數(shù)和自然頻率保持不變，試確定。圖3-8-3解由圖可得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為根據題意可取此時，可解得故3-8-7設系統(tǒng)結構如圖3-8-4所示。如果要求系統(tǒng)階躍響應的超調量等于，峰值時間等于，試確定和的值，并計算此時調節(jié)時間。圖3-8-4解由圖可得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為則根據已知條件有可反解，可反解故進而調節(jié)時間3-8-8已知某控制系統(tǒng)如圖3-8-5所示，要求該系統(tǒng)的單位階躍響應具有超調量、峰值時間，試確定前置放大器的增益及內反饋系數(shù)之值。圖3-8-5解由圖可得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為則根據已知條件有可反解，可反解故進而調節(jié)時間3-8-9設單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為式中為開環(huán)增益。已知系統(tǒng)在單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差，確定與值，并估算系統(tǒng)在單位階躍輸入下的各項性能指標。解系統(tǒng)在單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差，故。當時，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為則可得當時，由于，故那么系統(tǒng)在單位階躍輸入下的各項性能指標分別為超調量峰值時間上升時間調節(jié)時間3-8-10試用勞斯穩(wěn)定判據確定具有下列閉環(huán)特征方程式的系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1)2)3)4)解1）系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為，列出勞斯表，勞斯表第一列系數(shù)符號改變兩次，系統(tǒng)有兩個正實部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定；2）列出勞斯表，勞斯表第一列系數(shù)全為正，系統(tǒng)穩(wěn)定；3）列出勞斯表，勞斯表第一列系數(shù)符號改變兩次，系統(tǒng)有兩個正實部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定；4）方程存在共軛虛根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。3-8-11設單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)分別為1)2)3)試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。解1）列出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)，根據勞斯判據解得；2）列出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)，根據勞斯判據解得；3）列出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)，根據勞斯判據解得。3-8-12系統(tǒng)結構圖如圖3-8-5所示。試就,三種情況求使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界開環(huán)增益值。圖3-8-6解據系統(tǒng)結構圖得系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為分別就三種情況分別代入閉環(huán)特征方程，列出勞斯表當時，使系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的開環(huán)增益值當時，使系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的開環(huán)增益值當時，使系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的開環(huán)增益值3-8-13試分析如圖3-8-7示系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其中增益。圖3-8-7解根據系統(tǒng)結構圖確定系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式，從閉環(huán)特征方程中明顯看出缺少，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。注意在分析系統(tǒng)穩(wěn)定性時，開環(huán)傳遞函數(shù)具有相同的零點與極點，此時相同的零點與極點不能對消，否則可能得到錯誤的結論。3-8-14設某系統(tǒng)如圖3-8-8所示。若系統(tǒng)以的頻率作等幅振蕩，試確定振蕩時參數(shù)與之值。圖3-8-8解系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，閉環(huán)系統(tǒng)必有一對純虛根對應在勞斯表中必然表現(xiàn)出某一行的第一列元素或該行全部元素為零的情況。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為根據勞斯表可列①根據勞斯判據的特殊情況的解決方法構造輔助方程解得②聯(lián)立式①、②可解得3-8-15已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)。1)使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。2)若要求閉環(huán)系統(tǒng)的特征根全部位于垂線以左，試確定參數(shù)K的取值范圍。解1）求得該系統(tǒng)的特征方程要使系統(tǒng)穩(wěn)定，根據赫爾維茲判據，應有即（也可根據勞斯穩(wěn)定判據得出）2）將代入系統(tǒng)特征方程得，根據題意，要使閉環(huán)系統(tǒng)全部特征根都位于以左，即位于的左平面，根據勞斯-赫爾維茲穩(wěn)定判據有即3-8-16已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的的取值范圍。解系統(tǒng)特征方程為根據勞斯-赫爾維茲穩(wěn)定判據可得因此可得3-8-17已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定時的參數(shù)值和系統(tǒng)的等幅振蕩頻率。解系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，閉環(huán)系統(tǒng)必有一對純虛根對應在勞斯表中必然表現(xiàn)出某一行的第一列元素或該行全部元素為零的情況。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為根據勞斯表的性質可得，解得構造輔助方程，解得，即振蕩頻率3-8-18已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下1)2)3)試求位置誤差系數(shù)、速度誤差系數(shù)、加速度誤差系數(shù)。解根據定義，現(xiàn)已知，單位反饋系統(tǒng)的，便可由定義及給定的，求得。1），此系統(tǒng)為的0型系統(tǒng)，查表即可得：2），此系統(tǒng)不是標準的系統(tǒng)形式，故有定義求解：3），同理可由定義得3-8-19設控制系統(tǒng)如圖3-8-8，其中干擾信號，可否通過選擇某一合適的值，使系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。圖3-8-9解根據干擾作用下穩(wěn)態(tài)誤差的定義計算，并代入，解得3-8-20已知系統(tǒng)如圖3-8-10所示圖3-8-101）當時求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。2）當時，其結果如何？3）在擾動作用點之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)，對結果有什么影響？在擾動作用點之后引入積分環(huán)節(jié)，結果又如何？解給定輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差有：給定干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差有：因此系統(tǒng)誤差為：1）時，2）時，結論：擾動作用點與誤差之間的前向通道傳遞函數(shù)中的靜態(tài)增益越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小。3）分別在擾動作用點之前和擾動作用點之后加入積分環(huán)節(jié)，同理用上述方法計算可得到相應的結論，即，擾動作用點之前中加入一個積分環(huán)節(jié)，可以消除給定輸入和擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差；擾動作用點之后中加入一個積分環(huán)節(jié)，能夠消除給定輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差，但不能消除擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差。3-8-21已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：1）2）試求輸入分別為和時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解1），故此系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，且。根據線性疊加原理，該系統(tǒng)在輸入為時的穩(wěn)態(tài)誤差；在輸入信號作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差2），故此系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，且。查表知，當輸入時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為當輸入為時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為3-8-22考慮一個單位負反饋三階系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)的分子為常數(shù)，要求：①在作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為1.2；②三階系統(tǒng)的一對閉環(huán)主導極點為；試求同時滿足上述條件的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)。解列出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的基本形式在輸入信號作用下，，即查表知，因此，3-8-23設速度控制系統(tǒng)如圖3-8-11所示