《自動(dòng)控制原理及其應(yīng)用》第3章 習(xí)題及參考答案

3-8-1已知一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)今欲采用圖3-8-1所示負(fù)反饋的辦法將過(guò)渡過(guò)程時(shí)間減小為原來(lái)的，并保證總的放大倍數(shù)不變，試選擇和的值。圖3-8-1解一階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間與時(shí)間常數(shù)成正比，則根據(jù)要求可知總的傳遞函數(shù)為由圖可知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為比較系數(shù)有解得3-8-2設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試求開(kāi)環(huán)增益分別為和時(shí)系統(tǒng)的阻尼比、無(wú)阻尼自振頻率、單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量和峰值時(shí)間，并討論的大小對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能的影響。解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)典型的二階系統(tǒng)有，故當(dāng)時(shí)，，由欠阻尼單位階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)計(jì)算公式有當(dāng)時(shí)，，由欠阻尼單位階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)計(jì)算公式有可以看出，隨著開(kāi)環(huán)增益的增大，系統(tǒng)的阻尼比減小，無(wú)阻尼自然頻率增大，而對(duì)應(yīng)的超調(diào)量增大，到達(dá)峰值的峰值時(shí)間減小。3-8-3系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)如圖3-8-2所示，試確定和的值。圖3-8-2解由圖可知又系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為由終值定理有根據(jù)欠阻尼單位階躍響應(yīng)性能指標(biāo)計(jì)算公式有可反解反解則。3-8-4設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為1）試求時(shí)對(duì)應(yīng)的單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間(取誤差帶)。2）試求時(shí)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間。3）討論和與過(guò)渡過(guò)程性能指標(biāo)的關(guān)系。解1）由系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)為典型的二階系統(tǒng)，那么根據(jù)欠阻尼單位階躍性能指標(biāo)公式有，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，2）當(dāng)時(shí)，，3）通過(guò)上面的計(jì)算可以看出，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量只與阻尼比有關(guān)，并且，隨著阻尼比的增加而減小，而調(diào)節(jié)時(shí)間與阻尼比和自然頻率都有關(guān)，當(dāng)阻尼比固定時(shí)，調(diào)節(jié)時(shí)間隨自然頻率的增加而減小，當(dāng)自然頻率固定時(shí)，調(diào)節(jié)時(shí)間隨著阻尼比的增加而減小。3-8-5典型二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)超調(diào)量，峰值時(shí)間，試求系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。解根據(jù)欠阻尼單位階躍性能指標(biāo)公式有可反解，可反解那么系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為3-8-6設(shè)二階系統(tǒng)如圖3-8-3所示，欲加負(fù)反饋使系統(tǒng)阻尼比由原來(lái)的提高到，且放大系數(shù)和自然頻率保持不變，試確定。圖3-8-3解由圖可得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)題意可取此時(shí)，可解得故3-8-7設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3-8-4所示。如果要求系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量等于，峰值時(shí)間等于，試確定和的值，并計(jì)算此時(shí)調(diào)節(jié)時(shí)間。圖3-8-4解由圖可得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為則根據(jù)已知條件有可反解，可反解故進(jìn)而調(diào)節(jié)時(shí)間3-8-8已知某控制系統(tǒng)如圖3-8-5所示，要求該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)具有超調(diào)量、峰值時(shí)間，試確定前置放大器的增益及內(nèi)反饋系數(shù)之值。圖3-8-5解由圖可得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為則根據(jù)已知條件有可反解，可反解故進(jìn)而調(diào)節(jié)時(shí)間3-8-9設(shè)單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為式中為開(kāi)環(huán)增益。已知系統(tǒng)在單位斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差，確定與值，并估算系統(tǒng)在單位階躍輸入下的各項(xiàng)性能指標(biāo)。解系統(tǒng)在單位斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差，故。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為則可得當(dāng)時(shí)，由于，故那么系統(tǒng)在單位階躍輸入下的各項(xiàng)性能指標(biāo)分別為超調(diào)量峰值時(shí)間上升時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間3-8-10試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定具有下列閉環(huán)特征方程式的系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1)2)3)4)解1）系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為，列出勞斯表，勞斯表第一列系數(shù)符號(hào)改變兩次，系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定；2）列出勞斯表，勞斯表第一列系數(shù)全為正，系統(tǒng)穩(wěn)定；3）列出勞斯表，勞斯表第一列系數(shù)符號(hào)改變兩次，系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定；4）方程存在共軛虛根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。3-8-11設(shè)單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別為1)2)3)試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。解1）列出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)，根據(jù)勞斯判據(jù)解得；2）列出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)，根據(jù)勞斯判據(jù)解得；3）列出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)，根據(jù)勞斯判據(jù)解得。3-8-12系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-8-5所示。試就,三種情況求使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界開(kāi)環(huán)增益值。圖3-8-6解據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖得系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為分別就三種情況分別代入閉環(huán)特征方程，列出勞斯表當(dāng)時(shí)，使系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的開(kāi)環(huán)增益值當(dāng)時(shí)，使系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的開(kāi)環(huán)增益值當(dāng)時(shí)，使系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的開(kāi)環(huán)增益值3-8-13試分析如圖3-8-7示系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其中增益。圖3-8-7解根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖確定系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式，從閉環(huán)特征方程中明顯看出缺少，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。注意在分析系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)具有相同的零點(diǎn)與極點(diǎn)，此時(shí)相同的零點(diǎn)與極點(diǎn)不能對(duì)消，否則可能得到錯(cuò)誤的結(jié)論。3-8-14設(shè)某系統(tǒng)如圖3-8-8所示。若系統(tǒng)以的頻率作等幅振蕩，試確定振蕩時(shí)參數(shù)與之值。圖3-8-8解系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，閉環(huán)系統(tǒng)必有一對(duì)純虛根對(duì)應(yīng)在勞斯表中必然表現(xiàn)出某一行的第一列元素或該行全部元素為零的情況。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為根據(jù)勞斯表可列①根據(jù)勞斯判據(jù)的特殊情況的解決方法構(gòu)造輔助方程解得②聯(lián)立式①、②可解得3-8-15已知單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。1)使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。2)若要求閉環(huán)系統(tǒng)的特征根全部位于垂線(xiàn)以左，試確定參數(shù)K的取值范圍。解1）求得該系統(tǒng)的特征方程要使系統(tǒng)穩(wěn)定，根據(jù)赫爾維茲判據(jù)，應(yīng)有即（也可根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)得出）2）將代入系統(tǒng)特征方程得，根據(jù)題意，要使閉環(huán)系統(tǒng)全部特征根都位于以左，即位于的左平面，根據(jù)勞斯-赫爾維茲穩(wěn)定判據(jù)有即3-8-16已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的的取值范圍。解系統(tǒng)特征方程為根據(jù)勞斯-赫爾維茲穩(wěn)定判據(jù)可得因此可得3-8-17已知單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，試確定系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定時(shí)的參數(shù)值和系統(tǒng)的等幅振蕩頻率。解系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，閉環(huán)系統(tǒng)必有一對(duì)純虛根對(duì)應(yīng)在勞斯表中必然表現(xiàn)出某一行的第一列元素或該行全部元素為零的情況。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為根據(jù)勞斯表的性質(zhì)可得，解得構(gòu)造輔助方程，解得，即振蕩頻率3-8-18已知單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下1)2)3)試求位置誤差系數(shù)、速度誤差系數(shù)、加速度誤差系數(shù)。解根據(jù)定義，現(xiàn)已知，單位反饋系統(tǒng)的，便可由定義及給定的，求得。1），此系統(tǒng)為的0型系統(tǒng)，查表即可得：2），此系統(tǒng)不是標(biāo)準(zhǔn)的系統(tǒng)形式，故有定義求解：3），同理可由定義得3-8-19設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-8-8，其中干擾信號(hào)，可否通過(guò)選擇某一合適的值，使系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。圖3-8-9解根據(jù)干擾作用下穩(wěn)態(tài)誤差的定義計(jì)算，并代入，解得3-8-20已知系統(tǒng)如圖3-8-10所示圖3-8-101）當(dāng)時(shí)求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。2）當(dāng)時(shí)，其結(jié)果如何？3）在擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)，對(duì)結(jié)果有什么影響？在擾動(dòng)作用點(diǎn)之后引入積分環(huán)節(jié)，結(jié)果又如何？解給定輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差有：給定干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差有：因此系統(tǒng)誤差為：1）時(shí)，2）時(shí)，結(jié)論：擾動(dòng)作用點(diǎn)與誤差之間的前向通道傳遞函數(shù)中的靜態(tài)增益越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小。3）分別在擾動(dòng)作用點(diǎn)之前和擾動(dòng)作用點(diǎn)之后加入積分環(huán)節(jié)，同理用上述方法計(jì)算可得到相應(yīng)的結(jié)論，即，擾動(dòng)作用點(diǎn)之前中加入一個(gè)積分環(huán)節(jié)，可以消除給定輸入和擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差；擾動(dòng)作用點(diǎn)之后中加入一個(gè)積分環(huán)節(jié)，能夠消除給定輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差，但不能消除擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差。3-8-21已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：1）2）試求輸入分別為和時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解1），故此系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，且。根據(jù)線(xiàn)性疊加原理，該系統(tǒng)在輸入為時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差；在輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差2），故此系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，且。查表知，當(dāng)輸入時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為當(dāng)輸入為時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為3-8-22考慮一個(gè)單位負(fù)反饋三階系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的分子為常數(shù)，要求：①在作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為1.2；②三階系統(tǒng)的一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為；試求同時(shí)滿(mǎn)足上述條件的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。解列出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的基本形式在輸入信號(hào)作用下，，即查表知，因此，3-8-23設(shè)速度控制系統(tǒng)如圖3-8-11所示